CN110232205B - 用于托卡马克中共振磁扰动控制新经典撕裂模的模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于磁约束受控核聚变领域托卡马克装置放电的数值模拟，涉及一种用于托卡马克中共振磁扰动控制新经典撕裂模的模拟方法。根据托卡马克上线圈组中的电流数据，利用毕奥‑萨伐尔定律求解出感应磁场；根据大环径比近似下，积分得到感应磁场对应的极向磁通的表达式；利用傅里叶变换伪谱方法，把磁通变换成不同模数的分量，得到其在托卡马克中位形下的三维分布，并耦合到磁流体方程中，利用Crank‑Nicolson方法求解存在共振磁扰动下的磁场随时间的演化，以此来研究其对新经典撕裂模的影响。本发明能模拟出新经典撕裂模锁模、抑制和场穿透等物理过程，计算效率高、数值稳定性较好，是一种高效且能准确模拟实验的数值方法。

Description

用于托卡马克中共振磁扰动控制新经典撕裂模的模拟方法

技术领域

本发明属于磁约束受控核聚变领域托卡马克装置放电的数值模拟，特别涉及一种用于托卡马克中共振磁扰动控制新经典撕裂模的模拟方法。

背景技术

近几十年来由于人类大量的使用化石燃料造成了世界范围内严重的环境问题，比如全球变暖，雾霾和光污染等。特别是在以中国为代表的发展中国家，这些问题更加严重。经济的快速发展是牺牲环境所带来的。因此，发展清洁的可再生能源成为了当前中国的迫切需求。科学家们相信核聚变能是最有希望从根本上解决能源问题的途径之一。其中，磁约束核聚变被认为是目前最可行的方法。磁约束聚变研究目前遇到的最大困难就是要解决聚变装置托卡马克装置运行是存在的各种不稳定性。新经典撕裂模就是其中一种非常危险的宏观不稳定性，外加螺旋共振磁扰动是一种能有效控制新经典撕裂模的办法。实验中主要通过在托卡马克外部设置鞍形线圈组，通上交流电，产生感应磁场来和托卡马克芯部的等离子体相互作用。由于托卡马克装置巨大，聚变反应物理过程十分复杂，实验一次的费用极其昂贵且周期很长，实验操作不当还会损坏装置，造成巨大的经济损失。因此，能够对其中关键物理问题进行数值模拟研究的软件和方法就显得尤为重要了。

发明内容

为了解决上述问题，本发明提供一种用于托卡马克中共振磁扰动控制新经典撕裂模的模拟方法。本发明能模拟出新经典撕裂模锁模的抑制和场穿透等物理过程，采取的数值算法稳定性好、并行效率高，是一种高效且能准确模拟实验的数值方法。

一种用于托卡马克中共振磁扰动控制新经典撕裂模的模拟方法，具体步骤如下：

步骤1：根据所要模拟的托卡马克装置的大环的半径R₀和小圆截面的半径a参数，建立三维坐标系(r，θ，z)，构建三维的计算网格，其中，r、θ和z分别为径向、极向和轴向坐标；

步骤2：在托卡马克装置的外部设置多组磁扰动线圈，每个磁扰动线圈可实现正向通电、反向通电、不通电的不同工作方式，通过各工作方式之间的不同组合，利用毕奥-萨伐尔定律计算线圈在等离子体区域所产生的磁场B(r)，计算公式如下：

其中，μ₀为真空磁导率，C为积分路径，I为线圈电流强度,

为源电流的微小线元，

为电流元指向待求场点的单位向量，r为待求场点的坐标；

步骤3：将步骤2得到的磁场B(r)，在托卡马克小圆截面上通过坐标变换转换为径向磁场B_r和极向磁场B_θ的形式：

在大环径比近似下，托卡马克中的磁场写成如下形式：

其中,B为总磁场强度，B₀为轴向磁场强度，

为轴向单位矢量，ψ为极向磁通，用于表征极向磁场的物理量；

通过公式(2)得到径向磁场B_r和极向磁场B_θ的表达式如下：

利用公式(3)和(4)，通过对B_r和B_θ进行积分计算求解出所等价的极向磁通ψ；

步骤4：把步骤3得到的等价的极向磁通ψ进行傅里叶展开，得到不同模式的磁通形式，即任意模式的共振磁扰动的磁通在三维空间上的分布，具体表示如下：

ψ(r，θ，z)＝ψ₀(r)+∑ψ_m，n(r)e^i(mθ+nφ) (5)

其中，r、θ和z分别为径向、极向和轴向坐标，ω_m，n为不同模式的磁通的本征函数，m和n分别为极向和环向模数；ψ₀(r)表示模数为0的磁通，称为平衡磁通；i为虚数单位；

步骤5：将步骤4得到的共振磁扰动的磁通叠加到计算区域的边界，即计算网格的最外层磁面上，耦合到磁流体方程中，如下所示：

其中，u为涡量，ψ为磁通，p为等离子体压强，

为等离子体电流，j_b为自举电流，φ为流函数,R为雷诺数，S_A为磁雷诺数，χ_||和χ_⊥分别为平行和垂直输运系数，E_z0和S₀分别为电磁和压强源项。

采用Crank-Nicolson方法对涡量u、磁通ψ和等离子体压强p进行时间推进计算，得到在存在共振磁扰动下，涡量u、磁通ψ和等离子体压强p在计算网格上的空间的分布；

Crank-Nicolson方法的计算公式如下：

其中，U和F为任意函数，x为空间坐标，t为时间坐标，Δt为时间间隔。

为提高计算精度，对Crank-Nicolson方法进行改进，具体过程如下：

以磁通的时间推进为例：

假设已知t时刻磁通值ψ^t，需要求得t+Δt时刻的磁通ψ^t+Δt，步骤如下：

第一步：预计

根据公式(7)和ψ^t，求得

下标rhs代表公式(7)中的右端项；通过公式(10)，取时间间隔为

计算得到

时刻的磁通

利用公式(7)和

求得

时刻的右端项

第二步：校正

回滚到t时刻，取时间间隔为Δt，利用公式(11)和第一步预计得到的右手项

求得t+Δt时刻的磁通ψ^t+Δt。

步骤6：保存步骤5中得到的涡量u、磁通ψ和等离子体压强p的三维空间分布信息；

步骤7：重复进行步骤2-6直至时间t等于设定的最大计算时间T_max，即得到任意时刻的涡量u、磁通ψ和等离子体压强p等物理量的变化。

本发明的有益效果：本发明提供了一种能够模拟外加共振磁扰动对新经典撕裂模影响的方法，能模拟出新经典撕裂模锁模，抑制和场穿透等物理过程。采用了傅里叶谱方法，与传统的直接在边界上增加磁扰动的方法相比，能够避免边界处理不当带来的数值不稳定性，实现长时间的非线性演化。同时，在托卡马克实验上通常也是采用谱分析的方法，这样的数值算法能更好的结合实验，计算效率高，数值稳定性较好，是一种的高效且有准确的数值模拟方法。

附图说明

图1是本发明所适用的托卡马克实验装置的示意图。

图2是本发明用于模拟计算采用的网格。

图3是三维磁岛结构示意图。

图4是本发明模拟的2/1共振磁扰动的三维分布图。

图5(a)、图5(b)和图5(c)分别是本发明关于新经典撕裂模抑制、小磁岛锁模和大磁岛锁模的模拟结果图。

图6是本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和技术方案，进一步说明本发明的具体实施方式。

托卡马克装置是一种通过强磁场把热等离子体约束在一个环形容器内发生反应的装置，其结构如图1所示，其中外部结构就是外加的共振磁扰动线圈。首先，根据真实的装置位形建立三维坐标系(r，θ，z)，r、θ和z分别为径向、极向和轴向坐标，构建三维的计算网格，如图2所示。托卡马克中初始的平衡磁面是层层嵌套的圆或有一定形变的圆，新经典撕裂模会撕裂磁面，形成磁岛结构，如图3所示。然后，根据实验中磁扰动线圈中所通交流电的数据，求解出其所产生的感应磁场。接下来，积分得到感应磁场对应的极向磁通的表达式。利用傅里叶变换伪谱方法，把磁通变换成不同模数的分量，通过一定的选择和滤波，得到其在托卡马克中位形下的三维分布，图4即为求得的一例三维共振磁扰动磁通的示意图。再把扰动磁通添加到计算区域的边界即最外层磁面上，耦合到磁流体方程中，计算出存在扰动磁场时，下一时刻各个物理量的值。重复之前的步骤多次，以此来得到任意时刻各物理量随时间的非线性演化，从而分析得到其对新经典撕裂模的影响和其中的物理过程。部分模拟结果如图5(a)、图5(b)和图5(c)所示，分别为新经典撕裂模抑制、小磁岛锁模和大磁岛锁模。

具体实施步骤如下：

步骤1：根据所要模拟的托卡马克装置的大环的半径R₀,小圆截面的半径a等参数，建立三维坐标系(r，θ，z)，r、θ和z分别为径向、极向和轴向坐标，构建三维的计算网格，如图2所示；

步骤2：在托卡马克装置的外部设置多组磁扰动线圈，每个磁扰动线圈可实现正向通电、反向通电、不通电的不同工作方式，通过各工作方式之间的不同组合，利用毕奥-萨伐尔定律计算出线圈在等离子体区域所产生的磁场，计算公式为：

其中，μ₀为真空磁导率，C为积分路径，I为线圈电流强度,

为源电流的微小线元，

为电流元指向待求场点的单位向量，r为待求场点的坐标；

步骤3：把步骤2得到的磁场在托卡马克小圆截面上通过坐标变换转换成B_r和B_θ的形式：

在大环径比近似下，托卡马克中的磁场可以写成如下形式：

其中,B为总磁场强度，B₀为轴向磁场强度，

为轴向单位矢量，ψ为极向磁通，用于表征极向磁场的物理量；

通过公式(2)可以得到径向磁场B_r和极向磁场B_θ的表达式如下：

利用公式(3)和(4)，通过对B_r和B_θ进行积分计算求解出所等价的极向磁通ψ；

步骤4：把步骤3得到的等价的极向磁通进行傅里叶展开，得到不同模式的磁通形式，即任意模式的共振磁扰动的磁通在三维空间上的分布，具体表示如下：

ψ(r，θ，z)＝ψ₀(r)+∑ψ_m，n(r)e^i(mθ+nφ) (5)

其中，r、θ和z分别为径向、极向和轴向坐标，ψ_m，n为不同模式的磁通的本征函数，m和n分别为极向和环向模数；

步骤5：将步骤4得到的共振磁扰动的磁通叠加到计算区域的边界，即计算网格的最外层磁面上，耦合到磁流体方程，如下：

其中，u为涡量，ψ为磁通，p为等离子体压强，

为等离子体电流，j_b为自举电流，φ为流函数,R为雷诺数，S_A为磁雷诺数，χ_||和χ_⊥分别为平行和垂直输运系数，E_z0和S₀分别为电磁和压强源项。

采用Crank-Nicolson方法对涡量u、磁通ψ和等离子体压强p进行时间推进计算，得到在存在共振磁扰动下，涡量u、磁通ψ和等离子体压强p在计算网格上的空间的分布；

Crank-Nicolson方法的计算公式如下：

其中，U，F为任意函数，x为空间坐标，t为时间坐标，Δt为时间间隔。

为提高计算精度，对Crank-Nicolson方法进行改进，具体过程如下：

以磁通的时间推进为例：

假设现在已知t时刻磁通值ψ^t，想要求得t+Δt时刻的磁通ψ^t+Δt，第一步：预计

根据公式(7)和ψ^t，求得

下标rhs代表公式(7)中的右端项。通过公式(10)，取时间间隔为

计算得到

时刻的磁通

利用公式(7)和

求得

时刻的右端项

第二步：校正

回滚到t时刻，取时间间隔为Δt，利用公式(11)和第一步预计得到的右手项

便可求得t+Δt时刻的磁通ψ^t+Δt。

步骤6：保存步骤5中得到的涡量u、磁通ψ和等离子体压强p的三维空间分布信息；

步骤7：重复进行步骤2-6直至时间t等于设定的最大计算时间T_max，即得到任意时刻的涡量u、磁通ψ和等离子体压强p等物理量的变化。

Claims (1)

1.一种用于托卡马克中共振磁扰动控制新经典撕裂模的模拟方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤1：根据所要模拟的托卡马克装置的大环的半径R₀和小圆截面的半径a参数，建立三维坐标系(r,θ,z)，构建三维的计算网格，其中，r、θ和z分别为径向、极向和轴向坐标；

步骤2：在托卡马克装置的外部设置多组磁扰动线圈，每个磁扰动线圈可实现正向通电、反向通电、不通电的不同工作方式，通过各工作方式之间的不同组合，利用毕奥-萨伐尔定律计算线圈在等离子体区域所产生的磁场B(r)，计算公式如下：

其中，μ₀为真空磁导率，C为积分路径，I为线圈电流强度,

为源电流的微小线元，

为电流元指向待求场点的单位向量，r为待求场点的坐标；

步骤3：将步骤2得到的磁场B(r)，在托卡马克小圆截面上通过坐标变换转换为径向磁场B_r和极向磁场B_θ的形式：

在大环径比近似下，托卡马克中的磁场写成如下形式：

其中,B为总磁场强度，B₀为轴向磁场强度，

为轴向单位矢量，ψ为极向磁通，用于表征极向磁场的物理量；

通过公式(2)得到径向磁场B_r和极向磁场B_θ的表达式如下：

利用公式(3)和(4)，通过对B_r和B_θ进行积分计算求解出所等价的极向磁通ψ；

步骤4：把步骤3得到的等价的极向磁通ψ进行傅里叶展开，得到不同模式的极向磁通形式，即任意模式的共振磁扰动的极向磁通在三维空间上的分布，具体表示如下：

ψ(r,θ,z)＝ψ₀(r)+Σψ_m,n(r)e^i(mθ+nφ) (5)

其中，ψ_m,n为不同模式的极向磁通的本征函数，m和n分别为极向和环向模数；ψ₀(r)表示模数为0的极向磁通，称为平衡极向磁通；i为虚数单位；

步骤5：将步骤4得到的共振磁扰动的极向磁通叠加到计算区域的边界，即计算网格的最外层磁面上，耦合到磁流体方程中，如下所示：

其中，u为涡量，p为等离子体压强，

为等离子体电流，j_b为自举电流，φ为流函数,R为雷诺数，S_A为磁雷诺数，χ_||和χ_⊥分别为平行和垂直输运系数，E_z0和S₀分别为电磁和压强源项；

采用Crank-Nicolson方法对涡量u、极向磁通ψ和等离子体压强p进行时间推进计算，得到在存在共振磁扰动下，涡量u、极向磁通ψ和等离子体压强p在计算网格上的空间的分布；为提高计算精度，对Crank-Nicolson方法进行改进，具体过程如下：

以极向磁通的时间推进为例：

假设已知t时刻极向磁通值ψ^t，需要求得t+Δt时刻的极向磁通ψ^t+Δt，步骤如下：

第一步：预计

根据公式(7)和ψ^t，求得

下标rhs代表公式(7)中的右端项；通过公式(10)，取时间间隔为

计算得到

时刻的极向磁通

利用公式(7)和

求得

时刻的右端项

第二步：校正

回滚到t时刻，取时间间隔为Δt，利用公式(11)和第一步预计得到的右手项

求得t+Δt时刻的极向磁通ψ^t+Δt；

步骤6：保存步骤5中得到的涡量u、极向磁通ψ和等离子体压强p的三维空间分布信息；

步骤7：重复进行步骤2-6直至时间t等于设定的最大计算时间T_max，即得到任意时刻的涡量u、极向磁通ψ和等离子体压强p物理量的变化。

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