CN110470209B - 一种基于两步法的超精密圆度测量方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于两步法的超精密圆度测量方法及装置。为了实施基于两步法的圆度测量，首先根据位移传感器的谐波不确定度及不确定度的传播规律，预测出不同测量角度下圆度测量结果的不确定度，并找出两步法的最优测量角度；其次，操作圆度测量装置，分别在第一转台和第二转台的相对角度为0度和最优测量角度下，测量得到两组工件表面的径向跳动信号，并将此两次信号带入两步法算法以计算出被测工件的圆度。而基于两步法的圆度测量装置主要由基座、第一转台、第二转台、三爪卡盘、位移传感器和高度调节机构构成。本发明的测量装置结构简单，且采用有效的手段以抑制测量不确定度的传播，令测量不确定度达到最小，测量精度达到最高。

Description

一种基于两步法的超精密圆度测量方法及装置

技术领域

本发明涉及圆度测量技术领域，具体涉及一种基于两步法的超精密圆度测量方法及装置。

背景技术

圆度测量是制造业中最基础的测量任务之一。据德国卡尔蔡司(Carl Zeiss)统计，在制造业中，圆度测量占总测量任务的50-60％。这主要是由于现代工业设备大量地采用了回转类零部件，如轴承、光学透镜、密封件等；此外，该类零件往往发挥着决定性作用，是确保设备性能的关键所在。为了加工超精密、高性能的回转类零件，其前提条件在于建立超精密、可靠的圆度测量技术与仪器，以提供测量学依据。

目前，圆度测量任务一般由圆度仪完成，其测量精度主要由转台精度决定。当前，世界上最精密的商用圆度仪——Talyrond 595H——的转台误差仅为10纳米。然而，超精密零件的圆度误差有时仅为数纳米。此时，即使采用当下最先进的Talyrond 595H圆度仪，转台误差仍然会引入过大的系统测量偏差，导致测量结果无效。

为了消除转台引起的系统测量偏差，国内外学者提出了误差分离技术，包含多种实现形式，如翻转法、多步法及三点法等。该技术可将转台误差和工件圆度分离开来，理论上可实现零系统偏差测量，突破现有圆度仪的精度极限。我国精密机械基础薄弱，不具备研制纳米级精度转台的能力，因此，借助于误差分离技术开发国产的超精密圆度仪，可能会扭转我国圆度仪市场长期被欧美企业垄断的现状。

但是，误差分离技术的测量精度并不稳定，常常受谐波抑制问题的干扰：当谐波传递矩阵的行列式|W(k)|等于0时，圆度的谐波分量无法被估计出来，该谐波称作抑制谐波；当|W(k)|接近0时，谐波的估计值倾向于含有较大的谐波测量误差，因而，该谐波被称为敏感谐波。针对谐波抑制问题，研究人员已进行了大量而深入的研究，并提出多种解决途径。

发明专利(申请号：201410667811.7、名称：一种用于三点法圆度误差分离技术的传感器安装角度选择方法)提出角度优化的方法，以缓解“谐波抑制”问题。其所采用的角度优化策略为使传递矩阵行列式的最小值达到最大，也即max[min|W(k)|]。

发明专利(申请号：CN201511021695.2、名称：一种用于回转误差、圆度误差测量的改进三点法)提出杂交三点法，其步骤如下：首先，实施多次三点法来为每个谐波测得多个估计值；然后，依据优化函数max|W(k)|为各个谐波筛选出“最优”估计值，从而使得每个谐波的测量误差达到最小，同时，总测量误差大幅度地减小。

然而，已有研究表明传递矩阵的行列式|W(k)|与谐波测量不确定度并不存在严格的负相关关系。这实质上降低了上述解决途径的有效性：依据max|W(k)|并不能确保筛选出最优的谐波估计值；通过max[min|W(k)|]也并不能确保获得最高的测量精度。

谐波抑制问题的本质是测量不确定度在频域传播的一些特殊情况：抑制谐波是指该谐波的不确定度在测量过程中被无穷放大；敏感谐波是指该谐波的不确定度在测量过程中被放大较多倍数；此外，其他谐波也存在不确定度的传播与放大。因此，为了从本质上彻底地解决谐波抑制问题，首先需要针对误差分离技术，建立起测量不确定度的传播规律及定量评估方法；在此基础上，采用有效的手段以抑制测量不确定度的传播，从而令测量不确定度达到最小，测量精度达到最高。

发明内容

本发明的目的是为了克服以上现有技术存在的不足，提供了一种基于两步法的超精密圆度测量方法。此基于两步法的超精密圆度测量方法可减少测量过程的系统误差和随机误差，提高测量结果的准确度和精度。

同时本发明的另一目的还提供了一种基于两步法的超精密圆度测量装置。

本发明的目的通过以下的技术方案实现：一种基于两步法的超精密圆度测量方法，包括以下步骤：

(1)将被测工件固定于圆度测量装置的第二转台上，圆度测量装置的位移传感器对准被测工件的被测截面，在圆度测量装置的第一转台转动若干圈的过程中位移传感器同步采集被测工件表面的径向跳动信号，该信号记为m₀(θ)，据m₀(θ)统计出位移传感器的谐波不确定度p(k)；

(2)根据位移传感器的谐波不确定度p(k)及两步法的不确定度传播规律，预测出不同测量角度下圆度测量结果的不确定度，并找出最优测量角度φ；

(3)调整第二转台与第一转台的相对角度，使第二转台与第一转台的相对角度为0度，实施两步法中的第一次信号采集：在第一转台转动一周的过程中，位移传感器同步采集被测工件表面的径向跳动信号，此信号记为m₁(θ)；

(4)再次调整第二转台，使第二转台与第一转台的相对角度为最优测量角度φ，实施两步法中的第二次信号采集：在第一转台转动一周的过程中，位移传感器同步采集被测工件表面的径向跳动信号，该信号记为m₂(θ)；

(5)将两次测得的径向跳动信号m₁(θ)和m₂(θ)代入两步法算法中，计算出被测工件的圆度。

优选的，步骤(1)中，位移传感器谐波不确定度p(k)的统计算法包含以下步骤：

(1-1)计算位移传感器的噪声信号noise(θ)：

此为式1)；

式1)中，θ∈[0 2π]，表示第一转台的绝对转动角度；m₀(θ)表示位移传感器所采集到的c圈位移信号，存储为c×n矩阵，其中，c为第一转台转动的圈数，且c为大于2的自然数，n为每圈的采样点数；表示c圈位移信号的均值，为1×n矩阵；noise(θ)表示位移传感器的噪声信号，为c×n矩阵；

(1-2)计算位移传感器噪声信号noise(θ)中行向量的频谱：

此为式2)；

式2)中，k表示谐波阶次；

(1-3)计算位移传感器的谐波不确定度p(k)，谐波不确定度p(k)的值等于噪声信号noise(θ)功率谱的均值：

此为式3)。

优选的，步骤(2)中，最优测试角度φ的确定方法包括以下步骤：

(2-1)已知位移传感器的谐波不确定度为p(k)，则依据两步法的不确定度传播规律，圆度测量结果的谐波不确定度p_noise,r(k)为：

此为式4)；

及圆度测量结果的总不确定度U_r(φ)为：

此为式5)；

依据式4)和式5)，预测出所有角度下的圆度测量结果的不确定度U_r(φ)；

(2-2)进一步，确定出最优测量角度φ，使得圆度测量结果的不确定度达到最小min_φ∈(0,2π)U_r(φ)。

优选的，步骤(5)中，两步法算法包含以下步骤：

(5-1)在步骤(3)中，两步法中第一次采集的径向跳动信号为m₁(θ)，该信号包含第一转台的回转误差和被测工件的圆度，其中，在第一次采集过程中，第一转台的回转误差为x(θ)，被测工件的圆度为r(θ)，则m₁(θ)＝x(θ)+r(θ)；

(5-2)在步骤(4)中，两步法中第二次采集的径向跳动信号为m₂(θ)，该信号也包含第一转台的回转误差和被测工件的圆度；但是，由于第二转台与第一转台之间的相对角度φ，导致被测工件的圆度也存在相位滞后φ，则在第二次采集过程中，第一转台的回转误差同样为x(θ)，而此次被测工件的圆度为r(θ-φ)，则有m₂(θ)＝x(θ)+r(θ-φ)；

(5-3)对两次采集得到的径向跳动信号做差，以构造权重函数m(θ)：

m(θ)＝m₁(θ)-m₂(θ)＝r(θ)-r(θ-φ)，此为式6)；

该权重函数m(θ)仅包含被测工件的圆度分量，消除了第一转台的主轴误差；

(5-4)对权重函数m(θ)乘以传递函数以计算被测工件的圆度的拉普拉斯变换：

此为式7)；

式7)中，M(s)和R(s)分别表示m(θ)和r(θ)的拉普拉斯变换，s为复数；

(5-5)将s＝jk带入式(7)中，得到被测工件的圆度的傅里叶系数R(jk)，然后通过傅里叶逆变换计算得到被测工件的圆度r_measured(θ)：

此为式8)。

优选的，所述圆度测量装置包括基座、第一转台、第二转台、三爪卡盘、位移传感器和高度调节机构；所述第一转台安装于基座上；所述第二转台通过磁力吸座安装于第一转台上；所述三爪卡盘安装于第二转台上；所述第一转台的中轴线、第二转台的中轴线和三爪卡盘的中轴线均位于同一直线上；所述高度调节机构的下端安装于基座上；所述位移传感器的一端安装于高度调节机构，且所述位移传感器的探头轴线与基座表面平行。

优选的，所述高度调节机构包括导轨和滑台；所述导轨的下端安装于基座上，所述滑台与导轨连接，所述位移传感器的一端安装于滑台上。

优选的，所述第一转台和第二转台均设有转角测量单元。

一种基于两步法的超精密圆度测量装置包括基座、第一转台、第二转台、三爪卡盘、位移传感器和高度调节机构；所述第一转台安装于基座上；所述第二转台通过磁力吸座安装于第一转台上；所述三爪卡盘安装于第二转台上；所述第一转台的中轴线、第二转台的中轴线和三爪卡盘的中轴线均位于同一直线上；所述高度调节机构的下端安装于基座上；所述位移传感器的一端安装于高度调节机构，且所述位移传感器的探头轴线与基座表面平行。

优选的，所述高度调节机构包括导轨和滑台；所述导轨的下端安装于基座上，所述滑台与导轨连接，所述位移传感器的一端安装于滑台。

优选的，所述第一转台和第二转台均设有转角测量单元。

本发明相对于现有技术具有如下的优点：

1、本发明采用两步法误差分离技术完成圆度测量，与其他误差分离方法相比，两步法具有比较优势。较之于三点测量法，两步法仅需一个位移传感器，可以减少昂贵的位移传感器的配置数量；较之于多步测量法，两步法仅需两次测量，避免了多步法测量步数繁多和测量过程冗长的缺点；较之于翻转法，两步法在第二次测量时仅需转动工件而无需移动或者转动传感器，故所需的测量装置相对简单。

2、本发明采用两步法将转台误差和工件圆度分离开来，消除转台引入的系统测量偏差，可突破现有圆度仪的测量精度极限(由于转台误差，Talyrond595H始终存在约10纳米的系统测量偏差，而基于两步法的圆度仪在理论上可实现零系统偏差测量)。

3、我国精密机械基础薄弱，暂不具备研制纳米级精度转台的能力，因此，也不具备传统的超精密圆度仪的研制能力。基于两步法的圆度仪对转台的精度要求较低，因此国内企业可以选择开发基于两步法的超精密圆度仪，这也将有助于扭转我国圆度仪市场被欧美企业长期垄断的现状。

4、本发明提出两步法的不确定度传播规律，基于此，可实现圆度测量不确定度的定量评估。进一步，本发明以测量不确定度最小为目标函数：min_φ∈(0,2π)U_r(φ)，选出最优的测量角度，从而令测量精度达到最高，同时在本质上彻底地解决掉谐波抑制问题。

5、本发明采用基于两步法的超精密圆度测量装置进行圆度测量，可减少繁多的操作，且提高了检测的精确度。

附图说明

图1为基于两步法的超精密圆度测量装置的结构示意图。

图2为基于两步法的超精密圆度测量过程第一次信号采集过程示意图。

图3为基于两步法的超精密圆度测量过程第二次信号采集过程示意图

图4为圆度测量不确定度评估值的倒数

图5为采用不同测量角度时所测得圆度轮廓的极坐标图。

其中，1为基座，2为第一转台，3为第二转台，4为三爪卡盘，5为位移传感器，6为高度调节机构，7为导轨，8为滑台，9为被测工件，10为夹紧件。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

如图1至图3所示，一种基于两步法的超精密圆度测量装置包括基座、第一转台、第二转台、三爪卡盘、位移传感器和高度调节机构；所述第一转台安装于基座上；所述第二转台通过磁力吸座安装于第一转台上；所述三爪卡盘安装于第二转台上；所述第一转台的中轴线、第二转台的中轴线和三爪卡盘的中轴线均位于同一直线上；所述高度调节机构的下端安装于基座上；所述位移传感器的一端安装于高度调节机构，且所述位移传感器的探头轴线与基座表面平行。具体的，当磁力吸座放开后，第二转台可相对于第一转台转动以调整两者之间的相对角度；当调整好相对角度并磁力吸座吸合以令第二转台固定于第一转台上后，第一转台转动时，第二转台随第一转台同步转动且不会发生相对移动。该机构便于调整第二转台与第一转台之间的相对角度，且可以保证测量过程中被测工件与第一转台同步旋转。

所述高度调节机构包括导轨和滑台；所述导轨的下端安装于基座上，所述滑台与导轨连接，所述位移传感器的一端固定于滑台。具体的，滑台的移动可以通过电机或手轮进行驱动。

当滑台采用电机驱动时，所述高度调节机构还包括升降电机和丝杆，滑台的两端与两条导轨连接，而滑台的中部通过丝杆螺母与丝杆连接，此丝杆的一端与电机连接。则电机启动时，以驱动丝杆转动，则丝杆螺母带动滑台以沿丝杆的轴线上下移动。

当滑台采用人工手动驱动时，所述高度调节机构还包括手轮和丝杆，所述滑台的两端分别与相应的导轨连接，所述滑台的中部通过丝杆螺母与丝杆连接，所述丝杆与手轮连接。采用此方式时，使用人员通过手轮转动丝杆，以令丝杆螺母带动滑台沿丝杆的轴线上下移动。

所述滑台上设有夹紧件，夹紧件的轴线与基座平行；所述位移传感器的一端被夹紧件夹紧。此结构可方便位移传感器的固定，同时也可确认位移传感器的检测方向的水平度。而为进一步确保位移传感器的检测方向的水平度，可在所述滑台的下端设有至少两个挡块，所有挡块一排设置，且所有挡块的上端面均与基座平行，所述夹紧件的下侧侧面与挡块的上端面相贴紧。挡块可避免夹紧件发生下摆。同时，夹紧件采用圆筒形夹紧件，而位移传感器采用圆柱形的电容式位移传感器，此结构的位移传感器与夹紧件相匹配，方便位移传感器的安装固定。

所述第一转台和第二转台均设有转角测量单元。其中安装在第一转台的转角测量单元为第一转角测量单元，此第一转角测量单元用于检测第一转台转动的绝对角度；安装在第二转台的转角测量单元为第二转角测量单元，此第二转角测量单元用于测定第二转台和第一转台之间的相对角度。该结构简单，保证了测量的准确性。具体的，本实施例中的第一转角测量单元和第二转角测量单元均采用圆编码器。

基于两步法的超精密圆度测量方法，包括以下步骤：

(1)将被测工件固定于圆度测量装置的第二转台上，圆度测量装置的位移传感器对准被测工件的被测截面，在圆度测量装置的第一转台转动若干圈的过程中位移传感器同步采集被测工件表面的径向跳动信号，该信号记为m₀(θ)，据m₀(θ)统计出位移传感器的谐波不确定度p(k)。具体的，位移传感器谐波不确定度p(k)的统计算法包含以下步骤：

(1-1)计算位移传感器的噪声信号noise(θ)：

此为式1)；

式1)中，θ∈[02π]，表示第一转台的绝对转动角度；m₀(θ)表示位移传感器所采集到的c圈位移信号，存储为c×n矩阵，其中，c为第一转台转动的圈数，且c为大于2的自然数，n为每圈的采样点数；表示c圈位移信号的均值，为1×n矩阵；

(1-2)计算矩阵中每一行中位移传感器噪声信号noise(θ)的频谱：

此为式2)；

式2)中，k表示谐波阶次；

(1-3)计算位移传感器的谐波不确定度p(k)，谐波不确定度p(k)的值等于噪声信号noise(θ)功率谱的均值：

此为式3)。

(2)根据位移传感器的谐波不确定度p(k)及两步法的不确定度传播规律，预测出不同测量角度下圆度测量结果的不确定度，并找出最优测量角度φ。其中，最优测试角度φ的确定方法包括以下步骤：

(2-1)已知位移传感器的谐波不确定度为p(k)，则依据两步法的不确定度传播规律，预测出任意角度下圆度测量结果的谐波不确定度p_noise，r(k)：

此为式4)；

及圆度测量结果的总不确定度U_r(φ)：

此为式5)；

依据式4)和式5)，预测出所有角度下的圆度测量结果的不确定度U_r(φ)；

(2-2)根据式4)和式5)确定最优测量角度φ，使得圆度测量结果的不确定度达到最小min_{φ∈(0，2π)}U_r(φ)。

(3)调整第二转台与第一转台的相对角度，使第二转台与第一转台的相对角度为0度，实施两步法中的第一次信号采集：在第一转台转动一周的过程中，位移传感器同步采集被测工件表面的径向跳动信号，此信号记为m₁(θ)；

(4)再次调整第二转台，使第二转台与第一转台的相对角度为最优测量角度φ，实施两步法中的第二次信号采集：在第一转台转动一周的过程中，位移传感器同步采集被测工件表面的径向跳动信号，该信号记为m₂(θ)；

(5)将两次测得的径向跳动信号m₁(θ)和m₂(θ)代入两步法算法中，计算出被测工件的圆度。两步法算法包含以下步骤：

(5-1)在步骤(3)中，两步法中第一次采集的径向跳动信号m₁(θ)，该信号包含第一转台的回转误差和被测工件的圆度，其中，在第一次采集过程中，第一转台的回转误差为x(θ)，被测工件的圆度为r(θ)，则m₁(θ)＝x(θ)+r(θ)；

(5-2)在步骤(4)中，两步法中第二次采集的径向跳动信号m₂(θ)，该信号也包含第一转台的回转误差和被测工件的圆度；但是，由于第二转台与第一转台之间的相对角度φ，导致被测工件的圆度也存在相位滞后φ，则在第二次采集过程中，第一转台的回转误差同样为x(θ)，而此次被测工件的圆度为r(θ-φ)，m₂(θ)＝x(θ)+r(θ-φ)；

(5-3)对两次采集得到的径向跳动信号做差，以构造权重函数m(θ)：

m(θ)＝m₁(θ)-m₂(θ)＝r(θ)-r(θ-φ)，此为式6)；

该权重函数m(θ)仅包含被测工件的圆度分量，消除了第一转台的主轴误差；

(5-4)对权重函数m(θ)乘以传递函数以计算被测工件的圆度的拉普拉斯变换：

此为式7)；

式7)中，M(s)和R(s)分别表示m(θ)和r(θ)的拉普拉斯变换，s为复数；

(5-5)将s＝jk带入式(7)中，得到被测工件的圆度的傅里叶系数R(jk)，然后通过傅里叶逆变换计算得到被测工件的圆度大小r_measured(θ)：

此为式8)。

具体的，本实施例中，位移传感器的谐波不确定度为p(k)＝10^-3μm²。本实施例中，依据式4)和式5)，并结合图4，以确定最优测量角度为φ＝15.7°或344.3°，此时圆度测量结果的不确定度U_r(φ)达到最小，U_r(15.7°)＝5.90×10^-2μm²。由图5所示的两组度测量结果的极坐标图，中间参考圆半径为10μm；其中，灰色点划线展示了在角度φ＝33.1°时测得的100个估计值，其测量不确定度为U_r(33.1°)＝74.3×10^-2μm²；黑色实线所示估计值是在最优角度φ＝15.7°时取得的，其测量不确定度为U_r(15.7°)＝6.10×10^-2μm²。可见，进行角度优化后，圆度测量结果的不确定度明显降低，且不存在抑制谐波。由此完成回转类工件的基于两步法的超精密圆度测量的全过程。

上述具体实施方式为本发明的优选实施例，并不能对本发明进行限定，其他的任何未背离本发明的技术方案而所做的改变或其它等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于两步法的超精密圆度测量方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)将被测工件固定于圆度测量装置的第二转台上，圆度测量装置的位移传感器对准被测工件的被测截面，在圆度测量装置的第一转台转动若干圈的过程中位移传感器同步采集被测工件表面的径向跳动信号，该信号记为m₀(θ)，据m₀(θ)统计出位移传感器的谐波不确定度p(k)；

(2)根据位移传感器的谐波不确定度p(k)及两步法的不确定度传播规律，预测出不同测量角度下圆度测量结果的不确定度，并找出最优测量角度φ；

(3)调整第二转台与第一转台的相对角度，使第二转台与第一转台的相对角度为0度，实施两步法中的第一次信号采集：在第一转台转动一周的过程中，位移传感器同步采集被测工件表面的径向跳动信号，此信号记为m₁(θ)；

(4)再次调整第二转台，使第二转台与第一转台的相对角度为最优测量角度φ，实施两步法中的第二次信号采集：在第一转台转动一周的过程中，位移传感器同步采集被测工件表面的径向跳动信号，该信号记为m₂(θ)；

(5)将两次测得的径向跳动信号m₁(θ)和m₂(θ)代入两步法算法中，计算出被测工件的圆度；

步骤(1)中，位移传感器谐波不确定度p(k)的统计算法包含以下步骤：

(1-1)计算位移传感器的噪声信号noise(θ)：

此为式1)；

式1)中，θ∈[0，2π]，表示第一转台的绝对转动角度；m₀(θ)表示位移传感器所采集到的c圈位移信号，存储为c×n矩阵，其中，c为第一转台转动的圈数，且c为大于2的自然数，n为每圈的采样点数；表示c圈位移信号的均值，为1×n矩阵；

(1-2)计算位移传感器噪声信号noise(θ)中行向量的频谱：

式2)中，k表示谐波阶次；

(1-3)计算位移传感器的谐波不确定度p(k)，其值等于噪声信号noise(θ)功率谱的均值：

此为式3)；

步骤(2)中，最优测试角度φ的确定方法包括以下步骤：

(2-1)已知位移传感器的谐波不确定度为p(k)，则依据两步法的不确定度传播规律，圆度测量结果的谐波不确定度p_noise,r(k)为：

此为式4)；

及圆度测量结果的总不确定度U_r(φ)为：

此为式5)；

依据式4)和式5)，预测出所有角度下的圆度测量结果的不确定度U_r(φ)；

(2-2)进一步，确定出最优测量角度φ，使得圆度测量结果的不确定度达到最小

所述圆度测量装置包括基座、第一转台、第二转台、三爪卡盘、位移传感器和高度调节机构；所述第一转台安装于基座上；所述第二转台通过磁力吸座安装于第一转台上；所述三爪卡盘安装于第二转台上；所述第一转台的中轴线、第二转台的中轴线和三爪卡盘的中轴线均位于同一直线上；所述高度调节机构的下端安装于基座上；所述位移传感器的一端安装于高度调节机构，且所述位移传感器的探头轴线与基座表面平行。

2.根据权利要求1所述的基于两步法的超精密圆度测量方法，其特征在于，步骤(5)中，两步法算法包含以下步骤：

(5-1)在步骤(3)中，两步法中第一次采集得到的径向跳动信号为m₁(θ)，该信号包含第一转台的回转误差和被测工件的圆度，其中，在第一次采集过程中，第一转台的回转误差为x(θ)，被测工件的圆度为r(θ)，则m₁(θ)＝x(θ)+r(θ)；

(5-2)在步骤(4)中，两步法中第二次采集得到的径向跳动信号为m₂(θ)，该信号也包含第一转台的回转误差和被测工件的圆度；但是，由于第二转台与第一转台之间的相对角度φ，导致被测工件的圆度也存在相位滞后φ，则在第二次采集过程中，第一转台的回转误差同样为x(θ)，而此次被测工件的圆度为r(θ-φ)，则有m₂(θ)＝x(θ)+r(θ-φ)；

(5-3)对两次采集得到的径向跳动信号做差，以构造权重函数m(θ)：

m(θ)＝m₁(θ)-m₂(θ)＝r(θ)-r(θ-φ)，此为式6)；

该权重函数m(θ)仅包含被测工件的圆度分量，消除了第一转台的主轴误差；

(5-4)对权重函数m(θ)乘以传递函数以计算被测工件圆度的拉普拉斯变换：

此为式7)；

式7)中，M(s)和R(s)分别表示m(θ)和r(θ)的拉普拉斯变换，s为复数；

(5-5)将s＝jk带入式(7)中，得到被测工件圆度的傅里叶系数R(jk)，然后通过傅里叶逆变换计算得到被测工件的圆度r_measured(θ)：

此为式8)。

3.根据权利要求1所述的基于两步法的超精密圆度测量方法，其特征在于：所述高度调节机构包括导轨和滑台；所述导轨的下端安装于基座上，所述滑台与导轨连接，所述位移传感器的一端安装于滑台。

4.根据权利要求1所述的基于两步法的超精密圆度测量方法，其特征在于：所述第一转台和第二转台均设有转角测量单元。