CN110750893A - 一种基于小波分析的时变电推力器建模方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于小波分析的时变电推力器建模方法，考虑到电推力器推力的时变特性，本发明基于小波分析，在分析推力信号的频域特征的同时，研究信号频域特征随时间变化的规律；在此基础上，进行电推力器推力测量实验，将实验结果进行小波分析，利用合适的时频分析方法建立该电推力器模型，并给出模型形式与参数估计的方法；最后再进行实验验证该模型的合理性。

Description

一种基于小波分析的时变电推力器建模方法
技术领域
本发明属于电推进等离子体控制领域，特别涉及一种使用基于小波分析的频域方法用于时变电推力器模型研究。
背景技术
电推进是一类利用电能直接加热推进剂或利用电磁作用电离加速推进剂以获得推进动力的先进推进方式，具有较高的比冲、推力和效率，在大型航天器的轨道控制、深空探测和星际航行等空间任务中有广阔的应用前景。离子推力器为静电式电推力器的一种，目前已被广泛应用于卫星以及深空探测器的主推进系统。
在电推力器提供推力的过程中，其推力的大小不是固定不变的，其推力特性经历了适应期、稳定期和不稳定期三个阶段。传统的频域分析方法只能研究推力器稳定期的推力特性。而适应期和不稳定期，由于推力的时变特征，频谱分析方法不再适用。
小波分析方法能够表征瞬态时间-频域的信号特征，对于时变电推力器模型的研究具有重要的学术价值和工程意义，但目前还没有专门针对时变电推力器模型的小波分析的频域方法研究。
发明内容
为此，本发明提出了一种基于小波分析的时变电推力器建模方法。考虑到电推力器推力的时变特性，本发明基于小波分析，在分析推力信号的频域特征的同时，研究信号频域特征随时间变化的规律；在此基础上，进行电推力器推力测量实验，将实验结果进行小波分析，利用合适的时频分析方法建立该电推力器模型，并给出模型形式与参数估计的方法；最后再进行实验验证该模型的合理性。
根据本发明的一方面，提供了一种基于小波分析的时变电推力器建模方法，包括如下步骤：
S1：对时变电推力器的时变推力信号进行小波分析，将时变推力信号的小波定义为平均值为0的ψ(t)的函数：
其中，t为时间变量，
通过比例参数s变换，并通过时间参数u转换，得到时变推力信号的小波函数ψu,s(t)及其傅里叶变换
Figure BDA0002232767580000022
分别为：
Figure BDA0002232767580000023
Figure BDA0002232767580000024
其中，i为虚数单位；f为频率；为时不变推力信号的傅里叶变换；
Figure BDA0002232767580000026
表示以
Figure BDA0002232767580000027
为底的小波函数；
通过应用于时变推力的时间信号的小波函数来定义小波变换，得到方程如下：
Figure BDA0002232767580000028
其中，Wy(u,s)为时变推力信号的小波变换；y(t)为随时间变化的输入信号；
Figure BDA0002232767580000029
为随时间变化的小波函数；
Figure BDA00022327675800000212
为随频率变化的输入信号；
Figure BDA00022327675800000210
为随频率变化的小波函数；
ψu,s(t)以时间参数u为中心，其变换与比例参数s成正比；并且
Figure BDA00022327675800000211
以积分参数1/s为中心，其变换与1/s成正比；
S2：基于步骤S1中的时变推力信号的小波函数定义的带通滤波器的脉冲响应为：
Figure BDA0002232767580000031
其中，ψ(fct)为带通中心频率处的推力信号的小波函数；fc为带通中心频率；时变推力信号的等效带宽Be由下式定义：
Figure BDA0002232767580000032
其中，τ为滞后时间变量；ψ2(τ)为滞后时间变量τ的小波函数的平方；
从而得到单个频率的小波尺度为：
Figure BDA0002232767580000033
其中，Gyy(fc,t)为单个频率的小波尺度；Wy(fc,t)为单个频率处的推力信号的小波变换；
S3：基于步骤S1中的小波分析，采用神经网络模型，构建以小波函数为基底的神经网络模型的时变推力器模型，
所采用的神经网络模型为单隐层的小波分析神经网络模型，其模型如下：
Figure BDA0002232767580000034
其中，
Figure BDA0002232767580000035
为神经网络模型输出；F为神经网络模型函数；ωij为小波函数的变换权重，i为为从1到n的数，j为从1到n的数；ψa,b为神经网络变量的小波函数；k为从1到p的数；ωjk为各输入信号权重；
Figure BDA0002232767580000036
为神经网络模型输入；
选择满足步骤S2的小波基函数如下：
Figure BDA0002232767580000037
其中，ψji为小波基函数；A和B分别为小波基函数的上下界；
定义时变推力的小波神经网络函数空间L2(R)：
L2(R)＝{x(t):∫R|x(t)|2dt<∞} (10)
其中，R为实数域；x(t)为模型输入信号；
在小波神经网络函数空间L2(R)，以x为基底的小波函数ψ(x)的选择满足如下约束条件：
式中，ψ(x)的傅里叶变换为ψ(ω)，ω为角频率，
Figure BDA0002232767580000042
为平均小波函数，神经网络变量的小波函数ψa,b通过ψ(x)进行平移伸缩变换得到，
Figure BDA0002232767580000043
其中，a和b分别为尺度伸缩因子和时间平移因子；
Figure BDA0002232767580000044
为以
Figure BDA0002232767580000045
为底的小波函数。
进一步，根据步骤S3得到单节点输出的均方误差：
Figure BDA0002232767580000046
其中，eMSE为均方根误差；m为为从1到n的数；ym为模型参数的输出值；dm为模型参数的初始值。
结合对以小波函数为基底的神经网络模型的时变推力器模型的先验知识设定模型参数的初始值，利用均方误差(13)作为判定标准，利用时变小波分析对时变电推力信号进行参数辨识。
进一步，利用实验实际测量时变推力信号的大小和变化，与步骤S3中建立的时变推力器模型得到的推力进行比较，以验证建立的时变推力器模型的合理性，若两者推力相差100uN以上，则返回步骤S3重新构建时变推力器模型并进行参数辨识。
本发明的有益效果：
1)本发明在时变电推力的研究中，使用小波分析方法不但能够分析信号的频域特征，也能够分析信号频域特征随时间变化的规律，这改善了传统意义下傅里叶变化只考虑平均时间段下的频谱特性。
2)考虑到电推力器推力特性经历了适应性、稳定期和不稳定期三种阶段，传统的方法多为研究稳定器特性，本发明为适应期和不稳定期的特性进行了研究，如图1所示，图(a)的稳定期信号，其频率幅值不随时间变化，而图(b)的非平稳信号，其频率随时间是不断变化的，在本发明研究的时变电推力器的模型中，电推力的不稳定期是不断变化的，是不能够完全用图(a)表示的，因此，考虑其不稳定期为非平稳信号，本发明建模的过程中考虑了推力信号与时间和频率之间的关系。
3)基于实验的建模技术对于模型的研究可信度更高，本发明基于电推力器推力实验进行小波分析，在频域、时域上对模型进行建立和参数辨识，最后再次进行实验，进一步验证模型的合理性。
附图说明
图1(a)-(b)分别示出了时变电推力器的平稳信号和非平稳信号的特征，用于表征时变电推力的稳定期和不稳定期；
图2为本发明的法拉第探针测试推力的电路图；
图3(a)-(b)分别为本发明的时变电推力器系统的小波分析幅值和相位频谱图；
图4为本发明的基于小波分析的时变电推力器建模方法的流程图；
图5为本发明的时变推力信号的小波变化的功率谱图；
图6为本发明所采用的单隐层的小波神经网络模型示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例进一步描述本发明，应该理解，以下所述实施例旨在便于对本发明的理解，而对其不起任何限定作用。
本发明提供了一种基于小波分析的时变电推力器建模方法，其推力是由法拉第探针测试的，如图2所示，通过该测试结果，可以得到时变电推力器的推力变化，为时变电推力信号的小波分析提供输入推力信号参考。利用小波分析方法可以分析时变推力信号的时频联合特征，根据小波分析的模型识别技术，可以建立时变电推力器模型。对于小波变换不同信号的选取，需应用于瞬态分析，而窗口傅里叶变换则是信号的平均响应。与窗口傅里叶变换相比，小波尺度图应不仅显示频谱峰值，还应显示信号发生时的时间。在时变电推力器的建模中，利用时变小波分析可以产生相对于时间和频率的电推力功率谱曲线，并且可以显示电推力器中推力与时间-频率的频谱情况，而不仅仅是整个时间历史上的平均推力产生的功率和频率的关系。图3(a)-(b)分别示出了时变电推力器系统的小波分析幅值和相位频谱图，其表征了时变电推力信号的幅值与频率、时间的三维曲面图，以及相角与频率、时间的三维曲面图，从而可以更全面的分析时变点推力信号的变化。
图4示出了本发明利用小波分析建立时变电推力器模型的过程，本发明通过分析时变电推力信号的小波尺度变化，选择相应的参数与之匹配，并对该参数进行识别优化，从而得到时变电推力器模型。具体地，本方法包括如下步骤：
S1：对时变电推力器的时变推力信号进行小波分析，将时变推力信号的小波定义为平均值为0的ψ(t)的函数：
Figure BDA0002232767580000061
其中，t为时间变量。
通过比例参数s变换，并通过时间参数u转换，得到时变推力信号的小波函数ψu,s(t)及其傅里叶变换
Figure BDA0002232767580000062
分别为：
Figure BDA0002232767580000063
Figure BDA0002232767580000064
其中，i为虚数单位；f为频率；
Figure BDA0002232767580000065
为时不变推力信号的傅里叶变换；表示以
Figure BDA0002232767580000067
为底的小波函数。
为了分析时变推力信号的相位信息，使用复杂的小波分析函数，并通过应用于时变推力的时间信号的小波函数来定义小波变换，得到方程如下：
Figure BDA0002232767580000071
其中，Wy(u,s)为时变推力信号的小波变换；y(t)为随时间变化的输入信号；
Figure BDA0002232767580000072
为随时间变化的小波函数；
Figure BDA0002232767580000078
为随频率变化的输入信号；
Figure BDA0002232767580000073
为随频率变化的小波函数；ψu,s(t)以时间参数u为中心，其变换与比例参数s成正比；并且以积分参数1/s为中心，其变换与1/s成正比。但由于是偏差估计，还需要引入乘法因子以消除偏差，保证小波变换的期望值与实际的测量值在[-0.5,0.5]的范围内。
S2：基于步骤S1中的时变推力信号的小波函数定义的带通滤波器的脉冲响应为：
其中，ψ(fct)为带通中心频率处的推力信号的小波函数；fc为带通中心频率；时变推力信号的等效带宽Be由下式定义：
Figure BDA0002232767580000076
其中，τ为滞后时间变量；ψ2(τ)为以滞后时间为基底的小波函数的平方；
从而可以得到单个频率的小波尺度为：
Figure BDA0002232767580000077
其中，Gyy(fc,t)为单个频率的小波尺度；Wy(fc,t)为单个频率处的推力信号的小波变换。图5示出了时变推力信号的小波变化的功率谱图，从图中可以看出时变推力信号的小波尺度图与时间和频率之间的三维效果。
S3：基于步骤S1中的小波分析，采用神经网络模型，构建以小波函数为基底的神经网络模型的时变推力器模型，该时变推力器模型是以小波函数为基底的新型神经网络模型，能够同时考虑到时变推力特性的时频局部化特征，并且能逼近时变推力的实际效果。
所采用的神经网络模型为单隐层的小波分析神经网络模型，如图6所示，其模型如下：
Figure BDA0002232767580000081
其中，
Figure BDA0002232767580000082
为神经网络模型输出；F为神经网络模型函数；ωij为小波函数的变换权重，i为为从1到n的数，j为从1到n的数；ψa,b为神经网络变量的小波函数；k为从1到p的数；ωjk为各输入信号权重；
Figure BDA0002232767580000083
为神经网络模型输入；
选择满足步骤S2的小波基函数如下：
其中，ψji为小波基函数；A和B分别为小波基函数的上下界。
定义时变推力的小波神经网络函数空间L2(R)：
L2(R)＝{x(t):∫R|x(t)|2dt<∞} (10)
其中，R为实数域；x(t)为模型输入信号。
在小波神经网络函数空间L2(R)，以x为基底的小波函数ψ(x)的选择满足如下约束条件：
Figure BDA0002232767580000085
式中，ψ(x)的傅里叶变换为ψ(ω)，ω为角频率；
Figure BDA0002232767580000086
为平均小波函数；神经网络变量的小波函数ψa,b(x)是通过ψ(x)进行平移伸缩变换得到，
Figure BDA0002232767580000087
其中，a和b分别为尺度伸缩因子和时间平移因子；
Figure BDA0002232767580000088
为以为底的小波函数。
进一步，得到单节点输出的均方误差：
Figure BDA0002232767580000091
其中，eMSE为均方根误差；m为为从1到n的数；ym为模型参数的输出值；dm为模型参数的初始值。
结合对以小波函数为基底的神经网络模型的时变推力器模型的先验知识设定模型参数的初始值，利用均方误差(13)作为判定标准，利用时变小波分析对时变电推力信号进行参数辨识。
最后，利用实验实际测量时变推力信号的大小和变化，与步骤S3中建立的时变推力器模型得到的推力进行比较，以验证建立的时变推力器模型的合理性，若两者推力相差100uN以上，则返回步骤S3重新构建时变推力器模型并进行参数辨识。
对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明创造构思的前提下，还可以对本发明的实施例做出若干变型和改进，这些都属于本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种基于小波分析的时变电推力器建模方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1：对时变电推力器的时变推力信号进行小波分析，将时变推力信号的小波定义为平均值为0的ψ(t)的函数：
其中，t为时间变量，
通过比例参数s变换，并通过时间参数u转换，得到时变推力信号的小波函数ψu,s(t)及其傅里叶变换
Figure FDA0002232767570000012
分别为：
Figure FDA0002232767570000013
Figure FDA0002232767570000014
其中，i为虚数单位；f为频率；为时不变推力信号的傅里叶变换；
Figure FDA0002232767570000016
表示以
Figure FDA0002232767570000017
为底的小波函数；
通过应用于时变推力的时间信号的小波函数来定义小波变换，得到方程如下：
其中，Wy(u,s)为时变推力信号的小波变换；y(t)为随时间变化的输入信号；
Figure FDA0002232767570000019
为随时间变化的小波函数；
Figure FDA00022327675700000110
为随频率变化的输入信号；
Figure FDA00022327675700000111
为随频率变化的小波函数；
ψu,s(t)以时间参数u为中心，其变换与比例参数s成正比；并且
Figure FDA00022327675700000112
以积分参数1/s为中心，其变换与1/s成正比；
S2：基于步骤S1中的时变推力信号的小波函数定义的带通滤波器的脉冲响应为：
Figure FDA00022327675700000113
其中，ψ(fct)为带通中心频率处的推力信号的小波函数；fc为带通中心频率；时变推力信号的等效带宽Be由下式定义：
Figure FDA0002232767570000021
其中，τ为滞后时间变量；ψ2(τ)为滞后时间变量τ的小波函数的平方；
从而得到单个频率的小波尺度为：
Figure FDA0002232767570000022
其中，Gyy(fc,t)为单个频率的小波尺度；Wy(fc,t)为单个频率处的推力信号的小波变换；
S3：基于步骤S1中的小波分析，采用神经网络模型，构建以小波函数为基底的神经网络模型的时变推力器模型，
所采用的神经网络模型为单隐层的小波分析神经网络模型，其模型如下：
Figure FDA0002232767570000023
其中，
Figure FDA0002232767570000024
为神经网络模型输出；F为神经网络模型函数；ωij为小波函数的变换权重，i为从1到n的数，j为从1到n的数；ψa,b为神经网络变量的小波函数；k为从1到p的数；ωjk为各输入信号权重；
Figure FDA0002232767570000025
为神经网络模型输入；
选择满足步骤S2的小波基函数如下：
Figure FDA0002232767570000026
其中，ψji为小波基函数；A和B分别为小波基函数的上下界；
定义时变推力的小波神经网络函数空间L2(R)：
L2(R)＝{x(t):∫R|x(t)|2dt<∞} (10)
其中，R为实数域；x(t)为模型输入信号；
在小波神经网络函数空间L2(R)，以模型输入信号x(t)为基底的小波函数ψ(x)的选择满足如下约束条件：
Figure FDA0002232767570000031
式中，ψ(x)的傅里叶变换为ψ(ω)，ω为角频率，
Figure FDA0002232767570000036
为平均小波函数，神经网络变量的小波函数ψa,b(x)是通过ψ(x)进行平移伸缩变换得到，
Figure FDA0002232767570000032
其中，a和b分别为尺度伸缩因子和时间平移因子；
Figure FDA0002232767570000033
为以
Figure FDA0002232767570000034
为底的小波函数。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，根据步骤S3得到单节点输出的均方误差：
Figure FDA0002232767570000035
其中，eMSE为均方根误差；m为为从1到n的数；ym为模型参数的输出值；dm为模型参数的初始值，
结合对以小波函数为基底的神经网络模型的时变推力器模型的先验知识设定模型参数的初始值，利用均方误差(13)作为判定标准，利用时变小波分析对时变电推力信号进行参数辨识。
3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，利用实验实际测量时变推力信号的大小和变化，与步骤S3中建立的时变推力器模型得到的推力进行比较，以验证建立的时变推力器模型的合理性，若两者推力相差100uN以上，则返回步骤S3重新构建时变推力器模型并进行参数辨识。
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