CN110013329A - 一种t形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型建立方法，涉及正畸治疗技术领域，它包含如下步骤：1)分析T形曲的结构特征和加载特征；2)建立T形曲竖直臂矫治力预测模型；3)建立T形曲水平臂矫治力预测模型；4)建立T形曲静态矫治力预测模型；5)建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；6)建立T形曲动态矫治力预测模型；7)建立T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型。本发明能够有效的对医师所施加的T形曲矫治力值进行参数化表达，准确地预测医师所施加的T形曲动态矫治力值作用下牙齿的移动情况，辅助医生提高正畸治疗的安全性和预见性，提高口腔正畸诊疗的数字化程度。

Description

一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型建立方法

技术领域

本发明涉及一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型建立方法，属于正畸治疗技术领域。

背景技术

固定矫治技术是目前最为有效的正畸治疗方法，T形曲是目前最为常用的关闭牙齿间隙的曲，在传统固定矫治技术的诊断过程中，各矫治阶段所使用正畸弓丝产生的矫治力大小、矫治效果的预测多根据正畸医生的经验进行判断，虽然这种依靠正畸医师经验的传统正畸治疗手段在大多数患者的治疗中能发挥一定的作用，但正畸力缺乏量化标准，治疗结果完全依赖于医生水平，易对患者造成伤害并导致治疗效率的降低。

基托蜡具有质地较软，韧性好，加热变软不粘手等物理特性，在口腔临床应用中可基于患者牙齿数据制成蜡质颌堤，将蜡制颌堤浸入水浴箱可以将正畸矫治过程大大缩短，区别与其他刚性牙齿模型，将蜡制颌堤浸入恒温水浴环境中能够观察到牙齿随正畸弓丝的移动情况，实现正畸矫治过程中牙齿与牙周组织间相互作用这一动态过程的模拟，从而对矫治方案进行修正。

虽然目前蜡制颌堤的应用能够在一定程度上提升矫治方案的合理性，但在应用基托蜡模拟正畸治疗的过程中，正畸弓丝形状与牙齿所受动态矫治力、动态矫治力作用下牙齿移动情况三者之间的关系并未确立，缺乏相应的量化标准，正畸医生仍旧无法通过该模拟过程预测在正畸弓丝影响下患者牙齿移动的情况，因此建立基于蜡制颌堤的T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，对T形曲动态矫治力作用下牙齿移动情况进行预测，对于开展口腔数字化诊疗，辅助医生提高正畸治疗的安全性和预见性具有十分重要的意义。

发明内容

针对上述问题，本发明要解决的技术问题是提供一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型建立方法，确立应用蜡制颌堤模拟正畸治疗的过程中，T形曲形状、牙齿所受动态矫治力、动态矫治力作用下牙齿移动情况三者之间的关系，辅助正畸医师设计正畸弓丝参数，从而提高正畸治疗的安全性和预见性。

上述目的主要通过以下方案实现：

本发明的一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程为：

1)分析T形曲的结构特征和加载特征；

2)建立T形曲竖直臂矫治力预测模型；

3)建立T形曲水平臂矫治力预测模型；

4)建立T形曲静态矫治力预测模型；

5)建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；

6)建立T形曲动态矫治力预测模型；

7)建立T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型。

作为优选，所述的步骤1)中，由T形曲的结构特性可知，在T形曲对牙齿进行矫治时，矫治力由T形曲水平臂释放，T形曲发生变形的竖直臂及圆弧部分在T形曲的两侧相互对称，因此，在进行T形曲矫治力模型建立时，只需对对称的一部分进行分析；T形曲圆弧部分弯曲半径为R，整体高度为h，关闭间隙为b，关闭间隙由临床上后抽弓丝加力时产生；

对矫治过程中T形曲的变形情况进行分析后可知，T形曲在竖直臂及T形曲圆弧部分发生变形，T形曲产生的正畸力由两变形区域产生的回复力组成，因此需对T形曲竖直臂及T形曲圆弧部分分别进行力学分析，并将二者叠加，建立T形曲矫治力预测模型；

作为优选，所述的步骤2)中，T形曲竖直臂的转角方程θ(x)和挠度方程v(x)可表达为：

式中，M(x)是竖直部分上x距离处所受弯矩，E为材料的弹性模量，I_z为弓丝截面对z轴的惯性矩，对于圆丝I_z＝πd⁴/64，d为圆丝直径，对于矩形丝I_z＝c₁c₂ ³/12，c₂为矩形丝截面上与z轴平行边的长度，c₁为矩形丝截面上与z轴垂直边的长度，C₀和D₀是积分常数，C₀和D₀由边界条件确定，T形曲竖直臂的弯矩方程为：

M(x)＝-P(y-x) (2)

式中，P是产生该变形所需的力，y为竖直臂变形前长度；

将式(2)带入到式(1)中进行积分，可得：

为确定式(3)中的积分常数C₀、D₀，需要确定T形曲竖直臂的边界条件，基于支撑条件，其挠度或转角常为零或已知，对x＝0，即T形曲竖直臂及圆弧部分水平臂的连接处的变形量进行求解，由于T形曲竖直臂及圆弧部分水平臂的连接处有一纵向对称面，且外力均作用于这一对称面上，因此，变形后的曲梁轴线仍位于该纵向对称面内，该变形属于曲梁的平面弯曲变形问题，故可将连接处的圆弧等效为弧度为π/4的弯曲梁，对其取一段弧度为dα微元；

在曲梁平面弯曲的情况下，外力都在曲梁的纵向对称面内，变形后的轴线仍为这一对称面内的曲线，曲梁并无扭转变形，此时仍可使用平面假设，可得到竖直臂及圆弧部分水平臂连接处曲梁变形后挠曲线的微分方程如式(4)，在给定的边界条件下，积分该方程便可确定曲梁的变形；

式中，u为竖直臂及圆弧部分水平臂连接处曲梁横截面在x方向上的位移，连接处所受转矩M₀＝M|_x＝0＝-Py，I_ω为连接处曲梁横截面对ω轴的惯性矩，由于T形曲竖直臂与连接处曲梁的弯曲类型一致，有I_ω＝I_z。

由弧长公式可知ds＝Rdα，因此竖直臂及圆弧部分水平臂连接处曲梁变形后挠曲线的微分方程可变为：

解连接处曲梁变形后挠曲线的常系数非齐次微分方程求得：

由于竖直臂及圆弧部分水平臂连接处曲梁沿纵向对称面对称，竖直臂及圆弧部分水平臂曲梁的边界条件为解得：

连接处曲梁的挠度方程可表示为：

弯梁的转角方程为：

因此，有边界条件解得：

将C₀，D₀带入(3)中可得：

因为最大转角及最大挠度均产生在抽丝端处，即x＝y处，最大挠度即为抽丝端T形曲水平臂移动距离m，可知：

由作用力反作用力原则，T形曲竖直臂形变产生的矫治力F₁即为产生该变形量所需力的反力：

作为优选，所述的步骤3)中，T形曲圆弧部分水平臂与T形曲竖直臂变形情况相同，因此可以使用相同的力学建模方法，在正畸治疗过程中，正畸医师会预先拉动T形曲抽丝端引起T形曲形变，并将形变后的T形曲安装在病人的牙齿上，由T形曲形变后产生的回复力拉动患者牙齿移动，达到矫治患者畸形牙齿的目的，T形曲圆弧部分水平臂的弯曲挠度，即T形曲圆弧部分水平臂沿Z轴方向的位移，在T形曲形变过程中，T形曲圆弧部分水平臂与T形曲竖直臂连接处的对称中心在空间中的位置是不断变化的，因此，为了计算T形曲圆弧部分水平臂弯曲挠度s，需对T形曲形变过程中连接处对称中心的运动情况进行简化，将变形前连接处的对称中心重合，计算变形后竖直臂理论长度与竖直臂变形前长度y的差值，即T形曲圆弧部分水平臂弯曲挠度s为：

可得到T形曲圆弧部分水平臂挠曲线近似微分方程方程为：

式中，M(l)为T形曲圆弧部分水平臂的弯矩；

T形曲圆弧部分水平臂的转角方程θ(l)和挠度方程v(l)可通过对式(13)进行积分得到：

式中，C₁和D₁是由边界条件确定的积分常数，而T形曲圆弧部分水平臂的弯矩方程可由式(16)表达：

M(l)＝-G(w-R-l) (16)

式中，G为圆弧部分水平臂产生的矫治力，w为T形曲圆弧部分水平臂的长度；

将式(13)和(16)代入到式(14)和(15)中进行积分，可得：

T形曲圆弧部分水平臂的边界条件求解与T形曲竖直臂相同，将一侧的侧面圆弧弧度为π/4，对其取一段弧度为dβ微元，由于对竖直臂边界条件的求解给出了详细的过程，因此，在这里直接给出解圆弧段挠度常系数非齐次方程得到的边界条件式；

由于T形曲侧面圆弧的对称性，侧面圆弧的边界条件为解得：

则弯梁的挠度方程为：

弯梁的转角方程为：

因此，有边界条件v|_l＝0＝u|_β＝0＝0，θ|_l＝0＝ε|_β＝0＝0，解得：C₁＝0，D₁＝0；

将C₁和D₁代入(17)、(18)中可得：

式中，T形曲圆弧部分水平臂最大转角及最大挠度产生在l＝w-R处，最大挠度即为T形曲水平臂(4-3)移动距离s，可知：

沿抽丝端方向的正畸力F₂即为由T形曲水平臂形变产生该变形量所需力沿抽丝端方向分力的反力，即：

作为优选，所述的步骤4)中，T形曲(4)产生的静态矫治力即为竖直臂(4-1)及圆弧部分(4-2)形变后产生的回复力的合力，即：

作为优选，本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

作为优选，本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由基托蜡颌堤、树脂牙齿模型、正畸托槽、T形曲组成。

作为优选，所述的步骤5)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为v_t时，v_t为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的R_e的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数R_e＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力f_D可用式(27)计算：

式中，v₀为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，A为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，A＝1×D，D为圆柱体的直径，C_D为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数R_e和圆柱面粗糙度δ有关；

假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度v_t＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力F_k，惯性力F_k的数值等于圆柱体的排蜡质量M₀与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量M_w沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力f_L可表示为：

令M_w＝C_mM₀，则式(30)可表示为：

式中，C_m为附加质量系数，C_M为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力f_L和拖曳力f_D的影响；

受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力。牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρv_t ²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量E＝ρe+ρv_t ²/2；

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，c_p为无量纲压强系数，Φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，▽T为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对▽T进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t₀。在初始瞬间将它放置于温度为t_∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(33)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度▽T代入式(32)中整理得到：

对式(36)等式两边对t积分整理得到：

式中，T为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(38)代入式(37)中可得蜡质颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(40)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

作为优选，所述的步骤6)中，基于T形曲静态矫治力预测模型及蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型，T形曲动态矫治力预测模型可表达为：

式中，F即为应用T形曲动态矫治力预测模型得出的T形曲动态矫治力。

作为优选，所述的步骤7)中，物理学中基于加速度通过积分可以得到位移和速度矢量关系：

牙齿移动的加速度a₀、牙齿的质量m₀、作用力间的关系可由式(43)表达：

F＝m₀a₀ (43)

则受到正畸力正畸力F₀、绕流惯性力f_L和拖曳力f_D作用在蜡质颌堤中移动的牙齿的加速度a₀由式(44)表达：

将式(44)代入式(42)中可得到基于蜡制颌堤的T形曲作用下牙齿移动预测模型：

式中，S_m为基于蜡制颌堤的T形曲作用下牙齿移动，m₀为牙齿的质量，t₁为牙齿移动的时间。

本发明的有益效果为：

1、采用参数化的建模方法，能够更直观地反映出各因素对T形曲作用下牙齿移动情况的影响效果，便于医师对弯制的弓丝进行调整，进而获得最佳的牙齿矫治效果。

2、本方法适用于基托蜡质颌堤，相较于基于传统刚性颌堤得出的预测模型，本方法能够体现真实正畸过程中牙齿相对移动及正畸弓丝力衰减现象对矫治力的影响，所以本方法算得的矫治力能够体现真实正畸过程中的动态特性，在矫治力及牙齿移动预测方面本方法的精确度更高。

附图说明

为了易于说明，本发明由下述的具体实施及附图作以详细描述。

图1为本发明方法T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型建立流程图；

图2为本发明T形曲曲竖直臂力学分析示意图；

图3为本发明T形曲弯曲部分力学分析示意图；

图4为本发明T形曲圆弧部分变形分析示意图；

图5为本发明所使用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤示意图；

图6为本发明方法蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立流程图；

图7为本发明蜡制颌堤中牙齿移动示意图；

图8为本发明蜡制颌堤受热示意图；

图中：1-基托蜡颌堤；2-树脂牙齿模型；3-正畸托槽；4-T形曲；4-1-竖直臂；4-2-圆弧部分；4-3-圆弧部分水平臂；4-4-T形曲水平臂。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明了，下面通过附图中示出的具体实施例来描述本发明。但是应该理解，这些描述只是示例性的，而并非要限制本发明的范围。此外，在以下说明中，省略了对公知结构和技术的描述，以避免不必要地混淆本发明的概念。

如图1、图2、图3、图4、图5、图6、图7、图8所示，本具体实施方式采用以下技术方案：本发明的一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程包括以下步骤：

1)分析T形曲的结构特征和加载特征；

2)建立T形曲竖直臂矫治力预测模型；

3)建立T形曲水平臂矫治力预测模型；

4)建立T形曲静态矫治力预测模型；

5)建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；

6)建立T形曲动态矫治力预测模型；

7)建立T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型。

进一步地，所述的步骤1)中，由T形曲的结构特性可知，在T形曲对牙齿进行矫治时，矫治力由T形曲水平臂4-4释放，T形曲发生变形的竖直臂4-1及圆弧部分4-2在T形曲的两侧相互对称，因此，在进行T形曲矫治力模型建立时，只需对对称的一部分进行分析；T形曲圆弧部分4-2弯曲半径为R，整体高度为h，关闭间隙为b，关闭间隙由临床上后抽弓丝加力时产生；

对矫治过程中T形曲的变形情况进行分析后可知，T形曲在竖直臂4-1及T形曲圆弧部分4-2发生变形，T形曲产生的正畸力由两变形区域产生的回复力组成，因此需对T形曲竖直臂4-1及T形曲圆弧部分4-2分别进行力学分析，并将二者叠加，建立T形曲矫治力预测模型。

进一步地，所述的步骤2)中，T形曲竖直臂4-1的转角方程θ(x)和挠度方程v(x)可表达为：

式中，M(x)是竖直部分上x距离处所受弯矩，E为材料的弹性模量，I_z为弓丝截面对z轴的惯性矩，对于圆丝I_z＝πd⁴/64，d为圆丝直径，对于矩形丝I_z＝c₁c₂ ³/12，c₂为矩形丝截面上与z轴平行边的长度，c₁为矩形丝截面上与z轴垂直边的长度，C₀和D₀是积分常数，C₀和D₀由边界条件确定，T形曲竖直臂4-1的弯矩方程为：

M(x)＝-P(y-x) (2)

式中，P是产生该变形所需的力，y为竖直臂变形前长度；

将式(2)带入到式(1)中进行积分，可得：

为确定式(3)中的积分常数C₀、D₀，需要确定T形曲竖直臂4-1的边界条件，基于支撑条件，其挠度或转角常为零或已知，对x＝0，即T形曲竖直臂4-1及圆弧部分水平臂4-3的连接处的变形量进行求解，由于T形曲竖直臂4-1及圆弧部分水平臂4-3的连接处有一纵向对称面，且外力均作用于这一对称面上，因此，变形后的曲梁轴线仍位于该纵向对称面内，该变形属于曲梁的平面弯曲变形问题，故可将连接处的圆弧等效为弧度为π/4的弯曲梁，对其取一段弧度为dα微元；

在曲梁平面弯曲的情况下，外力都在曲梁的纵向对称面内，变形后的轴线仍为这一对称面内的曲线，曲梁并无扭转变形，此时仍可使用平面假设，可得到竖直臂4-1及圆弧部分水平臂4-3连接处曲梁变形后挠曲线的微分方程如式(4)，在给定的边界条件下，积分该方程便可确定曲梁的变形；

式中，u为竖直臂4-1及圆弧部分水平臂4-3连接处曲梁横截面在x方向上的位移，连接处所受转矩M₀＝M|_x＝0＝-Py，I_ω为连接处曲梁横截面对ω轴的惯性矩，由于T形曲竖直臂4-1与连接处曲梁的弯曲类型一致，有I_ω＝I_z。

由弧长公式可知ds＝Rdα，因此竖直臂4-1及圆弧部分水平臂4-3连接处曲梁变形后挠曲线的微分方程可变为：

解连接处曲梁变形后挠曲线的常系数非齐次微分方程求得：

由于竖直臂4-1及圆弧部分水平臂4-3连接处曲梁沿纵向对称面对称，竖直臂4-1及圆弧部分水平臂4-3曲梁的边界条件为解得：

连接处曲梁的挠度方程可表示为：

弯梁的转角方程为：

因此，有边界条件解得：

将C₀，D₀带入(3)中可得：

因为最大转角及最大挠度均产生在抽丝端处，即x＝y处，最大挠度即为抽丝端T形曲水平臂4-4移动距离m，可知：

由作用力反作用力原则，T形曲竖直臂4-1形变产生的矫治力F₁即为产生该变形量所需力的反力：

进一步地，所述的步骤3)中，T形曲圆弧部分水平臂4-3与T形曲竖直臂4-1变形情况相同，因此可以使用相同的力学建模方法，在正畸治疗过程中，正畸医师会预先拉动T形曲4抽丝端引起T形曲4形变，并将形变后的T形曲安装在病人的牙齿上，由T形曲4形变后产生的回复力拉动患者牙齿移动，达到矫治患者畸形牙齿的目的，T形曲圆弧部分水平臂4-3的弯曲挠度，即T形曲圆弧部分水平臂4-3沿Z轴方向的位移，在T形曲形变过程中，T形曲圆弧部分水平臂4-3与T形曲竖直臂4-1连接处的对称中心在空间中的位置是不断变化的，因此，为了计算T形曲圆弧部分水平臂4-3弯曲挠度s，需对T形曲4形变过程中连接处对称中心的运动情况进行简化，将变形前连接处的对称中心重合，计算变形后竖直臂理论长度与竖直臂变形前长度y的差值，即T形曲圆弧部分水平臂弯曲挠度s为：

可得到T形曲圆弧部分水平臂4-3挠曲线近似微分方程方程为：

式中，M(l)为T形曲圆弧部分水平臂4-3的弯矩；

T形曲圆弧部分水平臂4-3的转角方程θ(l)和挠度方程v(l)可通过对式(13)进行积分得到：

式中，C₁和D₁是由边界条件确定的积分常数，而T形曲圆弧部分水平臂4-3的弯矩方程可由式(16)表达：

M(l)＝-G(w-R-l) (16)

式中，G为圆弧部分水平臂产生的矫治力，w为T形曲圆弧部分水平臂4-3的长度；

将式(13)和(16)代入到式(14)和(15)中进行积分，可得：

T形曲圆弧部分水平臂3的边界条件求解与T形曲竖直臂4-1相同，将一侧的侧面圆弧弧度为π/4，对其取一段弧度为dβ微元，由于对竖直臂4-1边界条件的求解给出了详细的过程，因此，在这里直接给出解圆弧段挠度常系数非齐次方程得到的边界条件式；

由于T形曲4侧面圆弧的对称性，侧面圆弧的边界条件为解得：

则弯梁的挠度方程为：

弯梁的转角方程为：

因此，有边界条件v|_l＝0＝u|_β＝0＝0，θ|_l＝0＝ε|_β＝0＝0，解得：C₁＝0，D₁＝0；

将C₁和D₁代入(17)、(18)中可得：

式中，T形曲圆弧部分水平臂4-3最大转角及最大挠度产生在l＝w-R处，最大挠度即为T形曲水平臂4-3移动距离s，可知：

沿抽丝端方向的正畸力F₂即为由T形曲水平臂4-4形变产生该变形量所需力沿抽丝端方向分力的反力，即：

进一步地，所述的步骤4)中，T形曲4产生的静态矫治力即为竖直臂4-1及T形曲圆弧部分4-2形变后产生的回复力的合力，即：

进一步地，本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡质颌堤。

进一步地，本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡质颌堤由基托蜡颌堤1、树脂牙齿模型2、正畸托槽3、T形曲4组成。

进一步地，所述的步骤5)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为v_t时，v_t为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的R_e的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数R_e＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力f_D可用式(27)计算：

式中，v₀为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，A为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，A＝1×D，D为圆柱体的直径，C_D为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数R_e和圆柱面粗糙度δ有关；

假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度v_t＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力F_k，惯性力F_k的数值等于圆柱体的排蜡质量M₀与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量M_w沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力f_L可表示为：

令M_w＝C_mM₀，则式(30)可表示为：

式中，C_m为附加质量系数，C_M为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力f_L和拖曳力f_D的影响；

受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力。牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρv_t ²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量E＝ρe+ρv_t ²/2；

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，c_p为无量纲压强系数，Φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，▽T为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对▽T进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t₀。在初始瞬间将它放置于温度为t_∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(33)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度▽T代入式(32)中整理得到：

对式(36)等式两边对t积分整理得到：

式中，T为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(38)代入式(37)中可得蜡质颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(40)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

进一步地，所述的步骤6)中，基于T形曲静态矫治力预测模型及蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型，T形曲动态矫治力预测模型可表达为：

式中，F即为应用T形曲动态矫治力预测模型得出的T形曲动态矫治力。

进一步地，所述的步骤7)中，物理学中基于加速度通过积分可以得到位移和速度矢量关系：

牙齿移动的加速度a₀、牙齿的质量m₀、作用力间的关系可由式(43)表达：

F＝m₀a₀ (43)

则受到正畸力正畸力F₀、绕流惯性力f_L和拖曳力f_D作用在蜡质颌堤中移动的牙齿的加速度a₀由式(44)表达：

将式(44)代入式(42)中可得到基于蜡制颌堤的T形曲作用下牙齿移动预测模型：

式中，S_m为基于蜡制颌堤的T形曲作用下牙齿移动，m₀为牙齿的质量，t₁为牙齿移动的时间。

进一步地，在应用所述一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤预测T形曲矫治效果时，首先将正畸托槽粘贴在树脂牙齿模型的外表面上，将T形曲固定在正畸托槽上，此时，将蜡制颌堤与T形曲同时浸入75℃恒温水浴的环境中，2min后取出，观察水浴前后牙齿位置即可清楚地了解T形曲作用下牙齿移动的情况，应用本方法提出的一种T形曲动态矫治力预测模型可以通过T形曲的形状参数计算产生动态矫治力的大小，依据牙齿移动的情况，通过本模型计算并调整T形曲的形状参数获得最佳的治疗效果，进而辅助正畸医生制定更合理的矫治方案。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (10)

1.一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程包括以下步骤：

1)分析T形曲的结构特征和加载特征；

2)建立T形曲竖直臂矫治力预测模型；

3)建立T形曲水平臂矫治力预测模型；

4)建立T形曲静态矫治力预测模型；

5)建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型；

6)建立T形曲动态矫治力预测模型；

7)建立T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型。

2.根据权利要求1中所述的一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，其特征在于：所述的步骤1)中，由T形曲的结构特性可知，在T形曲对牙齿进行矫治时，矫治力由T形曲水平臂(4-4)释放，T形曲发生变形的竖直臂(4-1)及圆弧部分(4-2)在T形曲的两侧相互对称，因此，在进行T形曲矫治力模型建立时，只需对对称的一部分进行分析；T形曲圆弧部分(4-2)弯曲半径为R，整体高度为h，关闭间隙为b，关闭间隙由临床上后抽弓丝加力时产生；

对矫治过程中T形曲的变形情况进行分析后可知，T形曲在竖直臂(4-1)及T形曲圆弧部分(4-2)发生变形，T形曲产生的正畸力由两变形区域产生的回复力组成，因此需对T形曲竖直臂(4-1)及T形曲圆弧部分(4-2)分别进行力学分析，并将二者叠加，建立T形曲矫治力预测模型。

3.根据权利要求1中所述的一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，其特征在于：所述的步骤2)中，T形曲竖直臂(4-1)的转角方程θ(x)和挠度方程v(x)可表达为：

式中，M(x)是竖直部分上x距离处所受弯矩，E为材料的弹性模量，I_z为弓丝截面对z轴的惯性矩，对于圆丝I_z＝πd⁴/64，d为圆丝直径，对于矩形丝I_z＝c₁c₂ ³/12，c₂为矩形丝截面上与z轴平行边的长度，c₁为矩形丝截面上与z轴垂直边的长度，C₀和D₀是积分常数，C₀和D₀由边界条件确定，T形曲竖直臂(4-1)的弯矩方程为：

M(x)＝-P(y-x) (2)

式中，P是产生该变形所需的力，y为竖直臂变形前长度；

将式(2)带入到式(1)中进行积分，可得：

为确定式(3)中的积分常数C₀、D₀，需要确定T形曲竖直臂(4-1)的边界条件，基于支撑条件，其挠度或转角常为零或已知，对x＝0，即T形曲竖直臂(4-1)及圆弧部分水平臂(4-3)的连接处的变形量进行求解，由于T形曲竖直臂(4-1)及圆弧部分水平臂(4-3)的连接处有一纵向对称面，且外力均作用于这一对称面上，因此，变形后的曲梁轴线仍位于该纵向对称面内，该变形属于曲梁的平面弯曲变形问题，故可将连接处的圆弧等效为弧度为π/4的弯曲梁，对其取一段弧度为dα微元；

在曲梁平面弯曲的情况下，外力都在曲梁的纵向对称面内，变形后的轴线仍为这一对称面内的曲线，曲梁并无扭转变形，此时仍可使用平面假设，可得到竖直臂(4-1)及圆弧部分水平臂(4-3)连接处曲梁变形后挠曲线的微分方程如式(4)，在给定的边界条件下，积分该方程便可确定曲梁的变形；

式中，u为竖直臂(4-1)及圆弧部分水平臂(4-3)连接处曲梁横截面在x方向上的位移，连接处所受转矩M₀＝M|_x＝0＝-Py，I_ω为连接处曲梁横截面对ω轴的惯性矩，由于T形曲竖直臂(4-1)与连接处曲梁的弯曲类型一致，有I_ω＝I_z。

由弧长公式可知ds＝Rdα，因此竖直臂(4-1)及圆弧部分水平臂(4-3)连接处曲梁变形后挠曲线的微分方程可变为：

解连接处曲梁变形后挠曲线的常系数非齐次微分方程求得：

由于竖直臂(4-1)及圆弧部分水平臂(4-3)连接处曲梁沿纵向对称面对称，竖直臂(4-1)及圆弧部分水平臂(4-3)曲梁的边界条件为解得：

连接处曲梁的挠度方程可表示为：

弯梁的转角方程为：

因此，有边界条件解得：

将C₀，D₀带入(3)中可得：

因为最大转角及最大挠度均产生在抽丝端处，即x＝y处，最大挠度即为抽丝端T形曲水平臂(4-4)移动距离m，可知：

由作用力反作用力原则，T形曲竖直臂(4-1)形变产生的矫治力F₁即为产生该变形量所需力的反力：

4.根据权利要求1中所述的一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，其特征在于：所述的步骤3)中，T形曲圆弧部分水平臂(4-3)与T形曲竖直臂(4-1)变形情况相同，因此可以使用相同的力学建模方法，在正畸治疗过程中，正畸医师会预先拉动T形曲(4)抽丝端引起T形曲(4)形变，并将形变后的T形曲安装在病人的牙齿上，由T形曲(4)形变后产生的回复力拉动患者牙齿移动，达到矫治患者畸形牙齿的目的，T形曲圆弧部分水平臂(4-3)的弯曲挠度，即T形曲圆弧部分水平臂(4-3)沿Z轴方向的位移，在T形曲形变过程中，T形曲圆弧部分水平臂(4-3)与T形曲竖直臂(4-1)连接处的对称中心在空间中的位置是不断变化的，因此，为了计算T形曲圆弧部分水平臂(4-3)弯曲挠度s，需对T形曲(4)形变过程中连接处对称中心的运动情况进行简化，将变形前连接处的对称中心重合，计算变形后竖直臂理论长度与竖直臂变形前长度y的差值，即T形曲圆弧部分水平臂弯曲挠度s为：

可得到T形曲圆弧部分水平臂(4-3)挠曲线近似微分方程方程为：

式中，M(l)为T形曲圆弧部分水平臂(4-3)的弯矩；

T形曲圆弧部分水平臂(4-3)的转角方程θ(l)和挠度方程v(l)可通过对式(13)进行积分得到：

式中，C₁和D₁是由边界条件确定的积分常数，而T形曲圆弧部分水平臂(4-3)的弯矩方程可由式(16)表达：

M(l)＝-G(w-R-l) (16)

式中，G为圆弧部分水平臂产生的矫治力，w为T形曲圆弧部分水平臂(4-3)的长度；

将式(13)和(16)代入到式(14)和(15)中进行积分，可得：

T形曲圆弧部分水平臂(3)的边界条件求解与T形曲竖直臂(4-1)相同，将一侧的侧面圆弧弧度为π/4，对其取一段弧度为dβ微元，由于对竖直臂(4-1)边界条件的求解给出了详细的过程，因此，在这里直接给出解圆弧段挠度常系数非齐次方程得到的边界条件式；

由于T形曲(4)侧面圆弧的对称性，侧面圆弧的边界条件为解得：

则弯梁的挠度方程为：

弯梁的转角方程为：

因此，有边界条件v|_l＝0＝u|_β＝0＝0，θ|_l＝0＝ε|_β＝0＝0，解得：C₁＝0，D₁＝0；

将C₁和D₁代入(17)、(18)中可得：

式中，T形曲圆弧部分水平臂(4-3)最大转角及最大挠度产生在l＝w-R处，最大挠度即为T形曲水平臂(4-3)移动距离s，可知：

沿抽丝端方向的正畸力F₂即为由T形曲水平臂(4-4)形变产生该变形量所需力沿抽丝端方向分力的反力，即：

5.根据权利要求1中所述的一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，其特征在于：所述的步骤4)中，T形曲(4)产生的静态矫治力即为竖直臂(4-1)及圆弧部分(4-2)形变后产生的回复力的合力，即：

6.一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，其特征在于：本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

7.一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，其特征在于：本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由基托蜡颌堤(1)、树脂牙齿模型(2)、正畸托槽(3)、T形曲(4)组成。

8.根据权利要求1中所述的一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，其特征在于：所述的步骤5)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；

当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为v_t时，v_t为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的R_e的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数R_e＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力f_D可用式(27)计算：

式中，v₀为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，A为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，A＝1×D，D为圆柱体的直径，C_D为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数R_e和圆柱面粗糙度δ有关；

假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度v_t＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力F_k，惯性力F_k的数值等于圆柱体的排蜡质量M₀与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量M_w沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力f_L可表示为：

令M_w＝C_mM₀，则式(30)可表示为：

式中，C_m为附加质量系数，C_M为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力f_L和拖曳力f_D的影响；

受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力；牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρv_t ²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量E＝ρe+ρv_t ²/2；

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，c_p为无量纲压强系数，Φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，▽T为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对▽T进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t₀。在初始瞬间将它放置于温度为t_∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(33)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度▽T代入式(32)中整理得到：

对式(36)等式两边对t积分整理得到：

式中，T为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(38)代入式(37)中可得蜡质颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(40)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

9.根据权利要求1中所述的一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，其特征在于：所述的步骤6)中，基于T形曲静态矫治力预测模型及蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型，T形曲动态矫治力预测模型可表达为：

式中，F即为应用T形曲动态矫治力预测模型得出的T形曲动态矫治力。

10.根据权利要求1中所述的一种T形曲动态矫治力作用下牙齿移动模型，其特征在于：所述的步骤7)中，物理学中基于加速度通过积分可以得到位移和速度矢量关系：

牙齿移动的加速度a₀、牙齿的质量m₀、作用力间的关系可由式(43)表达：

F＝m₀a₀ (43)

则受到正畸力正畸力F₀、绕流惯性力f_L和拖曳力f_D作用在蜡质颌堤中移动的牙齿的加速度a₀由式(44)表达：

将式(44)代入式(42)中可得到基于蜡制颌堤的T形曲作用下牙齿移动预测模型：

式中，S_m为基于蜡制颌堤的T形曲作用下牙齿移动，m₀为牙齿的质量，t₁为牙齿移动的时间。