CN110197044A - 基于分形几何的图案自动生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分形几何的图案自动生成方法，包括基本花朵图案的生成和不同布局方式的花朵图案的生成，具体步骤如下：通过超椭圆曲线函数生成花叶的基本元素，并重复迭代生成花叶图案；通过玫瑰曲线函数生成花瓣的基本元素，且重复迭代生成花瓣图案；通过园内摆线函数生成花蕊图案；通过玫瑰曲线和圆形曲线函数生成花芯图案；并组合上述步骤中的图案生成完整的花朵图案；使用变换函数迭代整个花朵图案以生成各种图案布局，其中根据迭代次数的不同可以生成对称布局、二方连续或四方连续等花朵图案的布局。本发明不仅能有效的模拟传统手工蜡染的图案，而且能快速生成不同布局图案。

Description

基于分形几何的图案自动生成方法

技术领域

本发明涉及图案自动生成技术领域，具体涉及一种基于分形几何的图案自动生成方法。

背景技术

传统的蜡染制作方法为纯手工制作，生产效率极低且不利于非物质文化遗产的保护和开发。随着我国印染行业的智能化升级，这种工作方式与现状不相适应。因此，计算机图形学开始运用于图案设计当中，将传统的蜡染图案转换为数字图案。运用智能设计技术生成数字化图案，不仅有利于传统蜡染图案的数字化保护，丰富蜡染图案的多样性，而且能够与我国印染行业的智能化升级相适应。将数字化技术应用于传统蜡染图案的设计及开发能够极大地丰富和发展蜡染图案。现有技术中，研究者张小洪提出分形矩阵迭代和云模型元胞自动演化相结合，通过设置迭代和演化次数生成大量的分形图案。但其生成的艺术图案细节具有不确定性。崔佳基于形状分解方法，在壮族刺绣设计中，使用自由B样条曲线来推导初始设计概念以及新的差值算法，但其特征矩阵是由专家或系统设计者指定，而不能自动调节。总之，现有技术不能有效的模拟传统手工蜡染的图案，快速生成数字图案。

发明内容

本发明的目的在于克服上述缺点而提出了一种不仅能有效的模拟传统手工蜡染的图案，而且通过改变相关参数值能快速的自动模拟生成一系列不同的图案的基于分形几何的图案自动生成方法。

本发明的一种基于分形几何的图案自动生成方法，包括基本花朵图案的生成和不同布局方式的花朵图案的生成，具体步骤如下：

(1)通过超椭圆曲线函数生成花叶的基本元素，并重复迭代生成花叶图案；

(2)通过玫瑰曲线函数生成花瓣的基本元素，且重复迭代生成花瓣图案；

(3)通过园内摆线函数生成花蕊图案；

(4)通过玫瑰曲线和圆形曲线函数生成花芯图案；并组合步骤(1)，(2)，(3)图案生成完整的花朵图案；

(5)使用变换函数迭代整个花朵图案以生成各种图案布局，其中根据迭代次数的不同可以生成对称布局、二方连续或四方连续等花朵图案的布局。

上述基于分形几何的图案自动生成方法，其中：所述步骤(1)中超椭圆曲线函数生成花叶的基本元素的数学公式V₀为：

其中参数a和b共同控制花叶图案的形状，参数l控制花叶图案的大小。

上述基于分形几何的图案自动生成方法，其中：步骤(2)中玫瑰曲线函数生成花瓣的基本元素的数学公式V₁为：

其中a₁表示花瓣的长度，此时你n取值为2，t的取值范围从0到2π，即每完成一次迭代就能够生成4片花瓣。

上述基于分形几何的图案自动生成方法，其中：步骤(3)中园内摆线函数生成花蕊图案的数学公式V₂为：

其中r₁表示花蕊的长度，m表示花蕊的数目,并进一步将n的值确定为5。

上述基于分形几何的图案自动生成方法，其中：所述步骤(4)中玫瑰曲线和圆形曲线函数生成花芯图案的数学公式V₃为：

其中a₂为花瓣长度，a₃为圆的半径。

上述基于分形几何的图案自动生成方法，其中：所述步骤(5)中变换函数为定义的一个非线性函数V₄并将其命名为JuliaN，设置参数p1＝juliaN.power和p2＝juliaN.dis，其中power影响花朵图案的数目，dis影响花朵图案各点到原点的距离，其数学公式为：

其中，

本发明与现有技术的相比，具有明显的有益效果，由以上方案可知，基于二维迭代函数系统，引入超椭圆曲线函数实现花叶图形生成、引入玫瑰曲线实现花瓣图形生成、引入圆内摆线实现花蕊图形生成、引入玫瑰曲线及圆形曲线实现花芯图形生成；定义一个非线性函数，将生成的完整花朵图案引入该非线性函数中进行迭代及变化，实现不同布局的图案生成；因此，本发明只需通过设定函数中的参数值范围，即可有效的模拟传统手工蜡染的花朵图案，实现蜡染图案的自动生成和数字化设计。

以下通过具体实施方式，进一步说明本发明的有益效果。

附图说明

图1为本发明的生成流程图；

图2为本发明的基本花朵图案生成过程；

图3为本发明的基本图案参数a和b设置图；

图4为本发明的基本图案参数a₁和m设置图；

图5为本发明的基本图案参数a₂和a₃设置图；

图6为本发明的布局图案参数P₂＝1P₁,0.618P₁和level＝2,3,4,5设置图；

图7为实施例中的系统工作模块。

具体实施方式

以下结合附图及较佳实施例，对依据本发明提出的一种基于分形几何的图案自动生成方法的具体实施方式、特征及其功效，详细说明如后。

参见图1，本发明的一种基于分形几何的图案自动生成方法，包括基本花朵图案的生成和不同布局方式的花朵图案的生成，具体步骤如下：

(1)通过超椭圆曲线函数生成花叶的基本元素，并重复迭代生成花叶图案；

(2)通过玫瑰曲线函数生成花瓣的基本元素，且重复迭代生成花瓣图案；

(3)通过园内摆线函数生成花蕊图案；

(4)通过玫瑰曲线和圆形曲线函数生成花芯图案；并组合步骤(1)，(2)，(3)图案生成完整的花朵图案；

(5)使用变换函数迭代整个花朵图案以生成各种图案布局，其中根据迭代次数的不同可以生成对称布局、二方连续或四方连续等花朵图案的布局。其详细内容如下：

1迭代函数系统

在数学中，迭代函数系统(IFS)最常用的分形方法之一，应用此方法所产生的图形都是具有自相似特征的。分形几何不同于传统的欧式几何，传统的几何图案都是整数维的，比如零维的点、一维的直线、二维的平面和三维的立体。迭代函数系统(IFS)所产生的分形图通常不是整数维度，可以是任意维度的，但是通常在二维平面空间内计算和绘制。

二维迭代函数系统(IFS)是从R²到R²的n个函数F_i的有限集合。系统的解是R²中的集合S(因此是图像)，它是Hutchinson递归方程的不动点：

正如Barnsley所实施和推广的那样，线性技术上它们是仿射的，因为每个矩阵都是一个二乘三矩阵，能够表达比例、旋转和平移：

F_i(x，y)＝(a_ix+b_iy+e_i，c_ix+d_iy+f_i) (2)

为了便于证明和保证算法的收敛性，函数通常被约束为收缩性，即使点更加接近。

2生成花叶图案

基于Gabriel Lame曲线或超椭圆曲线的推广生成花叶的基本形状，是类似于椭圆的闭合曲线，保留了半长轴和半短轴的几何特征，但是具有不同的整体形状。在笛卡尔坐标系中超椭圆曲线方程如下：

其中n，a和b是正数。当n是正有理数p/q(最低项)时，超椭圆的每个象限是pq阶的平面代数曲线。特别是，当a＝b＝1且n是偶数时，则它是n阶的费马曲线。如果分子不均匀，则曲线从不同方向的相同代数曲线的部分拼接在一起。

这样经过适当的形式变换后得到适用于笛卡尔坐标系的超椭圆曲线方程如下：

其中r₁表示半长轴的长度，r₂表示半短轴的长度，t不仅表示图形中的物理角度，进一步推广之后还可以只是一个参数。

因此，我们可以应用非线性函数V₀生成花叶的基本元素

其中参数a和b共同控制花叶图案的形状，参数l控制花叶图案的大小。

随后，基于函数V₀进行重复迭代，每一次的迭代函数用V_0j表示，但只是对图形的重复映射。之后再引入一个混合向量系数V_ij，使重复映射的图形产生变化。于是

F_0i(x，y)＝∑_jv_ijV_0j(x，y) (6)

其中迭代参数i是从0到n-1依次变化的整数。利用这个推广，我们得到了花叶图案函数F₀(x，y)，如图2所示。

3生成花瓣图案

基于Rose曲线或玫瑰曲线生成花瓣的基本形状，它绘制在极坐标系中曲线方程如下：

ρ＝cos(nθ)或ρ＝sin(nθ) (7)

其中n为正整数，当n为偶数时，θ的值从0变为2π时，玫瑰的整个图形将被精确地绘制出一次。当n为奇数时，这将发生在0和π之间的区域。

这样经过适当的形式变换后得到适用于笛卡尔坐标系的玫瑰曲线方程如下：

其中a表示花瓣的长度，当n为奇数时花瓣的瓣数为n，当n为偶数时花瓣的瓣数为2n，t的取值范围从0到2π区间的值。

因此，我们可以应用非线性函数V₁生成花瓣的基本元素

其中a₁表示花瓣的长度，此时你n取值为2，t的取值范围从0到2π，即每完成一次迭代就能够生成4片花瓣。

随后，基于函数V₁进行重复迭代，每一次的迭代函数用V_1j表示，但只是对图形的重复映射。之后再引入一个混合向量系数V_ij，使重复映射的图形产生变化。于是

F_1i(x，y)＝∑_jv_ijV_1j(x，y) (10)

其中迭代参数i是从0到n-1依次变化的整数。利用这个推广，我们得到了花瓣图案函数F₁(x，y)，如图2所示。

4生成花蕊图案

基于圆内摆线生成的星形图形作为花蕊基本形状，在几何学中，内摆线是由小圆上的固定点的轨迹产生的特殊平面曲线，该小圆在较大的园内滚动。它与摆线相当，但它不是沿着一条线滚动的圆圈，而是在一个圆圈内滚动。如果较小的圆具有半径r，并且较大的圆具有半径R＝kr，那么曲线的参数方程可以通过以下方式表示在笛卡尔坐标系中：

如果k是有理数，比如最简单的术语表示的k＝p/q，则曲线具有p个尖点。如果k是无理数，则曲线永远不会闭合，并填充较大圆与半径为R-2r的圆之间的空间。

这样经过适当的形式变换后得到适用于笛卡尔坐标系的圆内摆线方程如下：

其中r表示花蕊的长度，m表示花蕊的数目，n用于控制尖角的形状。

因此，我们可以应用非线性函数V₂生成花蕊的基本元素

其中r₁表示花蕊的长度，m表示花蕊的数目，并进一步将n的值确定为5。

随后，基于函数V₂进行重复迭代，每一次的迭代函数用V_2j表示，但只是对图形的重复映射。之后再引入一个混合向量系数V_ij，使重复映射的图形产生变化。于是

F_2i(x，y)＝∑_jv_ijV_2j(x，y) (14)

其中迭代参数i是从0到n-1依次变化的整数。利用这个推广，我们得到了花叶图案函数F₂(x，y)，如图2所示。

5生成花芯图案

基于Rhodonea曲线或玫瑰曲线生成花芯的基本形状，它是绘制在笛卡尔坐标系中曲线方程如下：

这样经过适当的形式变换后得到适用于笛卡尔坐标系的玫瑰曲线方程如下：

其中a表示花瓣的长度，n控制花瓣的数目，当n为奇数时花瓣的瓣数为n，当n为偶数时花瓣的瓣数为2n

然后，圆形曲线在花朵的中心处绘制中心圆，它在笛卡尔坐标系中的方程如下：

这样经过适当的形式变换后得到适用于笛卡尔坐标系的圆形曲线方程如下：

其中a是圆的半径，t的取值范围是从0到2π区间的值。

因此，我们可以应用非线性函数V₃生成花芯的基本元素

因此，我们可以应用非线性函数V₃生成花芯的基本元素

F_3i(x，y)＝∑_jv_ijV_3j(x，y) (20)

其中迭代参数i是从0到n-1依次变化的整数。利用这个推广，我们得到了花叶图案函数F₃(x，y)，如图2所示。

6生成花朵图案不同布局方式

通过上述过程我们得到一个完整的花朵图案，此时我们定义一个非线性函数V4并将其命名为JuliaN，设置参数p₁＝juliaN.power和p₂＝juliaN.dis，其中power影响花朵图案的数目，dis影响花朵图案各点到原点的距离。

其中，

因此，我们将得到的完整花朵图案带入到函数V₄中并进行迭代及变化，此时定义函数F₄(x，y)如下：

F_4i(x，y)＝∑_jv_ijV_4j(x，y) (22)

参数V_ij是一个混合向量，使重复映射的图形产生变化，迭代参数i从0到n-1依次变化的整数。

最后的变换就像一个非线性相机，整个花朵图案经过函数F₄(x,y)变化之后可以生成不同的布局图。根据迭代次数i的不同，经过迭代函数F_4j(x,y)的变化，可以得到对称布局、二方连续布局和四方连续布局等。

7参数的设置

蜡染花朵图案的自动生成算法在Python3.6中实现并完成。此次实验通过设置各个函数中的参数生成各种花朵图案和连续布局图，通过分析实验结果，我们可以获得每个函数所包含的各个参数值的最有效范围。

7.1设置参数以生成花朵图案

在这个实验中，我们通过参数设置来生成组成花朵的基本元素及整个花朵图案。通过非线性函数(5)和(9)实现花叶和花瓣基本元素的生成。根据公式(6)和(10)可以得知影响花叶和花瓣形状的参数是a、b和a₁。其中参数a和b控制花叶的基本形状，参数a₁控制花瓣基本形状的大小。我们将花瓣的大小固定，令a₁＝1即花瓣长度为1。图3通过设置参数生成不同的基本形状：a＝0.2，b＝1.0，a＝0.2，b＝5.0，a＝0.2，b＝10.0，a＝0.2，b＝20.0，a＝0.1，b＝10.0，a＝0.2，b＝10.0，a＝0.3，b＝10.0，a＝0.4和b＝10.0。

花叶基本形状由a和b两个参数共同控制，首先将参数a的值固定以观察参数b值的变化对图案所带来的影响，当参数b的值大于等于10时，所得到的图案与原始图案最为接近；其次取参数b＝10，观察参数a取值的变化对图案的影响，会发现参数a在0.2至0.3时，所得到的图案与原始图案最为接近。接下来，我们采取具有a＝0.2和b＝10的基本图形来进行之后的实验以生成花朵图案。

通过非线性函数(13)实现花蕊基本元素的生成。根据公式(14)可以得知影响花蕊形状的参数是r₁和m。其中参数r₁控制花蕊基本形状的大小，参数m控制花瓣的根数，数量为m根。

我们将花瓣的大小及瓣数固定，其中a₁＝1花瓣长度为1，n＝2花瓣瓣数为8瓣。图4通过设置参数生成不同的基本形状：r₁＝0.6a₁，m＝16，r₁＝0.7a₁，m＝16，r₁＝0.8a₁，m＝16，r₁＝0.9a₁，m＝16，r₁＝0.8a₁，m＝8，r₁＝0.8a₁，m＝8，r₁＝0.8a₁，m＝16，r₁＝0.8a₁和m＝32。

花蕊基本形状由r₁和m两个参数共同控制，首先将参数m的值固定以观察参数r₁值的变化对图案所带来的影响，会发现当参数r₁＝0.8a₁时，所得到的图案与原始图案最为接近；其次取参数r₁＝0.8a₁，观察参数m取值的变化对图案的影响，会发现参数m＝16时，花蕊分布既不稀疏也不密集，所得到的图案与原始图案最为接近。接下来，我们采取具有a＝0.2、b＝10、r₁＝0.8a₁和m＝16的基本图形来进行之后的实验以生成花朵图案。

通过非线性函数(19)实现花芯基本元素的生成。根据公式(20)可以得知影响花芯形状的参数是a₂和a₃。其中参数a₂控制花芯基本形状的大小，参数a₃控制花心圆形状的大小。图5通过设置参数生成不同的基本形状：a₂＝0.3a₁，a₂＝0.4a₁，a₂＝0.5a₁，a₂＝0.6a₁，a₃＝0.1a₂，a₃＝0.2a₂，a₃＝0.3a₂和a₃＝0.4a₂。

花芯基本形状由参数a₂控制，通过观察图5我们可以发现当a₂＝0.5a₁时所得到的图案与原始图案最为接近。花心圆大小由参数a₃控制，通过观察图5我们可以发现当a₃＝0.2a₂时所得到的两图案间的比例最为协调。

故我们可以得知整个花朵图案的参数取值为a＝0.2，b＝10.0，r₁＝0.8a₁、m＝16、a₂＝0.5a₁和a₃＝0.2a₂。

7.2设置参数以及生成花朵布局图案

在这一节当中，我们根据上述实验结果生成不同的花朵图案布局。依据变换函数(22)通过改变参数P₁和P₂的值以生成不同的图案布局，P₁控制布局中的花朵数量/密度，并且P₂控制这些花朵的形状。通过实验可以得到参数P₁的有效取值范围为2-6，参数P₂的有效取值范围为0.1-1P₁。

图6展示了P₁＝4、P₂＝1P₁，0.618P₁和level＝1,2,3,4,5时的图案布局。在这些图案布局中，我们通过方程(22)以产生分形，其中花朵图案是基本形状参数a＝0.2，b＝10.0，r₁＝0.8a₁、m＝16、a₂＝0.5a₁和a₃＝0.2a₂。

观察图6，可以看到参数P₁的取值代表了花朵数目和布局特征：参数P₁＝2表示两个花朵和对称布局，参数P₁＝3是三个花朵和圆形的布局，参数P₁＝4是四个花朵和四方连续布局，参数P₁＝5是五个花朵和圆形布局。此外，参数P₂代表每个花朵图案的形状变化。

实施例如下：

为了验证上述方法的可行性，在Windows XP操作系统中，利用Python与Qt结合的PyQt5模块开发蜡染图案自动生成系统。该系统采用交互式工作方式，将蜡染图案参数化表示，使用者或设计者通过改变蜡染图案的参数值自动生成一系列不同的蜡染图案。

该蜡染图案数字化生成系统分为三大模块：系统工作模块、参数设置模块和图案库模块。在蜡染图案生成过程中，将蜡染图案参数化表示，通过将蜡染图案参数值赋初始值，以生成初始蜡染图案，存于图案数据库中。用户通过系统在图案库中选择想要绘制的图案，用户可以采用初始图案也可以通过修改初始化参数以生成想要的蜡染图案，将图案返回并显示在系统中，以生成实验结果。

系统工作模块如图7所示，区域1为菜单命令区，可以对图案进行基本的操作变换；区域2为选择图案区，可以从图案库中选择想要绘制的图案；区域3为图案展示区，用于展示初始图案及修改参数后得到的图案。在这个系统中，使用者或设计者可以在区域2中选择想要绘制的蜡染图案，与此同时所选择的蜡染初始图案或经修改参数后得到的图案会显示在区域3当中。

用户在系统工作模块中选择想要绘制的图案，此时会在绘图模块生成初始图案并调用参数设置模块用以修改参数生成不同的基础图案。以花朵图案为例，我们可以通过改变花朵变量的值生成一系列不同的花朵图案，通过改变布局变量的值生成不同的布局图案。调整花朵变量的参数值生成基本的花朵图案，此时控制花叶形状的参数设置为0.2和20，控制花瓣长度的参数设置为1，控制花蕊长度的参数设置为0.8，控制花蕊瓣数的参数设置为16，控制花蕊长度的参数设置为0.5，控制花蕊圆半径的参数设置为0.1，所得到的图案如图7所示。

接下来，在此基础之上，通过设置布局变量的值生成一系列不同的花朵布局图案。调整花朵布局变量的参数值生成完整的布局图，此时控制布局数目的参数设置为2，控制迭代次数的参数设置为2，控制迭代图案在X轴方向上移动的参数设置为4/3，控制迭代图案在Y轴方向上移动的参数设置为4/3，所得到的花朵布局图。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，任何未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (6)

1.一种基于分形几何的图案自动生成方法，包括基本花朵图案的生成和不同布局方式的花朵图案的生成，具体步骤如下：

通过超椭圆曲线函数生成花叶的基本元素，并重复迭代生成花叶图案；

通过玫瑰曲线函数生成花瓣的基本元素，且重复迭代生成花瓣图案；

通过园内摆线函数生成花蕊图案；

通过玫瑰曲线和圆形曲线函数生成花芯图案；并组合步骤（1），（2），（3）图案生成完整的花朵图案；

使用变换函数迭代完整的花朵图案以生成不同图案布局，其中根据迭代次数的不同可以生成对称布局、二方连续或四方连续等花朵图案的布局。

2.如权力要求书1所述的基于分形几何的图案自动生成方法，其特征在于：所述步骤（1）中超椭圆曲线函数生成花叶的基本元素的数学公式V₀为：

其中参数a和b共同控制花叶图案的形状，参数l控制花叶图案的大小。

3.如权力要求书1所述的基于分形几何的图案自动生成方法，其特征在于：所述步骤（2）中玫瑰曲线函数生成花瓣的基本元素的数学公式V₁为：

其中a₁表示花瓣的长度，此时你n取值为2，t的取值范围从0到2π，即每完成一次迭代就能够生成4片花瓣。

4.如权力要求书1所述的基于分形几何的图案自动生成方法，其特征在于：所述步骤（3）中园内摆线函数生成花蕊图案的数学公式V₂为：

其中r₁表示花蕊的长度，m表示花蕊的数目，并进一步将n的值确定为5。

5.如权力要求书1所述的基于分形几何的图案自动生成方法，其特征在于：所述步骤（4）中玫瑰曲线和圆形曲线函数生成花芯图案的数学公式V₃为：

其中a₂为花瓣长度，a₃为圆的半径。

6.如权力要求书1所述的基于分形几何的图案自动生成方法，其特征在于：所述步骤（5）中变换函数为定义的一个非线性函数V₄并将其命名为JuliaN，设置参数p1=juliaN.power和p2=juliaN.dis，其中power影响花朵图案的数目，dis影响花朵图案各点到原点的距离，其数学公式为：

其中，。