CN110058526B - 一种基于区间二型t-s模型的中立型系统的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于区间二型T‑S模型的带有分布时滞的中立型系统的控制方法。本发明首先确定石油精炼厂化学反应器的数学模型；其次将上述数学模型转化为区间二型T‑S模糊模型；然后采用并行分布补偿法设计T‑S模糊控制器；最后确定区间二型T‑S模糊系统稳定性条件，并转化成线性矩阵不等式，求出控制增益。本发明利用区间二型T‑S模型描述石油精炼厂的化学反应器精炼过程，区间二型T‑S模糊集在处理系统不确定性方面比一型模糊集有优势，同时在计算复杂度上又比二型模糊集低。因此，使用区间二型模糊集函数对系统建模，不仅系统描述更精确，而且使控制方法更有效。

Description

一种基于区间二型T-S模型的中立型系统的控制方法

技术领域

本发明属于控制科学与控制工程领域，涉及一种基于区间二型T-S模型的带有分布时滞的中立型系统的控制方法。

背景技术

在工程技术、物理、力学、控制论、化学反应、生物医学等领域提出的数学模型都带有明显的滞后量。特别是在自动控制的装置中，任何一个含有反馈的系统，从输入信号到收到反馈信号，其间必然有时间差。因此，用传统的微分方程去描述系统的状态只是一种近似，必须符合精度的要求才行，否则将导致错误。随着高新技术的发展，在实际工程中对控制系统的要求不断提高，包括对系统的精确建模和对控制器的精准设计。滞后在系统中是普遍存在的。例如，在化工、液压、轧钢等系统中都有时滞现象，且时滞是导致系统不稳定的一个重要因素。中立型时滞系统是一类更为广泛的滞后系统，大多数时滞系统都可以看作中立型的特殊情况，并且许多时滞系统都可以转化为中立型系统来研究，如无损传输线模型、标准时滞系统、标准分布时滞系统等。现阶段对时滞系统研究已有很多成果，包括系统稳定性分析，控制器设计，鲁棒H∞性能分析等。

基于区间二型T-S模型的模糊控制是最近研究非线性系统的热门方法。一方面，区间二型T-S模型相较于传统的一型T-S模型具有更好的处理不确定信息的能力；另一方面，区间二型T-S模型比二型T-S模型在计算方面更具有优势，且还拥有二型T-S模型的优点。现有技术针对基于一型T-S模型的时滞系统的研究已经相当广泛，例如系统的鲁棒控制，观测器设计，保性能控制等，而对区间二型T-S模型的时滞系统的相关研究相对较少。

考虑到中立型系统和一型T-S模型的特点，基于一型T-S模型的中立性系统的分析已有部分学者关注，有系统稳定性分析，控制器设计等。区间二型T-S模型结合中立型系统可以很好的描述很多实际问题，包括人口理论、医学问题、生物学、经济问题、化工生产等。但将中立型系统与区间二型T-S模型相结合的文献目前还是一片空白。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提供了一种基于区间二型T-S模型的带有分布时滞的中立型系统的控制方法。

本发明解决技术问题所采取的技术方案为：

步骤1.确立石油精炼厂化学反应器的数学模型：

其中t为时间，x₁,x₂分别为反应物A和B标准值的偏差，δF_A,δF_B分别为原料A和B 标准进料速度的偏差，σV_R表示化学反应器的质量的偏差，τ,h,r是延迟时间，且都为定值， a_i,b_i,c_i,d_i,e_j为已知工程参数，i＝1,2,3,4；j＝1,2。

步骤2.将上述数学模型转化为区间二型T-S模糊模型：

对非线性系统线性化处理，方程共两个状态变量：

其状态方程为：

其中

A,B,C,D为标准值偏差系数矩阵，E为进料速度偏差输入矩阵。

基于区间二型T-S模型对带有分布时滞的中立型模糊系统，其IF-THEN规则描述下：

其中，

为前件变量s_d(x)相对于第i条模糊规则的区间二型模糊集，i＝1,2,…,p, d＝1,2,…,l,A_i,B_i,C,D_i,E_i为已知具有适当维数的矩阵，规定矩阵C的谱半径ρ(C) 满足ρ(C)<1，

为系统的状态变量，

为系统的输入向量，h,τ,r>0且为给定常数，α＝max{h,τ,r}，

是将[-α,0]映入

中的连续函数所组成的具有一致收敛拓扑的Banach空间，

第i条规则的激活强度可用区间

表示，

分别表示上下隶属函数，其中

分别表示函数s_d(x)的下上隶属度，并且

故对于所有模糊规则i都有

通过单点模糊化, 乘积推理和加权平均反模糊化，区间二型中立型时滞模糊系统如下：

其中

为非线性函数，且对任意i满足

步骤3.采用并行分布补偿法设计T-S模糊控制器，模糊控制器的模糊规则描述如下：

其中,

(j＝1,2,…,r)为第j个控制规则的反馈增益矩阵，状态反馈控制器表示为：

再结合式(1.a)，(1.b)可得基于区间二型T-S模型的中立型闭环模糊系统方程如下：

其中A_ij＝A_i+E_iK_j；

下面给出针对本发明中所需的引理：

引理对任意给定的矩阵M＝M^T>0以及常数τ>0，则有下列不等式成立：

步骤4.确定区间二型T-S模糊系统稳定性条件，并转化成线性矩阵不等式，求出控制增益。

4.1.确定区间二型T-S模糊系统稳定性条件。

定理1对于给定标量h,τ,r,如果存在正定矩阵P₁₁,P₂₂,P₃₃,Q₁₁,Q₂₁,Q₁₄,Q₂₄,R₁₁,R₂₁,R₁₄,R₂₄,M,F,G,U,

以及矩阵P₁₂,P₁₃,P₂₃,Q₁₂, Q₂₂,R₁₂,R₂₂,N_k,

M_k＝ε_kM(k＝1,…,9),ε_k为常量，满足矩阵不等式：

其中：

则系统(2.a)在初始条件(2.b)下渐近稳定。

4.2.将稳定性条件转化成线性矩阵不等式，并对控制器增益进行求解；

考虑到定理1中(3)是一个非线性矩阵不等式，需要将其转换成线性矩阵不等式，给出控制方法：

定理2对于给定标量h,τ,r,如果存在正定矩阵

以及矩阵

X_k＝ε_kX(k＝1,…,9), ε_k为常量，满足下面矩阵不等式：

其中：

则系统(2.a)在初始条件(2.b)下渐近稳定；控制增益为K_j＝Y_jX^-1；

由定理1可得所设计的控制器使区间二型T-S带有分布时滞的中立型系统渐近稳定。

本发明的有益效果有以下几点：

第一，解决了一类基于区间二型T-S模型的带有分布时滞的中立型系统的控制问题，因为考虑了多种时滞因素对系统的影响，故在实际应用中更具有一般性。

第二，本发明利用区间二型T-S模型描述石油精炼厂的化学反应器精炼过程，区间二型 T-S模糊集在处理系统不确定性方面比一型模糊集有优势，同时在计算复杂度上又比二型模糊集低。因此，使用区间二型模糊集函数对系统建模，不仅系统描述更精确，而且使控制方法更有效。

第三，通过构建一类含有增广矩阵和三重积分项的Lyapunov-Krasovskii泛函，得到了区间二型中立型时滞模糊系统的稳定性条件。处理Lyapunov-Krasovskii泛函的导数的时候，引入了自由权矩阵，并运用不等式放缩技巧对导数积分项进行处理。从而，应用该方法得到的结论在实际控制中的应用范围更广。

附图说明

图1是石油精炼厂流程示意图。

图2是化学反应器模糊控制原理。

具体实施方式

本发明的目的是提出基于区间二型T-S模型的带有分布时滞的中立型系统的控制器设计方法，使其更符合工程实际应用的石油精炼厂化学反应器的控制，如图1所示。

本发明的具体技术实现步骤如下：

1.描述石油精炼厂化学反应器的数学模型：

其中t为时间(单位：min)，x₁,x₂分别为反应物A和B标准值的偏差(单位：kg)，δF_A,δF_B分别为原料A和B标准进料速度的偏差(单位：kg/min),σV_R表示化学反应器的质量的偏差(单位：kg)，τ,h,r是延迟时间，且都为定值(单位：min)， a_i,b_i,c_i,d_i,e_j(i＝1,2,3,4；j＝1,2)为已知工程参数。

2.将石油精炼厂化学反应器方程转化为区间二型T-S模糊模型：

对非线性系统线性化处理，方程共两个状态变量：

其状态方程为：

其中

A,B,C,D为标准值偏差系数矩阵，E为进料速度偏差输入矩阵。

基于区间二型T-S模型对带有分布时滞的中立型模糊系统，其IF-THEN规则描述下：

其中，

为前件变量s_d(x)相对于第i条模糊规则的区间二型模糊集，i＝1,2,…,p, d＝1,2,…,l,A_i,B_i,C,D_i,E_i为已知具有适当维数的矩阵，规定矩阵C的谱半径ρ(C) 满足ρ(C)<1，

为系统的状态变量，

为系统的输入向量，h,τ,r>0且为给定常数，α＝max{h,τ,r}，

是将[-α,0]映入

中的连续函数所组成的具有一致收敛拓扑的Banach空间，

第i条规则的激活强度可用区间

表示，

分别表示上下隶属函数，其中

分别表示函数s_d(x)的下上隶属度，并且

故对于所有模糊规则i都有

通过单点模糊化, 乘积推理和加权平均反模糊化，其原理如图2所示，区间二型中立型时滞模糊系统如下：

其中

为非线性函数，且对任意i满足

3.采用并行分布补偿法(PDC)设计T-S模糊控制器，其模糊规则描述如下：

u(t)＝K_jx(t)

其中,

(j＝1,2,…,r)为第j个控制规则的反馈增益矩阵，状态反馈控制器可以表示为：

再结合式(1.a)，(1.b)可得基于区间二型T-S模型的中立型闭环模糊系统方程如下：

其中A_ij＝A_i+E_iK_j。

下面给出针对本发明中所需的引理：

引理对任意给定的矩阵M＝M^T>0以及常数τ>0，则有下列不等式成立：

4.确定区间二型T-S模糊系统稳定性条件，并转化成线性矩阵不等式，求出控制增益。

4.1.确定区间二型T-S模糊系统稳定性条件。

定理1对于给定标量h,τ,r,如果存在正定矩阵P₁₁,P₂₂,P₃₃,Q₁₁,Q₂₁,Q₁₄,Q₂₄,R₁₁,

以及矩阵P₁₂,P₁₃,P₂₃,Q₁₂,

ε_k为常量，满足矩阵不等式：

其中：

则系统(2.a)在初始条件(2.b)下渐近稳定。

证明：构造Lyapunov-Krasovskii泛函如下：

V(t,x_t)＝V₁(t,x_t)+V₂(t,x_t)+V₃(t,x_t)+V₄(t,x_t)

其中：V₁(t,x_t)＝ξ^T(t)Pξ(t)，

V(t,x_t)沿状态轨线方向的时间导数为：

其中：

其中：

根据引理，可得：

综合式(4)-(9)，并通过不等式放缩可得：

对上式右端进行恒等变换：

由于Q₂₄,R₂₄,V为正定矩阵，故有

通过放缩，可得：

结合Schur补引理，当系统满足(3)式条件时，

因此区间二型中立型时滞模糊系统(2.a)渐近稳定。

4.2.将稳定性条件转化成线性矩阵不等式，并对控制器增益进行求解。

考虑到定理1中(3)是一个非线性矩阵不等式，需要将其转换成线性矩阵不等式(LMI)，给出控制方法：

定理2对于给定标量h,τ,r,如果存在正定矩阵

以及矩阵

X_k＝ε_kX(k＝1,…,9), ε_k为常量，满足下面矩阵不等式：

其中：

则系统(2.a)在初始条件(2.b)下渐近稳定。控制增益为K_j＝Y_jX^-1(j＝1,2,…,p)。

证明：构造矩阵如下：

(3)式分别左乘和右乘矩阵

可得(10)式成立。由定理1可得所设计的控制器使区间二型T-S带有分布时滞的中立型系统渐近稳定。

实施例：本发明主要针对石油精炼厂的化学反应器精炼过程进行控制，提出的控制方法思路清晰，结构合理，易于工程实现。考虑如下石油精炼厂化学反应器的数学模型：

其中t为时间(单位：min)，x₁,x₂分别为反应物A和B标准值的偏差(单位：kg)，δF_A,δF_B分别为原料A和B标准进料速度的偏差(单位：kg/min),σV_R表示化学反应器的质量的偏差(单位：kg)，τ,h,r是延迟时间，且都为定值(单位：min)， a_i,b_i,c_i,d_i,e_j(i＝1,2,3,4；j＝1,2)为已知工程参数。

将石油精炼厂化学反应器流程方程用模糊规则描述如下：

Rule 1:

THEN

Rule 2:

ε₁＝2,ε₂＝1,ε₃＝10,ε₄＝10,ε₅＝2,ε₆＝1,ε₇＝10,ε₈＝10,ε₉＝1

τ＝0.2,r＝0.1,h＝0.3

A_i,B_i,C,D_i为标准值偏差系数矩阵，E_i为进料速度偏差输入矩阵，i＝1,2。

由定理2的控制器设计方案，结合MATLAB中LMI求解，可得闭环系统的状态反馈控制器的控制增益为：

K₁＝[-6.2605-2.6733],K₂＝[-5.4292-2.6478]。

Claims (1)

1.一种基于区间二型T-S模型的中立型系统的控制方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

步骤1.确立石油精炼厂化学反应器的数学模型：

其中t为时间，x₁,x₂分别为反应物A和B标准值的偏差，δF_A,δF_B分别为原料A和B标准进料速度的偏差，σV_R表示化学反应器的质量的偏差，τ,h,r是延迟时间，且都为定值，a_i,b_i,c_i,d_i,e_j为已知工程参数，i＝1,2,3,4；j＝1,2；

步骤2.将上述数学模型转化为区间二型T-S模糊模型：

对非线性系统线性化处理，方程共两个状态变量：

x＝[x₁ x₂]^T,

其状态方程为：

t∈[-α,0]

其中

A,B,C,D为标准值偏差系数矩阵，E为进料速度偏差输入矩阵；

基于区间二型T-S模型对带有分布时滞的中立型模糊系统，其IF-THEN规则描述下：

t∈[-α,0]

其中，

为前件变量s_d(x)相对于第i条模糊规则的区间二型模糊集，i＝1,2,…,p,d＝1,2,…,l,A_i,B_i,C,D_i,E_i为已知具有适当维数的矩阵，规定矩阵C的谱半径ρ(C)满足ρ(C)<1，

为系统的状态变量，

为系统的输入向量，h,τ,r>0且为给定常数，α＝max{h,τ,r}，

是将[-α,0]映入

中的连续函数所组成的具有一致收敛拓扑的Banach空间，

第i条规则的激活强度可用区间

表示，

分别表示上下隶属函数，其中

分别表示函数s_d(x)的下上隶属度，并且

故对于所有模糊规则i都有

通过单点模糊化,乘积推理和加权平均反模糊化，区间二型中立型时滞模糊系统如下：

其中

为非线性函数，且对任意i满足

步骤3.采用并行分布补偿法设计T-S模糊控制器，模糊控制器的模糊规则描述如下：

u(t)＝K_jx(t)

其中,

为第j个控制规则的反馈增益矩阵，j＝1,2,…,p，状态反馈控制器表示为：

再结合式(1.a)，(1.b)可得基于区间二型T-S模型的中立型闭环模糊系统方程如下：

其中A_ij＝A_i+E_iK_j；

下面给出针对本发明中所需的引理：

引理对任意给定的矩阵M＝M^T>0以及常数τ>0，则有下列不等式成立：

步骤4.确定区间二型T-S模糊系统稳定性条件，并转化成线性矩阵不等式，求出控制增益；

4.1.确定区间二型T-S模糊系统稳定性条件；

定理1对于给定延迟时间h,τ,r,如果存在正定矩阵P₁₁,P₂₂,P₃₃,Q₁₁,Q₂₁,Q₁₄,Q₂₄,R₁₁,

以及矩阵

M_k＝ε_kM(k＝1,…,9),ε_k为常量，满足矩阵不等式：

其中：

Ξ₈₉＝M₈D_i

Ξ₅₅＝-Q₁₄,Ξ₅₆＝M₅C,Ξ₅₉＝M₅D_i,

Ξ₇₉＝M₇D_i

则系统(2.a)在初始条件(2.b)下渐近稳定；

4.2.将稳定性条件转化成线性矩阵不等式，并对控制器增益进行求解；

考虑到定理1中(3)是一个非线性矩阵不等式，需要将其转换成线性矩阵不等式，给出控制方法：

定理2对于给定延迟时间h,τ,r,如果存在正定矩阵

以及矩阵

X_k＝ε_kX(k＝1,…,9),ε_k为常量，满足下面矩阵不等式：

其中：

则系统(2.a)在初始条件(2.b)下渐近稳定；控制增益为K_j＝Y_jX^-1；

由定理1可得所设计的控制器使区间二型T-S带有分布时滞的中立型系统渐近稳定。

Images