CN110378060A - 一种顶张式立管随机耦合振动的计算方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及海洋深水立管的研究方法，尤其涉及一种顶张式立管随机耦合振动的计算方法。该方法采用三层立管组成的耦合模型进行计算分析，充分考虑了多层立管之间的耦合作用与立管管间间隙的影响。比现有的技术更真实的反映顶张式立管横向振动的运动和变形状态，且能够较精确地直接计算出外套管、内套管和油管的应力状态，而不必向之前一样采用截面荷载分配的方法二次计算外套管、内套管和油管的应力状态。
Description
技术领域
本发明涉及海洋深水立管的研究方法，尤其涉及一种顶张式立管随机耦合振动的计算方法。
背景技术
深水顶张式立管是深水海洋立管的一种主要类型，它在深水油气开发中的作用是采油。深水顶张式立管主要结构形式为油管和同轴心的双套管组成的管中管结构。最内层的是油管，中间的和最外层的为套管。油管用于采油，内套管为气举线，外套管为隔水管，是承受海洋环境荷载的主要结构。为了防止相邻立管之间管体发生碰撞，油管与内套管之间以及内套管与外套管之间设置了扶正器。
由于采油的同时，伴有天然气产生，因此，内套管是作为气举线使用的，即它与油管之间形成的环形空间输送井下的天然气。这意味着，内套管在承受其它外部荷载的同时还承受天然气压力的作用，油管则同时受内压(原油压力) 和外压(天然气压力)的作用。外套管主要起隔水和承载作用，其直径和壁厚均大于其它两根钢管，因此，承担了大部分的海洋环境荷载和张力荷载。
目前，在工程上顶张式立管的设计分析共有两种方法。
一是，采用等效管模型，采用弯曲刚度等效的原则将三根管等效为一根管，即等效管的弯曲刚度等于三根管的弯曲刚度之和：
EIeq＝EItube+EIinner+EIouter (1)
式中：
EIeq——等效单层管的截面抗弯刚度；
EItube——油管的截面抗弯刚度；
EIinner——内层立管的截面抗弯刚度；
EIouter——外层立管的截面抗弯刚度。
为了保证等效管的模型与实际立管的海洋环境荷载相同，等效管的外径采用外层立管的外径。
二是，不考虑管间间隙对耦合响应的影响。且该分析方法是基于一定假设条件的，即：假设当相邻两根立管在扶正器处接触后，扶正器处两根立管的节点位移、速度、加速度是同步的。
现有的深水顶张式立管随机耦合振动的计算方法存在以下技术缺陷：
1、拉压刚度不等效
当等效管与三根管的弯曲刚度等效时，等效管的内径应等于：
而等效管与三根管的拉压刚度等效时，等效管的内径应等于：
公式(2)和公式(3)表明，按照弯曲刚度等效和拉压刚度等效计算得到的等效管内径是不同的，即按照弯曲刚度等效和拉压刚度等效计算得到的等效管的壁厚是不同的。因此，用等效管计算得到的轴向应力和变形是不同的，从而等效应力也不相同。所以，无论采用工作应力法或荷载抗力系数法校核结构强度和疲劳都将是不准确的。
2、压力不等效
采用等效管计算时，需要将油管的原油压力和内套管的天然气压力转换为等效管的内压。由于外套管不受油气压力的作用，因此，转换后，等效管的环向应力与三根管的环向应力均不相同，从而导致结构的应力状态与实际不符。所以，无论采用工作应力法或荷载抗力系数法校核结构强度和疲劳都将是不准确的。
3、动力响应不等效
除油气压力外，等效管结构受到的其它荷载与实际结构相同，但是，由于实际结构仅在离散的指定位置上有扶正器相互支撑，因此，等效管的静态力学性能与实际结构相似，但动态力学性能是不相似的。因为，三根管的质量和刚度均不相同，从而动力特性不同，即它们的固有频率和振型是不同的。
4、弯曲应力不等效
按照等效管理论并不能准确求出各层立管上的弯曲应力，按照截面弯曲刚度比值分配的外套管、内套管弯曲应力大于其实际应力，油管实际应力小于其实际应力，造成这种差别的原因是等效管模型不能正确反映各层立管的受力载荷形式以及扶正器在立管耦合运动中的作用。
5、没有考虑管间间隙对耦合响应的影响
已有的分析方法没有考虑管间间隙对耦合响应的影响，进而不能对扶正器高度(轴向位置)进行参数敏感性分析，不能准确模拟多层立管的实际模型。
发明内容
本发明提出一种解决深水顶张式立管随机耦合振动的分析方法，该分析方法计算时无需对立管进行等效处理，也可充分考虑管间间隙对耦合响应的影响。不仅能够解决上述五个问题，也可为扶正器的尺寸选型以及布置方案提供依据。
本发明的技术方案为：
本发明基于三层立管组成的耦合模型进行计算分析且充分考虑了管间间隙对耦合响应的影响，其具体计算方案如下：
(1)分别建立外套管、内套管与油管的运动方程：
式中：
m1、m2、m3分别为外套管、内套管与油管的单位长度质量，包括立管内部流体、气体质量及附加质量；
c1、c2、c3分别为外套管、内套管与油管的结构阻尼；
(EI)1、(EI)2、(EI)3分别为外套管、内套管与油管的抗弯刚度；
T1、T2、T3分别为外套管、内套管与油管的壁张力，q为波浪荷载；
p2为内套管扶正器与外套管接触时产生的相互作用力；
p3为油管扶正器与内套管接触时产生的相互作用力；
(2)对公式(1)～(3)进行有限元离散，建立各自的有限元方程：
式中：
[Mi]、[Ci]和[Ki]分别为外套管(i＝1)、内套管(i＝2)和油管(i＝3)的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；
(Nd为节点总数)为外套管(i＝1)、内套管(i＝2)和油管(i＝3)的节点位移向量(包括挠度和转角)；
为内套管(i＝2)和油管(i＝3)扶正器分别与外套管和内套管的相互作用力；
{q}为节点波浪荷载；
(3)由于扶正器与相邻管柱之间有间隙，其接触状态是时断时续的，因此，方程(4)～(6)的求解需采用迭代法求解，为此，建立(4)～(6)式的增量迭代方程：
(4)对公式(7)～(9)进行耦合迭代分析
第一步：计算外套管当前时刻的响应
由式(7)的Newmark-β法公式
计算当前时刻的外套管位移响应增量新增时间步第一次计算时， k＝0。
上式中：
其中，n为公式(7)与公式(8) 的耦合迭代次数。
然后，由下式计算外套管的速度增量和加速度增量
如果k＝0，计算当前时刻的外套管位移速度和加速度即：
然后，转至第二步。
如果k≠0，则由收敛条件：
或：
判断迭代是否满足收敛条件，不满足收敛条件则转至第二步的相应接触状态进行计算，否则，进行下一个时间步的计算或结束计算。
第二步：计算内套管和油管当前时刻的响应：
①和即时刻t内套管和油管均没有扶正器与外套管或内套管接触，则由下式分别计算内套管和油管的位移响应增量和
其中：
式中，l为公式 (8)与公式(9)的耦合迭代次数。
然后，由下式分别计算内套管和油管的速度和加速度增量和
及当前时刻的位移、速度和加速度：
然后，转至第三步判断当前时刻的接触状态。
②和即时刻t仅内套管有扶正器与外套管发生接触，则可由外套管的位移响应增量求出内套管与之接触的扶正器处的位移响应增量：
时
时
式中：
n(rm)为内套管扶正器rm的节点编号；
m′2为时刻t已接触的扶正器数量，m″2为t+△t时刻发生接触的扶正器数量，(k＝0时，取)为内套管扶正器与外套管的实时间隙，可按下式计算：
式中，δ2为内套管扶正器与外套管的静态间隙，δ2＝d1/2-D2/2-h2；其中，d1为外套管内径，D2为内套管外径，h2为内套管扶正器的径向尺寸。式中的正负号由外套管的运动方向确定，向平衡位置运动时(|(a1,j)t+Δt|＜|(a1,j)t|)取正号。
由于发生接触时，内套管的响应是由外套管的响应求出的，因此，公式(15) 中的内套管响应只能采用前一次迭代的结果。为了避免误差累积，可采用迭代的方法对公式(15)的结果进行修正，即：
求出内套管接触点的挠度增量后，即可由下式计算接触点挠度的速度和加速度增量
并由式(8)的Newmark-β法公式
求出内套管其它未知位移增量并由公式(11)(i＝2)和公式(12) (i＝2)求出相应的速度增量和加速度增量及位移速度和加速度公式(19)中，m2为内套管扶正器与外套管发生接触的数量。
式(20)中，为2Nd-m2个元素组成的向量，即不包括内套管扶正器接触点rm挠度的位移向量；等效刚度矩阵和等效荷载向量分别为：
上两式中的和为不包括j行和j列的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵(j的定义同公式(19))，是由和与j列刚度系数、阻尼系数和质量系数组成的“荷载”向量：
求出和后，即可由公式(8)计算再返回第一步进行迭代计算。
油管的响应则采用公式(10)～式(12)计算，其中i＝3
③和即时刻t仅油管有扶正器与内套管发生接触，则由式(10)计算内套管的响应(i＝2)，如果k≠0，则根据收敛条件
判断迭代是否收敛。如果满足收敛条件，则转至第一步进行下一个时间步的计算。否则，基于接触条件
求出油管接触点的挠度增量，并由下式计算接触点挠度的速度和加速度增量
式中：n(sm)为油管扶正器sm的结点编号，m3为油管扶正器与内套管发生接触的数量。
然后，由式(9)的Newmark-β法公式
求出油管其它未知的位移增量并由公式(11)(i＝3)和公式(12) (i＝3)求出相应的速度增量和加速度增量及位移速度和加速度
式(21)中，为2Nd-m3个元素组成的向量，即不包括油管扶正器接触点sm挠度的位移向量；等效刚度矩阵和等效荷载向量分别为：
上两式中的和为不包括j行和j列的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵(j＝2n(sm)-1,(m＝1,2,…,m3),n(sm)为接触点sm的节点编号)，是由和与j列刚度系数、阻尼系数和质量系数组成的“荷载”向量
求出和后，即可由公式(9)计算再返回③进行迭代计算。
④和即时刻t内套管和油管均有扶正器与外套管和内套管发生接触，则根据外套管的运动条件首先由式(13)～式(20)计算内套管的响应，再将式中的下标1改为2、2改为3计算油管的响应，然后，由式 (9)计算并代入式(8)计算并返回第一步进行迭代计算。
第三步：判断接触状态
如果
成立，则没有新增接触扶正器，转至第一步计算下一时刻的响应。否则，转至第二步的相应接触状态重新计算内套管和油管的响应并进行迭代。
上式中，δi+1为扶正器与相邻管柱的静态间隙，δi+1＝di/2-Di+1/2-hi+1；其中， di为外套管(i＝1)或内套管(i＝2)的内径，Di+1为内套管(i＝1)或油管(i＝2) 外径，hi+1为内套管(i＝1)或油管(i＝2)扶正器的径向尺寸。
当|(a1,j)t+Δt|＞|(a1,j)t|,(j＝2n(rm)-1)时，式(22)取正号。
本发明所达到的有益效果为：
本发明在深水顶张式立管随机耦合振动的分析中采用三层立管组成的耦合模型，且充分考虑了管间间隙对耦合响应的影响。计算过程真实反映顶张式立管横向振动的运动和变形状态。且能够较精确地直接计算出外套管、内套管和油管的应力状态及响应，而不必采用截面荷载分配的方法二次计算外套管、内套管和油管的应力状态。
附图说明
图1是本发明三层立管组成的耦合模型示意图。
图中，x轴代表宽度，z轴代表高度。
1、外套管；2、内套管；3、油管；4、扶正器。
具体实施方式
为便于本领域的技术人员理解本发明，下面结合附图说明本发明的具体实施方式。
如图1所示，本发明基于三层立管组成的耦合模型进行计算分析且充分考虑了管间间隙对耦合响应的影响，其具体计算方案如下：
(1)分别建立外套管1、内套管2与油管3的运动方程：
式中：
m1、m2、m3分别为外套管1、内套管2与油管3的单位长度质量，包括立管内部流体、气体质量及附加质量；
c1、c2、c3分别为外套管1、内套管2与油管3的结构阻尼；
(EI)1、(EI)2、(EI)3分别为外套管1、内套管2与油管3的抗弯刚度；
T1、T2、T3分别为外套管1、内套管2与油管3的壁张力，q为波浪荷载；p2为内套管扶正器4与外套管1接触时产生的相互作用力；
p3为油管扶正器4与内套管2接触时产生的相互作用力；
(2)对公式(1)～(3)进行有限元离散，建立各自的有限元方程：
式中：
[Mi]、[Ci]和[Ki]分别为外套管1(i＝1)、内套管2(i＝2)和油管3(i＝3) 的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；
(Nd为节点总数)为外套管1(i＝1)、内套管2(i＝2)和油管3(i＝3)的节点位移向量(包括挠度和转角)；
为内套管(i＝2)和油管(i＝3)扶正器4分别与外套管1和内套管2的相互作用力；
{q}为节点波浪荷载；
(3)由于扶正器4与相邻管柱之间有间隙，其接触状态是时断时续的，因此，方程(4)～(6)的求解需采用迭代法求解，为此，建立(4)～(6)式的增量迭代方程：
上述方程中考虑了结构的几何非线性及张力变化引起的几何刚度变化，因此，刚度矩阵随时间变化，而阻尼矩阵则是因瑞雷阻尼使然也随时间变化；
(4)对公式(7)～(9)进行耦合迭代分析
第一步：计算外套管1当前时刻的响应
由式(7)的Newmark-β法公式
计算当前时刻的外套管1位移响应增量新增时间步第一次计算时，k＝0。
上式中：
其中，n为公式(7)与公式(8) 的耦合迭代次数。
然后，由下式计算外套管1的速度增量和加速度增量
如果k＝0，计算当前时刻的外套管1位移速度和加速度即：
然后，转至第二步。
如果k≠0，则由收敛条件：
或：
判断迭代是否满足收敛条件，不满足收敛条件则转至第二步的相应接触状态进行计算，否则，进行下一个时间步的计算或结束计算。
第二步：计算内套管2和油管3当前时刻的响应：
内套管2和油管3的响应取决于扶正器4的接触状态——内套管2和油管3 均没有扶正器4与外套管1或内套管2接触(和)、仅内套管2有扶正器4与外套管1接触(和)、仅油管3有扶正器4与内套管2接触(和)和内套管2和油管3均有扶正器4与外套管1或内套管2接触(和)。
①和即时刻t内套管2和油管3均没有扶正器4 与外套管1或内套管2接触，则由下式分别计算内套管2和油管3的位移响应增量和
其中：
式中，l为公式 (8)与公式(9)的耦合迭代次数。
然后，由下式分别计算内套管2和油管3的速度和加速度增量 和
及当前时刻的位移、速度和加速度：
然后，转至第三步判断当前时刻的接触状态。
②和即时刻t仅内套管2有扶正器4与外套管1 发生接触，则可由外套管1的位移响应增量求出内套管2与之接触的扶正器4 处的位移响应增量：
时
时
式中：
n(rm)为内套管扶正器4，rm的节点编号；
m2′为时刻t已接触的扶正器4数量，m2″为t+△t时刻发生接触的扶正器4数量，(k＝0时，取)为内套管扶正器4与外套管1的实时间隙，可按下式计算：
式中，δ2为内套管扶正器4与外套管1的静态间隙，δ2＝d1/2-D2/2-h2；其中， d1为外套管1内径，D2为内套管2外径，h2为内套管扶正器4的径向尺寸。式中的正负号由外套管1的运动方向确定，向平衡位置运动时(|(a1,j)t+Δt|＜|(a1,j)t|) 取正号。
由于发生接触时，内套管2的响应是由外套管1的响应求出的，因此，公式(15)中的内套管2响应只能采用前一次迭代的结果。为了避免误差累积，可采用迭代的方法对公式(15)的结果进行修正，即：
求出内套管2接触点的挠度增量后，即可由下式计算接触点挠度的速度和加速度增量
并由式(8)的Newmark-β法公式
求出内套管2其它未知位移增量并由公式(11)(i＝2)和公式(12) (i＝2)求出相应的速度增量和加速度增量及位移速度和加速度公式(19)中，m2为内套管扶正器4与外套管1发生接触的数量。
式(20)中，为2Nd-m2个元素组成的向量，即不包括内套管扶正器 4接触点rm挠度的位移向量；等效刚度矩阵和等效荷载向量分别为：
上两式中的和为不包括j行和j列的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵(j的定义同公式(19))，是由和与j列刚度系数、阻尼系数和质量系数组成的“荷载”向量：
求出和后，即可由公式(8)计算再返回第一步进行迭代计算。
油管3的响应则采用公式(10)～式(12)计算，其中i＝3
③和即时刻t仅油管3有扶正器4与内套管2发生接触，则由式(10)计算内套管2的响应(i＝2)，如果k≠0，则根据收敛条件
判断迭代是否收敛。如果满足收敛条件，则转至第一步进行下一个时间步的计算。否则，基于接触条件
求出油管3接触点的挠度增量，并由下式计算接触点挠度的速度和加速度增量
式中：n(sm)为油管扶正器4sm的结点编号，m3为油管扶正器4与内套管2 发生接触的数量。
然后，由式(9)的Newmark-β法公式
求出油管3其它未知的位移增量并由公式(11)(i＝3)和公式(12) (i＝3)求出相应的速度增量和加速度增量及位移速度和加速度
式(21)中，为2Nd-m3个元素组成的向量，即不包括油管3扶正器4接触点sm挠度的位移向量；等效刚度矩阵和等效荷载向量分别为：
上两式中的和为不包括j行和j列的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵(j＝2n(sm)-1,(m＝1,2,…,m3),n(sm)为接触点sm的节点编号)，是由和与j列刚度系数、阻尼系数和质量系数组成的“荷载”向量
求出和后，即可由公式(9)计算再返回③进行迭代计算。
④和即时刻t内套管2和油管3均有扶正器4与外套管1和内套管2发生接触，则根据外套管1的运动条件首先由式(13)～式 (20)计算内套管2的响应，再将式中的下标1改为2、2改为3计算油管3的响应，然后，由式(9)计算并代入式(8)计算并返回第一步进行迭代计算。
需要指出的是，在当前时间步有新的扶正器4发生接触时，应确保接触点的过盈量尽可能小，即“正好”发生接触。这不仅是静态接触假定的需要，而且是计算收敛的前提。如果过盈量较大，可能导致死循环。因此，必须调整当前时间步长Δt，使扶正器4与相邻管柱处于非接触向接触过渡的临界点。正如材料非线性问题中，当有单元进入屈服时，必须调整荷载增量，以使进入屈服的单元处于屈服的临界点。
第三步：判断接触状态
如果
成立，则没有新增接触扶正器4，转至第一步计算下一时刻的响应。否则，转至第二步的相应接触状态重新计算内套管2和油管3的响应并进行迭代。
上式中，δi+1为扶正器4与相邻管柱的静态间隙，δi+1＝di/2-Di+1/2-hi+1；其中， di为外套管1(i＝1)或内套管2(i＝2)的内径，Di+1为内套管2(i＝1)或油管3 (i＝2)外径，hi+1为内套管2(i＝1)或油管3(i＝2)扶正器4的径向尺寸。
当|(a1,j)t+Δt|＞|(a1,j)t|,(j＝2n(rm)-1)时，式(22)取正号。
Claims (1)
1.一种顶张式立管随机耦合振动的计算方法，其特征在于：该方法基于三层立管组成的耦合模型进行计算分析且充分考虑了管间间隙对耦合响应的影响，其具体计算方案如下：
(1)分别建立外套管、内套管与油管的运动方程：
式中：
m1、m2、m3分别为外套管、内套管与油管的单位长度质量，包括立管内部流体、气体质量及附加质量；
c1、c2、c3分别为外套管、内套管与油管的结构阻尼；
(EI)1、(EI)2、(EI)3分别为外套管、内套管与油管的抗弯刚度；
T1、T2、T3分别为外套管、内套管与油管的壁张力，q为波浪荷载；
p2为内套管扶正器与外套管接触时产生的相互作用力；
p3为油管扶正器与内套管接触时产生的相互作用力；
(2)对公式(1)～(3)进行有限元离散，建立各自的有限元方程：
式中：
[Mi]、[Ci]和[Ki]分别为外套管(i＝1)、内套管(i＝2)和油管(i＝3)的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；
(Nd为节点总数)为外套管(i＝1)、内套管(i＝2)和油管(i＝3)的节点位移向量(包括挠度和转角)；
为内套管(i＝2)和油管(i＝3)扶正器分别与外套管和内套管的相互作用力；
{q}为节点波浪荷载；
(3)由于扶正器与相邻管柱之间有间隙，其接触状态是时断时续的，因此，方程(4)～(6)的求解需采用迭代法求解，为此，建立(4)～(6)式的增量迭代方程：
(4)对公式(7)～(9)进行耦合迭代分析
第一步：计算外套管当前时刻的响应
由式(7)的Newmark-β法公式
计算当前时刻的外套管位移响应增量新增时间步第一次计算时，k＝0；
上式中：
其中，n为公式(7)与公式(8)的耦合迭代次数；
然后，由下式计算外套管的速度增量和加速度增量
如果k＝0，计算当前时刻的外套管位移速度和加速度即：
然后，转至第二步；
如果k≠0，则由收敛条件：
或：
判断迭代是否满足收敛条件，不满足收敛条件则转至第二步的相应接触状态进行计算，否则，进行下一个时间步的计算或结束计算；
第二步：计算内套管和油管当前时刻的响应：
①和即时刻t内套管和油管均没有扶正器与外套管或内套管接触，则由下式分别计算内套管和油管的位移响应增量和
其中：
式中，l为公式(8)与公式(9)的耦合迭代次数；
然后，由下式分别计算内套管和油管的速度和加速度增量和
及当前时刻的位移、速度和加速度：
然后，转至第三步判断当前时刻的接触状态；
②和即时刻t仅内套管有扶正器与外套管发生接触，则可由外套管的位移响应增量求出内套管与之接触的扶正器处的位移响应增量：
时
时
式中：
n(rm)为内套管扶正器rm的节点编号；
m′2为时刻t已接触的扶正器数量，m″2为t+△t时刻发生接触的扶正器数量，(k＝0时，取)为内套管扶正器与外套管的实时间隙，可按下式计算：
式中，δ2为内套管扶正器与外套管的静态间隙，δ2＝d1/2-D2/2-h2；其中，d1为外套管内径，D2为内套管外径，h2为内套管扶正器的径向尺寸；式中的正负号由外套管的运动方向确定，向平衡位置运动时(|(a1,j)t+Δt|＜|(a1,j)t|)取正号；
由于发生接触时，内套管的响应是由外套管的响应求出的，因此，公式(15)中的内套管响应只能采用前一次迭代的结果；为了避免误差累积，可采用迭代的方法对公式(15)的结果进行修正，即：
求出内套管接触点的挠度增量后，即可由下式计算接触点挠度的速度和加速度增量
并由式(8)的Newmark-β法公式
求出内套管其它未知位移增量并由公式(11)(i＝2)和公式(12)(i＝2)求出相应的速度增量和加速度增量及位移速度和加速度公式(19)中，m2为内套管扶正器与外套管发生接触的数量；
式(20)中，为2Nd-m2个元素组成的向量，即不包括内套管扶正器接触点rm挠度的位移向量；等效刚度矩阵和等效荷载向量分别为：
上两式中的和为不包括j行和j列的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵(j的定义同公式(19))，是由和与j列刚度系数、阻尼系数和质量系数组成的“荷载”向量：
求出和后，即可由公式(8)计算再返回第一步进行迭代计算；
油管的响应则采用公式(10)～式(12)计算，其中i＝3
③和即时刻t仅油管有扶正器与内套管发生接触，则由式(10)计算内套管的响应(i＝2)，如果k≠0，则根据收敛条件
判断迭代是否收敛；如果满足收敛条件，则转至第一步进行下一个时间步的计算；否则，基于接触条件
求出油管接触点的挠度增量，并由下式计算接触点挠度的速度和加速度增量
式中：n(sm)为油管扶正器sm的结点编号，m3为油管扶正器与内套管发生接触的数量；
然后，由式(9)的Newmark-β法公式
求出油管其它未知的位移增量并由公式(11)(i＝3)和公式(12)(i＝3)求出相应的速度增量和加速度增量及位移速度和加速度
式(21)中，为2Nd-m3个元素组成的向量，即不包括油管扶正器接触点sm挠度的位移向量；等效刚度矩阵和等效荷载向量分别为：
上两式中的和为不包括j行和j列的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵(j＝2n(sm)-1,(m＝1,2,…,m3),n(sm)为接触点sm的节点编号)，是由和与j列刚度系数、阻尼系数和质量系数组成的“荷载”向量
求出和后，即可由公式(9)计算再返回③进行迭代计算；
④和即时刻t内套管和油管均有扶正器与外套管和内套管发生接触，则根据外套管的运动条件首先由式(13)～式(20)计算内套管的响应，再将式中的下标1改为2、2改为3计算油管的响应，然后，由式(9)计算并代入式(8)计算并返回第一步进行迭代计算；
第三步：判断接触状态
如果
成立，则没有新增接触扶正器，转至第一步计算下一时刻的响应；否则，转至第二步的相应接触状态重新计算内套管和油管的响应并进行迭代；
上式中，δi+1为扶正器与相邻管柱的静态间隙，δi+1＝di/2-Di+1/2-hi+1；其中，di为外套管(i＝1)或内套管(i＝2)的内径，Di+1为内套管(i＝1)或油管(i＝2)外径，hi+1为内套管(i＝1)或油管(i＝2)扶正器的径向尺寸；
当|(a1,j)t+Δt|＞|(a1,j)t|,(j＝2n(rm)-1)时，式(22)取正号。
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