CN110210047B - 带状绳系卫星释放动力学模型构建方法 - Google Patents

带状绳系卫星释放动力学模型构建方法 Download PDF

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CN110210047B CN201910210412.0A CN201910210412A CN110210047B CN 110210047 B CN110210047 B CN 110210047B CN 201910210412 A CN201910210412 A CN 201910210412A CN 110210047 B CN110210047 B CN 110210047B
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Abstract

本发明公开了带状绳系卫星释放动力学模型构建方法，涉及航天器控制领域，能够准确描述空间带状系绳在释放过程中复杂的构型变化，并有效地揭示具有不同弯曲刚度的带状系绳对系统动力学的影响，准确反映带状系绳在释放过程中的构型变化。本发明包括：将空间带状系绳均匀离散为若干个刚体单元，建立单个刚体单元的动力学方程、刚体单元间的约束方程，其中，根据释放阶段系绳释放出长度的不断变化，将刚体单元间的约束方程分为三类，分别为：主星中未释放出的单元间的约束、正在释放的刚体单元与上一个单元间的约束、已经释放出的单元间的约束，再根据释放过程中刚体单元间的约束方程，最终推导得到带状绳系卫星系统释放过程的动力学方程。

Description

带状绳系卫星释放动力学模型构建方法
技术领域
本发明涉及航天器控制领域，尤其涉及了带状绳系卫星释放动力 学模型构建方法。
背景技术
空间带状绳系卫星不同于传统的绳系卫星系统，其是由宽度远大 于厚度且具有一定弯矩和扭矩、起连接作用的带状金属绳及在轨航天 器和末端载荷三者构成。带状绳系卫星大大提高了系统的空间生存率， 同时，在空间探测、卫星机动、太空垃圾清理等领域有着广泛的应用。 值得注意的是，由于该系统模型的复杂性，Masakazu等研究了考虑弯 曲和扭转的带状系绳的动力学特性，并利用数值计算研究了带状系绳 的非线性行为。Sanmartín等研究了带状电动力系绳和普通系绳在收 集电荷方面的差异，研究表明在系绳达到相同电流情况下，需要的带 状系绳长度比普通系绳长度短，即相同条件下，带状系绳离轨任务时 间更短。Kunugi等提出了一种利用智能薄膜传感器对绳带弯曲和扭转 振动类型进行区分的方法，对其可行性进行了研究；并利用多体动力 学模型和数值计算方法建立了带状系绳的运动方程，研究了绳带弯曲 和扭转振动的动力学行为。Yu等研究了带状绳系卫星系统的刚柔耦合 建模与动力学响应问题，采用刚性单元将带状系绳离散为以等效线性 弹簧和阻尼器作为相邻刚性单元连接点的刚体系统，并研究了环境摄 动对带状电动力绳系卫星系统动力学响应的影响。
通过对前人研究成果的讨论可以发现，西方发达国家科研人员已 关注到带状绳系卫星系统的重要性，但对该系统的动力学建模尚不成 熟，无法真正揭示系统的动力学现象。特别地，对空间带状系绳释放 过程的构型变化更是无法准确描述。
发明内容
本发明提供了带状绳系卫星释放动力学模型构建方法，能够准确 描述空间带状系绳在释放过程中复杂的构型变化，并有效地揭示具有 不同弯曲刚度的带状系绳对系统动力学响应的影响，准确反映带状系 绳在释放过程中的构型变化。
为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：
带状绳系卫星释放动力学模型构建方法，适用于带状绳系卫星系 统。带状绳系卫星系统包括：空间带状系绳、系绳所连接的在轨航天 器，即主星M、在轨航天器的末端载荷，即子星S。
固结于地球质心O的惯性坐标系O-XYZ，其X轴指向升交点，Z轴 垂直于在轨航天器的轨道平面；以主星M的质心o为原点的轨道坐标 系o-xyz，其x轴指向在轨航天器运动的反方向，y轴由地球质心O指向 主星的质心o；固结于在轨航天器、末端载荷及系绳刚体单元质心的 以3个主平面法线方向作为其方向的主轴坐标系oi-xiyizi，i为正整数。
带状绳系卫星释放动力学模型构建方法，包括：
S1、将空间带状系绳均匀离散为n个刚体单元Ci(i＝1,2,...,n)，同时 将刚体单元的质量标记为mi(i＝1,2,...,n)，在轨航天器M和末端载荷S 分别记为刚体单元C0和刚体单元Cn+1。
由于带状绳系卫星系统中系绳的形状是扁平状的，其系绳宽度远 大于厚度，故设系绳长度为L，宽度为dw，厚度为dt(dw＞＞dt)。
刚体单元之间用球铰连接且产生的弯矩将被充分考虑，自主星到 子星球铰被依次编号为Qi(i＝1,2,...,n+1)。显然，只要单元数目足够多， 便可获得更接近真实带状系绳的模型。
S2、取任意刚体单元Ci，解除刚体单元Ci的所有铰约束，仅考虑 铰对关联刚体作用的主动力，建立单个刚体单元的动力学方程。
刚体单元Ci相对于惯性坐标系O-XYZ质心的3个笛卡尔坐标为 Xi,Yi,Zi,表示刚体单元Ci质心的位置，刚体单元Ci相对于惯性坐标系 O-XYZ的3个卡尔丹角为αi,βi,γi，表示刚体单元的姿态。
刚体单元Ci在惯性坐标系下的坐标表示为：
ri＝[Xi Yi Zi]T，θi＝[αi βi γi]T (1)
基于牛顿第二定律，任意刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的质心 运动方程表示为：
Figure BDA0001999327290000031
式中，mi为刚体的质量矩阵，Fi为惯性参考系下作用于刚体单元Ci的全部外力的主矢。此外,任意无约束刚体单元Ci在惯性坐标系 O-XYZ下的姿态运动方程表示为：
Figure BDA0001999327290000032
式中，Ji为刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的惯性矩阵，ωi为刚 体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的角速度列阵，Mi为惯性坐标系O-XYZ 下作用于刚体单元Ci的全部外力的主矩,分别表示为：
Figure BDA0001999327290000033
S3、简化单个刚体单元的动力学方程，将刚体单元Ci在惯性坐标 系O-XYZ下的姿态运动方程投影到主轴坐标系中，得到：
Figure BDA0001999327290000034
式中，ω i为刚体单元Ci在主轴坐标系oi-xiyizi下的角速度列阵，
Figure BDA0001999327290000041
表 示ω i的反对称坐标方阵，角速度矢量ωi相对惯性系的导数
Figure BDA0001999327290000042
等同于相 对主轴坐标系的导数
Figure BDA0001999327290000043
J i为刚体单元Ci的主惯性矩阵，M i为作用于 刚体单元Ci的全部外力的主矩在主轴坐标系oi-xiyizi下的投影。
J i、ω i、
Figure BDA0001999327290000044
M i分别表示为
Figure BDA0001999327290000045
JiA、JiB、JiC表示刚体单元Ci相对于主轴坐标系xi、yi、zi的主惯性距； A(i)表示惯性坐标系到主轴坐标系的转换矩阵，
Figure BDA0001999327290000046
S4、对刚体在主轴坐标系oi-xiyizi下的角速度矩阵ω i进行转化，导 出主轴坐标系oi-xiyizi下卡尔丹角表示的瞬时角速度
Figure BDA0001999327290000047
将式(8)代入式(5)，得到惯性系下卡尔丹角表示的姿态运动方程
Figure BDA0001999327290000048
式中，波浪号表示矢量积运算的反对称坐标方阵，
Figure BDA0001999327290000049
写为
Figure BDA00019993272900000410
联立式(2)和式(9)，惯性坐标系下无约束离散刚体单元Ci的动力学 方程表示为
Figure BDA0001999327290000051
其中
Figure BDA0001999327290000052
将带状绳系卫星系统离散成的(n+2)个单元的坐标列阵qi(i＝0,1,…n,n+1) 依次排列，则总坐标列阵q写为
Figure BDA0001999327290000053
故带状系绳全部单元的无约束动力学方程写为
Figure BDA0001999327290000054
式中矩阵A和矩阵B定义为
Figure BDA0001999327290000055
其中矩阵Bi写为
Figure BDA0001999327290000056
式中，Fi G表示惯性坐标系下地球对刚体单元Ci引力的主矢，Fi else表 示惯性坐标系下其它作用于刚体单元Ci质心的外力主矢，
Figure BDA0001999327290000057
表示惯 性坐标系下地球对刚体单元Ci引力的主矩，
Figure BDA0001999327290000058
和
Figure BDA0001999327290000059
为主轴坐标系 下系绳由于弯曲产生的回复力矩，
Figure BDA00019993272900000510
和
Figure BDA00019993272900000511
为主轴坐标系下系绳由 于扭转产生的回复力矩，
Figure BDA00019993272900000512
表示惯性坐标系下其他作用于刚体单元 Ci质心的外力主矩；Fi G和
Figure BDA00019993272900000513
分别表示为
Figure BDA0001999327290000061
Figure BDA0001999327290000062
式中，σix、σiy、σiz为ri与主轴坐标系坐标轴的方向余弦，σix、σiy、σiz、
Figure BDA0001999327290000063
写为
Figure BDA0001999327290000064
Figure BDA0001999327290000065
Figure BDA0001999327290000066
和
Figure BDA0001999327290000067
分别表示为
Figure BDA0001999327290000068
式中，EI为系绳单元的弯曲刚度，γ′i-1,i和γ′i,i+1表示单元Ci姿态角γi相对 于前后两个单元姿态角γi-1,γi+1偏角对单元长度的导数；
Figure BDA0001999327290000069
和
Figure BDA00019993272900000610
分别表示为
Figure BDA00019993272900000611
式中，GI为系绳单元的扭转刚度，β′i-1,i和β′i,i+1表示单元Ci姿态角βi相对 于前后两个单元姿态角βi-1,βi+1偏角对单元长度的导数；
S5、对各离散单元间的约束方程进行推导，带状绳系卫星系统利用(n+1)个球铰将(n+2)个离散刚体单元连接在一起，每两个刚体间球铰Qi处约束方程表示为
ri+roi-(ri+1+roi+1)＝0(i＝1,2…n+1) (23)
式中，ri和ri+1为刚体单元在惯性坐标系下的质心矢量，roi和roi+1为 自刚体单元质心oi和oi+1出发至铰点的矢量；
将带状绳系卫星系统中的每个铰约束写成约束方程的普遍形式
Φi(Xi,Yi,Zi,t)＝0(i＝1,2…n+1) (24)
S6、根据释放阶段系绳释放出的长度不断变化，释放出刚体单元 与未释放出刚体单元的约束方程不同，因此刚体单元间的总约束方程 也在不断变化，分别采用不同的约束方程表示刚体单元在释放过程中 的状态。
将所有刚体单元分为三种情况进行考虑：释放开始前所有刚体单 元均在主星内部，且所有系绳单元都以球铰的方式固定连接；开始释 放后，解除即将释放出主星的刚体单元与上一单元间的约束；当此单 元的上端释放到与上一单元下端位置相同时，将这两个单元的头尾以 球铰的方式连接，同时将下一个即将释放出的单元与它的上一个单元 间的约束解除，以此类推，系绳可以不断放出。
因此，根据释放过程将刚体单元间的约束方程分为三类，分别为:
主星中未释放出的单元间的约束、正在释放的刚体单元与上一个 单元间的约束、已经释放出的单元间的约束。
主星中未释放出的单元间的约束，主星中未释放出的刚体单元间 之间以固定的方式连接，故约束方程表示为:假设第j个单元正在释 放，在主星中未释放出的单元间的约束的情况下，主星中未释放出的 刚体单元间以固定的方式连接，约束方程为：
Figure BDA0001999327290000081
正在释放的刚体单元与上一个单元间的约束，正在释放的单元与 上一单元间无位置约束且刚体姿态保持一致，即
Φi m＝θi-θi-1＝0(i＝j) (26)
已经释放出的单元间以球铰的方式连接在一起，约束方程表示为
Φi d＝ri+roi-(ri+1+roi+1)＝0(i＝j+1,j+2,…,n+1) (27)
S7、根据释放过程中刚体单元间的约束方程，推导带状绳系卫星 系统释放过程的动力学方程。
本发明讨论的带状系绳卫星系统共离散为(n+2)个单元，用(n+1) 个铰来连接，系统的总约束方程表示为
Figure BDA0001999327290000082
上式便为带状绳系卫星系统的总约束方程，将式(28)对时间t求导， 得到
Figure BDA0001999327290000083
式中，矩阵Φq为Φ的雅克比矩阵，列阵Φt为Φ对时间t的导数，分别表 示为
Figure BDA0001999327290000084
为了得到加速度形式的约束方程，将式(22)再次对时间t求导，得到
Figure BDA0001999327290000085
式中，
Figure BDA0001999327290000091
为
Figure BDA0001999327290000092
的雅克比矩阵，Φqt和Φtt分别为Φq和Φt对时间t的偏导 数，则加速度形式的约束方程写为
Figure BDA0001999327290000093
式中，列阵ζ定义为
Figure BDA0001999327290000094
由先前推导可知，带状绳系卫星系统中方程的坐标数为6(n+2)个， 而系统的总约束为3(n+1)，则系统自由度为6(n+2)-3(n+1)＝3(n+3)。因此 带状绳系卫星系统为含多余变量的系统，利用拉格朗日乘子方法处理。 首先，将无约束系统动力学方程(14)写为
Figure BDA0001999327290000095
并与坐标的高斯加 速度变分
Figure BDA0001999327290000096
相乘，得到
Figure BDA0001999327290000097
式中的变分
Figure BDA0001999327290000098
并非独立变量，必须满足约束方程(32)的限制
Figure BDA0001999327290000099
引入与约束方程个数相同的3(n+1)个拉格朗日乘子，组成列阵λ
λ＝[λ1 λ2 … λ3(n+1)]T (36)
将加速度形式的约束方程(32)与拉格朗日乘子列阵(36)相乘，再与无 约束系统动力学方程变分形式(14)相加，得到
Figure BDA00019993272900000910
令
Figure BDA00019993272900000911
中3(n+1)个非独立变分的系数为零，则式(37)中仅剩余 6(n+2)-3(n+1)＝3(n+3)个与独立变分有关的和式。
另一方面，式(37)成立的充分必要条件要求独立变分的系数为零， 因此，令式(37)括号内矩阵中所有元素均为零，则导出第一类拉格朗 日方程
Figure BDA0001999327290000101
联立式(37)和加速度形式的约束方程(32)进行求解，得到带状绳系卫 星系统释放过程的动力学方程
Figure BDA0001999327290000102
显然，以上释放动力学模型亦可用于计算系统状态保持阶段的动 力学响应。
本发明的有益效果是：
本发明将空间带状系绳均匀离散为若干个刚体单元，建立单个刚 体单元的动力学方程、刚体单元间的约束方程，其中，根据释放阶段 系绳释放出长度的不断变化，将刚体单元间的约束方程分为三类，分 别为：主星中未释放出的单元间的约束、正在释放的刚体单元与上一 个单元间的约束、已经释放出的单元间的约束，再根据释放过程中刚 体单元间的约束方程，最终推导得到带状绳系卫星系统释放过程的动 力学方程。本发明由于采用若干的离散刚体单元，更接近真实带状系 绳模型，并且根据释放过程建立刚体单元间的约束方程，更进一步的 贴近所模拟的空间带状系绳，准确地描述空间带状系绳在释放过程中复杂的构型变化，有效地揭示具有不同弯曲刚度的带状系绳对系统动 力学响应的影响，准确反映带状系绳在释放过程中的构型变化。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例 中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图 仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付 出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。
图1是带状绳系卫星系统示意图；
图2是离散的带状柔性系绳示意图；
图3是刚体单元间约束示意图；
图4刚性单元释放过程的示意图；
图4(a)是未释放的刚体单元；
图4(b)是正在释放的刚体单元；
图4(c)是完成释放的刚体单元；
图5是释放过程中不同弯曲刚度对带状系绳构型的影响；
图6是面内俯仰角θ时间历程图。
具体实施方式
为使本领域技术人员更好地理解本发明的技术方案，下面结合具 体实施方式对本发明作进一步详细描述。
本发明实施例提供了带状绳系卫星释放动力学模型构建方法，带 状绳系卫星系统如图1所示，该系统由空间带状系绳及系绳所连接的 在轨航天器(即主星M)和末端载荷(即子星S)构成。
为准确描述带状绳系卫星系统释放过程的动力学特性，引入三组 坐标参考系，建立固结于地球质心O的惯性坐标系O-XYZ，其X轴指向 升交点，Z轴垂直于轨道平面，Y轴可以由右手定则确定；同时，以 主星M的质心o为原点可再构建一个轨道坐标系o-xyz，其x轴指向航天 器运动的反方向，y轴由地球质心O指向主星质心o，z轴由右手定则 确定；另外，如图2所示，建立一系列固结于航天器、末端载荷及系 绳刚体单元质心的以3个主平面法线方向作为其方向的主轴坐标系 oi-xiyizi。
由于带状绳系卫星系统中系绳的形状是扁平状的，其系绳宽度远 大于厚度，故设系绳长度为L，宽度为dw，厚度为dt(dw＞＞dt)。如图2 所示，为精确刻画带状系绳的动力学特性，将其均匀离散为n个刚体 单元Ci(i＝1,2,...,n)，同时记刚体单元质量为mi(i＝1,2,...,n)，另外，航天 器M和末端载荷S分别记为刚体单元C0和刚体单元Cn+1；刚体单元之间用球铰连接且产生的弯矩将被充分考虑，自主星到子星球铰被依次编 号为Qi(i＝1,2,...,n+1)。显然，只要单元数目足够多，便可获得更接近 真实带状系绳的模型。
以下先建立单个刚体单元的动力学方程。取带状绳系卫星系统中 任意刚体单元Ci进行分析，解除其所有铰约束，仅考虑铰对关联刚体 作用的主动力。不受约束的刚体单元Ci共有6个自由度，即质心运动 的3个平移自由度和绕质心转动的3个转动自由度。利用相对于惯性 坐标系O-XYZ的质心的3个笛卡尔坐标Xi,Yi,Zi表示刚体单元质心的位 置，通过相对于惯性坐标系O-XYZ的3个卡尔丹角αi,βi,γi表示刚体单元 的姿态。
任意刚体单元在惯性坐标系下的坐标表示为
ri＝[Xi Yi Zi]T，θi＝[αi βi γi]T (1)
基于牛顿第二定律，任意无约束刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下 的质心运动方程表示为
Figure BDA0001999327290000121
式中，mi为刚体的质量矩阵，Fi为惯性参考系下作用于刚体单元 Ci的全部外力的主矢。此外任意无约束刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ 下的姿态运动方程表示为
Figure BDA0001999327290000122
式中，Ji为刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的惯性矩阵，ωi为刚 体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的角速度列阵，Mi为惯性坐标系O-XYZ 下作用于刚体单元Ci的全部外力的主矩。分别表示为
Figure BDA0001999327290000131
对于姿态不断变化的刚体单元，其在惯性参考系下的惯性矩阵会 随着刚体单元姿态的变化而不断变化，且式(3)中存在对于惯性系下 的角速度与惯性矩阵的叉乘计算，不利于推导计算。而在主轴坐标系 下，惯性矩阵Ji仅存在坐标轴方向的三个主惯性矩，式(3)可化为较 简单的形式。因此，将惯性下的姿态动力学方程式(3)投影到主轴坐 标系中，式(3)改写为
Figure BDA0001999327290000132
式中，ω i为刚体单元Ci在主轴坐标系oi-xiyizi下的角速度列阵，
Figure BDA0001999327290000133
表 示ω i的反对称坐标方阵，角速度矢量ωi相对惯性系的导数
Figure BDA0001999327290000134
等同于相 对主轴坐标系的导数
Figure BDA0001999327290000135
J i为刚体单元Ci的主惯性矩阵，M i为作用于 刚体单元Ci的全部外力的主矩在主轴坐标系oi-xiyizi下的投影。J i、ω i、
Figure BDA0001999327290000136
M i分别表示为
Figure BDA0001999327290000137
JiA、JiB、JiC表示刚体单元Ci相对于主轴坐标系xi、yi、zi的主惯性距。 A(i)表示惯性坐标系到主轴坐标系的转换矩阵，写为
Figure BDA0001999327290000138
为了建立惯性坐标系下卡尔丹角及其导数表示的姿态运动方程， 还需要对刚体在主轴坐标系oi-xiyizi下的角速度矩阵ω i进行转化，导出 主轴坐标系oi-xiyizi下卡尔丹角表示的瞬时角速度
Figure BDA0001999327290000141
将式(8)代入式(5)，得到惯性系下卡尔丹角表示的姿态运动方程
Figure BDA0001999327290000142
式中，波浪号表示矢量积运算的反对称坐标方阵，
Figure BDA0001999327290000143
写为
Figure BDA0001999327290000144
联立式(2)和式(9)，惯性坐标系下无约束离散刚体单元Ci的动力 学方程表示为
Figure BDA0001999327290000145
其中
Figure BDA0001999327290000146
将带状绳系卫星系统离散成的(n+2)个单元的坐标列阵qi (i＝0,1,…n,n+1)依次排列，则总坐标列阵q写为
Figure BDA0001999327290000147
则带状系绳全部单元的无约束动力学方程写为
Figure BDA0001999327290000148
式中矩阵A和矩阵B定义为
Figure BDA0001999327290000149
其中矩阵Bi写为
Figure BDA0001999327290000151
式中，Fi G表示惯性坐标系下地球对刚体单元Ci引力的主矢，Fi else表 示惯性坐标系下其它作用于刚体单元Ci质心的外力主矢，
Figure BDA0001999327290000152
表示惯 性坐标系下地球对刚体单元Ci引力的主矩，
Figure BDA0001999327290000153
和
Figure BDA0001999327290000154
为主轴坐标系 下系绳由于弯曲产生的回复力矩，
Figure BDA0001999327290000155
和
Figure BDA0001999327290000156
为主轴坐标系下系绳由 于扭转产生的回复力矩，
Figure BDA0001999327290000157
表示惯性坐标系下其他作用于刚体单元 Ci质心的外力主矩。Fi G和
Figure BDA0001999327290000158
分别表示为
Figure BDA0001999327290000159
和
Figure BDA00019993272900001510
式中，σix、σiy、σiz为ri与主轴坐标系坐标轴的方向余弦，σix、σiy、 σiz、
Figure BDA00019993272900001511
写为
Figure BDA00019993272900001512
Figure BDA00019993272900001513
Figure BDA00019993272900001514
和
Figure BDA00019993272900001515
分别表示为
Figure BDA0001999327290000161
式中，EI为系绳单元的弯曲刚度，γ′i-1,i和γ′i,i+1表示单元Ci姿态角γi相 对于前后两个单元姿态角γi-1,γi+1偏角对单元长度的导数。
Figure BDA0001999327290000162
和
Figure BDA0001999327290000163
分 别表示为
Figure BDA0001999327290000164
式中，GI为系绳单元的扭转刚度，β′i-1,i和β′i,i+1表示单元Ci姿态角βi相对于前后两个单元姿态角βi-1,βi+1偏角对单元长度的导数。值得注意 的是，方程(14)便是带状系绳的离散刚体单元在不受约束时的动力学 方程。
系统中各离散的刚体单元间存在由球铰施加的运动学约束，故还 需对各离散单元间的约束方程进行推导。如图3所示，ri和ri+1为刚体 单元在惯性坐标系下的质心矢量，roi和roi+1为自刚体单元质心oi和oi+1出 发至铰点的矢量。
带状绳系卫星系统利用(n+1)个球铰将(n+2)个离散刚体单元连接 在一起，每两个刚体间球铰Qi处约束方程表示为
ri+roi-(ri+1+roi+1)＝0(i＝1,2…n+1) (23)
将带状绳系卫星系统中的每个铰约束写成约束方程的普遍形式
Φi(Xi,Yi,Zi,t)＝0(i＝1,2…n+1) (24)
由于释放阶段系绳释放出的长度不断变化，释放出刚体单元与未 释放出刚体单元的约束方程不同，因此刚体单元间的总约束方程也在 不断变化。可将所有刚体单元分为三种情况进行考虑。如图4(a)所 示，认为释放开始前所有刚体单元均在主星内部，且所有系绳单元都 以球铰的方式固定连接。开始释放后，解除即将释放出主星的刚体单 元与上一单元间的约束，如图4(b)所示。当此单元的上端释放到与 上一单元下端位置相同时，将这两个单元的头尾以球铰的方式连接， 同时将下一个即将释放出的单元与它的上一个单元间的约束解除，如 图4(c)所示。以此类推，系绳可以不断放出。
因此，在整个释放过程中，刚体单元间的约束方程可分为三类， 一类是主星中未释放出的单元间的约束，一类是正在释放的刚体单元 与上一个单元间的约束，还有一类是已经释放出的单元间的约束。
假设第j个单元正在释放，第一种情况下，主星中未释放出的刚 体单元间之间以固定的方式连接，故约束方程表示为
Figure BDA0001999327290000171
第二种情况下，正在释放的单元与上一单元间无位置约束且刚体 姿态保持一致，即
Φi m＝θi-θi-1＝0(i＝j) (26)
第三种情况下，已释放出的单元间以球铰的方式连接在一起，约 束方程表示为
Φi d＝ri+roi-(ri+1+roi+1)＝0(i＝j+1,j+2,…,n+1) (27)
本发明讨论的带状系绳卫星系统共离散为(n+2)个单元，用(n+1) 个铰来连接，系统的总约束方程表示为
Figure BDA0001999327290000172
上式便为带状绳系卫星系统的总约束方程。将式(28)对时间t求导， 得到
Figure BDA0001999327290000181
式中，矩阵Φq为Φ的雅克比矩阵，列阵Φt为Φ对时间t的导数，分 别表示为
Figure BDA0001999327290000182
为了得到加速度形式的约束方程，将式(22)再次对时间t求导， 得到
Figure BDA0001999327290000183
式中，
Figure BDA0001999327290000184
为
Figure BDA0001999327290000185
的雅克比矩阵，Φqt和Φtt分别为Φq和Φt对时间t的 偏导数，则加速度形式的约束方程写为
Figure BDA0001999327290000186
式中，列阵ζ定义为
Figure BDA0001999327290000187
由先前推导可知，带状绳系卫星系统中方程的坐标数为6(n+2)个， 而系统的总约束为3(n+1)，则系统自由度为6(n+2)-3(n+1)＝3(n+3)。因此 带状绳系卫星系统为含多余变量的系统，可利用拉格朗日乘子方法处 理。首先，将无约束系统动力学方程(14)写为
Figure BDA0001999327290000188
并与坐标的 高斯加速度变分
Figure BDA0001999327290000189
相乘，得到
Figure BDA00019993272900001810
式中的变分
Figure BDA00019993272900001811
并非独立变量，必须满足约束方程(32)的限制
Figure BDA00019993272900001812
引入与约束方程个数相同的3(n+1)个拉格朗日乘子，组成列阵λ
λ＝[λ1 λ2 … λ3(n+1)]T (36)
将加速度形式的约束方程(32)与拉格朗日乘子列阵(36)相乘，再 与无约束系统动力学方程变分形式(14)相加，得到
Figure BDA0001999327290000191
令
Figure BDA0001999327290000192
中3(n+1)个非独立变分的系数为零，则式(37)中仅剩余 6(n+2)-3(n+1)＝3(n+3)个与独立变分有关的和式。另一方面，式(37)成 立的充分必要条件要求独立变分的系数为零，因此，令式(37)括号内 矩阵中所有元素均为零，则导出第一类拉格朗日方程
Figure BDA0001999327290000193
联立式(37)和加速度形式的约束方程(32)进行求解，得到带状绳 系卫星系统释放过程的动力学方程
Figure BDA0001999327290000194
显然，以上释放动力学模型亦可用于计算系统状态保持阶段的动 力学响应。
本发明的有益效果是：
本发明将空间带状系绳均匀离散为若干个刚体单元，建立单个刚 体单元的动力学方程、刚体单元间的约束方程，其中，根据释放阶段 系绳释放出长度的不断变化，将刚体单元间的约束方程分为三类，分 别为：主星中未释放出的单元间的约束、正在释放的刚体单元与上一 个单元间的约束、已经释放出的单元间的约束，再根据释放过程中刚 体单元间的约束方程，最终推导得到带状绳系卫星系统释放过程的动 力学方程。本发明由于采用若干的离散刚体单元，更接近真实带状系 绳模型，并且根据释放过程建立刚体单元间的约束方程，更进一步的 贴近所模拟的空间带状系绳，准确地描述空间带状系绳在释放过程中复杂的构型变化，有效地揭示具有不同弯曲刚度的带状系绳对系统动 力学响应的影响，准确反映带状系绳在释放过程中的构型变化。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并 不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范 围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。 因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (1)

1.带状绳系卫星释放动力学模型构建方法，适用于带状绳系卫星系统，所述系统包括：空间带状系绳、系绳所连接的在轨航天器，即主星M、在轨航天器的末端载荷，即子星S；
固结于地球质心O的惯性坐标系O-XYZ，其X轴指向升交点，Z轴垂直于在轨航天器的轨道平面；
以主星M的质心o为原点的轨道坐标系o-xyz，其x轴指向在轨航天器运动的反方向，y轴由地球质心O指向主星的质心o；
固结于在轨航天器、末端载荷及系绳刚体单元质心的以3个主平面法线方向作为其方向的主轴坐标系oi-xiyizi，i为正整数；
所述带状绳系卫星释放动力学模型构建方法，其特征在于，包括：
S1、将空间带状系绳均匀离散为n个刚体单元Ci，i＝1,2,...,n，同时将刚体单元的质量标记为mi，i＝1,2,...,n，在轨航天器M和末端载荷S分别记为刚体单元C0和刚体单元Cn+1；
S2、取任意刚体单元Ci，解除刚体单元Ci的所有铰约束，仅考虑铰对关联刚体作用的主动力，建立单个刚体单元的动力学方程：
刚体单元Ci相对于惯性坐标系O-XYZ质心的3个笛卡尔坐标为Xi,Yi,Zi,表示刚体单元Ci质心的位置，刚体单元Ci相对于惯性坐标系O-XYZ的3个卡尔丹角为αi,βi,γi，表示刚体单元的姿态；
刚体单元Ci在惯性坐标系下的坐标表示为
ri＝[Xi Yi Zi]T，θi＝[αi βi γi]T (1)
基于牛顿第二定律，任意刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的质心运动方程表示为
Figure FDA0002764849300000021
式中，mi为刚体的质量矩阵，Fi为惯性参考系下作用于刚体单元Ci的全部外力的主矢；此外,任意无约束刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的姿态运动方程表示为:
Figure FDA0002764849300000022
式中，Ji为刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的惯性矩阵，ωi为刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的角速度列阵，Mi为惯性坐标系O-XYZ下作用于刚体单元Ci的全部外力的主矩,分别表示为
Figure FDA0002764849300000023
S3、简化单个刚体单元的动力学方程，将刚体单元Ci在惯性坐标系O-XYZ下的姿态运动方程投影到主轴坐标系中，得到：
Figure FDA0002764849300000024
式中，ω i为刚体单元Ci在主轴坐标系oi-xiyizi下的角速度列阵，
Figure FDA0002764849300000025
表示ω i的反对称坐标方阵，角速度矢量ωi相对惯性系的导数
Figure FDA0002764849300000026
等同于相对主轴坐标系的导数
Figure FDA0002764849300000027
J i为刚体单元Ci的主惯性矩阵，M i为作用于刚体单元Ci的全部外力的主矩在主轴坐标系oi-xiyizi下的投影；
J i、ω i、
Figure FDA0002764849300000028
M i分别表示为
Figure FDA0002764849300000029
JiA、JiB、JiC表示刚体单元Ci相对于主轴坐标系xi、yi、zi的主惯性距；
A(i)表示惯性坐标系到主轴坐标系的转换矩阵，
Figure FDA0002764849300000031
S4、对刚体单元在主轴坐标系oi-xiyizi下的角速度矩阵ω i进行转化，导出刚体单元在主轴坐标系oi-xiyizi下卡尔丹角表示的瞬时角速度：
Figure FDA0002764849300000032
将式(8)代入式(5)，得到惯性系下卡尔丹角表示的姿态运动方程
Figure FDA0002764849300000033
式中，波浪号表示矢量积运算的反对称坐标方阵，
Figure FDA0002764849300000034
写为
Figure FDA0002764849300000035
联立式(2)和式(9)，惯性坐标系下无约束离散刚体单元Ci的动力学方程表示为
Figure FDA0002764849300000036
其中
Figure FDA0002764849300000037
将带状绳系卫星系统离散成的n+2个单元的坐标列阵qii＝0,1,…n,n+1依次排列，则总坐标列阵q写为
Figure FDA0002764849300000038
故带状系绳全部单元的无约束动力学方程写为
Figure FDA0002764849300000039
式中矩阵A和矩阵B定义为
Figure FDA0002764849300000041
其中矩阵Bi写为
Figure FDA0002764849300000042
式中，Fi G表示惯性坐标系下地球对刚体单元Ci引力的主矢，Fi else表示惯性坐标系下其它作用于刚体单元Ci质心的外力主矢，
Figure FDA0002764849300000043
表示惯性坐标系下地球对刚体单元Ci引力的主矩，
Figure FDA0002764849300000044
和
Figure FDA0002764849300000045
为主轴坐标系下系绳由于弯曲产生的回复力矩，
Figure FDA0002764849300000046
和
Figure FDA0002764849300000047
为主轴坐标系下系绳由于扭转产生的回复力矩，
Figure FDA0002764849300000048
表示惯性坐标系下其他作用于刚体单元Ci质心的外力主矩；Fi G和
Figure FDA0002764849300000049
分别表示为
Figure FDA00027648493000000410
Figure FDA00027648493000000411
式中，σix、σiy、σiz为ri与主轴坐标系坐标轴的方向余弦，σix、σiy、σiz、
Figure FDA00027648493000000412
写为
Figure FDA00027648493000000413
Figure FDA00027648493000000414
Figure FDA0002764849300000051
和
Figure FDA0002764849300000052
分别表示为
Figure FDA0002764849300000053
式中，EI为系绳单元的弯曲刚度，γ′i-1,i和γ′i,i+1表示单元Ci姿态角γi相对于前后两个单元姿态角γi-1,γi+1偏角对单元长度的导数；
Figure FDA0002764849300000054
和
Figure FDA0002764849300000055
分别表示为
Figure FDA0002764849300000056
式中，GI为系绳单元的扭转刚度，β′i-1,i和β′i,i+1表示单元Ci姿态角βi相对于前后两个单元姿态角βi-1,βi+1偏角对单元长度的导数；
S5、对各离散刚体单元间的约束方程进行推导，带状绳系卫星系统利用n+1个球铰将n+2个离散刚体单元连接在一起，每两个刚体间球铰Qi处约束方程表示为
ri+roi-(ri+1+roi+1)＝0 i＝1,2…n+1 (23)
式中，ri和ri+1为刚体单元在惯性坐标系下的质心矢量，roi和roi+1为自刚体单元质心oi和oi+1出发至铰点的矢量；
将带状绳系卫星系统中的每个铰约束写成约束方程的普遍形式
Φi(Xi,Yi,Zi,t)＝0 i＝1,2…n+1 (24)
S6、根据释放阶段系绳释放出的长度不断变化，分别采用不同的约束方程表示刚体单元在释放过程中的状态,根据释放过程将刚体单元间的约束方程分为三类，分别为:
主星中未释放出的单元间的约束、正在释放的刚体单元与上一个单元间的约束、已经释放出的单元间的约束；
主星中未释放出的单元间的约束，主星中未释放出的刚体单元间之间以固定的方式连接,假设第j个单元正在释放，在主星中未释放出的单元间的约束的情况下，主星中未释放出的刚体单元间以固定的方式连接，约束方程为：
Figure FDA0002764849300000061
正在释放的刚体单元与上一个单元间的约束，正在释放的单元与上一单元间无位置约束且刚体姿态保持一致，即：
Φi m＝θi-θi-1＝0 i＝j (26)
已经释放出的单元间以球铰的方式连接在一起，约束方程表示为：
Φi d＝ri+roi-(ri+1+roi+1)＝0 i＝j+1,j+2,…,n+1 (27)
S7、根据释放过程中刚体单元间的约束方程，推导带状绳系卫星系统释放过程的动力学方程：
带状系绳卫星系统共离散为n+2个单元，用n+1个铰来连接，系统的总约束方程表示为：
Figure FDA0002764849300000062
将式(28)对时间t求导，得到：
Figure FDA0002764849300000063
式中，矩阵Φq为Φ的雅克比矩阵，列阵Φt为Φ对时间t的导数，分别表示为：
Figure FDA0002764849300000064
为了得到加速度形式的约束方程，将式(22)再次对时间t求导，得到
Figure FDA0002764849300000071
式中，
Figure FDA0002764849300000072
为
Figure FDA0002764849300000073
的雅克比矩阵，Φqt和Φtt分别为Φq和Φt对时间t的偏导数，则加速度形式的约束方程写为：
Figure FDA0002764849300000074
式中，列阵ζ定义为：
Figure FDA0002764849300000075
由先前推导可知，带状绳系卫星系统中方程的坐标数为6(n+2)个，而系统的总约束为3(n+1)，则系统自由度为6(n+2)-3(n+1)＝3(n+3)；
因此带状绳系卫星系统为含多余变量的系统，利用拉格朗日乘子方法处理：
首先，将无约束系统动力学方程(14)写为
Figure FDA0002764849300000076
并与坐标的高斯加速度变分
Figure FDA0002764849300000077
相乘，得到：
Figure FDA0002764849300000078
式中的变分
Figure FDA0002764849300000079
并非独立变量，必须满足约束方程(32)的限制
Figure FDA00027648493000000710
引入与约束方程个数相同的3(n+1)个拉格朗日乘子，组成列阵λ：
λ＝[λ1 λ2 … λ3(n+1)]T (36)
将加速度形式的约束方程(32)与拉格朗日乘子列阵(36)相乘，再与无约束系统动力学方程变分形式(14)相加，得到：
Figure FDA00027648493000000711
令
Figure FDA0002764849300000081
中3(n+1)个非独立变分的系数为零，则式(37)中仅剩余6(n+2)-3(n+1)＝3(n+3)个与独立变分有关的和式；
另一方面，式(37)成立的充分必要条件要求独立变分的系数为零，因此，令式(37)括号内矩阵中所有元素均为零，则导出第一类拉格朗日方程：
Figure FDA0002764849300000082
联立式(37)和加速度形式的约束方程(32)进行求解，得到带状绳系卫星系统释放过程的动力学方程：
Figure FDA0002764849300000083
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