CN110531625A - 有源电子梯形电路的有限频率范围迭代学习容错控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种有源电子梯形电路的有限频率范围迭代学习容错控制方法，涉及迭代学习控制领域，该方法基于提升技术将重复运行的多维有源电子梯形电路系统转换为二维等效系统，然后设计基于输出信息的迭代学习容错控制律将被控系统转化为线性重复过程，基于重复过程理论对系统的频域稳定性能进行分析并将控制律设计问题转换成相应的线性矩阵不等式求解问题，同时保证输出跟踪误差在时域和频域范围内的收敛性；该方法可以解决有源电子梯形电路的控制问题，不仅考虑了时间和批次维度的系统特性，而且能直接应用于更为复杂的有源电子梯形电路，同时考虑了电路的时滞与执行器故障问题，具有较好的控制精度和容错性能。

Description

有源电子梯形电路的有限频率范围迭代学习容错控制方法

技术领域

本发明涉及迭代学习控制领域，尤其是一种有源电子梯形电路的有限频率范围迭代学习容错控制方法。

背景技术

有源电子梯形电路是一种由子电路按照一定方式互相联接而成的电路系统。该电路系统由相同的子电路通过纵向和横向电阻或电抗联接而成。虽然单个子电路在结构上非常简单，但是子电路直接与其相邻的单元交互，所形成的有源电子梯形电路可以呈现丰富和复杂的行为。如图1为有源电子梯形电路的单个节点的电路示意图，每个节点的前半部分为电压时滞电路D_p，后半部分为梯形电路S_p，p表示节点参数且0≤p≤α-1，α是有源电子梯形电路中的节点的总个数；图2为多个子电路连接的有源电子梯形电路的电路示意图。这类梯形电路目前应用于分析LED光路，这种光路包含一系列发光元件，用于产生特定的视觉图像。同时有源电子梯形电路在对电能传输链和导热材料的研究中也有一定的应用，在电能传输链中可用于分析系统整体的能量消耗情况；在导热材料的温度传递与分布研究中，有源电子梯形电路呈现着相似的特性。

在实际环境中，有源电子梯形电路一般在具有重复周期特性的环境中运行。电路不仅在节点和时间维度上有状态信号变化，而且在运行周期维度上也存在信号的动态变化。因此，有源电子梯形电路本质上为一类多维系统。同时，梯形电路重复运行于具有周期性的复杂环境中，电路执行器的重复性操作相应地增加了故障发生和不确定性产生的可能性。此外，子电路之间以特定的方式相互连接，可能导致子电路之间时滞的产生。针对上述梯形电路的运行特点，通常需要利用智能控制方法来解决有源电子梯形电路的控制问题，主要的智能控制方法有：专家控制，模糊控制和神经网络控制等。专家控制的主体由知识库和推理机构组成，涉及到知识库的自动更新与规则自动生成。因此专家控制在实时性和信息的并行处理方面有很大的局限性。模糊控制具有较强的鲁棒性能和容错性能，但是由于其模糊的特性会导致系统的控制精度和动态品质的降低。神经网络控制具有较强的自适应能力，但是其必须要有已知的具体工程应用数据样本，同时还需要足够长的时间来进行在线或离线学习训练，因此其收敛速度缓慢。

发明内容

本发明人针对上述问题及技术需求，提出了一种有源电子梯形电路的有限频率范围迭代学习容错控制方法，本发明的技术方案如下：

一种有源电子梯形电路的有限频率范围迭代学习容错控制方法，包括如下步骤：

第一步，建立执行器故障时滞有源电子梯形电路的状态空间方程。

第二步，对有源电子梯形电路的状态空间方程进行转换为等效二维系统。

第三步，确定有源电子梯形电路的期望输出并根据重复过程理论设计执行器故障时滞有源电子梯形电路的迭代学习容错控制算法。

第四步，分析有限频率范围内迭代学习容错控制算法的收敛性。

第五步，迭代学习容错控制算法的迭代学习控制律求解。

第六步，根据得到的迭代学习控制律确定执行器故障时滞有源电子梯形电路的每一次迭代学习的输入矢量，将确定得到的输入矢量输入执行器故障时滞有源电子梯形电路进行电路控制使其追踪所述期望输出。

本发明的有益技术效果是：

本申请基于迭代学习解决一类具有执行器故障和时滞的多节点有源电子梯形电路的控制问题，该方法基于提升技术将重复运行的多维有源电子梯形电路系统转换为二维等效系统，然后设计基于输出信息的迭代学习容错控制律将被控系统转化为线性重复过程，基于重复过程理论对系统的频域稳定性能进行分析并将控制律设计问题转换成以相应的线性矩阵不等式求解问题，同时保证输出跟踪误差在时域和频域范围内的收敛性。迭代学习控制对于执行器故障较为敏感且算法自身具有较强的鲁棒性能和容错性能，将迭代学习控制算法用于执行器故障时滞有源电子梯形电路来设计容错控制律，同时可将迭代学习控制算法简单、控制精度高的优点运用于有源电子梯形电路。

此外，迭代学习控制律的设计通常需要使得系统误差在全频域范围内收敛，但是梯形电路往往工作于特定的频率范围之内，并且参考信号可能仅在某些频率范围内具有足够的信息，因此本申请在有限频率范围内设计迭代学习容错控制律，不仅考虑了时间和批次维度的系统特性，而且能直接应用于更为复杂且具有额外节点维度的有源电子梯形电路，同时考虑了电路的时滞与执行器故障问题，具有较好的控制精度和容错性能，并且算法结构简单，易于工程实现。

附图说明

图1是有源电子梯形电路的单个节点的电路结构图。

图2是具有相同节点的有源电子梯形电路的电路图。

图3是本申请的有限频率范围迭代学习容错控制方法的流程示意图。

图4是有源电子梯形电路不同节点的二维输出参考轨迹。

图5是有源电子梯形电路系统不同节点的输出参考轨迹频谱。

图6是有源电子梯形电路系统每个节点的三维输出参考轨迹。

图7是有源电子梯形电路系统第18个节点的输出变化曲面。

图8是有源电子梯形电路系统第18个节点的输入变化曲面。

图9是有源电子梯形电路系统第18个节点的误差变化曲面。

图10是有源电子梯形电路系统故障节点的均方根误差变化效果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

本申请公开了一种有源电子梯形电路的有限频率范围迭代学习容错控制方法，包括如下步骤，请参考图3所示的流程图：

第一步，建立执行器故障时滞有源电子梯形电路的状态空间方程。

有源电子梯形电路的电路结构可以参考图1和2，有源电子梯形电路作为电路系统包括若干个依次连接的节点，该若干个节点依次连接构成串联电路，其连接有电压源U(t)和电流源i(t)。每个节点的电路结构都相同，第p个节点的电路结构如图1所示，p表示节点参数且0≤p≤α-1，α是所述有源电子梯形电路中的节点的总个数、是一个已知的正整数。每个节点包括依次连接的电压时滞电路D_p和梯形电路S_p。第p个节点中的电压时滞电路D_p包括两个电阻R_t、电阻R_w、电容C₁和放大器V。第p个节点中的梯形电路S_p包括电感L、电阻R₁、内部受控电压源E_k(p,t)、电阻R₂、内部受控电流源i_k(p,t)以及电容C。第p个节点的电流输入端处的电流值为电压输入端处的电压值为电流输出端处的电流值为电压输出端处的电压值为第p个节点中的电压时滞电路D_p会产生一定的时滞d_p，且满足其中表示时滞的上确界，是一个已知常数。在第p个节点中，电压时滞电路D_p的电流输出端的电流值即为梯形电路S_p的电流输入端的电流值，与该节点的电流输入端处的电流值相同为电压时滞电路D_p的电压输出端的电压值即为梯形电路S_p的电压输入端的电压值，是节点的电压输入端处的电压值通过电压时滞电路D_p后产生时滞后的信号，记为

根据基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律得到如下方程：

其中，k表示迭代批次，有源电子梯形电路工作于t∈[0,T]的重复时间周期内，T为参数。

令第p个节点的状态信号为令第p个节点的输入信号为则根据公式(1)得到如下有源电子梯形电路形式：

对于第p个节点的正常的输入信号u_k(p,t)(p＝0,...,α-1)，故障模型可以表示为如下形式：

u_k ^F(p,t)＝β_pu_k(p,t),p＝0,...,α-1；

其中，β_p为第p个节点执行器的故障系数，且满足β_p为未知标量，β _p为故障系数的下确界，为故障系数的上确界且β _p和均为已知的确定常数。同时定义：

则故障系数重构为：

β_p＝(1+Γ_p)ξ_p；

其中，ξ_p为第p个节点执行器的效率因子，Γ_p为第p个节点由故障引起的执行器中不确定性部分，Γ_p为未知标量且满足|Γ_p|≤λ_p≤1。

不同故障类型对应的参数取值如下表所示：

表1故障类型参数表

因此，不确定性的执行器故障多时滞空间互联系统可以转换为如下形式：

其中

针对该电路系统，当减少受控源时有利于系统的稳定，因此假设：

其中γ为反馈参数，从而将电源受控源作为内部反馈，把每个电路节点变换成只有一个受控源的形式。并且取系统自身状态作为输出信号，则可得到有源电子梯形电路的如下状态空间方程：

其中， x_k(p,t)∈Rⁿ表示第p个节点的状态信号，u_k(p,t)∈R^m表示第p个节点的输入信号，y_k(p,t)∈R^l表示第p个节点的输出信号。不失一般性，假设该电路系统满足如下边界条件：

其中，U(t)表示有源电子梯形电路连接的电压源，i(t)表示有源电子梯形电路连接的电流源，d₀为第0个节点中的电压时滞电路产生的时滞。

第二步，对有源电子梯形电路的状态空间方程进行转换。

对于原有源电子梯形电路的状态空间方程(2)，利用提升技术，定义有源电子梯形电路的输入矢量U_k(t)、输出矢量Y_k(t)和状态矢量X_k(t)，输入矢量U_k(t)根据各个节点的输入信号u_k(p,t)确定得到，输出矢量Y_k(t)根据各个节点的输出信号y_k(p,t)确定得到，状态矢量X_k(t)根据各个节点的状态信号x_k(p,t)确定得到，其形式为：

U_k(t)＝[u_k(0,t)^T,u_k(1,t)^T,…,u_k(α-1,t)^T]^T

Y_k(t)＝[y_k(0,t)^T,y_k(1,t)^T,…,y_k(α-1,t)^T]^T

X_k(t)＝[x_k(0,t)^T,x_k(1,t)^T,…,x_k(α-1,t)^T]^T

则有：

X_k(t-d₁)＝[x_k(0,t-d₁)^T,x_k(1,t-d₁)^T,…,x_k(α-1,t-d₁)^T]^T

X_k(t-d_p)＝[x_k(0,t-d_p)^T,x_k(1,t-d_p)^T,…,x_k(α-1,t-d_p)^T]^T

X_k(t-d_α-1)＝[x_k(0,t-d_α-1)^T,x_k(1,t-d_α-1)^T,…,x_k(α-1,t-d_α-1)^T]^T

因此将原执行器故障时滞有源电子梯形电路的状态空间方程(2)转换为如下等效二维系统：

其中，

β＝(I+Γ)ξ,β＝diag{β₀,β₁,...,β_α-1},Γ＝diag{Γ₀,Γ₁,...,Γ_α-1},ξ＝diag{ξ₀,ξ₁,...,ξ_α-1}，且满足|Γ|≤λ≤1。

第三步，确定有源电子梯形电路的期望输出并根据重复过程理论设计有源电子梯形电路的迭代学习容错控制算法。

确定有源电子梯形电路的期望输出Y_r(t)，并定义有源电子梯形电路的输出误差e_k(t)为：

e_k(t)＝Y_r(t)-Y_k(t)

针对有源电子梯形电路的等效二维系统公式(3)设计有源电子梯形电路的迭代学习控制律的表达式为：

U_k(t)＝U_k-1(t)+R_k(t) (4)

其中，U_k(t)是当前迭代批次的输入矢量，U_k-1(t)是前一个迭代批次的输入矢量，R_k(t)是控制系统周期更新的修正量。为便于分析，定义中间变量δ_k(t)、μ_k(t)为：

将公式(4)的迭代学习更新律定义为如下形式：

其中， 和分别对应节点的矩阵增益。公式(5)仅用于表示迭代学习控制律的增益K₁和K₂的形式而不表示其具体内容，也即用于构成系统矩阵K₁和K₂的矩阵和需要根据实际情况确定。

将上述迭代学习更新律(5)与等效二维系统(3)结合，便可以得到有源电子梯形电路的重复过程模型为如下形式：

其中，

第四步，分析有限频率范围内迭代学习容错控制算法的收敛性。

对重复过程模型(6)使用拉氏变换，将e_k-1(t)作为输入向量，e_k(t)作为输出向量，则得到：

E_k(s)＝G(s)E_k-1(s) (8)

其中，E_k(s)为输出向量e_k(t)的拉氏变换形式，G(s)为对应的传递函数，则在有限频率范围内有传递函数：

由范数的性质得：

因此当存在：

公式(10)成立时，系统的输出误差e_k(t)沿迭代批次方向关于l₂范数收敛，其中，Ω表示有限频率范围。

根据广义KYP引理，取频率响应不等式中的矩阵则可得式(10)成立。同时将有源电子梯形电路的重复过程模型(6)的系数矩阵式(7)代入广义KYP引理的线性矩阵不等式中，则线性矩阵不等式可以改写为：

其中，

根据Schur补引理，公式(11)写为：

同时取：

则公式(11)还改写为：

根据公式(13)得：同时取则得到Σ＝[0 I 0 0]，则可得：

根据广义KYP引理可得低、中频范围内N₁₁<0，由公式(12)可得因此可得

根据投射引理可得如下公式(14)成立：

不失一般性，取W为可逆矩阵，对式(14)使用Schur补引理便可以得到以下结论：

对于重复过程模型(6)，当存在对称矩阵P>0，Q>0，X_m>0，Z_m>0和可逆矩阵W，使得下列线性矩阵不等式(15)成立时，等效二维系统(3)在迭代学习控制律(4)的作用下，输出误差在低、中频段范围内沿时间和迭代批次方向单调收敛：

在广义KYP引理中，N矩阵的N₁₁元素在低、中频范围内和高频范围内矩阵的各项取值不同，在低、中频段范围内为但在高频段范围内显然无法保证式(15)负定。因此引入标量a>0，并取矩阵：Σ＝[aI I0 0]， 则可以得到以下结论：

对于重复过程模型(6)，当存在对称矩阵P>0，Q>0，X_m>0，Z_m>0和可逆矩阵W，以及标量a>0使得下列线性矩阵不等式(16)成立时，等效二维系统(3)在迭代学习控制律(4)的作用下，输出误差在高频段范围内沿时间和迭代批次方向单调收敛：

当引入标量a之后，从式(16)可知，即使在高频段的情况下，也可以保证式(16)负定。

第五步：迭代学习容错控制算法的迭代学习控制律求解。

上述结论不能直接用于迭代学习控制律的求解，需要进行一定的转换才能进行求解。

在公式(15)两边分别乘以diag{S,S,S_α-1,I,I}，则可得：

其中S＝W^-1。

将重复过程模型(6)的系数矩阵式(7)代入公式(17)得：

当迭代学习控制律(4)使用输出反馈时，控制律的设计为一个非凸的问题，无法直接对式(18)进行求解，因此根据式(18)选取

则公式(18)可以写为：

根据公式(19)可以得到：

其次选取：

则可得：

其中，τ为一个大于零的标量使得成立。根据公式(18)可得因此可得成立。由公式(20)和公式(21)可得：

Σ＝[0 C τI 0 0 0]

根据投射引理可得如下公式(22)成立：

不失一般性令W₁＝-G，L₁＝K₁G，L₂＝K₂且G为可逆矩阵则可得如下公式(23)成立：

由公式(23)和β＝(I+Γ)ξ可得：

Φ₁+sym{H₁ΓF₁}<0 (24)

其中，

H₁＝[0 B^T 0 0 0 -(CB)^T]^T,F₁＝[0 ξL₁C τξL₁ 0 ξL₂ 0]

由于|Γ|≤λ≤1，若要使公式(24)成立，则可以使得如下公式(25)成立：

Φ₁+sym{λH₁F₁}<0 (25)

根据Finsler引理，可得如下公式(26)成立：

Φ₁+ε₁(λH₁)(λH₁)^T+ε₁ ^-1F₁ ^TF₁<0 (26)

公式(26)可以写成：

根据Schur补引理可得：

在公式(27)矩阵的左右两边分别乘以则可得以下结论成立：

对于重复过程模型(6)，当有源电子梯形电路形成的系统为标称系统时，当存在适当维数矩阵L₁，L₂，对称矩阵和可逆矩阵S，G以及正标量ε₁，τ，使得下列矩阵不等式(28)成立时，则等效二维系统(3)在迭代学习控制律(4)的作用下，输出误差在低、中频段范围内沿时间和迭代批次方向单调收敛：

其中， 且有源电子梯形电路的迭代学习控制律的增益为K₁＝L₁G^-1，K₂＝L₂。

同时，选取：

Σ＝[0 C τI 0 0 0]

则可得如下结论：对于重复过程模型(6)，当有源电子梯形电路为标称系统时，当存在适当维数矩阵L₁，L₂，对称矩阵和可逆矩阵S，G以及正标量a，τ，ε₂使得下列矩阵不等式(29)成立时，等效二维系统(3)在迭代学习控制律(4)的作用下，输出误差在高频段范围内沿时间和迭代批次方向单调收敛：

其中， 且有源电子梯形电路的迭代学习控制律的增益为K₁＝L₁G^-1，K₂＝L₂。

第六步：在求解得到迭代学习控制律后，根据得到的迭代学习控制律确定有源电子梯形电路的每一次迭代学习的输入矢量，将确定得到的输入矢量输入有源电子梯形电路进行电路控制，有源电子梯形电路在输入矢量的控制作用下追踪期望输出。

本申请提供如下举例来说明本申请的有源电子梯形电路的迭代学习容错控制方法的有效性：

结合图1和2，针对公式(1)描述的有源电子梯形电路，取电路参数为：L＝5[H]，C＝0.45[F]，R₁＝1.5[Ω]，R₂＝1.6[Ω]，γ＝0.1，同时取电路的状态初值x_k(p,0)＝[0 0]^T，u_k(p,0)＝0。根据式(2)系统各个系统矩阵为

其中时滞常量的范围是

根据有源电子梯形电路的特点，通常要求电路每个节点的参考轨迹幅值均不相同，为此不失一般性，考虑分别定义第9个，第18个和第27个节点的参考轨迹为：

电路的参考信号由波形发生器给出，这些节点的参考轨迹在时域中的曲线如图4所示，绘制相应的频谱曲线如图5所示，每个节点对应输出参考轨迹的三维形式如图6所示。由图5可知参考轨迹的有效谐波在0到2HZ之间全部衰减，因此可以直接选取该频段为系统运行的低频范围，即

同时假设系统第9个，第18个和第27个节点执行器发生故障，执行器故障的效率因子分别为ξ₉＝0.78，ξ₁₈＝0.85，ξ₂₇＝0.8，执行器故障类型为部分失效且部分可调节。假设系统第9个，第18个和第27个节点执行器故障分别是从第20批次，第40批次和第60批次开始发生。

对应于系统运行的低频范围，求解式(28)线性矩阵不等式可得迭代学习控制律(4)中的矩阵增益为：

则由此可以得到迭代学习控制律的增益K₁和K₂，从而得到迭代学习控制律。上述迭代学习控制器的实现通过一块STM32F103RCT6芯片实现。芯片的输入为电路的电压和电流信号，现有的电压和电流信号无法直接作为输入。所以电路中的电压和电流信号由电压信号传感器和电流信号传感器采集得到。输入信号通过调理电路进入stm32芯片进行存储和计算，并构建迭代学习更新律，CPU计算后得到的信号为当前周期的输入信号U_k(t)。控制信号通过D/A转换电路作用于有源电子梯形电路，不断修正电路的输出轨迹，直到跟踪上给定的参考轨迹。

由于篇幅限制此处仅给出第18个节点状态。图7表示有源电子梯形电路系统第18个节点的输出变化曲面，图8为有源电子梯形电路系统第18个节点的输入变化曲面，图9为有源电子梯形电路系统第18个节点的误差变化曲面。为进一步评价系统跟踪性能，引入性能指标

图10表示有源电子梯形电路系统中故障节点的均方根误差变化效果，可以看出在不同批次发生不同类型的执行器故障时，有源电子梯形电路的输出跟踪误差均可收敛。

以上所述的仅是本申请的优选实施方式，本发明不限于以上实施例。可以理解，本领域技术人员在不脱离本发明的精神和构思的前提下直接导出或联想到的其他改进和变化，均应认为包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种有源电子梯形电路的有限频率范围迭代学习容错控制方法，其特征在于，所述方法包括：

第一步：建立执行器故障时滞有源电子梯形电路的状态空间方程，所述有源电子梯形电路包括若干个依次连接的节点，每个所述节点包括依次连接的电压时滞电路和梯形电路；

根据基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律得到如下方程：

其中，k表示迭代批次，p表示节点参数且0≤p≤α-1，α是所述有源电子梯形电路中的节点的总个数，所述有源电子梯形电路工作于t∈[0,T]的重复时间周期内，T为参数；为第p个节点的电流输入端处的电流值，为第p个节点的电流输出端处的电流值，为第p个节点的电压输出端处的电压值，为第p个节点中的梯形电路的电压输入端处的电压值，d_p是第p个节点中的电压时滞电路产生的时滞；C、R₁、R₂和L分别为第p个节点中的梯形电路的电路参数，E_k(p,t)是第p个节点中的梯形电路的内部受控电压源的信号值，i_k(p,t)是第p个节点中的梯形电路的内部受控电流源的信号值；

令第p个节点的状态信号为令第p个节点的输入信号为则根据公式(1)得到如下有源电子梯形电路形式：

对于第p个节点的正常输入信号u_k(p,t)(p＝0,...,α-1)，故障模型表示为如下形式：

u_k ^F(p,t)＝β_pu_k(p,t),p＝0,...,α-1；

其中，β_p为第p个节点执行器的故障系数，且满足 β _p为故障系数的下确界，为故障系数的上确界且β _p和均为已知的确定常数；定义则故障系数重构为β_p＝(1+Γ_p)ξ_p，其中，ξ_p为第p个节点执行器的效率因子，Γ_p为第p个节点由故障引起的执行器中不确定性部分且满足|Γ_p|≤λ_p≤1；因此转换为如下形式：

其中

取γ为反馈参数，并且取所述有源电子梯形电路自身状态作为输出信号，得到所述有源电子梯形电路的如下状态空间方程：

其中，y_k(p,t)∈R^l表示第p个节点的输出信号；所述有源电子梯形电路满足如下边界条件：

x_k(p,0)＝0,0≤p≤α-1；

其中，U(t)表示所述有源电子梯形电路连接的电压源，i(t)表示所述有源电子梯形电路连接的电流源，d₀为第0个节点中的电压时滞电路产生的时滞；

第二步：对所述有源电子梯形电路的状态空间方程进行转换；

对于公式(2)的所述状态空间方程，利用提升技术，定义所述有源电子梯形电路的输入矢量U_k(t)、输出矢量Y_k(t)和状态矢量X_k(t)，形式为：

则有：

因此将所述有源电子梯形电路的状态空间方程转换为等效二维系统：

其中，

β＝(I+Γ)ξ,β＝diag{β₀,β₁,...,β_α-1},Γ＝diag{Γ₀,Γ₁,...,Γ_α-1},ξ＝diag{ξ₀,ξ₁,...,ξ_α-1}，且满足|Γ|≤λ≤1；

第三步：确定所述有源电子梯形电路的期望输出并根据重复过程理论设计所述有源电子梯形电路的迭代学习容错控制算法；

确定所述有源电子梯形电路的期望输出，并定义所述有源电子梯形电路的输出误差e_k(t)为：

e_k(t)＝Y_r(t)-Y_k(t)；

其中，Y_r(t)是所述有源电子梯形电路的期望输出；

针对所述有源电子梯形电路的等效二维系统公式(3)设计有源电子梯形电路的迭代学习控制律的表达式为：

U_k(t)＝U_k-1(t)+R_k(t) (4)

其中U_k(t)是当前迭代批次的输入矢量，U_k-1(t)是前一个迭代批次的输入矢量，R_k(t)是控制系统周期更新的修正量；定义中间变量δ_k(t)、μ_k(t)为：

将公式(4)的迭代学习更新律定义为：

其中， 和分别对应节点的矩阵增益；将所述迭代学习更新律(5)与所述等效二维系统(3)结合得到所述有源电子梯形电路的重复过程模型为如下形式：

其中，

第四步：分析有限频率范围内迭代学习容错控制算法的收敛性；

对公式(6)使用拉氏变换，将e_k-1(t)作为输入向量，e_k(t)作为输出向量，则得到：

E_k(s)＝G(s)E_k-1(s) (8)

其中，E_k(s)为输出向量e_k(t)的拉氏变换形式，G(s)为对应的传递函数，则在有限频率范围内有传递函数：

由范数的性质得：

因此当存在：

公式(10)成立时，输出误差e_k(t)沿迭代批次方向关于l₂范数收敛，其中，Ω表示有限频率范围；

将所述有源电子梯形电路的重复过程模型(6)的系数矩阵式(7)代入广义KYP引理的线性矩阵不等式中，并取频率响应不等式中的则线性矩阵不等式改写为：

其中，

根据Schur补引理，公式(11)写为：

同时取：

则公式(11)还改写为：

根据公式(13)得：同时取则得到Σ＝[0 I 0 0]，则可得：

根据广义KYP引理可得低、中频范围内N₁₁<0，由公式(12)可得因此可得

根据投射引理可得如下公式(14)成立：

取矩阵W为可逆矩阵，对公式(14)使用Schur补引理，则确定对于重复过程模型(6)，当存在对称矩阵P>0，Q>0，X_m>0，Z_m>0和可逆矩阵W，使得下列线性矩阵不等式(15)成立时，等效二维系统(3)在迭代学习控制律(4)的作用下，输出误差在低、中频段范围内沿时间和迭代批次方向单调收敛：

根据广义KYP引理可得，N矩阵的N₁₁元素在低、中频段范围内为但在高频段范围内因此引入标量a>0，取矩阵Σ＝[aI I 0 0]，并确定对于重复过程模型(6)，当存在对称矩阵P>0，Q>0，X_m>0，Z_m>0和可逆矩阵W，以及标量a>0使得下列线性矩阵不等式(16)成立时，等效二维系统(3)在迭代学习控制律(4)的作用下，输出误差在高频段范围内沿时间和迭代批次方向单调收敛：

第五步：迭代学习容错控制算法的迭代学习控制律求解；

在公式(15)两边分别乘以diag{S,S,S_α-1,I,I}，则可得：

其中S＝W^-1；

将重复过程模型(6)的系数矩阵式(7)代入公式(17)得：

根据公式(18)选取：

则公式(18)写为：

根据公式(19)得：

其次选取：

则可得：

其中，τ为一个大于零的标量使得成立；则根据公式(18)可得因此可得成立；由公式(20)和公式(21)可得：

根据投射引理可得如下公式(22)成立：

令W₁＝-G，L₁＝K₁G，L₂＝K₂且G为可逆矩阵则可得如下公式(23)成立：

由公式(23)和β＝(I+Γ)ξ可得：

Φ₁+sym{H₁ΓF₁}<0 (24)

其中，

H₁＝[0 B^T 0 0 0 -(CB)^T]^T,F₁＝[0 ξL₁C τξL₁ 0 ξL₂ 0]

由于|Γ|≤λ≤1，若要使公式(24)成立，则可以使得如下公式(25)成立：

Φ₁+sym{λH₁F₁}<0 (25)

根据Finsler引理，可得如下公式(26)成立：

Φ₁+ε₁(λH₁)(λH₁)^T+ε₁ ^-1F₁ ^TF₁<0 (26)

公式(26)可以写成：

根据Schur补引理可得：

在公式(27)矩阵的左右两边分别乘以则可得以下结论成立：

对于重复过程模型(6)，当所述有源电子梯形电路为标称系统时，当存在适当维数矩阵L₁，L₂，对称矩阵和可逆矩阵S，G以及正标量ε₁，τ，使得下列矩阵不等式(28)成立时，等效二维系统(3)在迭代学习控制律(4)的作用下，输出误差在低、中频段范围内沿时间和迭代批次方向单调收敛：

其中， 且所述有源电子梯形电路的迭代学习控制律的增益为K₁＝L₁G^-1，K₂＝L₂；

同时，取：

则可得以下结论成立：对于重复过程模型(6)，当所述有源电子梯形电路为标称系统时，当存在适当维数矩阵L₁，L₂，对称矩阵和可逆矩阵S，G以及正标量a，τ，ε₂使得下列矩阵不等式(29)成立时，等效二维系统(3)在迭代学习控制律(4)的作用下，输出误差在高频段范围内沿时间和迭代批次方向单调收敛：

其中， 且所述有源电子梯形电路的迭代学习控制律的增益为K₁＝L₁G^-1，K₂＝L₂；

第六步：在求解得到所述迭代学习控制律后，根据得到的迭代学习控制律确定所述有源电子梯形电路的每一次迭代学习的输入矢量，将确定得到的输入矢量输入所述有源电子梯形电路进行电路控制，所述有源电子梯形电路在输入矢量的控制作用下追踪所述期望输出。