CN110765581B - 一种十二相永磁同步电机的建模方法 - Google Patents

一种十二相永磁同步电机的建模方法 Download PDF

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本发明公开了本发明涉及一种考虑谐波绕组的十二相永磁同步电机的建模方法，包括如下步骤：1）构建十二相永磁同步电机电感系数矩阵，并根据绕组函数，建立考虑谐波绕组的各相定子绕组自感和互感的解析式；2）建立永磁体在各相定子绕组中产生的基波磁链和谐波磁链的解析式；3）利用Matlab曲线拟合函数确定定子电感和永磁磁链的最优系数。本发明将对电机特性有着显著影响的谐波绕组考虑进十二相永磁同步电机的建模过程中，这对提高永磁同步电机分析和控制的精确性具有重要理论意义。

Description

一种十二相永磁同步电机的建模方法
技术领域
本发明涉及一种多相电机的非线性建模方法，具体为考虑谐波绕组的十二相永磁同步电机(PMSM)的建模方法。
背景技术
近年来多相电机在一些大型的交流调速系统中得到越来越广泛的应用，相比于传统三相电机，多相电机在大功率高可靠性场合有着更加突出的优势：①可以用较小容量器件实现大功率。②多相电机系统可以实现冗余控制，大大提高系统可靠性。③减小转矩脉动。④减小直流母线电流谐波。
电机的模型是研究电机及其控制系统运行特性的基础。在大功率PMSM的运行特性分析、高精度PMSM位置、速度控制系统研究等方面，人们希望电机的模型能考虑各种非线性因素，尤其是定子绕组和永磁磁链空间谐波的影响，以提高分析的精确性。
常用的PMSM线性模型是以定子绕组和永磁磁链呈标准正弦分布为前提建立的，这与实际情况相差较大，因而其计算结果的精度不高。
发明内容
本发明的目的就是为了建立一种具有较高精度，且可用于对控制系统进行快速分析的PMSM模型，这对提高PMSM分析和控制的精确性具有重要理论意义。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种十二相永磁同步电机的建模方法，包括以下步骤
1)构建十二相永磁同步电机电感系数矩阵，并根据绕组函数，建立考虑谐波绕组的各相定子绕组自感和互感的解析式：
在自然坐标系下十二相永磁同步电机的电压和磁链的基本方程分别为
Figure BDA0002212072170000021
构建的电感系数矩阵Ls为
Ψs＝Lsis+ψf
us＝[ua1 ub1 uc1 ua2 ub2 uc2 ua3 ub3 uc3 ua4 ub4 uc4]T
is＝[ia1 ib1 ic1 ia2 ib2 ic2 ia3 ib3 ic3 ia4 ib4 ic4]T
Ψs＝[ψa1 ψb1 ψc1 ψa2 ψb2 ψc2 ψa3 ψb3 ψc3 ψa4 ψb4 ψc4]T
Rs＝diag[R R R R R R R R R R R R]
Figure BDA0002212072170000022
式中us为定子绕组相电压，is为定子绕组相电流，Ψs为定子每相磁链；Rs为电阻系数矩阵，Ls为电感系数矩阵；ψf为永磁体在定子各相绕组中产生的磁链，Laiai、Lbibi、Lcici为定子绕组自感(i＝1,2,3)，Mxiyj为定子绕组互感(x,y＝a,b,c,i,j＝1,2,3,且x＝y时i≠j)；
十二相永磁同步电机定子绕组对称时绕组函数表示为
Nγ(φ)＝N1/2[cos(φ-γ)-ηcos3(φ-γ)] (3)
式中γ为十二相永磁同步电机任一相绕组与A相绕组轴线夹角，N1为基波绕组函数幅值，η为三次谐波绕组与基波绕组幅值比，φ为电机定子空间电角度；
定子绕组电感表示为
Figure BDA0002212072170000023
式中μ0为真空气隙磁导率，r为电机气隙半径，l为电机铁芯的有效长度，g-1(φ,θ)为倒气隙函数；
倒气隙函数g-1(φ,θ)可用傅里叶级数表示为
Figure BDA0002212072170000031
式中λ为转子极弧角度，θe为永磁体转子与A相绕组轴线的夹角，系数a、b为电机的倒气隙系数
Figure BDA0002212072170000032
式中gmin为最小气隙长度，gmax最大气隙长度；
将式(3)和式(5)带入式(4)得十二相永磁同步电机定子绕组对称时绕组电感
Figure BDA0002212072170000033
式中γX、γY为十二相永磁同步电机任意绕组X和Y分别与A相绕组轴线夹角，当X等于Y时MXY为绕组自感，X不等于Y时MXY为绕组间的互感；
2)建立永磁体在各相定子绕组中产生的基波磁链和谐波磁链的解析式：
利用傅里叶分解得到永磁体产生的气隙磁密
Figure BDA0002212072170000034
采用绕组函数方法，将转子在X相绕组产生的永磁磁链表示为
Figure BDA0002212072170000041
根据上式推导出永磁体在四套Y绕组中产生的永磁磁链
ψf＝[ψa1b1c1 ψa2b2c2 ψa3b3c3 ψa4b4c4]T
其中
Figure BDA0002212072170000042
上式中ψ1为永磁体产生的基波磁链幅值，ξ为谐波磁链与基波磁链幅值比；
3)建立十二相永磁同步电机转矩方程和转子运动学方程：
通过磁场储能对机械角度θm求偏导，可得电磁转矩
Figure BDA0002212072170000043
式中pn为电机极对数，θm为机械转动角度；
电机的运动学方程为
Figure BDA0002212072170000044
式中ωm为电机的机械角速度，J为转动惯量，B为阻尼系数，TL为负载转矩，ωe为电角速度，θ0为转子初始零位置角；
4)确定定子电感和永磁磁链解析式的各项最优系数：根据采用有限元法对电机电磁场分析计算出的电感值及永磁磁链，用Matlab曲线拟合函数lsqcurvefit确定定子电感矩阵中各电感或互感常数项、位置角2倍频、4倍频、6倍频的最优系数以及永磁体基波磁链和谐波磁链的最优系数。
所述的一种十二相永磁同步电机的建模方法，还包括选取定子电流为状态变量，将确定后的数学模型转化为标准的状态方程形式，以便计算机可以进行数值仿真计算：
Figure BDA0002212072170000051
本发明产生的有益效果是：本发明将对电机特性有着显著影响的谐波绕组考虑进十二相永磁同步电机的建模过程中，这对提高永磁同步电机分析和控制的精确性具有重要理论意义。
附图说明
图1为考虑绕组谐波的十二相永磁同步电机矢量控制仿真模型；
图2为额定状态下十二相永磁同步电机相电流波形图；
图3为额定状态下用仿真模型得到的a1相电流波形图；
图4为额定状态下用有限元模型计算得到的a1相电流波形图；
图5为额定状态下用仿真模型得到的a1相电流频谱图；
图6为额定状态下用有限元模型计算的a1相电流频谱图。
具体实施方式
为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体图示，进一步阐述本发明。
考虑定子绕组和转子磁场谐波的建模方法及其控制系统仿真，本发明的具体实施步骤包括以下几部分。
(一)建立十二相永磁同步电机在自然坐标系下的电压方程和磁链方程，构建电感系数矩阵，并根据绕组函数，建立考虑谐波绕组的各相定子绕组自感和互感的解析式。
在自然坐标系下十二相永磁同步电机的电压和磁链的基本方程分别为：
Figure BDA0002212072170000061
Ψs＝Lsis+ψf (2)
其中，us为定子绕组相电压，is为定子绕组相电流，Ψs为定子每相磁链；Rs为电阻系数矩阵，Ls为电感系数矩阵；ψf为永磁体在定子各相绕组中产生的磁链。
us＝[ua1 ub1 uc1 ua2 ub2 uc2 ua3 ub3 uc3 ua4 ub4 uc4]T
is＝[ia1 ib1 ic1 ia2 ib2 ic2 ia3 ib3 ic3 ia4 ib4 ic4]T
Ψs＝[ψa1 ψb1 ψc1 ψa2 ψb2 ψc2 ψa3 ψb3 ψc3 ψa4 ψb4 ψc4]T
Rs＝diag[R R R R R R R R R R R R]
Laiai、Lbibi、Lcici为定子绕组自感(i＝1,2,3)，Mxiyj为定子绕组互感(x,y＝a,b,c,i,j＝1,2,3,且x＝y时i≠j)。
采用集中整距式绕组的十二相永磁同步电机，其绕组中通常含有大量三次谐波绕组，假设十二相永磁同步电机定子绕组对称，则绕组函数可表示为：
Nγ(φ)＝N1/2[cos(φ-γ)-ηcos3(φ-γ)] (3)
式中，γ为十二相永磁同步电机任一相绕组与A相绕组轴线夹角，N1为基波绕组函数幅值，η为三次谐波绕组与基波绕组幅值比，φ为电机定子空间电角度。
定子绕组电感可以表示为：
Figure BDA0002212072170000062
式中，μ0为真空气隙磁导率，r为电机气隙半径，l为电机铁芯的有效长度，g-1(φ,θ)为倒气隙函数。倒气隙函数g-1(φ,θ)可用傅里叶级数表示为：
Figure BDA0002212072170000063
式中，λ为转子极弧角度，θe为永磁体转子与A相绕组轴线的夹角，系数a、b为：
Figure BDA0002212072170000071
其中，gmin为最小气隙长度，gmax最大气隙长度。
将式(3)和式(5)带入式(4)得
Figure BDA0002212072170000072
当X等于Y时MXY为绕组自感，X不等于Y时MXY为绕组间的互感。
(二)建立永磁体在各相定子绕组中产生的基波磁链和谐波磁链的解析式。
线性模型认为转子磁场在气隙中为理想的正弦分布。但是PMSM由于永磁体制造及工艺上的限制，永磁体产生的转子磁场谐波含量很大，实际转子磁场并不是理想正弦分布。电机中由永磁体产生的气隙磁密可利用傅里叶分解得到：
Figure BDA0002212072170000073
永磁体产生的转子磁场在气隙中的分布可表示为一系列正弦波的叠加，即随位置变化的基波和各次空间谐波。
采用绕组函数方法，可将转子在X相绕组产生的永磁磁链表示为：
Figure BDA0002212072170000074
根据上式可推导出永磁体在四套Y绕组中产生的永磁磁链：
ψf＝[ψa1b1c1 ψa2b2c2 ψa3b3c3 ψa4b4c4]T
其中，
Figure BDA0002212072170000081
上式中ψ1为永磁体产生的基波磁链幅值，ξ为谐波磁链与基波磁链幅值比。
(三)建立十二相永磁同步电机转矩方程和转子运动学方程。
从机电能量转换的角度出发，十二相永磁同步电机的电磁转矩等于磁场储能对机械角度θm求偏导，可得：
Figure BDA0002212072170000082
其中，pn为电机极对数，θm为机械转动角度。
电机的运动学方程为：
Figure BDA0002212072170000083
其中，ωm为电机的机械角速度，J为转动惯量，B为阻尼系数，TL为负载转矩，ωe为电角速度，θ0为转子初始零位置角。
(四)利用Matlab曲线拟合函数确定定子电感和永磁磁链的最优系数。
根据采用有限元法对电机电磁场分析计算出的电感值及永磁磁链，用Matlab曲线拟合函数lsqcurvefit确定定子电感矩阵中各电感或互感常数项、位置角2倍频、4倍频、6倍频的最优系数以及永磁体基波磁链和谐波磁链的最优系数。
(五)用Matlab中的S函数编写十二相永磁同步电机模型，数学模型确定后，还需要将其转化为标准的状态方程形式，以便计算机可以进行数值仿真计算。选取定子电流为状态变量，十二相永磁同步电机的状态方程可表示为：
Figure BDA0002212072170000091
在Simulink仿真平台上，状态方程的实现有多种，主要包括模块法和S函数法。模块法对于这种方程数目众多，且各变量间相互高度耦合的数学模型来说，实现比较困难，且灵活性差。
相较之下，S函数更适合描述复杂的系统。
以一台额定线电压4730V，额定相电流789A，额定转速167rpm，额定转矩2287kNm，相绕组等效电阻0.45Ω，转动惯量48754kg·m2，极对数二十的十二相四Y移15°的永磁同步电机为例，采用S函数编程来实现的考虑谐波绕组的十二相永磁同步电机矢量控制仿真模型如图1所示。
选取定子相电流为状态变量，十二相永磁同步电机的仿真模型可用14个状态方程描述，其中13个输入量为十二相定子相电压和负载转矩TL。仿真算法采用定步长四阶龙格库塔法(Runge-Kutta)，步长选为10-3s。控制系统达到稳态时的仿真结果如图2、图3、图4所示。
从图2中可以看出，电机起动完成后，即进入了额定运行状态。图3为仿真模型得到的相电流波形，图4为在与仿真模型同样输入条件下，用Ansoft软件对有限元模型进行二维动态有限元计算得到的相电流波形。
图5和图6为用两种不同方法得到的相电流频谱图，通过对比可知，不管采用哪种方法，所得相电流中均含有少量的低次谐波，特别是3次、5次谐波。另外，两者相电流所含谐波分量基本一致，由此也验证了模型的准确性。
上述实施方式仅为例举，不表示对本发明范围的限定。这些实施方式还能以其它各种方式来实施，且能在不脱离本发明技术思想的范围内作各种省略、置换、变更。

Claims (2)

1.一种十二相永磁同步电机的建模方法，其特征在于：包括以下步骤
1)构建十二相永磁同步电机电感系数矩阵，并根据绕组函数，建立考虑谐波绕组的各相定子绕组自感和互感的解析式：
在自然坐标系下十二相永磁同步电机的电压和磁链的基本方程分别为
Figure FDA0002212072160000011
构建的电感系数矩阵Ls为
Ψs＝Lsis+ψf
us＝[ua1 ub1 uc1 ua2 ub2 uc2 ua3 ub3 uc3 ua4 ub4 uc4]T
is＝[ia1 ib1 ic1 ia2 ib2 ic2 ia3 ib3 ic3 ia4 ib4 ic4]T
Ψs＝[ψa1 ψb1 ψc1 ψa2 ψb2 ψc2 ψa3 ψb3 ψc3 ψa4 ψb4 ψc4]T
Rs＝diag[R R R R R R R R R R R R]
Figure FDA0002212072160000012
式中us为定子绕组相电压，is为定子绕组相电流，Ψs为定子每相磁链；Rs为电阻系数矩阵，Ls为电感系数矩阵；ψf为永磁体在定子各相绕组中产生的磁链，Laiai、Lbibi、Lcici为定子绕组自感(i＝1,2,3)，Mxiyj为定子绕组互感(x,y＝a,b,c,i,j＝1,2,3,且x＝y时i≠j)；
十二相永磁同步电机定子绕组对称时绕组函数表示为
Nγ(φ)＝N1/2[cos(φ-γ)-ηcos3(φ-γ)] (3)
式中γ为十二相永磁同步电机任一相绕组与A相绕组轴线夹角，N1为基波绕组函数幅值，η为三次谐波绕组与基波绕组幅值比，φ为电机定子空间电角度；
定子绕组电感表示为
Figure FDA0002212072160000021
式中μ0为真空气隙磁导率，r为电机气隙半径，l为电机铁芯的有效长度，g-1(φ,θ)为倒气隙函数；
倒气隙函数g-1(φ,θ)可用傅里叶级数表示为
Figure FDA0002212072160000022
式中λ为转子极弧角度，θe为永磁体转子与A相绕组轴线的夹角，系数a、b为电机的倒气隙系数
Figure FDA0002212072160000023
式中gmin为最小气隙长度，gmax最大气隙长度；
将式(3)和式(5)带入式(4)得十二相永磁同步电机定子绕组对称时绕组电感
Figure FDA0002212072160000024
式中γX、γY为十二相永磁同步电机任意绕组X和Y分别与A相绕组轴线夹角，当X等于Y时MXY为绕组自感，X不等于Y时MXY为绕组间的互感；
2)建立永磁体在各相定子绕组中产生的基波磁链和谐波磁链的解析式：
利用傅里叶分解得到永磁体产生的气隙磁密
Figure FDA0002212072160000031
采用绕组函数方法，将转子在X相绕组产生的永磁磁链表示为
Figure FDA0002212072160000032
根据上式推导出永磁体在四套Y绕组中产生的永磁磁链
ψf＝[ψa1b1c1 ψa2b2c2 ψa3b3c3 ψa4b4c4]T
其中
Figure FDA0002212072160000033
上式中ψ1为永磁体产生的基波磁链幅值，ξ为谐波磁链与基波磁链幅值比；
3)建立十二相永磁同步电机转矩方程和转子运动学方程：
通过磁场储能对机械角度θm求偏导，可得电磁转矩
Figure FDA0002212072160000034
式中pn为电机极对数，θm为机械转动角度；
电机的运动学方程为
Figure FDA0002212072160000035
式中ωm为电机的机械角速度，J为转动惯量，B为阻尼系数，TL为负载转矩，ωe为电角速度，θ0为转子初始零位置角；
4)确定定子电感和永磁磁链解析式的各项最优系数：根据计算出的电感值及永磁磁链，用Matlab曲线拟合函数lsqcurvefit确定定子电感矩阵中各电感或互感常数项、位置角2倍频、4倍频、6倍频的最优系数以及永磁体基波磁链和谐波磁链的最优系数。
2.根据权利要求1所述的一种十二相永磁同步电机的建模方法，其特征在于，还包括选取定子电流为状态变量，将确定后的数学模型转化为标准的状态方程形式，以便计算机可以进行数值仿真计算：
Figure FDA0002212072160000041
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