CN110013330A - 一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，涉及正畸治疗技术领域，它包含如下步骤：1)分析压低用辅弓的结构特征和加载特征；2)建立压低用辅弓侧面观圆弧矫治力矩方程；3)建立压低用辅弓前面观圆弧矫治力矩方程；4)建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；5)建立压低用辅弓牙齿转动角度预测模型。本发明能够为医师使用压低用辅弓矫治高角型倾覆颌提供参数支持，辅助医生提高正畸治疗的安全性和预见性，提高口腔正畸诊疗的数字化程度。

Description

一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法

技术领域

本发明涉及一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，属于正畸治疗技术领域。

背景技术

深覆颌是口腔临床上较为常见的一种错颌畸形的具体形式，通常会对患者咬合关系产生较大影响，压低用辅弓是临床上针对高角型深覆颌病例的常用弓形，其中成型正畸弓丝的形状是影响正畸力矩的决定因素。在传统的诊断过程中，各矫治阶段所使用正畸弓丝矫治转动角度、矫治效果的预测多根据正畸医生的经验进行判断，虽然这种依靠正畸医师经验的传统正畸治疗手段在大多数患者的治疗中能发挥一定的作用，但最终实现牙齿矫治转动角度缺乏量化标准，治疗结果完全依赖于医生水平，易对患者造成伤害并导致治疗效率的降低。因此建立压低用辅弓牙齿转动角度的预测模型，对牙齿转动角度进行参数化表达，对于开展口腔数字化诊疗，辅助医生提高正畸治疗的安全性和预见性具有十分重要的意义。

发明内容

针对上述问题，本发明要解决的技术问题是提供一种压低辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，对牙齿所受压低辅弓牙齿转动角度进行参数化表达。

上述目的主要通过以下方案实现：

本发明的一种压低辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程为：

1)分析压低辅弓的结构特征和加载特征；

2)建立压低用辅弓侧面观圆弧矫治力矩方程；

3)建立压低用辅弓前面观圆弧矫治力矩方程；

4)建立蜡模模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；

5)建立压低用辅弓牙齿转动角度预测模型。

作为优选，所述的步骤1)中，由压低用辅弓的结构特性可知，在压低用辅弓对牙齿进行矫治时，矫治力矩由侧面观圆弧及前面观圆弧释放，压低用辅弓的侧面观圆弧在弓丝的两侧相互对称，因此只对一侧的侧面观圆弧进行分析；侧面观圆弧的顶部开隙为l_t，侧面竖直臂高度为h_d，底部开隙为l_b，正畸力由临床上安装压低用辅弓产生弹性形变后产生。

作为优选，所述的步骤2)中，侧面观圆弧在加载时符合棱柱杆横向屈曲的力学特性，在此情形下，侧面观圆弧屈曲时将产生一沿弓丝的反力s₀，定义底部开隙所在直线为x轴，定义面向压低用辅弓前面观圆弧在左侧、顶部开隙在上、底部开隙在下时，过底部开隙左端点垂直于底部开隙的直线为y轴，一竖直向下的反力F₀，侧面观圆弧微分方程为：

式中，E为压低用辅弓所使用弯制材料的弹性模量，I为弓丝截面对正畸弓丝中心轴的惯性矩，对于圆丝I＝πD⁴/64，D为圆丝直径，对于矩形丝I＝c₁c₂ ³/12，c₂为矩形丝截面上与z轴平行边的长度，c₁为矩形丝截面上与z轴垂直边的长度，侧面观圆弧的挠度曲线微分方程的通解为：

式中，p₁为求解侧面观圆弧微分方程式引入的计算因子，为了确定常数C₁和C₂以及未知反力s₀，端点条件为：

将式(2)的y值代入，由端点条件可得：

由式(3)中三个表达式整理可得用以计算临界载荷的超越方程式为：

tan p₁l_t＝p₁l_t (5)

求解式(5)，解得p₁l_t的最小值为p₁l_t＝4.493，于是，可得反力s₀的表达式为：

作为优选，所述的步骤3)中，压低用辅弓的加力单元主要为侧面观圆弧，侧面观圆弧形变后产生的反力s₀引起前面观圆弧形变，进而推动切牙，进而达到矫治切牙整平牙弓的目的，前面观圆弧起止点间的长度为L，前面观圆弧在压低用辅弓的两侧对称，因此前面观圆弧受大小相等而方向相反的两个压缩力，该压缩力即是侧面观圆弧形变后产生的反力s₀，前面观圆弧产生形变后作用于牙齿的矫治力为Q，前面观圆弧的挠度曲线微分方程为：

定义以前面观方向为基准，前面观圆弧右端点至左端点为x轴正方向，定义过前面观圆弧右端点垂直前面观圆弧向上方向为y轴正方向，c值为前面观圆弧右端点至FDI标记法第21号牙齿托槽左端点间的距离，运用记号p₂，

运用式(8)中的表达式可将式(7)中两表达式改写为：

由于压低用辅弓的两端挠度为零，因此得出C₃₁＝0，C₃₃＝-C₃₄tan p₂L，根据作用于牙齿的矫治力Q作用点的连续条件可求得其余两个积分常数，使式(7)中两式得出同样的挠度和同样的斜率；

解得代入式(9)中并将其微分，可得，

整理可得作用于牙齿的矫治力Q的表达式为：

将代入式(11)中，则作用于牙齿上的矫治力Q表达为：

作为优选，本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

作为优选，本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由基托蜡颌堤、树脂牙齿模型、正畸托槽、压低用辅弓组成。

作为优选，所述的步骤4)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为v_t时，v_t为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的R_e的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数R_e＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力f_D可用式(13)计算：

式中，v₀为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，A为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，A＝1×D₁，D₁为圆柱体的直径，C_D为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数R_e和圆柱面粗糙度δ有关；

假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度v_t＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力F_k，惯性力F_k的数值等于圆柱体的排蜡质量M₀与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量M_w沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力f_L可表示为：

令M_w＝C_mM₀，则式(16)可表示为：

式中，C_m为附加质量系数，C_M为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力f_L和拖曳力f_D的影响；

受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力；牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρv_t ²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量E＝ρe+ρv_t ²/2；

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，c_p为无量纲压强系数，Φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t₀。在初始瞬间将它放置于温度为t_∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(19)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度代入式(18)中整理得到：

对式(22)等式两边对t积分整理得到：

式中，T为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(24)代入式(23)中可得蜡质颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(26)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

作为优选，所述的步骤5)中，根据步骤3)压低用辅弓前面观圆弧矫治力矩方程的建立过程和步骤4)蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型的建立过程，可知前面观圆弧释放的动态矫治力Q₀为：

压低辅弓作用原理为利用压低用辅弓恢复形变过程中产生的矫治力推动牙冠部分，进而带动牙齿发生转动，压低原本内倾的牙齿，点A为压低辅弓矫治力作用点投影至牙齿轴线上获得的点，A′为牙齿转动后A点对应的点，y₁即为压低用辅弓作用下牙齿被推动的距离；从压低用辅弓作用原理上考虑，压低用辅弓对牙齿的作用可被分割为两部分：安装压低用辅弓时侧面观圆弧和前面观圆弧受压，临床上定义从第一磨牙近中到侧切牙远中间的距离为所述侧面观圆弧压缩后的距离，该距离由患者牙列形态确定，弯制的压低用辅弓侧面观圆弧多于压缩后距离的记为y₁₁，y₁₁即为侧面观圆弧推动牙齿移动的距离；当压低用辅弓结扎至蜡制颌堤目标牙上恢复形变的过程中，侧面观圆弧推动牙齿移动的距离y₁₁为：

y₁₁＝l_t-l_b (28)

前面观圆弧推动牙齿移动的距离y₁₂为：

式中，m₀为牙齿的质量，t₁为牙齿移动的时间；

因此，压低用辅弓作用下牙齿被推动的距离y₁为：

根据反三角函数可推导出压低用辅弓作用下牙齿转动角度β预测模型为：

式中，l₁为作用于牙齿上的矫治力Q作用点与旋转中心O间的距离。

本发明的有益效果为：

1、采用参数化的建模方法，能够更直观地反映出各影响因素对压低用辅弓牙齿转动的影响效果，便于医师对弯制的压低用辅弓进行调整，以取得预期的转动角度。

2、通过分析临床上压低用辅弓压低切牙的作用过程，在建立矫治力矩预测模型时将压低用辅弓划分为前面观圆弧和侧面观圆弧两部分，通过分模块建模的方法提升建立模型的精确性。

3、本方法适用于基托蜡质颌堤，相较于基于传统刚性颌堤得出的预测模型，本方法能够体现真实正畸过程中牙齿相对转动及正畸弓丝力衰减现象对矫治力的影响，所以本方法算得的矫治力能够体现真实正畸过程中的动态特性，在牙齿转动模型建立及矫治力矩预测方面本方法的精确度更高。

附图说明

为了易于说明，本发明由下述的具体实施及附图作以详细描述。

图1为本发明压低辅弓牙齿转动角度预测模型建立流程图；

图2为本发明压低用辅弓侧面观圆弧结构示意图；

图3为本发明压低用辅弓前面观圆弧结构主视图示意图；

图4为本发明压低用辅弓前面观圆弧结构俯视图示意图；

图5为本发明压低用辅弓动态矫治力矩作用过程示意图。

图中：1-压低用辅弓；1-1-前面观圆弧；1-2-侧面观圆弧；1-3-顶部开隙；1-4-底部开隙；2-树脂牙齿模型；3-正畸托槽；4-基托蜡颌堤。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明了，下面通过附图中示出的具体实施例来描述本发明。但是应该理解，这些描述只是示例性的，而并非要限制本发明的范围。此外，在以下说明中，省略了对公知结构和技术的描述，以避免不必要地混淆本发明的概念。

如图1、图2、图3、图4、图5所示，具体实施方式采用以下技术方案：本发明的一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程为：

1)分析压低用辅弓的结构特征和加载特征；

2)建立压低用辅弓侧面观圆弧矫治力矩方程；

3)建立压低用辅弓前面观圆弧矫治力矩方程；

4)建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；

5)建立压低用辅弓牙齿转动角度预测模型。

进一步地，所述的步骤1)中，由压低用辅弓1的结构特性可知，在压低用辅弓1对牙齿进行矫治时，矫治力矩由侧面观圆弧1-2及前面观圆弧1-1释放，压低用辅弓1的侧面观圆弧1-2在弓丝的两侧相互对称，因此只对一侧的侧面观圆弧1-2进行分析；侧面观圆弧的顶部开隙为l_t，侧面竖直臂高度为h_d，底部开隙为l_b，正畸力由临床上安装压低用辅弓1产生弹性形变后产生。

进一步地，所述的步骤2)中，侧面观圆弧1-2在加载时符合棱柱杆横向屈曲的力学特性，在此情形下，侧面观圆弧1-2屈曲时将产生一沿弓丝的反力s₀，定义底部开隙1-4所在直线为x轴，定义面向压低用辅弓1前面观圆弧1-1在左侧、顶部开隙1-3在上、底部开隙1-4在下时，过底部开隙1-4左端点垂直于底部开隙1-4的直线为y轴，一竖直向下的反力F₀，侧面观圆弧微分方程为：

式中，E为压低用辅弓所使用弯制材料的弹性模量，I为弓丝截面对正畸弓丝中心轴的惯性矩，对于圆丝I＝πD⁴/64，D为圆丝直径，对于矩形丝I＝c₁c₂ ³/12，c₂为矩形丝截面上与z轴平行边的长度，c₁为矩形丝截面上与z轴垂直边的长度，侧面观圆弧的挠度曲线微分方程的通解为：

式中，p₁为求解侧面观圆弧微分方程式引入的计算因子，为了确定常数C₁和C₂以及未知反力s₀，端点条件为：

将式(2)的y值代入，由端点条件可得：

由式(3)中三个表达式整理可得用以计算临界载荷的超越方程式为：

tan p₁l_t＝p₁l_t (5)

求解式(5)，解得p₁l_t的最小值为p₁l_t＝4.493，于是，可得反力s₀的表达式为：

进一步地，所述的步骤3)中，压低用辅弓1的加力单元主要为侧面观圆弧1-2，侧面观圆弧1-2形变后产生的反力s₀引起前面观圆弧1-1形变，进而推动切牙，进而达到矫治切牙整平牙弓的目的，前面观圆弧1-1起止点间的长度为L，前面观圆弧1-1在压低用辅弓1的两侧对称，因此前面观圆弧1-1受大小相等而方向相反的两个压缩力，该压缩力即是侧面观圆弧1-2形变后产生的反力s₀，前面观圆弧1-1产生形变后作用于牙齿的矫治力为Q，前面观圆弧1-1的挠度曲线微分方程为：

定义以前面观方向为基准，前面观圆弧1-1右端点至左端点为x轴正方向，定义过前面观圆弧1-1右端点垂直前面观圆弧1-1向上方向为y轴正方向，c值为前面观圆弧右端点至FDI标记法第21号牙齿托槽左端点间的距离，运用记号p₂，

运用式(8)中的表达式可将式(7)中两表达式改写为：

由于压低用辅弓1的两端挠度为零，因此得出C₃₁＝0，C₃₃＝-C₃₄tan p₂L，根据作用于牙齿的矫治力Q作用点的连续条件可求得其余两个积分常数，使式(7)中两式得出同样的挠度和同样的斜率；

解得代入式(9)中并将其微分，可得，

整理可得作用于牙齿的矫治力Q的表达式为：

进一步地，将式中代入式(11)中，作用于牙齿上的作用力即Q可由下式表达，

进一步地，本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

进一步地，本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由压低用辅弓1、树脂牙齿模型2、正畸托槽3、基托蜡颌堤4组成。

进一步地，所述的步骤4)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为v_t时，v_t为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的R_e的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数R_e＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力f_D可用式(13)计算：

式中，v₀为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，A为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，A＝1×D₁，D₁为圆柱体的直径，C_D为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数R_e和圆柱面粗糙度δ有关；

假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度v_t＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力F_k，惯性力F_k的数值等于圆柱体的排蜡质量M₀与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量M_w沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力f_L可表示为：

令M_w＝C_mM₀，则式(16)可表示为：

式中，C_m为附加质量系数，C_M为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力f_L和拖曳力f_D的影响；

受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力；牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρv_t ²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量E＝ρe+ρv_t ²/2；

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，c_p为无量纲压强系数，Φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t₀。在初始瞬间将它放置于温度为t_∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(19)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度代入式(18)中整理得到：

对式(22)等式两边对t积分整理得到：

式中，T为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(24)代入式(23)中可得蜡质颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(26)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

进一步地，所述的步骤5)中，根据步骤3)压低用辅弓前面观圆弧矫治力矩方程的建立过程和步骤4)蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型的建立过程，可知前面观圆弧释放的动态矫治力Q₀为：

压低辅弓作用原理为利用压低用辅弓恢复形变过程中产生的矫治力推动牙冠部分，进而带动牙齿发生转动，压低原本内倾的牙齿，点A为压低辅弓矫治力作用点投影至牙齿轴线上获得的点，A′为牙齿转动后A点对应的点，y₁即为压低用辅弓作用下牙齿被推动的距离；从压低用辅弓作用原理上考虑，压低用辅弓对牙齿的作用可被分割为两部分：安装压低用辅弓时侧面观圆弧和前面观圆弧受压，临床上定义从第一磨牙近中到侧切牙远中间的距离为所述侧面观圆弧压缩后的距离，该距离由患者牙列形态确定，弯制的压低用辅弓侧面观圆弧多于压缩后距离的记为y₁₁，y₁₁即为侧面观圆弧推动牙齿移动的距离；当压低用辅弓结扎至蜡制颌堤目标牙上恢复形变的过程中，侧面观圆弧推动牙齿移动的距离y₁₁为：

y₁₁＝l_t-l_b (28)

前面观圆弧推动牙齿移动的距离y₁₂为：

式中，m₀为牙齿的质量，t₁为牙齿移动的时间；

因此，压低用辅弓作用下牙齿被推动的距离y₁为：

根据反三角函数可推导出压低用辅弓作用下牙齿转动角度β预测模型为：

式中，l₁为作用于牙齿上的矫治力Q作用点与旋转中心O间的距离。

进一步地，在应用所述一种模拟牙齿移动用蜡质颌堤预测压低用辅弓矫治效果时，首先将正畸托槽粘贴在树脂牙齿模型的外表面上，将压低用辅弓固定在正畸托槽上，此时，将蜡质颌堤与压低用辅弓同时浸入75℃恒温水浴的环境中，2min后取出，观察水浴前后牙齿位置即可清楚地了解压低用辅弓作用下牙齿转动的情况，应用本方法提出的一种压低用辅弓牙齿转动预测模型可以通过压低用辅弓的形状参数计算产生动态矫治力矩的大小，依据牙齿转动的情况，通过本模型计算并调整压低用辅弓的形状参数获得最佳的治疗效果，进而辅助正畸医生制定更合理的矫治方案。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (8)

1.一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程包括以下步骤：

1)分析压低用辅弓的结构特征和加载特征；

2)建立压低用辅弓侧面观圆弧矫治力矩方程；

3)建立压低用辅弓前面观圆弧矫治力矩方程；

4)建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；

5)建立压低用辅弓牙齿转动角度预测模型。

2.根据权利要求1中所述的一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：所述的步骤1)中，由压低用辅弓(1)的结构特性可知，在压低用辅弓(1)对牙齿进行矫治时，矫治力矩由侧面观圆弧(1-2)及前面观圆弧(1-1)释放，压低用辅弓(1)的侧面观圆弧(1-2)在弓丝的两侧相互对称，因此只对一侧的侧面观圆弧(1-2)进行分析；侧面观圆弧的顶部开隙为l_t，侧面竖直臂高度为h_d，底部开隙为l_b，正畸力由临床上安装压低用辅弓(1)产生弹性形变后产生。

3.根据权利要求1中所述的一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：所述的步骤2)中，侧面观圆弧(1-2)在加载时符合棱柱杆横向屈曲的力学特性，在此情形下，侧面观圆弧(1-2)屈曲时将产生一沿弓丝的反力s₀，定义底部开隙(1-4)所在直线为x轴，定义面向压低用辅弓(1)前面观圆弧(1-1)在左侧、顶部开隙(1-3)在上、底部开隙(1-4)在下时，过底部开隙(1-4)左端点垂直于底部开隙(1-4)的直线为y轴，一竖直向下的反力F₀，侧面观圆弧微分方程为：

式中，E为压低用辅弓所使用弯制材料的弹性模量，I为弓丝截面对正畸弓丝中心轴的惯性矩，对于圆丝I＝πD⁴/64，D为圆丝直径，对于矩形丝I＝c₁c₂ ³/12，c₂为矩形丝截面上与z轴平行边的长度，c₁为矩形丝截面上与z轴垂直边的长度，侧面观圆弧的挠度曲线微分方程的通解为：

式中，p₁为求解侧面观圆弧微分方程式引入的计算因子，为了确定常数C₁和C₂以及未知反力s₀，端点条件为：

将式(2)的y值代入，由端点条件可得：

由式(3)中三个表达式整理可得用以计算临界载荷的超越方程式为：

tan p₁l_t＝p₁l_t (5)

求解式(5)，解得p₁l_t的最小值为p₁l_t＝4.493，于是，可得反力s₀的表达式为：

4.根据权利要求1中所述的一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：所述的步骤3)中，压低用辅弓(1)的加力单元主要为侧面观圆弧(1-2)，侧面观圆弧(1-2)形变后产生的反力s₀引起前面观圆弧(1-1)形变，进而推动切牙，进而达到矫治切牙整平牙弓的目的，前面观圆弧(1-1)起止点间的长度为L，前面观圆弧(1-1)在压低用辅弓(1)的两侧对称，因此前面观圆弧(1-1)受大小相等而方向相反的两个压缩力，该压缩力即是侧面观圆弧(1-2)形变后产生的反力s₀，前面观圆弧(1-1)产生形变后作用于牙齿的矫治力为Q，前面观圆弧(1-1)的挠度曲线微分方程为：

定义以前面观方向为基准，前面观圆弧(1-1)右端点至左端点为x轴正方向，定义过前面观圆弧(1-1)右端点垂直前面观圆弧(1-1)向上方向为y轴正方向，c值为前面观圆弧右端点至FDI标记法第21号牙齿托槽左端点间的距离，运用记号p₂，

运用式(8)中的表达式可将式(7)中两表达式改写为：

由于压低用辅弓(1)的两端挠度为零，因此得出C₃₁＝0，C₃₃＝-C₃₄tan p₂L，根据作用于牙齿的矫治力Q作用点的连续条件可求得其余两个积分常数，使式(7)中两式得出同样的挠度和同样的斜率；

解得代入式(9)中并将其微分，可得，

整理可得作用于牙齿的矫治力Q的表达式为：

将代入式(11)中，则作用于牙齿上的矫治力Q表达为：

5.一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

6.一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由基托蜡颌堤(1)、树脂牙齿模型(2)、正畸托槽(3)、压低用辅弓(4)组成。

7.根据权利要求1中所述的一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：所述的步骤4)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为v_t时，v_t为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的R_e的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数R_e＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力f_D可用式(13)计算：

式中，v₀为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，A为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，A＝1×D₁，D₁为圆柱体的直径，C_D为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数R_e和圆柱面粗糙度δ有关；

假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度v_t＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力F_k，惯性力F_k的数值等于圆柱体的排蜡质量M₀与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量M_w沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力f_L可表示为：

令M_w＝C_mM₀，则式(16)可表示为：

式中，C_m为附加质量系数，C_M为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力f_L和拖曳力f_D的影响；

受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力；牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρv_t ²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量E＝ρe+ρv_t ²/2；

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，c_p为无量纲压强系数，Φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，▽T为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对▽T进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t₀。在初始瞬间将它放置于温度为t_∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(19)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度▽T代入式(18)中整理得到：

对式(22)等式两边对t积分整理得到：

式中，T为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(24)代入式(23)中可得蜡质颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(26)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

8.根据权利要求1中所述的一种压低用辅弓牙齿转动角度预测模型建立方法，其特征在于：所述的步骤5)中，根据步骤3)压低用辅弓前面观圆弧矫治力矩方程的建立过程和步骤4)蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型的建立过程，可知前面观圆弧释放的动态矫治力Q₀为：

压低辅弓作用原理为利用压低用辅弓恢复形变过程中产生的矫治力推动牙冠部分，进而带动牙齿发生转动，压低原本内倾的牙齿，点A为压低辅弓矫治力作用点投影至牙齿轴线上获得的点，A′为牙齿转动后A点对应的点，y₁即为压低用辅弓作用下牙齿被推动的距离；从压低用辅弓作用原理上考虑，压低用辅弓对牙齿的作用可被分割为两部分：安装压低用辅弓时侧面观圆弧和前面观圆弧受压，临床上定义从第一磨牙近中到侧切牙远中间的距离为所述侧面观圆弧压缩后的距离，该距离由患者牙列形态确定，弯制的压低用辅弓侧面观圆弧多于压缩后距离的记为y₁₁，y₁₁即为侧面观圆弧推动牙齿移动的距离；当压低用辅弓结扎至蜡制颌堤目标牙上恢复形变的过程中，侧面观圆弧推动牙齿移动的距离y₁₁为：

y₁₁＝l_t-l_b (28)

前面观圆弧推动牙齿移动的距离y₁₂为：

式中，m₀为牙齿的质量，t₁为牙齿移动的时间；

因此，压低用辅弓作用下牙齿被推动的距离y₁为：

根据反三角函数可推导出压低用辅弓作用下牙齿转动角度β预测模型为：

式中，l₁为作用于牙齿上的矫治力Q作用点与旋转中心O间的距离。