CN110013331A - 一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，涉及正畸治疗技术领域，它包含如下步骤：1)牙齿所受蜡制颌堤拖曳力的计算；2)牙齿所受惯性力的计算；3)求解蜡制颌堤密度随时间变化的表达式，建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型。本发明能够有效的对牙齿移动过程中阻力进行计算，为获得更准确的正畸过程中牙齿移动预测模型，开展口腔数字化诊疗，辅助医生提高正畸治疗的安全性和预见性具有十分重要的意义。

Description

一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法

技术领域

本发明涉及一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，属于正畸治疗技术领域。

背景技术

固定矫治技术是目前最为有效的正畸治疗方法，在传统固定矫治技术的诊断过程中，各矫治阶段所使用正畸弓丝产生的矫治力大小、矫治效果的预测多根据正畸医生的经验进行判断，虽然这种依靠正畸医师经验的传统正畸治疗手段在大多数患者的治疗中能发挥一定的作用，但临床医师无法准确预测患者佩戴正畸弓丝进行治疗后的矫治效果。基托蜡具有质地较软，韧性好，加热变软不粘手等物理特性，在口腔临床应用中可基于患者牙齿数据制成蜡制颌堤，将蜡制颌堤浸入水浴箱可以将正畸矫治过程大大缩短，在蜡制颌堤上观察到牙齿随正畸弓丝的移动情况，从而对矫治方案进行修正。

但是目前在应用蜡制颌堤模拟正畸治疗的过程中，正畸弓丝形状与牙齿移动的关系并未确立，缺乏相应的量化标准，正畸医生仍旧无法准确预测在正畸弓丝影响下患者牙齿的移动状况，因此建立正畸弓丝影响下牙齿移动的预测模型，对于开展口腔数字化诊疗，辅助医生提高正畸治疗的安全性和预见性具有十分重要的意义，然而应用蜡制颌堤模拟牙齿移动是一个复杂的过程，牙齿同时受到正畸力与蜡制颌堤阻力的作用并产生移动，为了获得更准确的正畸过程中牙齿移动预测模型，对牙齿移动过程中阻力进行建模分析是不可或缺的。

发明内容

针对上述问题，本发明要解决的技术问题是提供一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，是应用蜡制颌堤模拟正畸治疗的过程中，实现正畸弓丝影响下牙齿移动的预测的基础。

上述目的主要通过以下方案实现：

1、一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程包括以下步骤：

1)牙齿所受蜡制颌堤拖曳力的计算；

2)牙齿所受绕流惯性力的计算；

3)求解蜡制颌堤密度随时间变化的表达式，建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型。

作为优选，所述的步骤1)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；

当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为v_t时，v_t为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的R_e的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数R_e＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力f_D可用式(1)计算：

式中，v₀为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，A为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，A＝1×D，D为圆柱体的直径，C_D为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数R_e和圆柱面粗糙度δ有关。

作为优选，所述的步骤2)中，假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为V₀的圆柱体在移动速度v_t＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力F_k，惯性力F_k的数值等于圆柱体的排蜡质量M₀与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量M_w沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力f_L可表示为：

令M_w＝C_mM₀，则式(4)可表示为：

式中，C_m为附加质量系数，C_M为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力f_L和拖曳力f_D的影响。

作为优选，所述的步骤3)中，受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力。牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρv_t ²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量E＝ρe+ρv_t ²/2。

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，c_p为无量纲压强系数，Φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，▽T为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对▽T进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t₀。在初始瞬间将它放置于温度为t_∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(7)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度▽T代入式(6)中整理得到：

式(10)等式两边对t积分整理得到：

式中，T为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(12)代入式(11)中可得蜡制颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(14)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

作为优选，本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

作为优选，本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由蜡制颌堤、树脂牙齿模型、正畸托槽、正畸弓丝组成。

本发明的有益效果为：

1、系统地分析了牙齿在蜡制颌堤中移动的基本原理，采用参数化的建模方法，建立了蜡制颌堤模拟正畸过程中牙齿所受阻力的精确数学模型，为获得更准确的正畸过程中牙齿移动预测模型、辅助医生提高正畸治疗的安全性和预见性打下基础。

2、建立了蜡制颌堤密度随时间变化的表达式，进而获得了随时间变化的蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型，可以充分考虑时间、水浴温度等因素对蜡制颌堤物理特性的影响，使建立的模型更加准确。

附图说明

为了易于说明，本发明由下述的具体实施及附图作以详细描述。

图1为本发明方法蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立流程图；

图2为本发明蜡制颌堤中牙齿移动示意图；

图3为本发明蜡制颌堤受热示意图；

图4为本发明适用的模拟牙齿移动用蜡制颌堤示意图；

图中：1-蜡制颌堤；2-树脂牙齿模型；3-正畸托槽；4-正畸弓丝。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明了，下面通过附图中示出的具体实施例来描述本发明。但是应该理解，这些描述只是示例性的，而并非要限制本发明的范围。此外，在以下说明中，省略了对公知结构和技术的描述，以避免不必要地混淆本发明的概念。

如图1、图2、图3、图4所示，本具体实施方式采用以下技术方案：一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程包括以下步骤：

1)牙齿所受蜡制颌堤拖曳力的计算；

2)牙齿所受绕流惯性力的计算；

3)求解蜡制颌堤密度随时间变化的表达式，建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型。

作为优选，所述的步骤1)中，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；

当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为v_t时，v_t为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的R_e的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数R_e＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力f_D可用式(1)计算：

式中，v₀为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，A为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，A＝1×D，D为圆柱体的直径，C_D为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数R_e和圆柱面粗糙度δ有关。

作为优选，所述的步骤2)中，假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度v_t＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力F_k，惯性力F_k的数值等于圆柱体的排蜡质量M₀与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量M_w沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力f_L可表示为：

令M_w＝C_mM₀，则式(4)可表示为：

式中，C_m为附加质量系数，C_M为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力f_L和拖曳力f_D的影响。

作为优选，所述的步骤3)中，受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力。牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρv_t ²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量E＝ρe+ρv_t ²/2.

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，c_p为无量纲压强系数，Φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，▽T为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对▽T进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t₀。在初始瞬间将它放置于温度为t_∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(7)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度▽T代入式(6)中整理得到：

式(10)等式两边对t积分整理得到：

式中，T为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(12)代入式(11)中可得蜡制颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(14)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

进一步地，本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

进一步地，本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由蜡制颌堤、树脂牙齿模型2、正畸托槽3、正畸弓丝4组成。

进一步地，在应用所述一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤预测正畸弓丝影响下牙齿矫治效果时，首先将正畸托槽粘贴在树脂牙齿模型的外表面上，将正畸弓丝固定在正畸托槽上，此时，将蜡制颌堤与正畸弓丝同时浸入75℃恒温水浴的环境中，2min后取出，观察水浴前后牙齿位置即可清楚地了解正畸弓丝作用下牙齿移动的情况，由于牙齿在蜡制颌堤中移动的情况复杂，在不明确蜡模动态阻力的情况下很难将正畸弓丝形状与牙齿移动情况之间的关系进行参数化的表达，因而无法帮助正畸医师基于牙齿模拟的移动情况对正畸弓丝参数进行修改，改善患者治疗过程中的舒适性，而应用本方法提出的蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可以计算出模拟矫治过程中牙齿所受蜡制颌堤动态阻力值，基于正畸弓丝对牙齿施加的矫治力值便可计算出牙齿在矫治过程中所受动态矫治力的大小，建立起正畸弓丝形状、正畸矫治力、牙齿移动情况三者之间的参数关系，正畸医师可以基于本方法提出的模型，依据牙齿移动的情况，计算并调整正畸弓丝的形状参数获得最佳的治疗效果，进而辅助正畸医生制定更合理的矫治方案。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (6)

1.一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，其特征在于：所述方法的具体实现过程包括以下步骤：

1)牙齿所受蜡制颌堤拖曳力的计算；

2)牙齿所受绕流惯性力的计算；

3)求解蜡制颌堤密度随时间变化的表达式，建立蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型。

2.根据权利要求1中所述的一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，其特征在于：所述的步骤1)，被测牙齿与测量原件以树脂圆柱体连接，牙齿在蜡制颌堤中的移动实际为圆柱连接体在蜡制颌堤中的运动，因此，以圆柱体作为基本构件进行分析；

当牙齿在蜡制颌堤中移动的速度为v_t时，v_t为蜡制颌堤在t时刻的流动速度，圆柱体上受到沿移动方向的作用力为绕流拖曳力；摩擦拖曳力和压差拖曳力共同组成绕流拖曳力；摩擦拖曳力是由于流体的粘滞性在柱体表面形成边界层，在此边界层范围内，流体产生速度梯度，摩擦效应显著，产生了摩擦切应力；压差拖曳力是由于边界层在圆柱体表面某点处分离，在分离点下游即在圆柱体后部形成很强的地尾流漩涡，使得圆柱前后产生压力差，进而在流动方向产生了一个力，而在流体流动中，圆柱体旋涡尾流曲是随雷诺数的R_e的变化发展的，牙齿在蜡制颌堤中的移动雷诺数R_e＜5，因此无尾流旋涡的产生，无压差拖曳力产生；

对单位长度圆柱体上的拖曳力f_D可用式(1)计算：

式中，v₀为未受绕流影响垂直于圆柱体轴线的牙齿移动速度分量，ρ(t)为在t时刻实验温度下蜡制颌堤的密度，A为单位长度圆柱体垂直于移动方向的投影面积，对于圆柱体，A＝1×D，D为圆柱体的直径，C_D为拖曳力系数，它集中反映了流体的粘滞性而引起的粘滞效应，与雷诺数R_e和圆柱面粗糙度δ有关。

3.根据权利要求1中所述的一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，其特征在于：所述的步骤2)中，假设本研究中的蜡制颌堤流体是不可压缩的理想流体，排蜡体积为的圆柱体在移动速度v_t＝v(x,y,z,t)的蜡制颌堤流场中移动；暂不考虑圆柱体对蜡制颌堤流场的影响，即假定蜡制颌堤流场内的压强分布不因圆柱体的存在而改变，那么圆柱体的边界作为加速流体边界的一部分，也就是被圆柱体置换的那部分体积内的蜡制颌堤流体，它本应以静止的状态存在于蜡制颌堤流场中，但实际上由于圆柱体移动的存在，这部分静止的蜡制颌堤流体将被加速至与圆柱体边界移速相同的状态；因此加速的蜡制颌堤流体将会对排蜡体积为的圆柱体沿流动方向作用一个惯性力F_k，惯性力F_k的数值等于圆柱体的排蜡质量M₀与体积内蜡制颌堤流体的平均加速度的乘积，即：

对于研究中的圆柱体来说，可以取圆柱体轴中心位置处的流体加速度来表示，此时：

但由于圆柱体存在于蜡制颌堤流场中，必将使圆柱体周围的流体质点受到扰动引起速度变化，从而改变蜡制颌堤流场内的压强分布，所以，圆柱体的扰动是圆柱体周围改变了原来运动状态的那部分附加流体的质量M_w沿流体流动方向也将对圆柱体产生一个附加惯性力，即附加质量力；因此加速的流体沿流动方向实际作用在圆柱体上的绕流惯性力f_L可表示为：

令M_w＝C_mM₀，则式(4)可表示为：

式中，C_m为附加质量系数，C_M为质量系数，亦称为惯性力系数，集中反映了由于流体的惯性以及圆柱体的存在，使圆柱体周围蜡制颌堤流场的速度改变而引起的附加质量效应；

经过以上分析，可获得牙齿在蜡制颌堤移动过程中所受阻力情况，牙齿在正畸弓丝变形产生的正畸力影响下在蜡制颌堤中移动，移动过程中，由于流场的绕流特性，牙齿受到绕流惯性力f_L和拖曳力f_D的影响。

4.根据权利要求1中所述的一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，其特征在于：所述的步骤3)中，受热量交换影响，热场中蜡制颌堤模型内部温度是随时间变化的，内部温度的变化将引起蜡制颌堤模型密度的变化，进而影响牙齿在蜡制颌堤内部移动受到的阻力；牙齿模型在蜡制颌堤内部移动时遵循粘性流体能量方程中的规律，令e代表单位质量流体所具有的内能，则ρe为单位体积流体具有的内能，ρv_t ²/2代表单位体积的动能，从而单位体积流体包含的总能量E＝ρe+ρv_t ²/2；

经过简化整理，能量守恒原理可近似地表示为：

式中，c_p为无量纲压强系数，Φ为牙齿模型在蜡制颌堤流体中移动时消耗的机械功，k为计算系数，为基托蜡流体热场的温度梯度，q为由于热辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量流体的热量；

对进行求解，设蜡制颌堤的厚度为2δ，初始温度为t₀。在初始瞬间将它放置于温度为t_∞的流体中，流体与蜡制颌堤间的表面传热系数h为常数，蜡制颌堤两边对称受热，蜡制颌堤内部温度分布必以其中心截面为对称面，因此，只需要研究厚度为δ的半块蜡制颌堤，把x轴的原点置于蜡制颌堤的中心截面上，对于x≥0的半块蜡制颌堤，可列出如下导热微分方程：

式中，a为热扩散率，式(7)两边对x积分，可得：

蜡制颌堤在水浴环境下均匀受热可以简化为一维热场问题，因此有:

将蜡制颌堤流体热场的温度梯度代入式(6)中整理得到：

式(10)等式两边对t积分整理得到：

式中，T为蜡制颌堤流体热场的温度；

傅里叶定律用热流密度q表示时有如下形式：

式中，λ为导热系数；

将式(12)代入式(11)中可得蜡制颌堤密度ρ随时间t变化的表达式：

蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型可由式(14)表达：

式中，f为蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中的动态阻力。

5.一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，其特征在于：本方法应用于一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤。

6.一种蜡制颌堤模拟牙齿移动过程中动态阻力模型建立方法，其特征在于：本方法适用的一种模拟牙齿移动用蜡制颌堤由蜡制颌堤(1)、树脂牙齿模型(2)、正畸托槽(3)、正畸弓丝(4)组成。