CN110095775B - 基于混合坐标系的颠簸平台sar快速时域成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法，该方法的具体步骤为：对基带回波信号进行距离向匹配滤波处理，得到距离压缩后的信号；划分子孔径，构建混合坐标系成像网格；将每个子孔径数据在混合坐标系成像网格上进行后向投影；将混合坐标系下的子孔径图像通过混合坐标系下的快速后向投影或者快速分解后向投影算法，得到全空间分辨率的SAR图像。本发明通过将快速时域算法中的极坐标子孔径成像网格替换为混合坐标网格，优化了时域成像算法中的二维插值，提高了时域算法的执行效率，改善时域算法的处理速度和成像质量。

Description

基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法

技术领域

本发明属于SAR成像技术领域，特别涉及基于混合坐标系的颠簸平台 SAR快速时域成像方法，可用于无人机等颠簸平台的SAR成像处理。

背景技术

合成孔径雷达(SAR)作为一种主动式微波有源传感器，可以全天时、 全天候、远距离获取观测场景的二维图像，已广泛应用于各种雷达载体。合 成孔径雷达成像算法主要分为两类：频域算法和时域算法。由于时域算法对 成像条件没有限制，且成像过程中不需要脉冲积累，近年来逐渐成为研究热 点。然而时域成像算法的运算复杂度相对较高，导致其在应用中存在一定的 局限性。

为提高时域算法的处理速度，现有思路是利用划分子孔径的思想对原始 后向投影(BP)算法进行改进，并提出了快速后向投影(FBP)算法和快速 分解后向投影(FFBP)算法。FBP算法先将每幅子孔径图像重建在以子孔径 中心为原点的局部极坐标系；再通过距离维和角度维的二维插值将极坐标子 孔径图像变换到笛卡尔坐标系；最后在笛卡尔坐标系将全部子孔径图像进行 相干相加，得到全空间分辨率的SAR图像。FFBP算法先将整个合成孔径按 照一定的分解系数划分成若干较短的子孔径，并将子孔径对应的距离压缩数 据投影到以其孔径中心为原点的局部极坐标网格；再通过距离维和角度维的 二维插值将先前阶段的子孔径图像不断融合，不断提高子孔径图像的角分辨 率；最后通过二维插值将极坐标图像变换到笛卡尔坐标系，得到全空间分辨 率SAR图像。

然而，FBP算法和FFBP算法极坐标子孔径图像递归融合及极坐标到笛卡 尔坐标转换过程中的两维插值在实现过程中占据较大比重，不可避免地增加 计算量，同时引入了插值误差，最终影响图像质量，造成旁瓣抬高和积分旁 瓣比性能变差，在实际应用中存在一定的局限性。

发明内容

为了解决上述问题，本发明的目的是提出一种基于混合坐标系的颠簸平 台SAR快速时域成像方法。本发明通过将快速时域算法中的极坐标子孔径 成像网格替换为混合坐标网格，优化了时域成像算法中的二维插值，提高了 时域算法的执行效率，改善时域算法的处理速度和成像质量。

为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以解决。

基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法，包括以下步骤：

步骤1，采用颠簸平台SAR发射并接收回波信号；对回波信号进行解调， 得到解调后的基带回波信号s₀(τ，t_m)，对解调后的基带回波信号s₀(τ，t_m)进行距 离向匹配滤波处理，得到距离压缩后的信号s(τ，t_m)；其中，τ为距离快时间， t_m为方位慢时间。

步骤2，设定距离压缩后的全孔径数据s(τ，t_m)长度为L，将距离压缩后的 全孔径数据s(τ，t_m)均匀划分成K个子孔径数据，其中，每个子孔径的长度 l＝L/K；并构建混合坐标系成像网格。

步骤3，将每个子孔径数据在混合坐标系成像网格上进行后向投影，得到 每个子孔径数据对应的混合坐标系下的子孔径图像I_k(y，θ_k)；其中，y表示混 合坐标系成像网格中像素点到理想航迹的最近距离，θ_k表示垂直飞行平台速 度方向与像素点到第k个子孔径中心连线的夹角。

步骤4，将混合坐标系下的子孔径图像I_k(y，θ_k)通过混合坐标系下的快速 后向投影或者快速分解后向投影，得到全空间分辨率的SAR图像I(x，y)；其 中，x表示像素点到孔径中心距离在速度方向的投影距离。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

(1)本发明通过引入混合坐标系，改善了颠簸平台SAR快速时域成像算 法的处理效率和成像效果。

(2)本发明通过提出混合坐标系，将快速时域算法的极坐标成像网格替 换为混合坐标网格，将子孔径图像形成过程的距离插值与极坐标到笛卡尔坐 标转换(包括极坐标到极坐标的转换)时的距离插值合二为一，使得之后的 坐标转换和图像融合只需要进行角度维插值，提高了时域算法的执行效率， 减少了插值误差，改善了成像质量。

附图说明

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。

图1为传统的极坐标系和传统的笛卡尔坐标系示意图；其中，图1(a) 为传统的极坐标系示意图，图1(b)为传统的笛卡尔坐标系示意图；

图2为本发明中的混合坐标系示意图；

图3为本发明的混合坐标系下颠簸平台SAR成像几何模型示意图；

图4为本发明基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法的流程 图；

图5为本发明实施例中混合坐标系下图像融合前和融合后的示意图；其 中，图5(a)为本发明实施例中混合坐标系下图像融合前的示意图，图5(b) 为本发明实施例中混合坐标系下图像融合后的示意图；

图6(a)为本发明的混合坐标系下快速时域成像仿真实验中像素点距离 向剖面图，图6(b)本发明的为混合坐标系下快速时域成像仿真实验中像素 点方位向剖面图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施例及效果作进一步详细描述。

参照图3所示，为本发明的混合坐标系下颠簸平台SAR成像几何 模型示意图；无人机载合成孔径雷达工作于条带模式，载机以水平速度 v沿x方向(雷达的方位向)飞行，P点为场景中的某一像素点。载机 飞行高度为H，景中心斜距为R_s。

参照图4，为本发明基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法 的流程图。该方法的具体实现步骤如下：

步骤1，采用颠簸平台SAR发射并接收回波信号；对回波信号进行解调， 得到解调后的基带回波信号s₀(τ，t_m)，对解调后的基带回波信号s₀(τ，t_m)进行距 离向匹配滤波处理，得到距离压缩后的信号s(τ，t_m)。

具体地，利用无人机载合成孔径雷达发射线性调频信号，利用合成孔径 雷达接收对应的回波信号；对回波信号进行解调，得到解调后的基带回波信 号s₀(τ，t_m)：

其中，τ为距离快时间，t_m为方位慢时间；A₀为像素点的后向散射系数， ω_r(·)和ω_a(·)分别为基带回波信号的距离窗函数和方位窗函数，R(t_m)为t_m时刻 雷达与像素点的瞬时斜距，c表示光速，t₀表示波束中心穿越时刻，f_c为信号 载频，K_r为距离向调频率。

将基带回波信号s₀(τ，t_m)进行快速傅立叶变换并乘以距离向匹配滤波函 数，消除距离二次项，再进行逆傅立叶变换，得到距离压缩后的信号s(τ，t_m)

其中，j表示虚数，FFT表示快速傅立叶变换，IFFT表示逆傅立叶变换； sinc(·)表示辛格函数，H(f_τ)为距离向匹配滤波函数，f_τ为距离频率，B为信 号带宽，R₀表示像素点的最近斜距；

步骤2，设定距离压缩后的全孔径数据s(τ，t_m)长度为L，将距离压缩后的 全孔径数据s(τ，t_m)均匀划分成K个子孔径数据，其中，每个子孔径的长度 l＝L/K；构建混合坐标系成像网格。

具体地说，假设距离压缩后的全孔径数据s(τ，t_m)长度为L，设定子孔径长 度l，则全孔径数据可以划分为K＝L/l个子孔径数据。

传统快速时域成像算法的成像网格是基于极坐标系或者笛卡尔坐标系建 立的，其坐标系的建立具体如下：

其一，参考图1(a)，建立极坐标系，其坐标原点位于孔径中心点，场 景中的任一点表示为(r，θ)，其中，r为偏离孔径中心的距离，θ为垂直飞行平 台速度方向与像素点到孔径中心连线的夹角，即角度维。

其二，参考图1(b)，建立笛卡尔坐标系，其坐标原点位于孔径中心点， 以平台运动方向为x轴方向，以垂直于雷达轨迹方向为y轴方向，场景中任一 点表示为(x，y)，其中，x为像素点到孔径中心距离在速度方向的投影距离，即 方位维，y为像素点到孔径中心距离在垂直雷达轨迹方向的投影距离，即像素 点到理想航迹的最近距离，即距离维。笛卡尔坐标与极坐标的转换关系如下：

不同于传统成像网格，本发明的混合坐标系成像网格建立的具体步骤为：

参考图2，建立混合坐标系，混合坐标系以孔径中心为原点，以垂直于雷 达轨迹方向为y轴方向，在距离维和角度维进行等间隔划分，建立起混合坐 标系成像网格(y，θ)；y和θ满足关系：

y＝r·cosθ；

其中，y表示偏离孔径的距离，即像素点到理想航迹的最近距离，即距离 维，θ表示垂直飞行平台速度方向与像素点到孔径中心连线的夹角，即角度维， r为像素点到孔径中心的距离。

步骤3，将每个子孔径数据在混合坐标系成像网格上进行后向投影，得到 每个子孔径数据对应的混合坐标系下的子孔径图像I_k(y，θ_k)。

其中，I_k(y，θ_k)表示第k个混合坐标系下的子孔径图像，k表示第k个子孔 径，θ_k表示垂直飞行平台速度方向与像素点到第k个子孔径中心连线的夹角； R(y，θ_k；t_m)表示t_m时刻雷达天线相位中心到像素点(y，θ_k)的瞬时斜距，其表达式 为：

所述混合坐标系下快速时域成像算法的子孔径图像的Nyquist采样需求 为：

其中，λ为载波波长，Δy表示混合坐标系成像网格中两个相邻像素点在 距离向的最短距离，Δθ_k表示混合坐标系成像网格中两个相邻像素点在角度维 的最小间隔角度。

对图像I_k(y，θ_k)作二维傅立叶变换，并根据驻定相位原理求得混合坐标系 下快速时域成像算法的子孔径图像的Nyquist采样需求，只有满足Nyquist采 样需求时，混合坐标系下的子孔径图像才能较为完美地反映实际场景。

由以上采样条件可知，角度维采样与子孔径长度l有关，而距离采样只取 决于带宽，与子孔径大小无关。

对于固定的成像角，角度维网格划分得越细密，像素间隔越小，角度维 采样率越高。考虑到混合坐标系下的子孔径图像具有距离全分辨和角度维低 分辨的特点，可以通过减小角度维的采样点数来提高运算效率。

步骤4，将混合坐标系下的子孔径图像I_k(y，θ_k)通过混合坐标系下的快速 后向投影或快速分解后向投影，得到全空间分辨率的SAR图像I(x，y)。

一种实施方式下，所述快速后向投影的具体步骤为：

首先，采用角度维插值将每个混合坐标系下的子孔径图像I_k(y，θ_k)转换成 对应的笛卡尔坐标系下的子孔径图像I_k(x，y)：

其中，R(x，y；t_m)表示t_m时刻雷达天线相位中心到笛卡尔坐标系成像网格中 像素点(x，y)的瞬时斜距。

由于每个混合坐标系下的子孔径图像均在混合坐标系下的成像网格上进 行后向投影成像，其距离维坐标y表示像素点到第k个子孔径的最近距离(像 素点到理想航迹的最近距离)，即与笛卡尔坐标系中距离维坐标y含义相同， 因此在进行坐标转换时不需要进行距离维插值，只进行角度维插值即可。

其次，对K个笛卡尔坐标系下的子孔径图像I_k(x，y)进行相干相加，得到 一幅全空间分辨率的SAR图像I(x，y)：

其中，x表示像素点到孔径中心距离在速度方向的投影距离。

另一实施方式下，所述快速分解后向投影的具体步骤为：

首先，对K个混合坐标系下的子孔径图像I_k(y，θ_k)进行递归融合，得到一 幅混合坐标下的全空间分辨率的SAR图像I^(G)(y，θ)；

其次，将混合坐标下的全空间分辨率的SAR图像I^(G)(y，θ)，通过角度维 插值转换成笛卡尔坐标下的全空间分辨率的SAR图像，即为全空间分辨率的 SAR图像I(x，y)。其表达式为：

上述步骤中，所述递归融合为基二融合。

所述基二融合的具体步骤为：

假设将K个混合坐标系下的子孔径图像的基二融合划分为G个阶段，基 二融合的初始阶段划分得到的子孔径数目为K⁽¹⁾＝2^G-1，初始阶段的第k个子孔 径的雷达天线相位中心为

对应的混合坐标系成像网格的 角度维坐标划分为

其中，G为大于1的整数；K⁽¹⁾表示初始阶段的子孔径数，初始阶段每个 子孔径长度为l⁽¹⁾＝L/K⁽¹⁾。

初始阶段的图像融和的具体步骤如下：

参考图5(a)，为混合坐标系下图像融合前示意图，各个子孔径图像分 别在混合坐标网格下对场景进行描述，初始阶段第k个子孔径的混合坐标系下 的子孔径图像为

参考图5(b)，为混合坐标系下融合后图像示意图，从图中可以看出， 融合后的子孔径长度等于融合前两个子孔径长度之和，融合后图像的角度维 分辨率为融合前的2倍。由于融合前的两个子孔径图像均在混合坐标系成像 网格中进行成像，其距离维的划分相同，即均为y，表示像素点到第k个子孔 径的最近距离，因此在进行图像融合时不需要进行距离维插值，只进行角度 维插值即可。

对初始阶段的第2k-1个和第2k个子孔径的混合坐标系下的子孔径图像进 行角度维插值融合，得到第2阶段第k个子孔径的混合坐标系下的子孔径图 像：

其中，

表示第2阶段第k个子孔径的混合坐标系下的子孔径图像角度 维坐标划分，符号

表示相干相加，l⁽²⁾＝₂l⁽¹⁾，l⁽²⁾表示第2阶段的子孔径长度，

为第2阶段第k个子孔径的雷达天线相位中心。

将初始阶段的K⁽¹⁾个子孔径图像分成K⁽¹⁾/2对，对每对子孔径图像分别进 行角度维插值融合，则得到K⁽¹⁾/2个子孔径图像，即为第2阶段的待融合图像。

对第2阶段的待融合图像进行融合得到K⁽¹⁾/4个子孔径图像，作为第3阶 段的待融合图像，依次类推，最终得到一幅融合后的图像即为混合坐标下的 全空间分辨率的SAR图像I^(G)(y，θ)。

验证过程：

为了说明本发明的快速时域成像方法采用混合坐标系的优势，此处对采 用混合坐标系所带来的插值运算效率的提升进行分析。

以FBP算法中极坐标系成像网格得到的子孔径成像结果(简称极坐标子 孔径图像)到笛卡尔坐标子孔径图像的坐标转换的运算量为例。

假设孔径长度为N_pulse，笛卡尔坐标系下重建的成像网格点数为N×N，每 个子孔径长度为m，则总共需划分N_pulse/m个子孔径。设极坐标子孔径图像的 像素点数为N×m，将该子孔径图像投影到笛卡尔坐标网格，其距离维和角度 维插值均采用升采样后的线性插值，插值倍数为Num，计算得到距离维插值 的浮点运算为(一次实数加法或一次实数乘法作为一次浮点运算)：

Operation_r＝m·(5·N·log₂N+5·Num·N·log₂(Num·N)+6·N)；

角度维插值的浮点运算为：

Operation_a＝N·(5·m·log₂m+5·Num·m·log₂(Num·m)+6·N)；

总运算量为Operation_r+Operation_a。采用混合成像坐标系后，子孔径图像坐标转换(即从混合坐标系下的子孔径图像转换为笛卡尔坐标子孔径图像)只 包含角度维插值，故此时运算量为Operation_a。由此可得混合坐标系下的运算 效率为

以N_pulse＝N＝4096，

Num＝8为例，将其代入上式，可得计算得插值运 算效率η＝46.25％。

而针对FFBP算法，由于每一级处理在采用混合坐标系后均可以节省距离 维插值运算，效率提升会更加明显。

仿真实验

下面通过像素点仿真成像实验进一步说明本发明的正确性和有效性。

1)像素点仿真成像仿真条件

表1雷达参数

雷达系统仿真参数如表1所示，参照图2，为混合坐标系下SAR成像几 何模型示意图；其中，X轴为颠簸SAR平台(载机)运动方向，Y轴垂直于 雷达平台运动方向，Z轴为平台高度方向，SAR平台高度为H。载机以速度v 沿X轴匀速直线飞行，设定R_s为场景中心点对应的距离。

2)仿真内容

仿真实验：为验证本发明的有效性，此处通过快速时域成像法在混合坐 标系下的仿真实验，对其运算效率的改进作分析。

3)仿真结果分析

参照图6a，为本发明的混合坐标系下快速时域成像仿真实验中像素点距 离向剖面图；参照图6b，为本发明的混合坐标系下快速时域成像仿真实验中 像素点方位向剖面图。设孔径长度为4096，分别将其划分成长度为32、64、 128、256的子孔径(SA)，并建立4096*4096的成像网格。其中，倒三角的 虚线表示极坐标(PC)下的成像结果，菱形的点线表示混合坐标系(HC)下 的成像结果，二者几乎完全相同，且混合坐标系下的成像结果峰值旁瓣比 (PSLR)优于极坐标系成像结果。

表2处理时间对比

	PC/s	HC/s	运算效率
				SA＝32	18.36	10.76	41.4％
SA＝64	12.98	7.44	42.7％
				SA＝128	9.25	4.92	46.8％
SA＝256	9.85	5.28	46.4％

通过计算图像坐标转换时的插值运算时间，当子孔径长度为64时，混合 坐标系下的运算时间为7.44s，而极坐标系下的运算时间为12.98s，其运算效 率为42％。其他子孔径长度的插值运算时间对比如表2所示，由表2可知， 混合坐标系极大地提高了处理时间，减少了算法的复杂度，提高了运算效率。

本领域普通技术人员可以理解：实现上述方法实施例的全部或部 分步骤可以通过程序指令相关的硬件来完成，前述的程序可以存储于一 计算机可读取存储介质中，该程序在执行时，执行包括上述方法实施例 的步骤；而前述的存储介质包括：ROM、RAM、磁碟或者光盘等各种 可以存储程序代码的介质。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并 不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围 内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此， 本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (5)

1.基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，采用颠簸平台SAR发射并接收回波信号；对回波信号进行解调，得到解调后的基带回波信号s₀(τ,t_m)，对解调后的基带回波信号s₀(τ,t_m)进行距离向匹配滤波处理，得到距离压缩后的信号s(τ,t_m)；其中，τ为距离快时间，t_m为方位慢时间；

步骤2，设定距离压缩后的全孔径数据s(τ,t_m)长度为L，将距离压缩后的全孔径数据s(τ,t_m)均匀划分成K个子孔径数据，其中，每个子孔径的长度l＝L/K；并构建混合坐标系成像网格；

所述构建混合坐标系成像网格的具体步骤为：

建立混合坐标系，混合坐标系以孔径中心为原点，以垂直于雷达轨迹方向为y轴方向，在距离维和角度维进行等间隔划分，建立起混合坐标系成像网格(y,θ)；其中，y和θ满足关系：

y＝r·cosθ；

其中，y表示像素点到理想航迹的最近距离，即距离维，θ表示垂直飞行平台速度方向与像素点到孔径中心连线的夹角，即角度维，r为像素点到孔径中心的距离；

步骤3，将每个子孔径数据在混合坐标系成像网格上进行后向投影，得到每个子孔径数据对应的混合坐标系下的子孔径图像I_k(y,θ_k)；

其中，y表示混合坐标系成像网格中像素点到理想航迹的最近距离，θ_k表示垂直飞行平台速度方向与像素点到第k个子孔径中心连线的夹角；

所述混合坐标系下的子孔径图像I_k(y,θ_k)的表达式为：

其中，I_k(y,θ_k)表示第k个混合坐标系下的子孔径图像，k表示第k个子孔径，θ_k表示垂直飞行平台速度方向与像素点到第k个子孔径中心连线的夹角；v表示载机沿x方向飞行的水平速度；R(y,θ_k；t_m)表示t_m时刻雷达天线相位中心到像素点(y,θ_k)的瞬时斜距，其表达式为：

步骤4，将混合坐标系下的子孔径图像I_k(y,θ_k)通过混合坐标系下的快速后向投影或者快速分解后向投影，得到全空间分辨率的SAR图像I(x,y)；

其中，x表示像素点到孔径中心距离在速度方向的投影距离；

所述快速后向投影的具体步骤为：

首先，采用角度维插值将每个混合坐标系下的子孔径图像I_k(y,θ_k)转换成对应的笛卡尔坐标系下的子孔径图像I_k(x,y)：

其中，R(x,y；t_m)表示t_m时刻雷达天线相位中心到笛卡尔坐标系成像网格中像素点(x,y)的瞬时斜距；

其次，对K个笛卡尔坐标系下的子孔径图像I_k(x,y)进行相干相加，得到一幅全空间分辨率的SAR图像I(x,y)：

其中，x表示像素点到孔径中心距离在速度方向的投影距离；

所述快速分解后向投影的具体步骤为：

首先，对K个混合坐标系下的子孔径图像I_k(y,θ_k)进行递归融合，得到一幅混合坐标下的全空间分辨率的SAR图像I^(G)(y,θ)；

其次，将混合坐标下的全空间分辨率的SAR图像I^(G)(y,θ)，通过角度维插值转换成笛卡尔坐标下的全空间分辨率的SAR图像，即为全空间分辨率的SAR图像I(x,y)为：

2.根据权利要求1所述的基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法，其特征在于，步骤1中，所述解调后的基带回波信号s₀(τ,t_m)的表达式为：

其中，τ为距离快时间，t_m为方位慢时间；A₀为点目标的后向散射系数，ω_r(·)为基带回波信号的距离窗函数，ω_a(·)为基带回波信号的方位窗函数，R(t_m)为t_m时刻雷达与点目标的瞬时斜距，c表示光速，t₀表示波束中心穿越时刻，f_c为信号载频，K_r为距离向调频率；j表示虚数。

3.根据权利要求2所述的基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法，其特征在于，步骤1中，所述距离压缩后的信号s(τ,t_m)的表达式为：

其中，j表示虚数，FFT表示快速傅立叶变换，IFFT表示逆傅立叶变换；sinc(·)表示辛格函数，H(f_τ)为距离向匹配滤波函数，f_τ为距离频率，B为信号带宽，R₀表示点目标的最近斜距；

4.根据权利要求1所述的基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法，其特征在于，所述混合坐标系下的子孔径图像的Nyquist采样需求为：

其中，△y表示混合坐标系成像网格中两个相邻像素点在距离向的最短距离，△θ_k表示混合坐标系成像网格中两个相邻像素点在角度维的最小间隔角度，λ为载波波长。

5.根据权利要求1所述的基于混合坐标系的颠簸平台SAR快速时域成像方法，其特征在于，所述递归融合为基二融合；所述基二融合的具体步骤为：

假设将K个混合坐标系下的子孔径图像的基二融合划分为G个阶段，则初始阶段划分得到的子孔径数目为K⁽¹⁾＝2^G-1，初始阶段的第k个子孔径的雷达天线相位中心为

对应的混合坐标系成像网格的角度维坐标划分为

其中，G为大于1的整数；K⁽¹⁾表示初始阶段的子孔径数，初始阶段每个子孔径长度为l⁽¹⁾＝L/K⁽¹⁾；

为初始阶段的第k个子孔径的雷达天线相位中心；

则初始阶段的图像融和的具体步骤为：

首先，获取初始阶段第k个子孔径的混合坐标系下的子孔径图像为

其次，对初始阶段的第2k-1个和第2k个子孔径的混合坐标系下的子孔径图像进行角度维插值融合，得到第2阶段第k个子孔径的混合坐标系下的子孔径图像：

其中，

表示第2阶段第k个子孔径的混合坐标系下的子孔径图像角度维坐标划分，符号

表示相干相加，l⁽²⁾＝2l⁽¹⁾，l⁽²⁾表示第2阶段的子孔径长度，

为第2阶段第k个子孔径的雷达天线相位中心；

最后，将初始阶段的K⁽¹⁾个子孔径图像分成K⁽¹⁾/2对，对每对子孔径图像分别进行角度维插值融合，则得到K⁽¹⁾/2个子孔径图像，即为第2阶段的待融合图像；

依次类推，对第2阶段的待融合图像进行第2到G阶段的图像融合，得到一幅融合后的图像即为混合坐标下的全空间分辨率的SAR图像I^(G)(y,θ)。

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