CN110321650B

CN110321650B - 基于新型试验设计与权重响应面的结构可靠性分析方法

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Publication number: CN110321650B
Application number: CN201910623121.4A
Authority: CN
Inventors: 肖宁聪; 尚昆; 袁凯; 王强; 程凯
Original assignee: University of Electronic Science and Technology of China
Current assignee: University of Electronic Science and Technology of China
Priority date: 2019-07-11
Filing date: 2019-07-11
Publication date: 2021-06-22
Anticipated expiration: 2039-07-11
Also published as: CN110321650A

Abstract

本发明公开了一种基于新型试验设计与权重响应面的结构可靠性分析方法，该方法包括：根据星型设计法确定首次迭代响应面的试验点；通过加权最小二乘法拟合得到当前迭代响应面；通过一阶可靠性方法得到当前迭代响应面的可靠性设计点及可靠性指标；根据前一次迭代响应面，通过新型设计法确定本次迭代响应面的拟合样本；若相邻两次迭代响应面满足预设收敛条件，则停止迭代；并根据最后一次迭代所得响应面，用蒙特卡洛仿真方法计算结构的失效概率；本发明通过结合当前响应面方程与设计点求出新的拟合样本，并且引入加权机制，有效提高了响应面法的精度和计算效率。

Description

基于新型试验设计与权重响应面的结构可靠性分析方法

技术领域

本发明属于可靠性工程领域，特别涉及一种基于新型试验设计与权重二次响应面的结构可靠性分析方法。

背景技术

可靠性作为产品质量的主要指标和关键技术指标之一，现已受到工程界的广泛关注和重视。可靠性技术贯穿于产品的设计、制造、维修等各个环节。工程结构在正常使用期间，不但其自身具有不确定性(如材料属性、外部载荷、尺寸等参数的随机性)，还要承受人为或自然环境所带来的不确定性影响。传统的工程设计以安全因子来保证所设计结构的相对稳定，通常以结构的期望强度响应与期望载荷之比作为安全因子值。相比于已经发展成熟的确定性分析方法(传统的安全系数法)，考虑随机不确定性的可靠性理论虽然已经建立起了基本的理论框架，该方法能够较好地评估工程结构的可靠性与安全性，并已逐步应用于工程实际。随着可靠性技术的不断发展，研究者提出了许多可靠性分析的方法，如蒙特卡洛法、一次二阶矩法、一阶可靠性分析方法等。然而这些方法存在着计算效率和精度方面的不足，尤其是面对大型复杂工程结构时，其极限状态方程多为隐函数，需要通过大量调用ANSYS进行有限元计算以获取其结构的响应值。因此，提高算法的效率，减少调用有限元计算的次数是工程中待解决的关键问题。响应面法(ResponseSurface Method，RSM)通过二次多项式函数的形式对隐式极限状态曲面进行近似替代，在保证计算精度的同时具有较高的计算效率，能有效的降低计算量。

在常规二次响应面模型基础上，为了更加精确地拟合真实极限状态曲面，应当区分不同的试验点对提高响应面局部精度方面上发挥的不同作用。因此，可根据不同试验点的特性(到真实极限状态曲面或可靠性设计点的距离)为各个试验点赋予不同的权重，使得响应面对真实极限状态曲面的局部拟合精度更高。

由于响应面方法的基本思想就是对真实极限状态曲面的近似拟合，所以即使是前期构建的响应面误差较大，仍能在一定程度上表征真实极限状态曲面的特征。因此有必要在考虑到响应面特征的基础上选择合适的试验点。然而传统响应面方法在选取试验点时使用的是“星形设计法”，该方法在选择设计点时只考虑了可靠性设计点这一有效信息，忽略了当前迭代响应面所能表征的其他信息。另外，“星形设计法”在选择试验点时，选择的偏离距离是固定不变的，当响应面构建较为精确时，可靠性设计点位置变化较小，此时选取的试验点就会集中在某些区域，导致算法精度和效率较低。

发明内容

本发明的主要目的在于提供一种基于新型试验设计与权重响应面的结构可靠性分析方法，旨在解决既有方法中存在的上述技术问题。

为实现上述目的，本发明提供一种基于新型试验设计与权重响应面的结构可靠性分析方法，包括以下步骤：

S1、分析结构系统的组成、功能和服役环境，确定系统的关键部件及其对应的失效模式和失效机理；

S2、根据失效模式和失效机理确定影响系统失效的变量，并用随机变量对其不确定性进行建模，并用最大似然估计对分布参数进行估计；

S3、将所有随机变量当量正态化到标准正态空间中，选取首次迭代的试验点并拟合初始迭代响应面；

S4、采用一阶可靠性方法求得首次迭代响应面对应的可靠性设计点；

S5、采用新型设计法选取当前迭代响应面对应的拟合样本矩阵；

S6、设置权重函数，并对当前迭代的所有试验点进行赋权；

S7、采用加权最小二乘拟合得到当前迭代的响应面；

S8、采用一阶可靠性方法求解当前迭代响应面所对应的可靠性设计点，判断相邻两次迭代响应面是否满足预设收敛条件；若是，则进行到下一步骤；若否，则返回步骤S5；

S9、根据迭代得到的响应面，采用蒙特卡罗法计算结构的失效概率。

进一步地，所述步骤S3中，将所得随机变量当量正态化到标准正态空间中具体包括：

将非正态分布变量当量转化到正态空间中，表示为：

其中，

为当量正态化后的均值，

为当量正态化后的标准差，

表示非正态变量在

处的累积分布函数，

表示当量正态化后的累积分布函数，

表示原始变量在

处的概率分布函数，

表示当量正态化后的概率分布函数；

如正态分布转化为标准正态分布，表示为：

其中，

为

在标准正态分布中的对应值。

进一步地，所述步骤S3中，选取首次迭代的试验点并拟合初始迭代响应面具体为：确定首次迭代响应面的样本矩阵，通过最小二乘法拟合得到首次迭代的响应面。

进一步地，所述确定首次迭代响应面的样本矩阵具体为：

以随机变量均值点作为抽样中心点，采用星形设计法在抽样中心点周围选取试验点，用所选取的试验点作为首次迭代响应面的样本矩阵。

进一步地，所述步骤S5采用新型设计法选取当前迭代响应面对应的拟合样本矩阵具体为：

利用前一次迭代所得可靠性设计点与变量均值点进行线性插值得到当前迭代的抽样中心点，采用新型设计法在抽样中心点周围选取试验点，将当前迭代得到的试验点和之前迭代所得的所有试验点共同组成拟合当前迭代响应面的样本矩阵。

进一步地，所述步骤S5中采用新型设计法在抽样中心点周围选取试验点具体包括以下几个步骤：

S51、依次选取第i和(i+1)两个随机变量(u_i,u_i+1)为未知变量，固定其余变量，根据试验点到抽样中心点的偏离距离，计算试验点集；

S52、若计算结果有解，即试验点为

则判断试验点间的距离是否满足设定条件；若是，则只选取其中一个试验点作为拟合样本；若否，则选取所有试验点作为拟合样本，得到的试验点为

和

S53、若计算结果无解，则当试验点到抽样中心点的偏离距离大于设定阈值，减小偏离距离并返回步骤S51；当试验点到抽样中心点的偏离距离小于设定阈值时，按星形设计法在抽样中心点周围选取试验点；

S54、递进迭代次数，并返回步骤S51，直到达到随机变量总数。

进一步地，所述计算试验点集的计算公式具体为：

其中，

表示将变量

代入标准正态空间中的表达式g_u后得到的表达式，u_Mi为第i个变量的抽样中心点，f为试验点到抽样中心点的偏离距离。

进一步地，所述步骤S6中，设置的权重函数具体表示为：

其中，ω_i为第k次迭代试验点的权重，

|g_u(u_i)|为标准正态空间下试验点与极限状态曲面的距离，g_u(u_i)为标准正态空间下试验点对应的响应值，g_u为试验点x及其响应值g(x)的对应关系g在标准正态空间的表达式，β为权重的比例分配系数，d_i′为试验点到上一次迭代所得可靠性设计点的标准化距离。

进一步地，所述步骤S8中，预设的收敛条件具体表示为：

其中，

为标准正态空间下第k次迭代响应面对应的可靠性设计点，ε为预设的正数。

本发明的有益效果是：本发明的基于新型试验设计与权重响应面的结构可靠性分析方法，通过构建响应面可将隐式的极限状态曲面函数以二次响应面形式显式表达出来；并提出了一种考虑当前迭代响应面特性的新型试验设计方法，并在此基础上引入了双加权机制，可有效提高响应面算法的精度和效率，适用于随机不确定下的结构可靠性分析问题，可应用于工程实践。

附图说明

图1是本发明实施例中基于新型试验设计与权重响应面的结构可靠性分析方法流程示意图；

图2是本发明实施例中星形设计法抽样示意图；

图3是本发明实施例中新型设计法抽样示意图；

图4是本发明实施例中新型设计法抽样流程图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，一种基于新型试验设计与权重响应面的结构可靠性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

本发明根据产品的运行环境、系统的组成和历史数据，用重要度分析方法确定系统的关键部件。由于工程中，机械结构疲劳、磨损、腐蚀等故障机理较多，需要通过专家经验或失效模式与影响分析(Failure Mode and Effects Analysis，FMEA)等方法确定结构关键部件的失效模式及失效机理。

S2、根据失效模式和失效机理确定影响系统失效的关键变量，并用随机变量对其不确定性进行建模；

本发明根据步骤S1确定的失效模式和失效机理，确定影响结构或部件失效的关键变量(如尺寸、弹性模量、载荷等)，并采用随机变量X_i(i＝1,2,…,n)对随机不确定性建模，n表示随机变量的个数。

由于设计制造中存在随机性，所以这些变量包含有不确定性，因此通过随机变量对该关键变量的不确定性进行建模(如极值分布、正态分布、威布尔分布等)。用参数估计和假设检验方法对变量的分布参数(如均值、方差)及其分布形式进行估计和检验。这里提到的参数估计和假设检验方法是统计推断中的基本方法，本发明不做赘述。

S3、将所得随机变量当量正态化到标准正态空间中，选取首次迭代的试验点并拟合初始迭代响应面；

本发明将所得随机变量当量正态化到标准正态空间中，并在标准正态空间中并选取首次迭代的试验点。首次迭代以变量均值点为抽样中心点，按“星形设计法”在其周围选取试验点，并计算各试验点处的响应值，用最小二乘法拟合出初始迭代响应面。

将所得随机变量当量正态化到标准正态空间中具体包括：

将非正态分布变量当量转化到正态空间中，表示为：

由此可得，当量正态分布的均值及标准差为：

其中，

为当量正态化后的均值，

为当量正态化后的标准差，

表示非正态变量在

处的累积分布函数，

表示当量正态化后的累积分布函数，

表示原始变量在

处的概率分布函数，

表示当量正态化后的概率分布函数；

然后将正态分布转化为标准正态分布，表示为

其中，

为

在标准正态分布中的对应值。

本发明选取首次迭代的试验点并拟合初始迭代响应面具体为：确定首次迭代响应面的样本矩阵，通过加权最小二乘法拟合得到当前迭代的响应面。

上述星形设计法指沿抽样中心点各变量所在坐标轴正、负方向偏离抽样中心点一定步长(通常为随机变量标准差l的倍数f)选取另外2n个试验点(n为变量个数)，具体过程如图2所示，由于步骤S3已将随机变量当量正态化到标准正态空间中，故这里l＝1。考虑到全局性和局部性，f初始取值一般设定为1～3。调用ANSYS计算试验点处的响应值，并通过最小二乘法拟合出首次迭代的响应面。

本发明运用一阶可靠性方法(First Order Reliability Method,FORM)或其他优化方法计算极限状态曲面的可靠性指标及可靠性设计点，等价于求解以下优化问题：

其中，U为原随机变量X经当量正态化后在标准正态空间中对应的变量，g_u为试验点x及其响应值g(x)的对应关系g在标准正态空间的表达式，求解上式得到的结果U_D即为本次迭代的可靠性设计点。

本发明确定当前迭代响应面对应的拟合样本矩阵，具体为：第k(k≥2)次迭代时，以第(k-1)次迭代响应面所对应的可靠性设计点与变量均值点进行线性插值得到新的抽样中心点，按“新型设计法”选取试验点，将新得到的试验点(含抽样中心点)和之前迭代所得的所有试验点共同组成第k次加权最小二乘拟合的样本矩阵；

在构建响应面过程中，为一个自适应的迭代更新过程，因此本发明通过引入迭代更新机制并设定收敛标准，以确保最终所构建保响应面的精度。在每一步迭代过程中，均可通过一阶可靠性方法确定当前迭代响应面所对应的可靠性设计点U_D。为使抽样中心点更接近真实极限状态前面，将该可靠性设计点U_D与变量均值点

进行线性插值得到新的抽样中心点U_M，表示为：

通过线性插值得到新的抽样中心点后，即可根据“新型设计法”选取新的试验点从而构建下一步迭代所需的响应面。

如图3和4所示，本发明采用新型设计法在抽样中心点周围选取试验点具体包括以下分步骤：

假设第k次迭代所得抽样中心点为

i表示第i个变量，n为变量个数；依次选取第i和(i+1)两个随机变量为未知变量，固定其余变量。若i＝n，选择第i和第1共两个随机变量为未知变量；否则，选取第i和第(i+1)两个随机变量为未知变量，记为(u_i,u_i+1)。固定其余随机变量，即令其余随机变量的取值为固定值(与抽样中心点

相同)，则随机变量变成了

由于输入变量中只有u_i和u_i+1两个变量是未知的，所以响应面函数便由一个高维曲面转化成只有两个随机变量的三维曲面，即第i和(i+1)个随机变量及响应值组成的三维曲面，此时极限状态曲面就变成了由第i和(i+1)两个变量所组成平面上的一条曲线。选择响应面上响应值为零且到可靠性设计点距离为f的点集作为本次迭代的试验点，由于此时极限状态是一条曲线，所以得到的试验点一般为两个，该试验点集可以通过解如下方程组可得：

其中，

表示将变量

代入标准正态空间中的表达式g_u后得到的表达式，f是试验点到抽样中心点的偏离系数，用来刻画偏离距离，由相邻两次迭代设计点之间的距离决定，可以表示为以下方程：

f＝h(ΔU_D)

其中，ΔU_D表示相邻两次迭代设计点之间的距离，

该方程可以根据实际经验进行设计，原则是当相邻两次迭代的设计点之间的距离越短，偏离距离越小，这样有利于算法的快速收敛，并提高设计点周围的拟合精度。

S52、若计算结果有解，即试验点为

为了避免样本矩阵出现奇异的情况，判断试验点间的距离是否满足设定条件，这里满足的条件设定为小于0.1；若满足，则只选取其中一个试验点作为拟合样本；若否，则选取所有试验点作为拟合样本，得到的试验点为

和

S53、若计算结果无解，则当试验点到抽样中心点的偏离距离大于设定阈值时，这里阈值设定为0.1，减小偏离距离0.1，并返回步骤S51；当试验点到抽样中心点的偏离距离小于设定阈值时，按星形设计法在抽样中心点周围选取试验点；

S54、更新迭代次数，即i＝i+2，并返回步骤S51，直到迭代次数i达到变量总数n。

S6、设置权重函数，并对当前迭代的所有试验点进行赋权；

在迭代过程中，为了使那些更接近真实极限状态曲面或可靠性设计点的试验点在响应面构建过程中发挥更重要的作用，本发明通过赋予其更大的权重，从而提高精度和效率。

本发明的权重函数同时考虑试验点与极限状态曲面的距离和与可靠性设计点的距离。考虑试验点与极限状态曲面的距离可以表示为|g_u(u_i)|。另外，记各试验点到上一次迭代所得可靠性设计点的欧拉距离为d_i(i＝1,2,…,m)。由于响应面算法为局部近似算法，因此设置试验点最大分布范围D，即D＝max(d_i)，由此可将d_i转换为0到1之间的标准化距离即，

最终第k次迭代试验点的权重ω_i确定如下：

其中，ω_i为第k次迭代试验点的权重，u_i为试验点，

|g_u(u_i)|为试验点与极限状态曲面的距离，g_u(u_i)为试验点对应的响应值，g_u为试验点x及其响应值g(x)的对应关系g在标准正态空间的表达式，α为权重的比例分配系数，β∈[0,1]，d_i′为试验点到上一次迭代所得可靠性设计点的标准化距离。α越大表明试验点分配给其与极限状态曲面距离的权重就越大，则响应面对极限状态曲面的拟合效果较好，反之表明其分配给与可靠性设计点距离的权重就越大，则响应面对可靠性设计点附近的拟合效果较好。在迭代过程中也可以动态调整α的值，如在迭代初始阶段，β＝0.6，在迭代后期，β＝0.3。

S7、采用加权最小二乘拟合得到下一次迭代的响应面；

本发明根据步骤S6中的权重函数，分别确定出各试验点的权重，采用加权最小二乘拟合得到第k次迭代的响应面。

S8、采用一阶可靠性方法求解下一次迭代响应面对应的可靠性设计点，判断相邻两次迭代响应面所得设计点U_D是否满足预设收敛条件；若是，则进行下一步骤；若否，则返回步骤S5；

上述预设的收敛条件具体表示为：

其中，

为第k次迭代响应面对应的可靠性设计点，ε为预设的非常小的正数，||·||表示求范数运算。

S9、根据迭代得到的响应面，采用蒙特卡罗法计算结构的失效概率，即为结构的近似失效概率。

本发明提出的一种基于新型试验设计与权重二次响应面的结构可靠性分析方法，以简单的二次多项式来近似替代复杂的隐式极限状态曲面，以便对复杂工程结构进行可靠性分析。相对于现有技术该方法运用了在迭代过程中样本点的双权重及考虑响应面表征信息的新型试验设计方法，因此精度和效率高，可应用于工程实践。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的基本原理和一般步骤，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。