CN110276150A - 一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法 - Google Patents

一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法，通过收集水文站点的长系列流量资料，计算代表年份的河川基流量和河川径流量系列，在确定河川基流量和河川径流量的边缘概率分布函数的基础上，构建河川基流量和河川径流量的联合概率分布函数，进而求解给定河川径流量时河川基流量的条件概率分布函数，最后进行非代表年份的河川基流量系列插补延长。本发明统计理论基础较强，可以准确捕捉河川基流量与河川径流量的非线性关系，允许河川基流量与河川径流量服从非正态分布。此外，本发明基于Copula函数随机插补延长河川基流量，可以保持河川基流量长系列的统计参数特征，很好地反映河川基流量的实际特点。

Description

一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法
技术领域
本发明属于水资源评价领域，特别涉及一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法。
背景技术
山丘区由于地下蓄水能力有限，加以河床切割较深，河川基流量一般近似地等于地下水资源量，同时也是地表和地下水资源量的重复量。因此，河川基流量是山丘区水文分析计算、水资源评价及暴雨洪水分析中的重要内容。根据计算原理的不同，常用的典型年河川基流量计算方法主要包括图解法、水文模型法、同位素法、数学物理法及数值模拟法等，不同方法的计算结果也不尽相同，通常根据具体情况选用。
工程实际中除了计算典型年的山丘区河川基流量，有时还需要得到逐年的河川基流量系列，例如第三次全国水资源调查评价工作中为保持气候和下垫面一致性，就要求插补延长得到1956-2000年的逐年河川基流量系列。这种情况下一般通过建立代表年份的河川基流量与河川径流量的关系曲线，并据此计算其他年份的河川基流量。目前通常采用的关系曲线建立方法主要有经验绘图法和线性回归法。其中，经验绘图法将对应的河川基流量、河川径流量在图上绘点，然后按点群分布趋势，徒手绘制关系曲线，导致主观性强，定线原则方面缺乏统一的准则。线性回归法假设两者满足线性关系且河川基流量系列服从正态分布，难以捕捉河川基流量与河川径流量的非线性关系以及河川基流量系列的非正态特征。
Copula函数可以构造具有任意边缘分布的多个随机变量的联合分布，进而求解条件概率的解析表达式，能很好地捕捉随机变量间的非正态特征和非线性相关结构，在水文水资源领域中得到了广泛的研究和应用。目前，没有文献将Copula函数引入山丘区河川基流量系列插补延长研究中。
发明内容
针对现有技术存在的不足，本发明提供了一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法。
为解决上述技术问题，本发明采用如下的技术方案：一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法，包括步骤：
步骤1，收集水文站点的长系列流量资料；
步骤2，依据步骤1中的流量数据资料，计算代表年份的河川基流量和河川径流量系列。
步骤3，根据步骤2中的代表年份的河川基流量和河川径流量系列，选取适当的边缘概率分布函数线型，估计边缘概率分布函数的参数，确定最优边缘概率分布函数；
步骤4，根据步骤2中的代表年份的河川基流量和河川径流量系列，采用Copula函数构造河川基流量和河川径流量的联合概率分布函数，估计Copula函数的参数，确定最优Copula函数；
步骤5，根据步骤3估计的边缘分布函数和步骤4构建的联合分布函数求解给定河川径流量时河川基流量的条件概率分布函数；
步骤6，依据步骤5所得的条件概率分布函数，进行非代表年份的河川基流量系列插补延长。
所述步骤3中，将对数正态分布、Gumbel分布、Gamma分布、GEV分布和皮尔逊III型分布作为备选边缘概率分布函数线型，并采用线性矩法估计备选边缘概率分布函数的参数。
所述步骤3中，将一维理论频率与经验频率的均方根误差最小的备选边缘概率分布函数作为最优的边缘概率分布函数。
所述步骤4中，采用二维Gumbel-Hougaard Copula、Clayton Copula和FrankCopula作为备选Copula函数类型构造河川基流量和河川径流量的联合概率分布函数，采用Kendall秩相关性系数法估计Copula函数的参数。
所述步骤4中，将二维理论频率与经验频率的均方根误差最小的备选Copula函数作为最优的Copula函数。
本发明通过收集水文站点的长系列流量资料，计算代表年份的河川基流量和河川径流量系列，在确定河川基流量和河川径流量的边缘概率分布函数的基础上，构建河川基流量和河川径流量的联合概率分布函数，进而求解给定河川径流量时河川基流量的条件概率分布函数，最后进行非代表年份的河川基流量系列插补延长。
与现有技术相比，本发明的有益效果在于：
(1)本发明统计理论基础较强，可以准确捕捉河川基流量与河川径流量的非线性关系，允许河川基流量与河川径流量服从非正态分布。
(2)本发明基于Copula函数随机插补延长河川基流量，可以保持河川基流量长系列的统计参数特征，很好地反映河川基流量的实际特点。
附图说明
图1是本发明方法的流程图。
图2是本发明基于Copula函数插补延长得到的河川基流量系列示意图。
具体实施方式
下面通过实施例，并结合附图对本发明作进一步说明。
如图1-图2所示，一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法，收集水文站点的长系列流量资料，计算代表年份的河川基流量和河川径流量系列，在确定河川基流量和河川径流量的边缘概率分布函数的基础上，构建河川基流量和河川径流量的联合概率分布函数，进而求解给定河川径流量时河川基流量的条件概率分布函数，最后进行非代表年份的河川基流量系列插补延长。图1是本实施例的计算流程图，按照以下步骤进行：
1.收集水文站点的长系列流量资料。
本具体实施中水文站点长系列流量数据资料为每年的逐日流量过程，从水文站的水文年鉴获取。本具体实施中收集的资料年限数为M年。
2.计算代表年份的河川基流量和河川径流量系列。
从步骤1中的M年逐日流量过程中选择N年(N<M)作为代表性年份，计算N个代表年份的河川基流量和河川径流量系列，本步骤包括两个子步骤：
2.1计算代表年份的河川基流量系列
常用的典型年河川基流量计算方法主要包括图解法、水文模型法、同位素法、数学物理法及数值模拟法等，通常根据具体情况选用。数字滤波法是目前研究基流分割最广泛的方法之一，该方法不仅精度较高，而且具有较好的客观性和可重复性。
数字滤波法源于信号分析，其主要原理是把河川径流视为由高频信号的地表径流和低频信号的基流组成，将高频信号和低频信号分离，从而从日流量过程中分割出基流。本具体实施中采用数字滤波法计算代表年份的河川基流量，计算公式如下：
bt＝Qt-qt (2)
其中，Qt、qt和bt分别表示第t日的河川径流量、河川地表径流量和河川基流量，m3/s；β为滤波参数，一般取为0.95。
本具体实施中年河川基流量单位采用万m3。计算公式如下：
其中，G代表年河川基流量，万m3；T为每年的日数，平年为365，闰年为366。
2.2计算代表年份的河川径流量系列
本具体实施中年河川径流量单位采用万m3。计算公式如下：
其中，R代表年河川径流量，万m3。
3.确定河川基流量和河川径流量的边缘概率分布函数。
根据步骤2中计算得到的年河川基流量G和河川径流量R数据资料，选取适当的边缘概率分布函数线型，并估计其参数，最后确定最优边缘概率分布函数，本步骤包括三个子步骤：
3.1备选边缘概率分布函数线型
由于河川基流量G和河川径流量R的总体分布频率线型是未知的，通常选用能较好拟合多数水文样本资料系列的线型。本具体实施中采用将对数正态分布、Gumbel分布、Gamma分布、GEV分布和皮尔逊III型分布作为备选边缘概率分布函数线型。
3.2估计边缘分布线型的参数
当频率分布线型选定后，接下来需要进行估计频率分布的参数。目前常用的方法主要有矩法、极大似然法、适线法、概率权重矩法、权函数法和线性矩法等。其中，线性矩法是目前国内外公认的高精度参数估计方法，主要特点是对序列的极大值和极小值没有常规矩那么敏感，估计的参数估计值比较可靠。
本具体实施中采用L-矩法估计备选边缘概率分布函数的参数。
3.3最优边缘概率分布函数确定
采用均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE)准则评价边缘分布的一维理论频率与经验频率拟合情况，RMSE值越小，说明拟合效果越好。
式中：F(xi)为观测值xi的理论频率；m(i)为实测系列中满足x≤xi的观测值个数，n为样本长度。
本具体实施中，采用RMSE值最小的备选边缘概率分布函数作为最优的边缘概率分布函数。
4.构建河川基流量和河川径流量的联合概率分布函数。
根据步骤2中的计算得到的年河川基流量G和河川径流量R数据资料，选取适当的Copula函数构造河川基流量G和河川径流量R的联合概率分布函数，并估计其参数，最后确定最优联合概率分布函数，本步骤包括三个子步骤：
本步骤包括三个子步骤：
4.1备选Copula函数类型
令g、r分别为河川基流量G和河川径流量R相应的实现值，FG(g)、FR(r)是边缘概率分布函数，相应的概率密度函数为fG(g)、fR(r)。由Sklar定理可知，G,R的联合分布函数可以用一个二维Copula函数C表示：
FG,R(g,r)＝Cθ(FG(g),FR(r))＝Cθ(u,v) (6)
其中，θ为Copula函数的参数；u＝FG(g),v＝FR(r)为边缘分布函数。
考虑到G和R的总体联合概率分布函数类型是未知的，一般选用能较好拟合多数联合水文样本资料系列的Copula函数。本具体实施中采用二维Gumbel-Hougaard Copula、Clayton Copula和Frank Copula作为备选Copula函数类型。
二维Gumbel-Hougaard Copula、Clayton Copula和Frank Copula函数的数学表达式分别为：
Gumbel-Hougaard：
Clayton：Cθ(u,v)＝(u-θ+v-θ-1)-1/θ (8)
Frank：
4.2估计Copula函数的参数
本具体实施中，采用Kendall秩相关性系数法估计二维Gumbel-Hougaard Copula、Clayton Copula和Frank Copula函数的参数。该法基于Kendall相关系数τ与参数θ的关系，通过样本计算相关系数τ来反算参数θ。
二维Gumbel-Hougaard Copula、Clayton Copula和Frank Copula函数Kendall相关系数τ与参数θ的关系分别为：
Gumbel-Hougaard：τ＝1-1/θ (10)
Clayton：τ＝θ/(θ+2) (11)
Frank：
其中，样本Kendall秩相关系数τ计算方法为：令{(x1,y1),…,(xn,yn)}表示从连续随机变量(X,Y)中抽取的n个观测值的随机样本，则在样本中有种不同的观测值组合(xi,yi)和(xj,yj)。Kendall秩相关系数τ计算公式：
其中，sign(·)是符号函数。
4.3最优Copula函数确定
采用均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE)准则评价联合分布的二维理论频率与经验频率拟合情况，RMSE值越小，说明拟合效果越好。
式中：F(xi,yi)为联合观测值(xi,yi)的二维理论频率；m(i)为实测系列中满足(x≤xi,y≤yi)的联合观测值个数，n为联合样本长度。
本具体实施中，采用RMSE值最小的Copula函数作为最优的Copula函数。
5.求解给定河川径流量时河川基流量的条件概率分布函数。
给定河川径流量R取值r时，所对应的河川基流量G的取值并非唯一，存在着一个条件概率分布函数
FG|R(g)＝P(G≤g|R＝r) (15)
借助Copula函数，条件概率分布函数FQ|H(q)可以表示为：
6.进行非代表年份的河川基流量系列插补延长。
本步骤包括两个子步骤：
6.1计算非代表年份的河川径流量系列
采用式(4)计算代表剩余(M-N)个非代表年份的河川径流量Rj＝rj(j＝1,2，…，M-N)。
6.2非代表年份的河川基流量系列插补延长
计算得到(M-N)个非代表年份的河川径流量Rj对应的vj＝FR(rj)。从标准均匀分布U[0,1]中随机生成一个随机数sj，并令随机数sj等于给定河川径流量时河川基流量的条件概率，代入式(16)可得：
其中，uj为河川基流量Gj对应的边缘概率分布值，可以从式(17)求解。本具体实施中采用二分法试算求解式(17)得到uj数值解。
河川基流量Gj的取值gj可以由下式计算得到：
gj＝FG -1(uj) (18)
其中，FG -1(·)为边缘分布函数FG(g)的反函数。gj(j＝1,2，…，M-N)即为给定非代表年份的河川径流量rj，基于Copula函数插补延长得到的河川基流量系列。
如图2所示，给出了基于Copula函数插补延长得到的河川基流量系列示意图。其中，空心圆圈点为代表年份，用来建立河川基流量与河川径流量的关系曲线。实心圆圈点为非代表年份，表示给定河川径流量时，基于上述建立的河川基流量与河川径流量的关系曲线插补延长得到的非代表年份河川基流量系列。
综上，本发明通过收集水文站点的长系列流量资料，计算代表年份的河川基流量和河川径流量系列，在确定河川基流量和河川径流量的边缘概率分布函数的基础上，构建河川基流量和河川径流量的联合概率分布函数，进而求解给定河川径流量时河川基流量的条件概率分布函数，最后进行非代表年份的河川基流量系列插补延长。本发明统计理论基础较强，可以准确捕捉河川基流量与河川径流量的非线性关系，允许河川基流量与河川径流量服从非正态分布。此外，本发明基于Copula函数随机插补延长河川基流量，可以保持河川基流量长系列的统计参数特征，很好地反映河川基流量的实际特点。

Claims (5)

1.一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法，包括步骤：
步骤1，收集水文站点的长系列流量资料；
步骤2，依据步骤1中的流量数据资料，计算代表年份的河川基流量和河川径流量系列。
步骤3，根据步骤2中的代表年份的河川基流量和河川径流量系列，选取适当的边缘概率分布函数线型，估计边缘概率分布函数的参数，确定最优边缘概率分布函数；
步骤4，根据步骤2中的代表年份的河川基流量和河川径流量系列，采用Copula函数构造河川基流量和河川径流量的联合概率分布函数，估计Copula函数的参数，确定最优Copula函数；
步骤5，根据步骤3估计的边缘分布函数和步骤4构建的联合分布函数求解给定河川径流量时河川基流量的条件概率分布函数；
步骤6，依据步骤5所得的条件概率分布函数，进行非代表年份的河川基流量系列插补延长。
2.如权利要求1所述的一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法，其特征在于：所述步骤3中，将对数正态分布、Gumbel分布、Gamma分布、GEV分布和皮尔逊III型分布作为备选边缘概率分布函数线型，并采用线性矩法估计备选边缘概率分布函数的参数。
3.如权利要求1所述的一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法，其特征在于：所述步骤3中，将一维理论频率与经验频率的均方根误差最小的备选边缘概率分布函数作为最优的边缘概率分布函数。
4.如权利要求1所述的一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法，其特征在于：所述步骤4中，采用二维Gumbel-Hougaard Copula、Clayton Copula和FrankCopula作为备选Copula函数类型构造河川基流量和河川径流量的联合概率分布函数，采用Kendall秩相关性系数法估计Copula函数的参数。
5.如权利要求1所述的一种基于Copula函数的山丘区河川基流量系列插补延长方法，其特征在于：所述步骤4中，将二维理论频率与经验频率的均方根误差最小的备选Copula函数作为最优的Copula函数。
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