CN110111423B - 一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法，针对目前在形态创建过程中不考虑混凝土徐变会导致所获得结构不合理问题。本发明提供一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法。该方法简单有效，可考虑长期荷载下混凝土徐变的影响，保证结构的安全性。

Description

一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法

技术领域

本发明涉及一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法。

背景技术

近年来，混凝土自由曲面壳体因其新颖独特的造型而得到日益广泛的应用。其设计的首要问题是形态创建，即实现合理及富于美感的曲面。目前主要采用的形态创建方法是基于优化思想的数值法，该方法将自由曲面的几何建模技术与结构优化算法相结合，以曲面形状的几何参数作为优化变量，以结构受力合理作为优化目标，采用合适的优化算法进行求解，获得最优自由曲面形状。

但目前已有混凝土自由曲面壳体形态创建方法均未考虑混凝土在长期荷载作用下的徐变，而假定混凝土为理想线弹性。对于混凝土结构，徐变会较大程度改变结构的受力状态。在形态创建过程中，不考虑混凝土徐变会导致所获得结构不合理，从而影响结构的安全性。

发明内容

针对上述问题，本发明提供一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法。该方法简单有效，可考虑长期荷载下混凝土徐变的影响。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

本发明提供一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法，具体方法步骤如下：

步骤1，采用NURBS拟合自由曲面，得到初始曲面，曲面材料为混凝土；

步骤2，采用三角形壳单元对步骤1建立的初始曲面进行有限元网格划分；

步骤3，考虑混凝土徐变，对步骤2完成有限元网格划分的初始曲面进行的有限元分析；

步骤4，引入约束条件，采用广义拉格朗日乘子法将有约束优化问题转换为无约束问题，构成增广目标函数；

步骤5，采用梯度法更新初始曲面的控制点坐标，获得新的自由曲面；

步骤6，设置优化精度ε^*，若当前优化步的增广目标函数对当前优化步的控制点高度的差分的模小于优化精度ε^*，则输出优化结果，自由曲面创建完成；否则返回步骤2，对当前自由曲面继续迭代进行自由曲面形态优化。

作为本发明的进一步技术方案，步骤1中的初始曲面是一张在u方向p次、v方向q次的NURBS曲面，具有如下形式的双变量分段有理矢值函数：

其中，n为u方向的控制点个数，且i∈[1,n]；m为v方向的控制点个数，且j∈[1,m]；P_i,j是u方向编号为i且v方向编号为j的控制点坐标；w_i,j是u方向编号为i且v方向编号为j的控制点的权因子；N_i,p(u)和N_j,q(v)分别是定义在矢量U和V上的样条基函数，u_i为u方向的结点矢量且u_i∈U，

v_i为v方向的结点矢量且v_i∈V，

N_i,p(u)和N_j,q(v)的表达式如下所示：

作为本发明的进一步技术方案，步骤3具体为：

(3-1)引入混凝土徐变模型，形成混凝土三角形壳单元局部坐标系下的单元刚度矩阵；

混凝土单元采用三角形壳单元模拟，三角形壳单元的刚度矩阵由平面应力状态和弯曲应力状态的刚度矩阵得到，三角形壳单元的三个结点分别记为r、s、t；

在混凝土三角形平面应力单元中，结点力和结点位移的关系如下：

其中，

表示局部坐标系下混凝土三角形平面应力单元的刚度矩阵；

{F_s ^p}、{F_t ^p}分别为局部坐标系下混凝土平面应力单元的r、s、t结点的结点力；

分别表示局部坐标系下混凝土三角形平面应力单元的r、s、t结点的位移；

在混凝土三角形弯曲应力单元中，结点力和结点位移的关系如下：

其中，

表示局部坐标系下混凝土三角形弯曲应力单元的刚度矩阵；{F_t ^b}分别为局部坐标系下混凝土弯曲应力单元r、s、t结点的结点力；

分别表示局部坐标系下混凝土三角形弯曲应力单元的r、s、t结点的位移；

混凝土三角形壳单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵[k_c]为：

(3-2)通过坐标转换，获得整体坐标下的单元刚度矩阵为：

[k']＝[L]^-1[k][L]

其中，[L]为坐标转换矩阵，[k]表示局部坐标系下的单元刚度矩阵，α表示局部坐标系各坐标轴与整体坐标系坐标轴之间的方向余弦；

(3-3)通过总刚集成，得到该自由曲面结构的整体刚度矩阵[K]；

(3-4)根据徐变模型，求解不同时间结构的松弛模量，再通过更新松弛模量来更新刚度矩阵：

计算松弛模量E(T)：

其中，T是时间，E_∞是长期弹性模量，N_p是Prony级数的项数，E_q和τ_q均是通过实验得到的常数。

作为本发明的进一步技术方案，步骤4中的增广目标函数具体为：

其中，f(x)为结构总体积；x为控制点坐标；g(x)为约束函数，此处为结点最大位移约束；σ表示惩罚因子，ω表示乘子。

作为本发明的进一步技术方案，步骤5中采用梯度法更新初始曲面的控制点坐标，具体为：

各个控制点的坐标对增广目标函数的梯度通过插分法求得：

其中，ε_i,j表示P_i,j附近的微小增量；

计算出梯度后，则根据梯度更新控制点坐标：

其中，

表示第l+1迭代步的控制点坐标，

表示第l迭代步的控制点坐标，

表示第l迭代步的梯度，λ^(l)表示第l迭代步的优化步长。

作为本发明的进一步技术方案，采用黄金分割法求解步长，具体为：

设定F表示黄金分割法的第F迭代步，且F属于正整数集，λ_F为黄金分割法第F次迭代求得的步长值，当程序循环至满足step2的条件时将λ_F的值赋给λ^(l)；

step1：置初始区间[a₁,b₁]和精度要求G＞0，计算试探点λ₁和μ₁，计算C(λ₁)和C(μ₁)，令F＝1；

λ₁＝a₁+0.382(b₁-a₁)

μ₁＝a₁+0.618(b₁-a₁)

step2：若b_k-a_k＜G，则停止计算；否则，当C(λ_k)＞C(μ_k)时，转step3；当C(λ_F)＜C(μ_F)时，转step4；

step3：置a_F+1＝λ_F，b_F+1＝b_F，λ_F+1＝μ_F，μ_F+1＝a_F+1+0.618(b_F+1-a_F+1)；计算增广目标函数C(μ_F+1)，转step5；

step4：置a_F+1＝a_F，b_F+1＝μ_F，μ_F+1＝λ_F，λ_F+1＝a_F+1+0.382(b_F+1-a_F+1)；计算增广目标函数C(λ_F+1)，转step5；

step5：置F＝F+1，返回step2。

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：在混凝土自由曲面形态创建过程中考虑了混凝土的徐变，并引入了约束条件。该方法简单有效，可考虑长期荷载下混凝土徐变的影响，在形态创建过程中，考虑徐变会导致所获得结构是合理的，不会影响结构的安全性。

附图说明

图1为考虑材料徐变的有约束的混凝土自由曲面壳体形态创建方法的步骤流程图；

图2为初始曲面模型图，其中，(a)为初始曲面立面图，(b)为初始曲面平面图；

图3为考虑和不考虑徐变的优化过程图，其中，(a)为考虑徐变的优化过程图，(b)为不考虑徐变的优化过程图；

图4为考虑和不考虑徐变的形态创建结构图，其中，(a)为考虑徐变的形态创建结构图，(b)为不考虑徐变的形态创建结构图；

图5为考虑徐变与不考虑徐变的形态创建结构对比图，其中，(a)为考虑徐变的形态创建结构位移图，(b)为不考虑徐变的形态创建结构位移图，(c)为考虑徐变的形态创建结构Mises应力图，(d)为不考虑徐变的形态创建结构Mises应力图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施方式，所述实施方式的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施方式是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。

本技术领域技术人员可以理解的是，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

本发明一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法，如图1所示，具体方法步骤如下。

步骤1，采用NURBS拟合自由曲面，得到初始曲面，曲面材料为混凝土。

步骤1中的初始曲面是一张在u方向p次、v方向q次的NURBS曲面，具有如下形式的双变量分段有理矢值函数：

其中，n为u方向的控制点个数，且i∈[1,n]；m为v方向的控制点个数，且j∈[1,m]；P_i,j是u方向编号为i且v方向编号为j的控制点坐标；w_i,j是u方向编号为i且v方向编号为j的控制点的权因子；N_i,p(u)和N_j,q(v)分别是定义在矢量U和V上的样条基函数，u_i为u方向的结点矢量且u_i∈U，

v_i为v方向的结点矢量且v_i∈V，

N_i,p(u)和N_j,q(v)的表达式如下所示：

步骤2，采用三角形壳单元对步骤1建立的初始曲面进行有限元网格划分。

步骤3，考虑混凝土徐变，对步骤2完成有限元网格划分的初始曲面进行的有限元分析。

步骤3具体为：

(3-1)引入混凝土徐变模型，形成混凝土三角形壳单元局部坐标系下的单元刚度矩阵；

混凝土单元采用三角形壳单元模拟，三角形壳单元的刚度矩阵由平面应力状态和弯曲应力状态的刚度矩阵得到，三角形壳单元的三个结点分别记为r、s、t；

在混凝土三角形平面应力单元中，结点力和结点位移的关系如下：

其中，

表示局部坐标系下混凝土三角形平面应力单元的刚度矩阵；

{F_s ^p}、{F_t ^p}分别为局部坐标系下混凝土平面应力单元的r、s、t结点的结点力；

分别表示局部坐标系下混凝土三角形平面应力单元的r、s、t结点的位移；

在混凝土三角形弯曲应力单元中，结点力和结点位移的关系如下：

其中，表示局部坐标系下混凝土三角形弯曲应力单元的刚度矩阵；

{F_t ^b}分别为局部坐标系下混凝土弯曲应力单元r、s、t结点的结点力；

分别表示局部坐标系下混凝土三角形弯曲应力单元的r、s、t结点的位移；

混凝土三角形壳单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵[k_c]为：

(3-2)通过坐标转换，获得整体坐标下的单元刚度矩阵为：

[k']＝[L]^-1[k][L]

其中，[L]为坐标转换矩阵，[k]表示局部坐标系下的单元刚度矩阵，

α表示局部坐标系各坐标轴与整体坐标系坐标轴之间的方向余弦；

(3-3)通过总刚集成，得到该自由曲面结构的整体刚度矩阵[K]；

(3-4)根据徐变模型，求解不同时间结构的松弛模量，再通过更新松弛模量来更新刚度矩阵：

计算松弛模量E(T)：

其中，T是时间，E_∞是长期弹性模量，N_p是Prony级数的项数，E_q和τ_q均是通过实验得到的常数。

步骤4，引入约束条件，采用广义拉格朗日乘子法将有约束优化问题转换为无约束问题，构成增广目标函数。

步骤4具体如下：

(4-1)建立增广拉格朗日函数：

其中，C为增广拉格朗日Lagrange函数；f(x)为有约束优化问题的目标函数，此处为结构总体积；x为优化变量，此处为控制点高度；g(x)为约束函数，此处为结点最大位移约束；σ表示惩罚因子，ω表示乘子；

(4-2)有约束优化问题转换为无约束问题

以增广拉格朗日函数C替换原目标函数f(x)作为无约束问题的目标函数。

步骤5，采用梯度法更新初始曲面的控制点坐标，获得新的自由曲面。

步骤5具体为：

各个控制点的坐标对增广目标函数的梯度通过插分法求得：

其中，ε_i,j表示变量P_i,j附近的微小增量。

计算出梯度后，则根据梯度更新控制点坐标：

其中，

表示第l+1迭代步的控制点坐标，

表示第l迭代步的控制点坐标，

表示第l迭代步的梯度，λ^(l)表示第l迭代步的优化步长其求解公式如(5-1)所示。

(5-1)采用黄金分割法求解步长，具体为：

设定F表示黄金分割法的第F迭代步，且F属于正整数集，λ_F为黄金分割法第F次迭代求得的步长值，当程序循环至满足step2的条件时将λ_F的值赋给λ^(l)；

step1：置初始区间[a₁,b₁]和精度要求G＞0，计算试探点λ₁和μ₁，计算C(λ₁)和C(μ₁)，令F＝1；

λ₁＝a₁+0.382(b₁-a₁)

μ₁＝a₁+0.618(b₁-a₁)

step2：若b_k-a_k＜G，则停止计算；否则，当C(λ_k)＞C(μ_k)时，转step3；当C(λ_F)＜C(μ_F)时，转step4；

step3：置a_F+1＝λ_F，b_F+1＝b_F，λ_F+1＝μ_F，μ_F+1＝a_F+1+0.618(b_F+1-a_F+1)；计算增广目标函数C(μ_F+1)，转step5；

step4：置a_F+1＝a_F，b_F+1＝μ_F，μ_F+1＝λ_F，λ_F+1＝a_F+1+0.382(b_F+1-a_F+1)；计算增广目标函数C(λ_F+1)，转step5；

step5：置F＝F+1，返回step2。

步骤6，设置优化精度ε^*，若当前优化步的增广目标函数对当前优化步的控制点高度的差分的模小于优化精度ε^*，则输出优化结果，自由曲面创建完成；否则返回步骤2，对当前自由曲面继续迭代进行自由曲面形态优化。

具体实施例

下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明。应理解下述具体实施方式仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。

设一混凝土自由曲面壳结构，两边长24m，壳厚0.1m，承受竖直向下均匀荷载8kN/m²，四个角点设置支座。徐变模型的参数取值见表1。结构初始曲面模型如图2所示。

表1徐变模型参数

项数	弹性模量/GPa	松弛时间/天
			-	E<sub>∞</sub>＝10.58	-
1	E<sub>1</sub>＝7.38	τ<sub>1</sub>＝0.18
			2	E<sub>2</sub>＝5.48	τ<sub>2</sub>＝4.28
3	E<sub>3</sub>＝5.81	τ<sub>3</sub>＝47.08
			4	E<sub>4</sub>＝3.26	τ<sub>4</sub>＝485.30

在形态创建过程中，z坐标为优化变量，最大位移在0.03m内为约束，体积最小为优化目标。分别对该自由曲面进行考虑材料徐变和不考虑材料徐变的有约束的形状优化。

考虑和不考虑徐变的优化过程分别如图3中的(a)和(b)所示。考虑和不考虑徐变的形态创建结构分别如图4中的(a)和(b)所示。

表2显示了考虑和不考虑徐变的创建结构的最大结点位移、最大Mises应力。

表2自由曲面结构的最大结点位移、最大Mises应力比较

图5中的(a)至(d)分别为考虑徐变与不考虑徐变的形态创建结构对比图。

该实施例表明，在形态创建过程中，不考虑徐变会导致所获得结构是不合理的，从而影响结构的安全性。

本发明方案所公开的技术手段不仅限于上述技术手段所公开的技术手段，还包括由以上技术特征任意组合所组成的技术方案。

以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。

Claims (5)

1.一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法，其特征在于，具体方法步骤如下：

步骤1，采用NURBS拟合自由曲面，得到初始曲面，曲面材料为混凝土；

步骤2，采用三角形壳单元对步骤1建立的初始曲面进行有限元网格划分；

步骤3，考虑混凝土徐变，对步骤2完成有限元网格划分的初始曲面进行的有限元分析；具体为：

(3-1)引入混凝土徐变模型，形成混凝土三角形壳单元局部坐标系下的单元刚度矩阵；

混凝土单元采用三角形壳单元模拟，三角形壳单元的刚度矩阵由平面应力状态和弯曲应力状态的刚度矩阵得到，三角形壳单元的三个结点分别记为r、s、t；

在混凝土三角形平面应力单元中，结点力和结点位移的关系如下：

其中，

表示局部坐标系下混凝土三角形平面应力单元的刚度矩阵；

{F_s ^p}、{F_t ^p}分别为局部坐标系下混凝土平面应力单元的r、s、t结点的结点力；

分别表示局部坐标系下混凝土三角形平面应力单元的r、s、t结点的位移；

在混凝土三角形弯曲应力单元中，结点力和结点位移的关系如下：

其中，

表示局部坐标系下混凝土三角形弯曲应力单元的刚度矩阵；

{F_t ^b}分别为局部坐标系下混凝土弯曲应力单元r、s、t结点的结点力；

分别表示局部坐标系下混凝土三角形弯曲应力单元的r、s、t结点的位移；

混凝土三角形壳单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵[k_c]为：

(3-2)通过坐标转换，获得整体坐标下的单元刚度矩阵为：

[k']＝[L]^-1[k][L]

其中，[L]为坐标转换矩阵，[k]表示局部坐标系下的单元刚度矩阵，

α表示局部坐标系各坐标轴与整体坐标系坐标轴之间的方向余弦；

(3-3)通过总刚集成，得到该自由曲面结构的整体刚度矩阵[K]；

(3-4)根据徐变模型，求解不同时间结构的松弛模量，再通过更新松弛模量来更新刚度矩阵：

计算松弛模量E(T)：

其中，T是时间，E_∞是长期弹性模量，N_p是Prony级数的项数，E_q和τ_q均是通过实验得到的常数；

步骤4，引入约束条件，采用广义拉格朗日乘子法将有约束优化问题转换为无约束问题，构成增广目标函数；

步骤5，采用梯度法更新初始曲面的控制点坐标，获得新的自由曲面；

步骤6，设置优化精度ε^*，若当前优化步的增广目标函数对当前优化步的控制点高度的差分的模小于优化精度ε^*，则输出优化结果，自由曲面创建完成；否则返回步骤2，对当前自由曲面继续迭代进行自由曲面形态优化。

2.根据如权利要求1所述的一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法，其特征在于，步骤1中的初始曲面是一张在u方向p次、v方向q次的NURBS曲面，具有如下形式的双变量分段有理矢值函数：

其中，n为u方向的控制点个数，且i∈[1,n]；m为v方向的控制点个数，且j∈[1,m]；P_i,j是u方向编号为i且v方向编号为j的控制点坐标；w_i,j是u方向编号为i且v方向编号为j的控制点的权因子；N_i,p(u)和N_j,q(v)分别是定义在矢量U和V上的样条基函数，u_i为u方向的结点矢量且u_i∈U，

v_i为v方向的结点矢量且v_i∈V，

N_i,p(u)和N_j,q(v)的表达式如下所示：

3.根据如权利要求1所述的一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法，其特征在于，步骤4中的增广目标函数具体为：

其中，f(x)为结构总体积；x为控制点坐标；g(x)为约束函数，此处为结点最大位移约束；σ表示惩罚因子，ω表示乘子。

4.根据如权利要求1所述的一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法，其特征在于，步骤5中采用梯度法更新初始曲面的控制点坐标，具体为：

各个控制点的坐标对增广目标函数的梯度通过插分法求得：

其中，ε_i,j表示P_i,j附近的微小增量；

计算出梯度后，则根据梯度更新控制点坐标：

其中，

表示第l+1迭代步的控制点坐标，

表示第l迭代步的控制点坐标，

表示第l迭代步的梯度，λ^(l)表示第l迭代步的优化步长。

5.根据如权利要求4所述的一种考虑徐变的有约束的混凝土自由曲面形态创建方法，其特征在于，采用黄金分割法求解步长，具体为：

设定F表示黄金分割法的第F迭代步，且F属于正整数集，λ_F为黄金分割法第F次迭代求得的步长值，当程序循环至满足step2的条件时将λ_F的值赋给λ^(l)；

step1：置初始区间[a₁,b₁]和精度要求G＞0，计算试探点λ₁和μ₁，计算C(λ₁)和C(μ₁)，令F＝1；

λ₁＝a₁+0.382(b₁-a₁)

μ₁＝a₁+0.618(b₁-a₁)

step2：若b_k-a_k＜G，则停止计算；否则，当C(λ_k)＞C(μ_k)时，转step3；当C(λ_F)＜C(μ_F)时，转step4；

step3：置a_F+1＝λ_F，b_F+1＝b_F，λ_F+1＝μ_F，μ_F+1＝a_F+1+0.618(b_F+1-a_F+1)；计算增广目标函数C(μ_F+1)，转step5；

step4：置a_F+1＝a_F，b_F+1＝μ_F，μ_F+1＝λ_F，λ_F+1＝a_F+1+0.382(b_F+1-a_F+1)；计算增广目标函数C(λ_F+1)，转step5；

step5：置F＝F+1，返回step2。

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