CN110660453A - 基于指数时间差分格式求解速率理论方程的并行计算方法 - Google Patents

基于指数时间差分格式求解速率理论方程的并行计算方法 Download PDF

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Abstract

本说明书实施例提供了一种基于指数时间差分格式求解速率理论方程的并行计算方法，基于速率理论建立物理微观缺陷模拟模型，速率理论没有时空尺度限制，因此在模拟高的损伤剂量条件下的微观结构演化时，能够明显体现出速率理论的优势，然后使用指数时间差分格式对于主方程进行求解，求解的结果精确性更好，精度更高。

Description

基于指数时间差分格式求解速率理论方程的并行计算方法
技术领域
本发明涉及计算机物理模拟，尤其涉及基于指数时间差分格式求解速率理论方程的并行计算方法。
背景技术
指数时间差分格式保留了指数积分运算，对目标方程的积分因子项和非线性项在时间上的积分的不同处理方式。指数时间差分法对于方程中的非线性项使用多项式插值来近似，然后对生成的新的积分项进行精确积分。
反应速率理论是基于平均场的介观尺度模拟，不能展开原子尺度模拟，但是需要原子尺度模拟提供相应的参数。在低时空尺度，速率理论忽略了空间相关性，难以精确模拟，因此需要MD/KMC为速率理论提供原子尺度的模拟结果。速率理论不仅涉及成核，长大和粗化也可以涉及。一般分子动力学和KMC方法都有时空尺度的限制。但是速率理论没有时空尺度限制，因此在模拟高的损伤剂量条件下的微观结构演化时，能够明显体现出速率理论的优势，而且能够涉及多个尺度。因此，反应速率理论具有计算速度快、模拟损伤剂量高且无时空尺寸限制等优点，可快速预测缺陷尺寸分布以及数密度，能与实验结果进行对比，因此在辐照诱导微观结构演化研究中得到了广泛的应用，如材料辐照肿胀模拟、辐照生长计算、团簇析出研究等。
对于速率理论的主方程，传统的解法采用Fokker－Plank方法，对于主方程进行划分，一部分直接对主方程进行求解，另一部分通过泰勒展开，转变为Fokker－Plank方程进行求解，但是这种方法也存在精确性不够的问题。
发明内容
本发明针对现有技术的不足，提出一种基于指数时间差分格式求解速率理论方程的并行计算方法，基于速率理论建立物理缺陷模型，采用指数时间差分格式对物质演化模型的方程进行求解，求解的结果精确性更好，精度更高。本发明的方法可以有效解决现有物质演化相场模型计算存在的上述问题。
本发明为解决上述技术问题采用的技术方案为，一种求解速率理论方程的并行计算方法，包括：
建立物质缺陷速率理论模型，所述物质缺陷速率理论模型包括：点缺陷浓度方程，双缺陷团簇浓度方程，以及缺陷团簇浓度方程；
对所述点缺陷浓度方程，所述双缺陷团簇浓度方程，所述缺陷团簇浓度方程进行求解，其步骤包括：将所述点缺陷浓度方程、双缺陷团簇浓度方程和缺陷团簇浓度方程中以矩阵形式存在的变量中的线性项和非线性项进行分解，对所述线性项和非线性项使用指数时间差分格式求解，得到指数时间差分格式的迭代式，所述指数时间差分格式的迭代式进行迭代，直到迭代的累计时间达到模拟时间，得到将所述点缺陷浓度方程、双缺陷团簇浓度方程、缺陷团簇浓度方程的解。
优选地，所述点缺陷浓度方程、双缺陷团簇浓度方程和缺陷团簇浓度方程的数学表达为：
Figure BDA0002226647770000032
Figure BDA0002226647770000034
Figure BDA0002226647770000035
Figure BDA0002226647770000036
其中，公式(1)和公式(2)为点缺陷浓度方程，公式(3)和公式(4) 为双缺陷团簇浓度方程，公式(5)和公式(6)为缺陷团簇浓度方程，
其中，K中包含位错/晶界对间隙和空位的影响，其公式为，
Figure BDA0002226647770000041
其中，C为不同尺寸缺陷的数密度，R为缺陷复合率，Di和Dv为不同类型缺陷的扩散系数，
Figure BDA0002226647770000042
和
Figure BDA0002226647770000043
为与ρ相关的常量，ρ为位错密度，G为缺陷项，在实现时，为了保证单位的统一，对于G进行了单位统一的处理，α和β分别代表了n个空位或间隙原子吸收或释放一个空位或间隙原子的吸收率和释放率。
优选地，所述指数时间差分格式的迭代式为：
Figure BDA0002226647770000044
其中L为分解出来的线性项，FC为非线性项和分解剩下的线性项，Δt为每个迭代步模拟的时间长度，此时的C为所述速率理论方程组的最终解，包含了不同尺度的空位原子和间隙原子的数密度。
以上本发明所采用的技术方案与现有技术相比，具有以下技术优点：
1)指数时间差分格式则是对于速率理论方程直接进行求解，求解的结果准确度较高、稳定性较好。
2)对于建立的速率模型的求解会更加快速。
3)方便使用计算机进行并行计算，显著提高了大规模方程组的求解速度。
附图说明
通过结合附图描述本说明书实施例，可以使得本说明书实施例更加清楚：
图1是本发明提供的一种基于指数时间差分格式求解速率理论方程的并行计算方法的计算部分的流程图
具体实施方式
下面将结合附图对本发明技术方案的实施例进行详细地描述。
需要注意的是，除非另有说明，本申请使用的技术术语或者科学术语应当为本发明所属领域技术人员所理解的通常意义。
本发明提供的求解速率理论方程的并行计算方法，包含以下两个部分：
第一部分，建立物质缺陷速率理论模型，确定需要求解的方程组。
本发明采用速率理论建立模型，是因为速率理论具有计算速度快、模拟损伤剂量高且无时空尺寸限制等优点，可快速预测物质微观缺陷尺寸分布以及数密度。具体的讲，速率理论基于平均场的介观尺度模拟，本身不需要原子尺度模拟，只需要根据原子尺度模拟提供的部分参数。由于一般分子动力学和KMC方法都有时空尺度的限制，而速率理论没有时空尺度限制，因此在模拟高的损伤剂量条件下的微观结构演化时，能够明显体现出速率理论的优势。
在一个实施例中，所述物质缺陷速率理论模型包括点缺陷浓度方程，双缺陷团簇浓度方程和缺陷团簇浓度方程，方程的解C为不同尺寸缺陷的数密度。
公式(1)、(2)为点缺陷浓度方程：
Figure BDA0002226647770000061
其中，公式(1)为间隙缺陷公式，第一项为缺陷产生项，第二项为缺陷复合项，第三项表示缺陷尾闾项，第四项表示单个间隙原子(SIA)吸收 (SIA)所引起的(SIA)浓度降低，第五项为两间隙释放间隙，第六项表示单个间隙原子(SIA)吸收(VAC)所引起的(VAC)浓度降低，第七项表示多个间隙对间隙的吸收，第八项表示(nSIA)释放(SIA)引起的(SIA) 浓度上升，第九项对应多个空位对间隙的吸收。公式(2)为空位缺陷公式，其中各项对应关系和公式(1)一致，只是将空位代替间隙，这里不再赘述。
其中，K中包含位错/晶界对间隙和空位的影响。对于间隙的方程，不考虑
Figure BDA0002226647770000062
的原因在于材料中间隙原子
Figure BDA0002226647770000063
的热平衡浓度远低于空位的热平衡浓度同时位错等sink strength很难释放间隙原子，因此只考虑
Figure BDA0002226647770000065
K的数学公式为：
Figure BDA0002226647770000066
Figure BDA0002226647770000067
公式中的K由三项组成，包含了位错环，位错，晶界的sink strength。Di和Dv为不同类型缺陷的扩散系数，
Figure BDA0002226647770000071
和
Figure BDA0002226647770000072
为与ρ相关的常量，ρ为位错密度。
公式(3)、(4)为双缺陷浓度方程，公式(3)为间隙缺陷公式，公式(4)空位缺陷公式：
Figure BDA0002226647770000073
Figure BDA0002226647770000074
由于只有在双缺陷中一个点缺陷可动，即可以发散或吸收，所以双缺陷浓度方程只包含6项，分别是一个间隙，两个间隙，三个间隙，一个空位，两个空位，三个空位的情况，这里的处理所用的为本领域的常用知识，这里不再赘述。
公式(5)、(6)为缺陷团簇浓度方程，公式(5)为间隙缺陷公式，公式(6)空位缺陷公式：
Figure BDA0002226647770000075
其中，G为缺陷项，在实现时，为了保证单位的统一，对于G进行了单位统一的处理，其中α和β分别代表了n个空位或间隙原子吸收或释放一个空位或间隙原子的吸收率和释放率。
进一步说明，公式(1)和公式(2)表示的具有1个点缺陷的方程，公式(3)和公式(4)表示的是具有2个点缺陷的方程，公式(5)和公式(6) 则是表示具有3个以上点缺陷，即3到n个点缺陷的方程均由它们表示。
第二部分，对已建立的物质缺陷速率理论模型方程进行求解。
1)将所要求解的方城分解成线性项与非线性项。
本发明进行所述分解的思路为，上述方程中的变量均以矩阵形式保存，且在上述式子内，包含了很多线性项与非线性项，为了能够更好的利用指数时间差分格式求解上述方程，将待求解的方程组中的项划分为合适的形式。所述合适的形式为，尽可能使线性项在系数矩阵对角线附近分布，对于距离对角线太远的项，不放在系数矩阵中，而是与非线性项一起放在别的矩阵中。
2)将从1)中得到的线性项和非线性项采用指数时间差分格式进行求解，得到偏微分方程组的解。
在一个实施例中，使用指数时间差分格式求解得到的迭代式如下，然后利用该迭代式进行计算，可以得到方程的最终解：
Figure BDA0002226647770000081
其中L为分解出来的线性项，FC为非线性项和分解剩下的线性项，Δt为每个迭代步模拟的时间长度。在求解时采用预估校正算法进行处理，使用迭代式迭代，直至Δt的累加结果到达需要模拟的时长。此时的得到的C为方程组的最终解，包含了不同尺度的空位原子和间隙原子的数密度。
在另一个实施例中，对于迭代式产生的推导过程如下。
这里以下述方程为例，其他方程推导过程类似：
为了便于叙述，这里将方程进行变形，同时将其中的变量使用另外的变量进行替换，
其中
Figure BDA0002226647770000084
对上式的求解等价于求解下面的方程
Figure BDA0002226647770000091
对上式从tn到tn+1积分可以得到
Figure BDA0002226647770000092
其中，tn+1＝tn+h,即h＝Δt，令t＝tn+τ，上式即可变形为
Figure BDA0002226647770000093
对于积分部分进行数值逼近，即可得到后边积分部分的数值格式，从而得到指数时间差分格式的迭代式。
C2i(tn+1)＝C2i(tn)·eLh+L-1(eLh-I)·Fc
对于每个方程都进行这样的求解操作，之后将所有的式子放在矩阵中，即可得到最终的迭代式：
Figure BDA0002226647770000094
在又一个实施例中，在迭代中使用预估校正法：
使用上述的迭代式求得的一个初步的近似值，这个值被称为预测值，此时预测的精度可能很差，所以再使用一次迭代式，对其进行一次矫正，得到校正值
此外，在求解过程中，每个变量都是以矩阵的形式保存的，这样的形式对于并行处理非常有利。在一个实施例中，在使用计算机进行并行处理中，每个处理单元可以同时并行处理各自的数据，只有在需要其他单元的数据时需要进行通信。观察需要求解的方程组可以看到，每个求解单元总是需要与相邻的两个计算单元进行数据交换。在另一个实施例中，在计算机求解点缺陷浓度方程的过程中，需要将累积求和的值广播到各个计算单元中。
图1是本发明提供的一种基于指数时间差分格式求解速率理论方程的并行计算方法的计算部分的流程图，步骤如下：
步骤S101，获得物质缺陷速率理论模型，所述模型包括点缺陷浓度方程、双缺陷团簇浓度方程和缺陷团簇浓度方程。
步骤S103，对所述速率理论方程组进行分解，得到线性项和非线性项，以便使用指数时间差分格式求解。
步骤S105，对分解后的速率理论方程组采用指数时间差分格式求解，获得一个统一求解迭代步。
步骤S107，对模拟的时间进行判断，如果没有达到，使用求解迭代步继续计算下一时间，即下一迭代的方程解，并且模拟的时间前进一个迭代。
如果达到模拟的时间，进入下一步。
步骤S109，给出由上述过程得到的模型计算的解，结束计算。其中包含了不同尺度的空位原子和间隙原子的数密度，该值为本模型求解的目的。
从以上实施例可以看出，本发明公开的一种基于指数时间差分格式求解速率理论方程的并行计算方法，具有如下优点：使用速率理论模型没有时空尺度限制，在模拟高的损伤剂量条件下的微观结构演化时，能够涉及多个尺度，快速预测缺陷尺寸分布以及数密度；指数时间差分格式则是对于速率理论方程直接进行求解，求解的结果准确度较高、稳定性较好；对于建立的速率模型的求解会更加快速；方便使用计算机进行并行计算，显著提高了大规模方程组的求解速度。
本说明书中的各个实施例均采用递进的方式描述，各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处。尤其，对于系统实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述的比较简单，相关之处参见方法实施例的部分说明即可。
上述对本说明书特定实施例进行了描述。其它实施例在所附权利要求书的范围内。在一些情况下，在权利要求书中记载的动作或步骤可以按照不同于实施例中的顺序来执行并且仍然可以实现期望的结果。另外，在附图中描绘的过程不一定要求示出的特定顺序或者连续顺序才能实现期望的结果。在某些实施方式中，多任务处理和并行处理也是可以的或者可能是有利的。
本领域普通技术人员应该还可以进一步意识到，结合本文中所公开的实施例描述的各示例的单元及算法步骤，能够以电子硬件、计算机软件或者二者的结合来实现，为了清楚地说明硬件和软件的可互换性，在上述说明中已经按照功能一般性地描述了各示例的组成及步骤。这些功能究竟以硬件还是软件方式来执轨道，取决于技术方案的特定应用和设计约束条件。本领域普通技术人员可以对每个特定的应用来使用不同方法来实现所描述的功能，但是这种实现不应认为超出本申请的范围。
结合本文中所公开的实施例描述的方法或算法的步骤可以用硬件、处理器执轨道的软件模块，或者二者的结合来实施。软件模块可以置于随机存储器(RAM)、内存、只读存储器(ROM)、电可编程ROM、电可擦除可编程ROM、寄存器、硬盘、可移动磁盘、CD－ROM、或技术领域内所公知的任意其它形式的存储介质中。
以上所述的具体实施方式，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施方式而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种求解速率理论方程的并行计算方法，包括：
建立物质缺陷速率理论模型，所述物质缺陷速率理论模型包括：点缺陷浓度方程，双缺陷团簇浓度方程，以及缺陷团簇浓度方程；所述物质缺陷速率理论模型包含高阶空间导数，以及非线性项；
对所述点缺陷浓度方程，所述双缺陷团簇浓度方程，所述缺陷团簇浓度方程进行求解，其步骤包括：将所述点缺陷浓度方程、双缺陷团簇浓度方程和缺陷团簇浓度方程中以矩阵形式存在的变量中的线性项和非线性项进行分解，对所述线性项和非线性项使用指数时间差分格式求解，在所述求解过程中，使用所述指数时间差分格式精确求解高阶空间导数，以及处理非线性项，得到指数时间差分格式的迭代式，所述指数时间差分格式的迭代式进行迭代，直到迭代的累计时间达到模拟时间，得到将所述点缺陷浓度方程、双缺陷团簇浓度方程、缺陷团簇浓度方程的解。
2.根据权利要求1所述的求解速率理论方程的并行计算方法，其特征在于，所述点缺陷浓度方程、双缺陷团簇浓度方程和缺陷团簇浓度方程的数学表达为：
Figure FDA0002226647760000011
Figure FDA0002226647760000012
Figure FDA0002226647760000013
Figure FDA0002226647760000014
Figure FDA0002226647760000023
其中，公式(1)和公式(2)为点缺陷浓度方程，公式(3)和公式(4)为双缺陷团簇浓度方程，公式(5)和公式(6)为缺陷团簇浓度方程，
其中，K中包含位错/晶界对间隙和空位的影响，其公式为，
Figure FDA0002226647760000024
Figure FDA0002226647760000025
其中，C为不同尺寸缺陷的数密度，R为缺陷复合率，Di和Dv为不同类型缺陷的扩散系数，和
Figure FDA0002226647760000027
为与ρ相关的常量，ρ为位错密度，G为缺陷项，在实现时，为了保证单位的统一，对于G进行了单位统一的处理，α和β分别代表了n个空位或间隙原子吸收或释放一个空位或间隙原子的吸收率和释放率。
3.根据权利要求1和2所述的求解速率理论方程的并行计算方法，其特征在于，所述指数时间差分格式的迭代式为：
其中L为分解出来的线性项，FC为非线性项和分解剩下的线性项，Δt为每个迭代步模拟的时间长度，此时的C为所述速率理论方程组的最终解，包含了不同尺度的空位原子和间隙原子的数密度。
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