CN110324271B - 一种基于压缩感知的限幅的f-ofdm系统收发机设计方法 - Google Patents

一种基于压缩感知的限幅的f-ofdm系统收发机设计方法 Download PDF

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CN110324271B CN201910662512.7A CN201910662512A CN110324271B CN 110324271 B CN110324271 B CN 110324271B CN 201910662512 A CN201910662512 A CN 201910662512A CN 110324271 B CN110324271 B CN 110324271B
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Abstract

本发明属于信息与通信技术领域，涉及一种基于压缩感知的限幅的F‑OFDM系统收发机设计方法。为了更有效地降低PAPR同时充分利用已知信息恢复出被截断部分z从而更准确地恢复信号，本发明提出了重复Clipping and Filtering并使用Turbo‑CS算法在时域恢复缺失信号，一方面在发送端通过重复的Clipping and Filtering降低PAPR，另一方面在接收端使用Turbo Compressive Sensing(Turbo‑CS)算法迭代检测干扰信号z从而保证传输的可靠性。

Description

一种基于压缩感知的限幅的F-OFDM系统收发机设计方法
技术领域
本发明属于信息与通信技术领域，涉及一种基于压缩感知的限幅的F-OFDM系统收发机设计方法。
背景技术
对于多载波通信系统，信号在时域上表现为多个子载波叠加而成，此时某些位置上若载波同相位导致幅度叠加从而出现高峰值，这使得多载波通信面临着高峰均功率比即高PAPR问题，且PAPR会随着子载波个数增加而逐渐加大。F-OFDM已被列为5G候选波形，其作为一种正交多载波通信技术由此也面临着高PAPR问题。
若不进行任何处理，高PAPR对于系统将产生诸多不良影响：一方面信号峰值超过功率放大器(HPA)饱和区会造成非线性失真及载波间的交调失真；另一方面进行AD/DA转换时若量化精度不够将产生较大的量化噪声。
为避免上述问题，一种最简单且应用广泛的方法是预先对信号进行截断(Clipping)来降低PAPR：
Figure GDA0002954034660000011
常数A表示阈值，θx表示x的相位。此时为保证传输的可靠性，本发明需要在接收端估计Clipping的位置以及幅度，将其看作为待估计的干扰z，此时信号，
Figure GDA0002954034660000012
如文献“Hangjun Chen and Alexander M.Haimovich,“Iterative Estimationand Cancellation of Clipping Noise for OFDM Signals”,IEEE COMMUNICATIONSLETTERS,VOL.7,NO.7,JULY 2003.”在接收端重现Clipping过程估计z并在频域消除干扰。如文献“Shansuo Liang,Jun Tong and Li Ping,“On Iterative Compensation ofClipping Distortion in OFDM Systems”,IEEE WIRELESS COMMUNICATIONS LETTERS,VOL.8,NO.2,APRIL 2019.”将被截断部分z做FFT变换后看作高斯随机变量使用蒙特卡罗方法估计均值和方差。以上算法在发送端对OFDM信号只进行了一次Clipping，而通过数字滤波器后
Figure GDA0002954034660000021
的高频部分被滤掉后会导致时域再次出现高峰值从而加大PAPR；此外上述算法在接收端都考虑在频域去除干扰，但实际上，由于z只在原始信号的高峰值处由于Clipping而产生，在时域上具有稀疏性与高幅度的鲜明特征，若使用压缩感知领域的稀疏信号恢复算法在时域估计z，结果表明可以得到更佳的估计效果。
发明内容
为了更有效地降低PAPR同时充分利用已知信息恢复出被截断部分z从而更准确地恢复信号，本发明提出了重复Clipping and Filtering并使用Turbo-CS算法在时域恢复缺失信号，，一方面在发送端通过重复的Clipping and Filtering降低PAPR，另一方面在接收端使用Turbo Compressive Sensing(Turbo-CS)算法迭代估计z从而保证传输的可靠性。
接收机由三个模块构成，线性估计器模块A，信号解调模块B和稀疏信号恢复模块C。每次模块会输出一个估计并传往下一个模块，由Module A与Module B迭代估计F-OFDM信号X以及Module A与Module C迭代估计稀疏干扰z,直至算法收敛。
本发明采用的技术方案包括以下步骤：
S1、输入二进制比特流b[n]，基调调制得到长度为N的映射符号X，通过填零与快速傅里叶反变换，得到长度为LN的L倍上采样信号向量
Figure GDA0002954034660000022
Figure GDA0002954034660000023
其中：
Figure GDA0002954034660000024
在长度为N的符号X中间插入了N(L-1)个0，
Figure GDA0002954034660000025
为NL by NL的傅里叶矩阵，第(i,j)的元素
Figure GDA0002954034660000026
(·)H表示共轭转置。
S2、对
Figure GDA0002954034660000027
做重复的Clipping and Filtering处理(参见J.Armstrong,“Peak-to-average power reduction for ofdm by repeated clipping and frequency domainfiltering,”Electronics Letters,vol.38,no.5,pp.246–247,Feb 2002.)，添加循环前缀(CP),再通过F-OFDM的Subband滤波器，最后传送到发射天线。
S3、信号经过多径信道，设置循环前缀长度大于信道脉冲响应h最大时延，则过程可看作信号与信道做循环卷积的过程。
S4、信号到达接收端，通过对应的Subband滤波器再去除CP，去掉接收信号频域中间填零部分并做IDFT，得到长度为N的下采样观测向量y，
y＝B(x+z)＝H(FHX+z)+w
其中H为循环矩阵且可相似对角化H＝FHDHF,其中对角矩阵DH＝diag{Fh}，h为信道脉冲响应，F为N by N的傅里叶矩阵(Fourier Matrix)，矩阵元素
Figure GDA0002954034660000031
z为Clipping and filterting操作而产生的干扰信号，需要在接收端估计并消除干扰,w为零均值的高斯白噪声。
S5、初始化迭代接收机参数：
Figure GDA0002954034660000032
其中数值
Figure GDA0002954034660000033
由发送端传输至接收端，
Figure GDA0002954034660000034
表示z的均值，I表示单位矩阵，我们使用上标“prior”的缩写“pri”表示先验信息，用上标“posterior”的缩写“post”表示后验信息，用上标“extrinsic”的缩写“ext”表示外信息。
S6、线性估计模块A使用LMMSE算法得到对于信号的估计值
Figure GDA0002954034660000035
以及估计量与真值的协方差矩阵
Figure GDA0002954034660000036
假设信道已被检测出来，在已知先验信息
Figure GDA0002954034660000037
下得到公式如下：
Figure GDA0002954034660000038
Figure GDA0002954034660000039
其中σ2为高斯白噪声w的方差
S7、计算外信息，公式如下：
Figure GDA00029540346600000310
Figure GDA00029540346600000311
其中
Figure GDA00029540346600000312
表示矩阵
Figure GDA00029540346600000313
的第i个对角元素，
Figure GDA00029540346600000314
表示
Figure GDA00029540346600000315
的第i个元素，将外信息输入至信号解调模块B，其中
Figure GDA0002954034660000041
S8、假设
Figure GDA0002954034660000042
结合信号调制星座点Sk进行软解调，计算对数似然比。
Figure GDA0002954034660000043
Figure GDA0002954034660000044
其中
Figure GDA0002954034660000045
表示
Figure GDA0002954034660000046
的第i个元素是第k个星座点的概率,
Figure GDA0002954034660000047
表示第i个元素的第j个比特的对数似然比，即该比特取1与0概率比值的对数化，Sk，j为第k个星座点的第j个比特。
S9、根据软解调得到的软信息进行软调制，输出对于X的估计值以及估计方差，公式如下：
Figure GDA0002954034660000048
Figure GDA0002954034660000049
Figure GDA00029540346600000410
Figure GDA00029540346600000411
将信息传递到LMMSE模块
Figure GDA00029540346600000412
S10、使用LMMSE算法得到对于的估计值
Figure GDA00029540346600000413
以及估计量与真值的协方差矩阵
Figure GDA00029540346600000414
公式如下：
Figure GDA0002954034660000051
Figure GDA0002954034660000052
不难得到
Figure GDA0002954034660000053
的对角线元素均相等。
S11、计算外信息(可参考“C.Berrou and A.Glavieux,“Near optimum errorcorrecting coding and decoding:Turbo-codes,”IEEE Trans.Commun.,vol.44,no.10,pp.1261–1271,Oct.1996”)得：
Figure GDA0002954034660000054
Figure GDA0002954034660000055
其中
Figure GDA0002954034660000056
表示矩阵
Figure GDA0002954034660000057
的第i个对角元素，
Figure GDA0002954034660000058
表示向量
Figure GDA0002954034660000059
的第i个元素。将外信息传递到稀疏信号恢复模块C作为该模块的先验信息，即
Figure GDA00029540346600000510
S12、根据stein’s lemma(C.M.Stein,“Estimation of the mean of amultivariate normal distribu-tion,”Ann.Statist.,vol.9,no.6,pp.1135–1151,Nov.1981)及Stein’s unbiased risk estimate(SURE)(T.Blu and F.Luisier,“TheSURE-LET approach to image denoising,”IEEE Trans.Image Process.,vol.16,no.11,pp.2778–2786,Nov.2007)，同时引入用作近似稀疏信号的kernal函数(C.Guo andM.E.Davies,“Near optimal compressed sensing without priors:Parametric sureapproximate message passing,”IEEE Trans.Signal Process.,vol.63,no.8,pp.2130–2141,Apr.2015)来估计稀疏信号z，得到估计结果：
Figure GDA00029540346600000511
Figure GDA00029540346600000512
其中c和α是线性组合系数，用来使得模块C的输入与输出估计误差的相关性为0，同时最小化模块的输出估计误差。在这样的设计准则下，c和α可以被近似的给出。
Figure GDA0002954034660000061
其中<A，B>＝ATB,||·||2表示2范数。
Figure GDA0002954034660000062
表示取实部，
Figure GDA0002954034660000063
表示取虚部，div表示向量每一项求导再求和。D(·)表示kernel函数，
Figure GDA0002954034660000064
[5]中给出的可供选择的kernel函数有3种，D(·)含有未知参数可与c,α一起进行联合优化。
S13、将外信息传递至LMMSE模块即
Figure GDA0002954034660000065
S14、若算法收敛则结束，否则返回步骤S6。
本发明的有益效果分别体现在发送端与接收端。在发送端，本发明通过重复的Clipping and Filtering处理从而达到更好的PAPR降低效果；在接收端，计算开销主要在LMMSE模块，但每次迭代的复杂度可降低到O(N log N),因为步骤S6、S10求逆矩阵为对角矩阵，且矩阵相乘可用FFT快速算法实现；此外，通过仿真表明算法迭代5次以内即可收敛，且误码率优于上述用作比较的算法，同时与理论最佳曲线的差距也非常小。
附图说明
图1是算法的流程图；
图2是发送端不同Clipping and Filtering重复次数对于PAPR的影响曲线；
图3为F-OFDM系统下使用不同算法恢复被截断信号的误比特率仿真曲线。
具体实施方式
下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。
图1是算法的流程图，包括发送端的重复Clipping and Filtering，多径信道的引入，以及接收端的Turbo-CS迭代接收机。
下面给出本发明基于上述算法的一个具体实施方法，该具体方法的参数设置如下：
在发送端，使用QPSK调制，F-OFDM子载波个数为1024，4倍上采样并使用sinc成型脉冲。Clipping and Filtering三次，定义
Figure GDA0002954034660000066
其中A为阈值，设置CR(ClippingRatio)为1.4。循环前缀长度为45，使用sinc函数并用hanning窗进行软截断构造阶数为512的FIR滤波器作为Subband Filter。
信道选择Rayleigh信道，六条径的物理时延分别为0，0.31，0.71，1.09，1.73,2.51微秒，衰减为0，-1，-9，-10，-15，-20dB。采用Y.R.Zheng and C.Xiao提出的信道建模方式“Yahong Rosa Zheng，Chengshan Xiao.ImProved Models for Generation of MultiPleUneorrelated Rayleigh Fading Waveform 2002”。
在接收端，模块C的SURE-LET算法采用[5]中给出的kernal families中的(b)类kernal函数。
根据以上参数设置，该仿真的具体步骤如下：
S1、输入二进制比特流b[n]，基调调制得到长度1024映射符号X，通过填零与快速傅里叶反变换，得到长度为4096的4倍上采样信号向量
Figure GDA0002954034660000071
Figure GDA0002954034660000072
其中：
Figure GDA0002954034660000073
在长度为1024的符号X中间插入了3072个0，
Figure GDA0002954034660000074
为4096×4096的傅里叶矩阵，第(i,j)的元素
Figure GDA0002954034660000075
S2、对
Figure GDA0002954034660000076
做重复的Clipping and Filtering处理，添加循环前缀(CP),再通过F-OFDM的Subband滤波器，最后传送到发射天线。
S3、信号经过多径信道，设置循环前缀长度大于信道脉冲响应h最大时延，则过程可看作信号与信道做循环卷积的过程。
S4、S4、信号到达接收端，通过对应的Subband滤波器再去除CP，去掉频域中间填零部分并做IDFT，得到长度为N＝1024的下采样观测向量y，
y＝H(x+z)＝H(FHX+z)+w
其中H为循环矩阵且可相似对角化H＝FHDHF,其中对角矩阵DH＝diag{Fh}，h为信道脉冲响应，F为N by N的傅里叶矩阵(Fourier Matrix)，矩阵元素
Figure GDA0002954034660000077
z为Clipping and filterting操作而产生的干扰信号，需要在接收端估计并消除干扰。
S5、初始化迭代接收机参数：
Figure GDA0002954034660000081
其中数值
Figure GDA0002954034660000082
由发送端传输至接收端，
Figure GDA0002954034660000083
表示z的均值，I表示单位矩阵，我们使用上标“prior”的缩写“pri”表示先验信息，用上标“posterior”的缩写“post”表示后验信息，用上标“extrinsic”的缩写“ext”表示外信息。
S6、线性估计模块A使用LMMSE算法得到对于信号的估计值
Figure GDA0002954034660000084
以及估计量与真值的协方差矩阵
Figure GDA0002954034660000085
假设信道已被检测出来，公式如下：
Figure GDA0002954034660000086
Figure GDA0002954034660000087
S7、计算外信息，公式如下：
Figure GDA0002954034660000088
Figure GDA0002954034660000089
其中
Figure GDA00029540346600000820
表示矩阵
Figure GDA00029540346600000810
的第i个对角元素，
Figure GDA00029540346600000811
表示
Figure GDA00029540346600000812
的第i个元素，将外信息输入至信号解调模块B，其中
Figure GDA00029540346600000813
S8、假设
Figure GDA00029540346600000814
结合信号QPSK调制星座点Sk进行软解调，计算对数似然比。
Figure GDA00029540346600000815
Figure GDA00029540346600000816
其中
Figure GDA00029540346600000817
表示
Figure GDA00029540346600000818
的第i个元素是第k个星座点的概率,
Figure GDA00029540346600000819
表示第i个元素的第j个比特的对数似然比，即该比特取1与0概率比值的对数化，Sk，j为第k个星座点的第j个比特。
S9、根据软解调得到的软信息进行软调制，输出对于X的估计值以及估计方差，公式如下：
Figure GDA0002954034660000091
Figure GDA0002954034660000092
Figure GDA0002954034660000093
Figure GDA0002954034660000094
将信息传递到LMMSE模块
Figure GDA0002954034660000095
S10、使用LMMSE算法得到对于的估计值
Figure GDA0002954034660000096
以及估计量与真值的协方差矩阵
Figure GDA0002954034660000097
公式如下：
Figure GDA0002954034660000098
Figure GDA0002954034660000099
不难得到
Figure GDA00029540346600000910
的对角线元素均相等。
S11、计算外信息[6]
Figure GDA00029540346600000911
Figure GDA00029540346600000912
其中
Figure GDA0002954034660000101
表示矩阵
Figure GDA0002954034660000102
的第i个对角元素，
Figure GDA0002954034660000103
表示向量
Figure GDA0002954034660000104
的第i个元素，将外信息传递到稀疏信号恢复模块C，即
Figure GDA0002954034660000105
S12、根据stein’s lemma[3]及Stein’s unbiased risk estimate(SURE)[4]，同时引入用作近似稀疏信号的kernal函数(b)类[5]来估计稀疏信号z，对于kernel函数：
Figure GDA0002954034660000106
Figure GDA0002954034660000107
Figure GDA0002954034660000108
Figure GDA0002954034660000109
其中r为输入向量，β1，β2的选取依据输入变量方差大小
Figure GDA00029540346600001010
而定，使用该kernal函数估计稀疏信号z：
Figure GDA00029540346600001011
Figure GDA00029540346600001012
基于模块C的输入与输出估计误差的相关性为0，同时最小化模块的输出估计误差(SURE)的准则，η＝c[θ1，...，θK],我们联合优化参数α和η，得到上式结果。A是N by K矩阵，第k列为
Figure GDA00029540346600001013
B也是N by K矩阵，第k列为
Figure GDA00029540346600001014
得到
Figure GDA0002954034660000111
其中<A，A>＝ATA。
S13、将外信息传递至LMMSE模块即
Figure GDA0002954034660000112
S14、若算法收敛则结束，否则返回步骤S6。
图2是发送端不同Clipping and Filtering重复次数对于PAPR的影响曲线，横坐标表示dB化后的传输的符号功率大于平均功率数值，纵坐标表示符号所占比例。可见在CCDF(Complementary Cumulative Distribution Function)取10-4时，仅Clipping andFiltering 1次可降低约5dB的PAPR，但Clipping and Filtering 3次可降低约7dB的PAPR，相较于只处理一次有2dB的增益。
图3为F-OFDM系统下使用不同算法恢复被截断信号的误比特率仿真曲线，命名“CM”对应着“Hangjun Chen and Alexander M.Haimovich,“Iterative Estimation andCancellation of Clipping Noise for OFDM Signals”,IEEE COMMUNICATIONS LETTERS,VOL.7,NO.7,JULY 2003.”中算法，命名“SCM”对应“Shansuo Liang,Jun Tong and LiPing,“On Iterative Compensation of Clipping Distortion in OFDM Systems”,IEEEWIRELESS COMMUNICATIONS LETTERS,VOL.8,NO.2,APRIL 2019.”中算法，命名“SURE-LET”对应本发明提出来的算法，命名“lower bound”对应于假设接收端已知z后的误码率曲线即理论最佳曲线。可见随着信噪比的提升，本发明的算法可贴合到理论最佳曲线，在误码率达到10-4时比“Hangjun Chen and Alexander M.Haimovich,“Iterative Estimation andCancellation of Clipping Noise for OFDM Signals”,IEEE COMMUNICATIONS LETTERS,VOL.7,NO.7,JULY 2003.”中算法优1.5dB，比“Shansuo Liang,Jun Tong and Li Ping,“OnIterative Compensation of Clipping Distortion in OFDM Systems”,IEEE WIRELESSCOMMUNICATIONS LETTERS,VOL.8,NO.2,APRIL 2019.”中算法优1dB，比直接解调不估计z好近3dB。同时，在算法复杂度上也低于“Hangjun Chen and Alexander M.Haimovich,“Iterative Estimation and Cancellation of Clipping Noise for OFDM Signals”,IEEE COMMUNICATIONS LETTERS,VOL.7,NO.7,JULY 2003.”“Shansuo Liang,Jun Tong andLi Ping,“On Iterative Compensation of Clipping Distortion in OFDM Systems”,IEEE WIRELESS COMMUNICATIONS LETTERS,VOL.8,NO.2,APRIL 2019.”算法,因为“HangjunChen and Alexander M.Haimovich,“Iterative Estimation and Cancellation ofClipping Noise for OFDM Signals”,IEEE COMMUNICATIONS LETTERS,VOL.7,NO.7,JULY2003.”中涉及到接收端的上采样后的FFT变换，“Shansuo Liang,Jun Tong and Li Ping,“On Iterative Compensation of Clipping Distortion in OFDM Systems”,IEEEWIRELESS COMMUNICATIONS LETTERS,VOL.8,NO.2,APRIL2019.”中涉及使用Monte Carlo方法估计相关参数，而本发明的算法基于SURE准则给出了一种低复杂度的估计方式。最后，“Hangjun Chen and Alexander M.Haimovich,“Iterative Estimation andCancellation of Clipping Noise for OFDM Signals”,IEEE COMMUNICATIONS LETTERS,VOL.7,NO.7,JULY 2003.”“Shansuo Liang,Jun Tong and Li Ping,“On IterativeCompensation of Clipping Distortion in OFDM Systems”,IEEE WIRELESSCOMMUNICATIONS LETTERS,VOL.8,NO.2,APRIL 2019.”算法由于用到了Bussgang Theorem“R.Price,“A useful theorem for nonlinear devices having Gaussian inputs,"IRETrans.Inf.Theory,vol.IT-4,pp.69-72,June 1958.”只对F-OFDM信号Clipping andFiltering一次，因此对于PAPR降低的程度差于本发明。

Claims (1)

1.一种基于压缩感知的限幅的F-OFDM系统收发机设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、输入二进制比特流b[n]，基调调制得到长度为N的映射符号X，通过填零与快速傅里叶反变换，得到长度为LN的L倍上采样信号向量
Figure FDA0002954034650000011
Figure FDA0002954034650000012
其中：
Figure FDA0002954034650000013
在长度为N的符号X中间插入了N(L-1)个0，
Figure FDA0002954034650000014
为NL by NL的傅里叶矩阵，第(i，j)的元素
Figure FDA0002954034650000015
(·)H表示共轭转置；
S2、对
Figure FDA0002954034650000016
做重复的Clipping and Filtering处理，添加循环前缀(CP)，再通过F-OFDM的Subband滤波器，最后传送到发射天线；
S3、信号经过多径信道，设置循环前缀长度大于信道脉冲响应h最大时延，则过程为信号与信道做循环卷积的过程；
S4、信号到达接收端，通过对应的Subband滤波器再去除CP，去掉频域中间填零部分并做IDFT，得到长度为N的下采样观测向量y，
y＝H(x+z)＝H(FHX+z)+w
其中H为循环矩阵且可相似对角化H＝FHDHF，其中diag{DH}＝Fh；z为Clipping andfilterting操作而产生的干扰信号，需要在接收端估计并消除干扰并估计x，w为零均值的高斯白噪声，F为N by N的傅里叶矩阵(Fourier Matrix)，矩阵元素
Figure FDA0002954034650000017
S5、初始化迭代接收机参数：
Figure FDA0002954034650000018
其中数值
Figure FDA0002954034650000019
由发送端传输至接收端，
Figure FDA00029540346500000110
表示z的均值，I表示单位矩阵，使用上标“prior”的缩写“pri”表示先验信息，用上标“posterior”的缩写“post”表示后验信息，用上标“extrinsic”的缩写“ext”表示外信息；
S6、线性估计模块A使用LMMSE算法得到
Figure FDA00029540346500000111
以及
Figure FDA00029540346500000112
假设信道已被检测出来，H＝FHDHF，在已知先验信息
Figure FDA0002954034650000021
下得到公式如下：
Figure FDA0002954034650000022
Figure FDA0002954034650000023
其中σ2为高斯白噪声w的方差；
S7、计算外信息，公式如下：
Figure FDA0002954034650000024
Figure FDA0002954034650000025
其中
Figure FDA0002954034650000026
表示
Figure FDA0002954034650000027
的第i个对角元素，
Figure FDA0002954034650000028
表示
Figure FDA0002954034650000029
的第i个元素，将外信息输入至信号解调模块B，其中
Figure FDA00029540346500000210
S8、令
Figure FDA00029540346500000211
结合信号调制星座点Sk进行软解调，计算对数似然比：
Figure FDA00029540346500000212
Figure FDA00029540346500000213
其中
Figure FDA00029540346500000214
表示
Figure FDA00029540346500000215
的第i个元素是第k个星座点的概率，
Figure FDA00029540346500000216
表示第i个元素的第j个比特的对数似然比，即该比特取1与0概率比值的对数化，Sk为星座点，M为调制阶数，Sk，j为第k个星座点的第j个比特；
S9、根据软解调得到的软信息进行软调制，输出对于X的估计值以及估计方差，公式如下：
Figure FDA00029540346500000217
Figure FDA0002954034650000031
Figure FDA0002954034650000032
Figure FDA0002954034650000033
将信息传递到LMMSE模块
Figure FDA0002954034650000034
S10、使用LMMSE算法得到对应的估计值
Figure FDA0002954034650000035
以及估计量与真值的协方差矩阵
Figure FDA0002954034650000036
公式如下：
Figure FDA0002954034650000037
Figure FDA0002954034650000038
得到
Figure FDA0002954034650000039
的对角线元素均相等；
S11、计算外信息：
Figure FDA00029540346500000310
Figure FDA00029540346500000311
其中
Figure FDA00029540346500000312
表示矩阵
Figure FDA00029540346500000313
的第i个对角元素，
Figure FDA00029540346500000314
表示向量
Figure FDA00029540346500000315
的第i个元素；将外信息传递到稀疏信号恢复模块C，即
Figure FDA00029540346500000316
S12、引入用作近似稀疏信号的kernel函数来估计稀疏信号z，得到估计结果：
Figure FDA00029540346500000317
Figure FDA0002954034650000041
其中c和α是线性组合系数，用来使得模块C的输入与输出估计误差的相关性为0，同时最小化模块的输出估计误差；在这样的设计准则下，c和α被近似的得到；
Figure FDA0002954034650000042
其中<A，B>＝ATB，||·||2表示2范数，
Figure FDA0002954034650000043
Figure FDA0002954034650000044
表示取实部，
Figure FDA0002954034650000045
表示取虚部，div表示向量每一项求导再求和，D(·)表示kernel函数，
Figure FDA0002954034650000046
S13、将外信息传递至LMMSE模块即
Figure FDA0002954034650000047
S14、若算法收敛则结束，否则返回步骤S6。
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