CN110673477A - 一种采用干扰差分抑制策略的离散时间幂次吸引控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

一种采用干扰差分抑制策略的离散时间幂次吸引控制器设计方法，给定模块产生参考信号；依据给定参考信号的具体形式，构造相应的干扰差分补偿反馈环节，其输出信号用于数字控制器中的干扰补偿；基于幂次吸引律构建理想误差动态，依据理想误差动态设计数字控制器，将当前的控制器计算获得的信号作为伺服对象的输入。具体的控制器参数整定可依据表征系统收敛性能的指标进行，提供了表征跟踪误差收敛过程的稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域和系统跟踪误差首次进入稳态误差带的最大收敛步数的具体表达式。本发明提供的幂次吸引控制器设计方法，根据给定参考信号，采用相应干扰差分补偿措施，通过抑制干扰提高伺服系统跟踪精度。

Description

一种采用干扰差分抑制策略的离散时间幂次吸引控制器设计 方法

技术领域

本发明涉及一种采用干扰差分抑制策略的离散时间幂次吸引控制器设计方法，该方法适用于位置伺服系统，也适用于其他含有周期运行过程的工业场合。

背景技术

吸引律方法有别于离散滑模控制的趋近律方法。两者的主要区别表现在：吸引律方法将跟踪误差取代切换函数、原点取代切换面；趋近律方法要求有限时间达到切换面，而吸引律方法要求有限时间达到原点；吸引律方法设计的闭环系统仍具有关于参数漂移和外部干扰的鲁棒性能，只是滑模控制注重滑模运动的不变性，而吸引律方法追求系统稳态的不变性。

吸引律方法直接采用跟踪误差信号，控制器设计更为直接、简洁。吸引律反映了不考虑扰动时期望的系统误差动态特性；在存在干扰的情形下，直接依据吸引律设计的控制器无法实现。可将干扰抑制措施“嵌入”吸引律，构建具有扰动抑制作用的理想误差动态。依据构造的理想误差动态方程设计数字控制器，闭环系统动态过程由理想误差动态所决定，且具有理想误差动态所表征的期望跟踪性能。

以吸引律方法设计离散控制器时，刻画跟踪误差瞬态和稳态行为的指标可由理想误差动态给出，具体有下述四个指标：稳态误差带、绝对吸引层、单调递减区域以及首次收敛到稳态误差带所需的最大步数。四个指标的具体取值依赖于控制器参数和等效干扰信号的界，控制器参数和等效干扰信号的界不同，四个指标的取值也不同。一旦给定理想误差动态形式，可预先给出四个指标的具体表达式，用于控制器参数整定。

发明内容

本发明提出一种采用干扰差分抑制策略的离散时间幂次吸引控制器设计方法。为使得闭环系统具有预先设定的期望误差跟踪性能，采用干扰差分抑制策略，将其嵌入到幂次吸引律中，构建具有扰动抑制能力的理想误差动态，从而设计出控制器，使得闭环系统具有理想误差动态所刻画的特性，以提高控制性能，使得电机伺服系统实现高速、高精度跟踪。本发明具体给出稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及首次收敛到稳态误差带所需的最大步数四个指标的具体表达式，皆可用于指导控制器参数整定。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：

一种采用干扰差分抑制策略的离散时间幂次吸引控制器设计方法，包括以下步骤：

步骤1.给定参考信号r_k为时间变量k的多项式，M表示该多项式的最高幂次，三种参考信号如下：

1)方波信号，M＝0

2)三角波信号，M＝1

3)S曲线，M＝3

其中，A为幅值，N为参考信号在一个周期中的采样次数；

步骤2.构造理想误差动态，给出幂次吸引律，

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε|e_k|^αsgn(e_k) (4)

其中，e_k＝r_k-y_k表示k时刻，e_k+1表示k+1时刻的跟踪误差，ρ、ε和分别表示吸引速度的常数，α为吸引指数，且相应的取值范围为：0＜ρ＜1，ε＞0，0＜α＜1。

将干扰抑制措施嵌入上述吸引律中，构造如下理想误差动态

其中，d_k+1为k+1时刻的等效干扰，

用于补偿等效干扰，为等效干扰补偿误差。

步骤3.干扰差分补偿策略

取等效干扰补偿作用为针对具体的参考信号定义等效干扰，其形式为

M＝0时的等效干扰信号

d_k+1＝w_k+1 (6)

M＝1时的等效干扰信号

d_k+1＝w_k+1-w_k (7)

M＝3时的等效干扰信号

d_k+1＝[(w_k+1-w_k)-(w_k-w_k-1)]-[(w_k-w_k-1)-(w_k-1-w_k-2)] (8)

其中，w_k+1为k+1时刻的干扰。

定义干扰差分步数为L，L表示干扰补偿误差包含L个相继时刻的干扰，如式(6)，两步干扰差分d_k+1-d_k＝w_k+1-w_k，包含w_k+1与w_k两个时刻干扰，为有效抑制干扰，在选择等效干扰时，应满足如下条件

其中，

为不小于·的最小整数；

步骤4.控制器设计

依据理想误差动态(5)和等效干扰信号d_k+1，给出如下控制器的表达式：

1)对于方波参考信号式

其中，F(q^-1)＝(q^-d+1B(q^-1)-b₁)。

2)对于三角波参考信号式

其中，

3)对于S曲线参考信号式

其中

式(10)至式(12)中，A(q^-1)、B(q^-1)为伺服系统

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k (13)

关于q^-1的参数多项式：

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+a₂q^-2+……+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₁q^-1+b₂q^-2+……+b_mq^-m

其中，u_k与y_k分别为伺服系统k时刻的输入及输出信号，d表示延迟因子，q^-1为一步延迟算子，m、n分别为A(q^-1)、B(q^-1)的阶数，b₁≠0，1≤m≤n。

进一步，所述方法还包括：

步骤5.性能分析

给出稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及跟踪误差首次进入稳态误差带所需最多步数四个指标的具体表达式，用于刻画系统跟踪性能及指导控制器参数整定，其中，稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及跟踪误差首次进入稳态误差带所需最多步数定义如下：

单调减区域Δ_MDR：当e_k大0于此边界时，e_k同号递减，即满足如下条件：

绝对吸引层Δ_AAL：当系统跟踪误差的绝对值|e_k|大于此界时,其|e_k|单调递减,即满足如条件：

稳态误差带Δ_SSE：当系统误差一旦收敛进入该边界，那么误差就会稳定在此区域内，即满足如下条件：

最大收敛步数

跟踪误差最多经过

步进入稳态误差带。

等效干扰补偿误差满足

时，各指标的表达式如下：

(1)单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (17)

其中，Δ_MDR1和Δ_MDR2均为实数,且由式(18)确定。

(2)绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (19)

其中，Δ_AAL1和Δ_AAL2均为实数,且由式(20)确定。

(3)稳态误差带Δ_SSE

Δ_SSE＝max{Δ_SSE1,Δ_SSE2} (21)

其中，Δ_SSE1和Δ_SSE2均为实数,且由式(22)确定。

针对于

各指标的表达式如下：

单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (23)

1)当

时

2)当时

3)当

时

其中

绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (30)

1)当

时

2)当时

3)当时

其中

稳态误差带Δ_SSE

1)当

或者Δ_AAL≥δ_SSE时

Δ_SSE＝Δ_AAL (37)

2)

时

其中δ_SSE是方程的正实根；

收敛步数

其中，e₀为跟踪误差初始值，表示不小于·的最小整数。

本发明技术构思为：提供一种采用干扰差分抑制策略的离散时间幂次吸引控制器设计方法。根据给定参考信号定义等效干扰，将干扰抑制措施嵌入幂次吸引律中，形成具有干扰抑制作用的理想误差动态。依据理想误差动态设计数字控制器，以实现对给定参考信号的精确跟踪。

本发明的有益效果主要表现在：根据给定参考信号，采用相应干扰差分补偿措施，通过抑制干扰提高跟踪精度。

附图说明

图1为伺服系统框图。

图2—图4为r_k＝10sin(2πfkT_s)deg，f＝1Hz，T_s＝0.005s，Δ＝0.3时，采用控制器式(33)的数值仿真结果，其中，图2是ρ＝0.3、ε＝0.1时的跟踪误差信号e_k；图3是ρ＝0.5、ε＝0.15时的跟踪误差信号e_k；图4是干扰误差补偿

图5—图7为参考信号r_k如式(1)，A＝20，ρ＝0.3、ε＝0.1时，采用控制器式(33)的数值仿真结果，其中，图5是参考信号r_k与输出信号y_k；图6是跟踪误差信号e_k；图7是干扰误差补偿

图8—图10为参考信号r_k如式(2)，A＝20，ρ＝0.3、ε＝0.1时，采用控制器式(33)的数值仿真，其中，图8是参考信号r_k与输出信号y_k；图9是跟踪误差信号e_k；图10是干扰误差补偿

图11—图13为参考信号r_k如式(2)，A＝20，ρ＝0.3、ε＝0.1时，采用控制器式(34)的数值仿真结果，其中，图11是参考信号r_k与输出信号y_k；图12是跟踪误差信号e_k；图13是干扰误差补偿

图14—图16为参考信号r_k如式(3)，A＝20，ρ＝0.3、ε＝0.1时，采用控制器式(33)的数值仿真结果，其中，图14是参考信号r_k与输出信号y_k；图15是跟踪误差信号e_k；图16是干扰误差补偿

图17—图19为参考信号r_k如式(3)，A＝20，ρ＝0.3、ε＝0.1时，采用控制器式(34)的数值仿真结果，其中，图17是参考信号r_k与输出信号y_k；图18是跟踪误差信号e_k；图19是干扰误差补偿

图20—图22为参考信号r_k如式(3)，A＝20，ρ＝0.3、ε＝0.1时，采用控制器式(35)的数值仿真结果，其中，图20是参考信号r_k与输出信号y_k；图21是跟踪误差信号e_k；图22是干扰误差补偿

图23—图25为参考信号r_k如式(1)，A＝15deg，T_s＝5ms，ρ＝0.6、ε＝0.3时，采用控制器式(33)的实验结果，其中，图23是参考信号r_k与输出信号y_k、图24是跟踪误差信号e_k、图25是跟踪误差信号e_k的直方图。

图26—图28为参考信号r_k如式(2)，A＝110deg，T_s＝5ms，ρ＝0.6、ε＝0.3时，采用控制器式(33)的实验结果，其中，图26是参考信号r_k与输出信号y_k、图27是跟踪误差信号e_k、图28是跟踪误差信号e_k的直方图。

图29—图31为参考信号r_k如式(2)，A＝110deg，T_s＝5ms，ρ＝0.6、ε＝0.3时，采用控制器式(34)的实验结果，其中，图29是参考信号r_k与输出信号y_k、图30是跟踪误差信号e_k、图31是跟踪误差信号e_k的直方图。

图32—图34为参考信号r_k如式(3)，A＝60deg，T_s＝5ms，ρ＝0.6、ε＝0.3时，采用控制器式(33)的实验结果，其中，图32是参考信号r_k与输出信号y_k、图33是跟踪误差信号e_k、图34是跟踪误差信号e_k的直方图。

图35—图37为参考信号r_k如式(3)，A＝60deg，T_s＝5ms，ρ＝0.6、ε＝0.3时，采用控制器式(34)的实验结果，其中，图35是参考信号r_k与输出信号y_k、图36是跟踪误差信号e_k、图37是跟踪误差信号e_k的直方图。

图38—图40为参考信号r_k如式(3)，A＝60deg，T_s＝5ms，ρ＝0.6、ε＝0.3时，采用控制器式(35)的实验结果，其中，图38是参考信号r_k与输出信号y_k、图39是跟踪误差信号e_k、图40是跟踪误差信号e_k的直方图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明具体实施方式做进一步描述。

参照图1，一种采用干扰差分抑制策略的离散时间控制器幂次吸引律设计方法，包括以下步骤：

参考信号r_k为时间变量k的多项式，M表示该多项式的最高幂次；三种参考信号如下：

1)方波信号，M＝0

2)三角波信号，M＝1

3)S曲线，M＝3

其中，A为幅值，N为参考信号在一个周期中的采样次数；

步骤2.构造理想误差动态

针对幂次吸引律

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε|e_k|^αsgn(e_k) (4)

其中，e_k＝r_k-y_k表示k时刻，e_k+1表示k+1时刻的跟踪误差，ρ、ε和分别表示吸引速度的常数，α为吸引指数，且相应的取值范围为：0＜ρ＜1，ε＞0；

将干扰抑制措施嵌入上述吸引律中，构造如下理想误差动态

其中，d_k+1为k+1时刻的等效干扰，

用于补偿等效干扰，

为等效干扰补偿误差；

步骤3.干扰差分补偿策略

取等效干扰补偿作用为

针对具体的参考信号定义等效干扰，其形式为

M＝0时的等效干扰信号

d_k+1＝w_k+1 (6)

M＝1时的等效干扰信号

d_k+1＝w_k+1-w_k (7)

M＝3时的等效干扰信号

d_k+1＝[(w_k+1-w_k)-(w_k-w_k-1)]-[(w_k-w_k-1)-(w_k-1-w_k-2)] (8)

其中，w_k+1为k+1时刻的干扰；

定义干扰差分步数为L，L表示干扰补偿误差包含L个相继时刻的干扰，如式(6)，两步干扰差分d_k+1-d_k＝w_k+1-w_k，包含w_k+1与w_k两个时刻干扰，为有效抑制干扰，在选择等效干扰时，应满足如下条件

其中，

为不小于·的最小整数；

步骤4.控制器设计

依据理想误差动态(5)和等效干扰信号d_k+1，给出如下控制器的表达式：

1)对于方波参考信号式

其中，F(q^-1)＝(q^-d+1B(q^-1)-b₁)。

2)对于三角波参考信号式

其中，

3)对于S曲线参考信号式

其中

式(10)至式(12)中，A(q^-1)、B(q^-1)为伺服系统

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k (13)

关于q^-1的参数多项式：

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+a₂q^-2+……+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₁q^-1+b₂q^-2+……+b_mq^-m

其中，u_k与y_k分别为伺服系统k时刻的输入及输出信号，d表示延迟因子，q^-1为一步延迟算子，m、n分别为A(q^-1)、B(q^-1)的阶数，b₁≠0，1≤m≤n。

进一步，所述方法还包括：

步骤5.性能分析

给出稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及跟踪误差首次进入稳态误差带所需最多步数四个指标的具体表达式，用于刻画系统跟踪性能及指导控制器参数整定，其中，稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及跟踪误差首次进入稳态误差带所需最多步数定义如下：

单调减区域Δ_MDR：当e_k大0于此边界时，e_k同号递减，即满足如下条件：

绝对吸引层Δ_AAL：当系统跟踪误差的绝对值|e_k|大于此界时,其|e_k|单调递减,即满足如条件：

稳态误差带Δ_SSE：当系统误差一旦收敛进入该边界，那么误差就会稳定在此区域内，即满足如下条件：

最大收敛步数

跟踪误差最多经过

步进入稳态误差带。

针对于

时，各指标的表达式如下：

单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (17)

1)当

时

2)当

时

3)当

时

其中

绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (24)

1)当

时

2)当

时

3)当

时

其中

稳态误差带Δ_SSE

1)当

或者Δ_AAL≥δ_SSE时

Δ_SSE＝Δ_AAL (30)

2)

时

其中δ_SSE是方程

的正实根。

收敛步数

其中，e₀为跟踪误差初始值，

表示不小于·的最小整数。

依据式(16)-(31)计算出各边界取值，以确定闭环系统的跟踪性能。

永磁同步电机装置执行位置精确跟踪任务，设计数字控制器用于位置环控制，其中电流环与速度环控制器由ELMO驱动器提供；位置环控制器由DSP开发板TMS320F2812提供。

通过最小二乘辨识方法，给出如下永磁同步伺服系统数学模型

y_k+1-1.8949y_k+0.8949y_k-1＝1.7908u_k-0.5704u_k-1+w_k+1

对于M＝0，由式(10)可得

对于M＝1，由式(11)可得

对于M＝3，由式(12)可得

通过数值仿真和实验结果验证本发明提供离散伺服系统中干扰差分补偿措施的有效性。

仿真分为两部分，第一部分验证三个边界值，第二部分验证干扰差分补偿措施的干扰抑制效果。

(1)给定参考信r_k＝10sin(2πfkT_s)deg，频率f＝1Hz，采样周期T_s＝5ms，干扰为w_k＝0.15|mod(k,20)-10|+0.15|mod(k+5,20)-10|。在控制器式(33)作用下，参数ρ和ε不同取值，系统的性能指标也会不同，见图2—图3。

(i)当控制器参数为Δ＝0.3，ρ＝0.3，ε＝0.1时(参见图2)，性能指标为

Δ_AAL＝Δ_SSE＝Δ_MDR＝0.7035

(ii)当控制器参数为Δ＝0.3，ρ＝0.5，ε＝0.15时(参见图3)，性能指标为

Δ_MDR＝0.8889，Δ_AAL＝Δ_SSE＝0.3823

通过仿真，结果表明稳态误差带Δ_SSE、绝对吸引层Δ_AAL和单调减区域Δ_MDR的准确性。

(2)参考信号分别为方波信号式(1)、三角波信号式(2)和S曲线式(3)，幅值A分别为20、20、20。为验证干扰差分步数L在满式(9)时，设计的控制器能够实现对相应参考信号的精确跟踪，扰动信号选为w_k＝0.1r_k，采样周期T_s＝5ms，控制器参数ρ＝0.3，ε＝0.1。

1)参考信号r_k为式(1)，采用控制器式(33)，仿真结果见图5—图7，图中，Δ_SSE＝0deg。

2)参考信号r_k为式(2)，采用控制器为式(33)，仿真结果见图8—图10，图中，Δ_SSE＝0.02deg。

3)参考信号r_k为式(2)，采用控制器为式(34)，仿真结果见图11—图13，图中，Δ_SSE＝0deg。

4)参考信号r_k为式(3)，采用控制器为式(33)，仿真结果见图14—图16，图中，Δ_SSE＝0.03deg。

5)参考信号r_k为式(3)，采用控制器为式(34)，仿真结果见图17—图19，图中，Δ_SSE＝0.002deg。

6)参考信号r_k为式(3)，采用控制器为式(35)，仿真结果见图20—图22，图中，Δ_SSE＝0deg。

通过仿真(2)，表明当M与L满足式(9)时，采用干扰差分补偿设计的控制器能够实现对给定参考信号的精确跟踪，当M与L不满足式(9)时，L越接近

跟踪效果越好，且控制过程无抖振。

在位置伺服装置上验证本发明提供的控制方法，图1为位置伺服系统框图。参考信号分别为方波信号式(1)、三角波信号式(2)和S曲线式(3)。分别采用控制器式(33)、式(34)和式(35)验证干扰差分补偿技术的效果。实验中采样周期T_s＝5ms，控制器参数ρ＝0.6，ε＝0.5，参考信号式(1)、式(2)和式(3)的幅值A分别为15deg、110deg和60deg。实验结果如下：

1)参考信号r_k如式(1)，采用控制器(33)，实验结果见图23—图25。系统跟踪误差为0.1deg。

2)参考信号r_k如式(2)，采用控制器(33)，实验结果见图26—图28。系统跟踪误差为0.05deg。

3)参考信号r_k如式(2)，采用控制器(34)，实验结果见图29—图31。系统跟踪误差为0.05deg。

4)参考信号r_k如式(3)，采用控制器(33)，实验结果见图32—图34。系统跟踪误差为0.2deg。

5)参考信号r_k如式(3)，采用控制器(34)，实验结果见图35—图37。系统跟踪误差为0.15deg。

6)参考信号r_k如式(3)，采用控制器(35)，实验结果见图38—图40。系统跟踪误差为0.1deg。

实验结果表明，当M与L满足式(9)时，采用干扰差分补偿设计的控制器能够实现对给定参考信号的精确跟踪，当M与L不满足式(9)时，L越接近

系统跟踪性能越好。

Claims (2)

1.一种采用干扰差分抑制策略的离散时间幂次吸引控制器设计方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1.给定参考信号r_k为时间变量k的多项式，M表示该多项式的最高幂次，三种参考信号如下：

1)方波信号，M＝0

2)三角波信号，M＝1

3)S曲线，M＝3

其中，A为幅值，N为参考信号在一个周期中的采样次数；

步骤2.构造理想误差动态

针对幂次吸引律

e_k+1＝(1-ρ)e_k-ε|e_k|^αsgn(e_k) (4)

其中，e_k＝r_k-y_k表示k时刻，e_k+1表示k+1时刻的跟踪误差，ρ、ε和分别表示吸引速度的常数，α为吸引指数，且相应的取值范围为：0＜ρ＜1，ε＞0；

将干扰抑制措施嵌入该吸引律，构造理想误差动态

其中，d_k+1为k+1时刻的等效干扰，

用于补偿等效干扰，

为等效干扰补偿误差；

步骤3.干扰差分补偿策略

取等效干扰补偿作用为

针对具体的参考信号定义等效干扰，其形式为

M＝0时的等效干扰信号

d_k+1＝w_k+1 (6)

M＝1时的等效干扰信号

d_k+1＝w_k+1-w_k (7)

M＝3时的等效干扰信号

d_k+1＝[(w_k+1-w_k)-(w_k-w_k-1)]-[(w_k-w_k-1)-(w_k-1-w_k-2)] (8)

其中，w_k+1为k+1时刻的干扰；

定义干扰差分步数为L，L表示干扰补偿误差包含L个相继时刻的干扰，如式(6)，两步干扰差分d_k+1-d_k＝w_k+1-w_k，包含w_k+1与w_k两个时刻干扰，为有效抑制干扰，在选择等效干扰时，应满足如下条件

其中，

为不小于·的最小整数；

步骤4.控制器设计

依据理想误差动态(5)和等效干扰信号d_k+1，给出如下控制器的表达式：

1)对于方波参考信号式(1)，

其中，F(q^-1)＝(q^-d+1B(q^-1)-b₁)；

2)对于三角波参考信号式(2)，

其中，

3)对于S曲线参考信号式(3)，

其中

式(10)至式(12)中，A(q^-1)、B(q^-1)为伺服系统

A(q^-1)y_k＝q^-dB(q^-1)u_k+w_k (13)

关于q^-1的参数多项式：

A(q^-1)＝1+a₁q^-1+a₂q^-2+……+a_nq^-n

B(q^-1)＝b₁q^-1+b₂q^-2+……+b_mq^-m

其中，u_k与y_k分别为伺服系统k时刻的输入及输出信号，d表示延迟因子，q^-1为一步延迟算子，m、n分别为A(q^-1)、B(q^-1)的阶数，b₁≠0，1≤m≤n。

2.如权利要求1所述的一种采用干扰差分抑制策略的离散时间幂次吸引控制器设计方法，其特征在于，所述方法还包括：

步骤5.性能分析

给出稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及跟踪误差首次进入稳态误差带所需最多步数四个指标的具体表达式，用于刻画系统跟踪性能及指导控制器参数整定，其中，稳态误差带、绝对吸引层、单调减区域以及跟踪误差首次进入稳态误差带所需最多步数定义如下：

1)稳态误差带Δ_SSE

2)绝对吸引层Δ_AAL

3)单调减区域Δ_MDR

4)最大收敛步数跟踪误差最多经过

步进入稳态误差带；

等效干扰补偿误差满足时，针对于

时，各指标的表达式如下：

单调减区域Δ_MDR

Δ_MDR＝max{Δ_MDR1,Δ_MDR2} (14)

1)当时

2)当

时

3)当

时

其中

2)绝对吸引层Δ_AAL

Δ_AAL＝max{Δ_AAL1,Δ_AAL2} (21)

1)当时

2)当

时

3)当

时

其中

3)稳态误差带Δ_SSE

1)当

或者Δ_AAL≥δ_SSE时

Δ_SSE＝Δ_AAL (28)

2)

时

其中δ_SSE是方程

的正实根；

收敛步数

其中，e₀为跟踪误差初始值，

表示不小于·的最小整数。

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