CN109902350A - 对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，包括：确定有限元模型材料，设定两个方向的截面惯性矩的初始值存在一定的差值，使迭代过程中最大程度避免模态交换的发生，并建立有限元模型；对有限元模型进行模态分析，找出在有限元模型中与实际振型最匹配的实验阶数；建立数学优化模型，设定优化初始值、步长及其收敛精度值；计算梁段的截面惯性矩与频率之间的关系；向Nastran提交编写的优化卡片进行迭代计算，提取迭代后频率的值与迭代后的截面惯性矩；利用计算出的频率和截面惯性矩的关系求解实验值对应的各个梁段的截面惯性矩，获得最切合实际的截面惯性矩。本方法为变截面梁的模型修正运算提供一个参考。

Description

对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的 方法

技术领域

本发明属于工程结构设计技术领域，尤其涉及对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法。

背景技术

目前，有限元工具己经广泛用于各种工程结构的计算，对于大型复杂结构，如火箭，导弹，飞机等有限元模型建立困难，即使工程技术人员建立了有限元模型，往往因为计算的误差太大，不能准确预示实际结构的力学特性，使模拟仿真工作受到很大的限制，最后还是需要物理样机试验才能了解飞行器结构的力学特性。有限元修正技术就是要利用物理样机试验和有限元仿真两者的优点，用少量的样机试验所获得的数据对有限元模型进行修正，获得比较准确的有限元模型，从而可以替代那些复杂、耗资巨大的物理样机的制造，节省费用和缩短研制周期。修正的目标都是让有限元模型的计算结果和物理样机试验结果保持一致，建立精确的有限元模型是当前的一个重要挑战。

在航天领域与土木工程中，在对有限元模型进行模型修正过程中，因为模态交换的发生，修正结果不能达到预期目标，模型修正是进行模型修正中的一大难题。在对称结构中容易发生模态交换，尤其有些变截面梁有对称结构很容易发生模态交换现象。尤其一些其他的方法虽然也能避免模态交换的发生，但会伴随着运算时间长，重新挑选算法等缺点。所以选择一个合理避免模态交换的方法尤为重要。克服模态交换也是模型修正领域极具挑战性的课题之一。也是建立高精度有限元模型的必然需求。

目前，建立导弹，火箭，桥梁等大型结构的有限元模型较为困难，为了减少自由度，有向一维梁简化的趋势，简化为每个梁段的截面惯性矩不同的变截面梁，但在对变截面梁进行模型修正过程中很容易发生模态交换，如何控制模态交换且更加方便省时的控制模态交换的发生是现在要处理的一大难题。

本发明针对在变截面梁的截面惯性矩进行模型修正过程中发生模态交换的问题，提出了在对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正过程中克服模态交换的方法。这种在对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正过程中克服模态交换的方法，结合结构模态有限元分析方法，通过设定两个方向不同的截面惯性矩的初始值，调用MSC.Nastran优化卡片进行迭代，来尽可能避免在迭代过程中发生模态交换，通过提取迭代后的截面惯性矩的值及迭代后的频率值，按照推导出的设计变量与频率之间的关系，得出实际的截面惯性矩。这种在对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正过程中克服模态交换的方法有助于避免迭代过程中模态交换问题的产生，减少运算过程中的计算量和时间，并更大限度的避免变截面梁在优化过程中模态交换发生，这对于推动航空航天等重要领域的快速发展具有重要意义。

发明内容

本发明针对在变截面梁的截面惯性矩进行模型修正过程中发生模态交换的问题，通过设定两个方向的截面惯性矩不同的初始值，来保持两个方向的刚度一直存在差值，使两个方向的模态分析一直保持先后不变的顺序，来控制在迭代过程中模态交换的发生，通过计算截面惯性矩与频率之间的关系，提取迭代后的截面惯性矩及频率，计算出实际截面惯性矩。这种在对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，有助于缩短结构设计周期，最大限度的避免在迭代过程中发生模态交换，具有极强的实用性。为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

本发明采用的技术方案为对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，包括以下步骤：

第一步，确定有限元模型材料，各梁段横截面积，设定各梁段的截面惯性矩，设定两个方向的截面惯性矩的初始值存在一定的差值，使迭代过程中最大程度避免模态交换的发生，并建立有限元模型；

第二步，对有限元模型进行模态分析，并与实际模型的振型配对，找出在有限元模型中与实际振型最匹配的实验阶数；

第三步，建立数学优化模型，编写MSC.Nastran优化卡片，设定优化初始值、步长及其收敛精度值；

第四步，计算梁段的截面惯性矩与频率之间的关系；

第五步，向Nastran提交编写的优化卡片进行迭代计算，提取迭代后频率的值与迭代后的截面惯性矩；

第六步，利用计算出的频率和截面惯性矩的关系求解实验值对应的各个梁段的截面惯性矩,获得最切合实际的截面惯性矩。

本发明相比现有技术的优点在于：

基于整体结构的力学性能分析，推导频率与截面惯性矩之间的关系，直接调用MSC.Nastran的卡片直接运算，无需对程序进行二次开发，能够减少计算量，并减少计算时间，避免模态交换的发生，最后得到与实际较为相似的截面惯性矩，为工程师提供更准确的梁的有限元模型的方法。

附图说明

图1是变截面梁各梁段的截面图。

图2是变截面梁的目标迭代曲线及其设计变量迭代曲线。(a)是目标迭代历史；(b)是截面惯性矩I₁方向迭代历史；(c)是截面惯性矩I₂方向迭代历史。

图3是变截面梁实验的模态振型图。

图4是对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法的流程图。

具体实施方式

如图1所示，本发明中提供一种在对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正过程中克服模态交换的方法，具体解决方案如下：

第一步，确定有限元模型材料，各梁段横截面积，设定各梁段的截面惯性矩，设定两个方向的截面惯性矩的初始值存在一定的差值，使迭代过程中最大程度避免模态交换的发生，并建立有限元模型；

首先，由于在刚度较小的方向会优先于刚度较大的方向发生模态振动，截面惯性矩与梁的刚度有之间关系，根据实验值，在设定截面惯性矩时，设定两个方向的截面惯性矩的初始值存在一定的差值，使两个方向的模态分析一直有一定的先后顺序；其次，基于MSC.Patran软件平台，建立有限元模型。划分有限元网格，定义材料，横截面积，及其各梁段的尺寸；最后，输入设定好的截面惯性矩。

第二步，调用MSC.Patran软件对有限元模型进行模态分析，对模态结果设定为振型归一化处理，根据模态置信准则MAC，对有限元得到的模态振型与实验得到的振型配对，找出在有限元模型中与实际振型最匹配的模态阶数；

根据模态置信准则MAC，有限元模型与实验得到的振型进行匹配，找出在有限元模型中与实际振型最匹配的模态阶数；

式中，φ_i和φ_i ^t分别表示第i阶模态对应的仿真值和试验模态振型向量，和分别表示向量φ_i和向量φ_i ^t的转置矩阵。MAC值总是在[0,1]靠近1就表示越好的关联性。

第三步，建立数学优化模型，编写MSC.Nastran优化卡片，设定优化初始值、步长及其收敛精度值；

在MSC.Nastran软件平台的优化卡片窗口，依据结构已经测得的实验值，输入步长，初始值，收敛精度等参数。建立以频率为约束，特征向量的残差平方和最小为优化目标，变截面梁的优化模型：

式中：x为要进行修正的截面惯性矩，F(x)代表模型修正总体目标函数，m代表单个实验阶模态的实验点总数，I代表实验阶模态总数，u_ij为第i阶模态下第j个测试点对应的的有限元模型中的仿真值，u_ij ^t为第i阶模态下第j个测试点的实验值，f_i(x)代表第i阶模态下对应的仿真频率，f_i ^t代表第i阶模态下对应的实验频率，ε代表频率残差允许最大值。

第四步，计算梁段的截面惯性矩与频率之间的关系；

通过以下公式推导可得截面惯性矩截面惯性矩放缩后与原始值得比值等于修正后频率与实验的频率比值的平方

从标准动力学方程可知

M^-1Kφ_i＝λ_iφ_i

梁单元的单元刚度为：

由上述公式可以看出，φ_i是矩阵M^-1K的特征值λ_i对应的的特征向量，在对截面惯性矩进行放大缩小m倍时，其刚度矩阵变化m倍，因为各个梁段的横截面积没有变化，质量矩阵不变，所以矩阵M^-1K的特征向量不发生改变。即在放大缩小截面惯性矩后振型不发生改变。

从结构振动理论出发，变截面梁的结构的特征方程可表示为:

(K-λ_iM)φ_i＝0 (2-1)

式中，K、M分别为变截面梁结构的刚度矩阵和质量矩阵，λ_i为变截面梁结构第i阶特征值，φ_i为结构第i阶特征值所对应的特征向量，即第i阶振型。

λ_i＝4π²f_i ² (2-2)

其中，f_i为第i阶频率。

结构归一化振型与系统质量矩阵具有正交性，方程满足：

φ_m ^TMφ_m＝1 (2-3)

其中，φ_m表示质量归一化后的特征向量。

振型归一化后的振型是质量归一化的振型按照比例t进行缩减。得：

φ_i＝tφ_m (2-4)

联立(2-3)、(2-4)得：

φ_i ^TMφ_i＝t² (2-5)

其中特征向量φ_i1和φ_i2是特征方程的两组解。满足下列特征方程。

当特征向量为φ_i1时的特征方程为：

(K₁-λ_i1M₁)φ_i1＝0 (2-6)

特征值λ_i1和频率f_i1的关系为：

λ_i1＝4π²f_i1 ² (2-7)

当特征向量为φ_i2时的特征方程为：

(K₂-λ_i2M₂)φ_i2＝0 (2-8)

特征值λ_i2和频率f_i2的关系为：

λ_i2＝4π²f_i2 ² (2-9)

因为φ_i1和φ_i2是特征方程中多解中的两个，振型不变,即：

φ_i1＝φ_i2 (2-10)

改变截面惯性矩不改变横截面积，结构质量矩阵不发生改变，只改变结构刚度矩阵。所以有如下关系：

M₁＝M₂ (2-11)

公式(2-6)，(2-8)左边分别乘以φ_i1 ^T，得：

联立(2-5)，(2-10)，(2-11)，(2-12)得：

对式(2-13)上下两式相除求解可得：

λ_i1φ_i1 ^TK₂φ_i1＝λ_i2φ_i1 ^TK₁φ_i1 (2-14)

对式(2-14)进行变化可得

由于单个单元的刚度矩阵与梁单元长度，截面惯量，弹性模量有关。

当截面惯性矩放大缩小m倍时，总刚矩阵也放大缩小m倍，即联立(2-5)，(2-7)，(2-15)求得：

即

有上述证明可知，通过以下公式推导可得截面惯性矩截面惯性矩放缩后与原始值得比值等于修正后频率与实验的频率比值的平方。

第五步，向MSC.Nastran提交编写的优化卡片，进行迭代计算，提取迭代后频率的值与迭代后的截面惯性矩；

向MSC.Nastran提交编写的优化卡片，在迭代完成后，提取迭代后频率的值与迭代后的截面惯性矩。

第六步，利用已经计算出的频率和截面惯性矩的关系，求解各个梁段的截面惯性矩,获得最切合实际的截面惯性矩。

通过第四步证明得到的公式求解修正后应得的截面惯性矩为：

其中，I_i2为要求的截面惯性矩，I_i1迭代后的截面惯性矩，f₂为实验测得的频率，f₁为优化迭代后得到的频率。

通过计算得到最切合实际的截面惯性矩的数值。

本发明公开一种在变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法包括以下步骤：(1)确定有限元模型材料，各梁段横截面积，设定各梁段的截面惯性矩，设定两个方向的截面惯性矩的初始值存在一定的差值，使迭代过程中最大程度避免模态交换的发生，并建立有限元模型；(2)调用MSC.Patran软件对有限元模型进行模态分析，对模态结果设定为振型归一化处理，并与实验得到的振型配对，找出在有限元模型中与实际振型最匹配的模态阶数；(3)建立数学优化模型，编写MSC.Nastran优化卡片，设定优化初始值、步长及其收敛精度值；(4)计算梁段的截面惯性矩与频率之间的关系；(5)向Nastran提交编写的优化卡片进行迭代计算，提取迭代后频率的值与迭代后的截面惯性矩；(6)利用计算出的频率和截面惯性矩的关系求解实验值对应的各个梁段的截面惯性矩,获得最切合实际的截面惯性矩。

本发明提出的在变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，通过设定截面两个方向的截面惯性矩初始值不同，使迭代过程中最大程度避免模态交换的发生，并通过计算截面惯性矩与频率之间的关系，提取迭代后的截面惯性矩及频率，计算出实际截面惯性矩。这种在对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，有助于缩短结构设计周期，为结构的细节设计提供更详尽的指导，最大限度的避免在迭代过程中发生模态交换，具有极强的实用性。

实施算例：

下面结合一个针对五个梁段的变截面梁的截面惯性矩的模型的算例对本发明的具体实施步骤进行详细说明。

第一步，首先基于MSC.Patran建立尺寸如图1所示包含五个梁段的变截面梁，整个结构采用铝材，其弹性模量为70GPa，泊松比为0.3，密度为2700kg/m³，将结构划分成45个梁单元，每个单元长度为1.333m，每个梁段包含9个相邻单元，各单元截面参数，各节点质量，梁段标号如图1所示，如表1中所示截面惯性矩为实验值，为表2所示的为设定模型的初始值。

第二步，调用MSC.Patran软件对有限元模型进行自由模态分析，使用模态置信准则匹配实验值与仿真值，找出在有限元模型中与实际振型最匹配的模态阶数，对实验值与仿真值均进行振型归一化处理；

第三步，编写MSC.Nastran优化卡片，将表2中的数据设定为优化初始值、填写步长，收敛精度值及其目标方程，将频率的相对残差作为约束，ε取0.15；

第四步，运用上面计算得到的梁段的截面惯性矩与频率之间的关系；

第五步，向MSC.Nastran提交编写的优化卡片，进行迭代计算，提取迭代后频率的值与迭代后的截面惯性矩；

第六步，利用已经计算出的频率和截面惯性矩的关系，提取得到的频率比值的平方如表3所示，求解各个梁段的截面惯性矩,获得最切合实际的截面惯性矩，计算得到的结果如表3所示。

计算出的截面惯性矩如表4所示，对比表4与表1，可以得到通过计算后的截面惯性矩与实验数据较为吻合，将计算后的截面惯性矩带入有限元进行计算得1.266434×10^-13，验证了方法的可行性。因此，本设计提出的基于变截面梁单元的模型修正方法可以有效避免模态交换问题的发生。

表1截面惯性矩实验值

表2截面惯性矩设定初始值及其迭代后的值

表3实验频率及迭代后频率

表4计算后的截面惯性矩值

Claims (7)

1.对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，其特征在于：包括以下步骤，

第一步，确定有限元模型材料，各梁段横截面积，设定各梁段的截面惯性矩，设定两个方向的截面惯性矩的初始值存在一定的差值，使迭代过程中最大程度避免模态交换的发生，并建立有限元模型；

第二步，对有限元模型进行模态分析，并与实际模型的振型配对，找出在有限元模型中与实际振型最匹配的实验阶数；

第三步，建立数学优化模型，编写MSC.Nastran优化卡片，设定优化初始值、步长及其收敛精度值；

第四步，计算梁段的截面惯性矩与频率之间的关系；

第五步，向Nastran提交编写的优化卡片进行迭代计算，提取迭代后频率的值与迭代后的截面惯性矩；

第六步，利用计算出的频率和截面惯性矩的关系求解实验值对应的各个梁段的截面惯性矩，获得最切合实际的截面惯性矩。

2.根据权利要求1所述的对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，其特征在于：

第一步，确定有限元模型材料，各梁段横截面积，设定各梁段的截面惯性矩，设定两个方向的截面惯性矩的初始值存在一定的差值，使迭代过程中最大程度避免模态交换的发生，并建立有限元模型；

首先，由于在刚度小的方向会优先于刚度较大的方向发生模态振动，截面惯性矩与梁的刚度有之间关系，根据实验值，在设定截面惯性矩时，设定两个方向的截面惯性矩的初始值存在一定的差值，使两个方向的模态分析一直有一定的先后顺序；其次，基于MSC.Patran软件平台，建立有限元模型；划分有限元网格，定义材料，横截面积，及其各梁段的尺寸；最后，输入设定好的截面惯性矩。

3.根据权利要求1所述的对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，其特征在于：

第二步，调用MSC.Patran软件对有限元模型进行模态分析，对模态结果设定为振型归一化处理，根据模态置信准则MAC，对有限元得到的模态振型与实验得到的振型配对，找出在有限元模型中与实际振型最匹配的模态阶数；

根据模态置信准则MAC，有限元模型与实验得到的振型进行匹配，找出在有限元模型中与实际振型最匹配的模态阶数；

式中，φ_i和φ_i ^t分别表示第i阶模态对应的仿真值和试验模态振型向量，和分别表示向量φ_i和向量φ_i ^t的转置矩阵；MAC值总是在[0,1]靠近1就表示越好的关联性。

4.根据权利要求1所述的对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，其特征在于：

第三步，建立数学优化模型，编写MSC.Nastran优化卡片，设定优化初始值、步长及其收敛精度值；

在MSC.Nastran软件平台的优化卡片窗口，依据结构已经测得的实验值，输入步长，初始值，收敛精度等参数；建立以频率为约束，特征向量的残差平方和最小为优化目标，变截面梁的优化模型：

式中：x为要进行修正的截面惯性矩，F(x)代表模型修正总体目标函数，m代表单个实验阶模态的实验点总数，I代表实验阶模态总数，u_ij为第i阶模态下第j个测试点对应的有限元模型中的仿真值，u_ij ^t为第i阶模态下第j个测试点的实验值，f_i(x)代表第i阶模态下对应的仿真频率，f_i ^t代表第i阶模态下对应的实验频率，ε代表频率残差允许最大值。

5.根据权利要求1所述的对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，其特征在于：

第四步，计算梁段的截面惯性矩与频率之间的关系；

通过以下公式推导可得截面惯性矩放缩后与原始值得比值等于修正后频率与实验的频率比值的平方

从标准动力学方程可知

M^-1Kφ_i＝λ_iφ_i

梁单元的单元刚度为：

φ_i是矩阵M^-1K的特征值λ_i对应的特征向量，在对截面惯性矩进行放大缩小m倍时，其刚度矩阵变化m倍，因为各个梁段的横截面积没有变化，质量矩阵不变，所以矩阵M^-1K的特征向量不发生改变；即在放大缩小截面惯性矩后振型不发生改变；

从结构振动理论出发，变截面梁的结构的特征方程表示为:

(K-λ_iM)φ_i＝0 (2-1)

式中，K、M分别为变截面梁结构的刚度矩阵和质量矩阵，λ_i为变截面梁结构第i阶特征值，φ_i为结构第i阶特征值所对应的特征向量，即第i阶振型；

λ_i＝4π²f_i ² (2-2)

其中，f_i为第i阶频率；

结构归一化振型与系统质量矩阵具有正交性，方程满足：

φ_m ^TMφ_m＝1 (2-3)

其中，φ_m表示质量归一化后的特征向量；

振型归一化后的振型是质量归一化的振型按照比例t进行缩减；得：

φ_i＝tφ_m (2-4)

联立(2-3)、(2-4)得：

φ_i ^TMφ_i＝t² (2-5)

其中特征向量φ_i1和φ_i2是特征方程的两组解；满足下列特征方程；

当特征向量为φ_i1时的特征方程为：

(K₁-λ_i1M₁)φ_i1＝0 (2-6)

特征值λ_i1和频率f_i1的关系为：

λ_i1＝4π²f_i1 ² (2-7)

当特征向量为φ_i2时的特征方程为：

(K₂-λ_i2M₂)φ_i2＝0 (2-8)

特征值λ_i2和频率f_i2的关系为：

λ_i2＝4π²f_i2 ² (2-9)

因为φ_i1和φ_i2是特征方程中多解中的两个，振型不变,即：

φ_i1＝φ_i2 (2-10)

改变截面惯性矩不改变横截面积，结构质量矩阵不发生改变，只改变结构刚度矩阵；所以有如下关系：

M₁＝M₂ (2-11)

公式(2-6)，(2-8)左边分别乘以φ_i1 ^T，得：

联立(2-5)，(2-10)，(2-11)，(2-12)得：

对式(2-13)上下两式相除求解可得：

λ_i1φ_i1 ^TK₂φ_i1＝λ_i2φ_i1 ^TK₁φ_i1 (2-14)

对式(2-14)进行变化得

由于单个单元的刚度矩阵与梁单元长度，截面惯量，弹性模量有关；

当截面惯性矩放大缩小m倍时，总刚矩阵也放大缩小m倍，即联立(2-5)，(2-7)，(2-15)求得：

即

通过公式推导可得截面惯性矩放缩后与原始值得比值等于修正后频率与实验的频率比值的平方。

6.根据权利要求1所述的对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，其特征在于：

第五步，向MSC.Nastran提交编写的优化卡片，进行迭代计算，提取迭代后频率的值与迭代后的截面惯性矩；

向MSC.Nastran提交编写的优化卡片，在迭代完成后，提取迭代后频率的值与迭代后的截面惯性矩。

7.根据权利要求1所述的对变截面梁的截面惯性矩进行模型修正中克服模态交换的方法，其特征在于：

第六步，利用已经计算出的频率和截面惯性矩的关系，求解各个梁段的截面惯性矩，获得最切合实际的截面惯性矩；

通过第四步证明得到的公式求解修正后应得的截面惯性矩为：

其中，I_i2为要求的截面惯性矩，I_i1迭代后的截面惯性矩，f₂为实验测得的频率，f₁为优化迭代后得到的频率；

通过计算得到最切合实际的截面惯性矩的数值。