CN109885894B - 一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型 - Google Patents

Abstract

本发明涉及稀土矿层地下水渗流模型技术领域，具体涉及一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型。本发明利用坐标系统找出T型基底，由于极坐标系统与角度相关，所求的T型基底具有周期性，并可通过T型基底的各种组合描述边界及特定微分方程。本发明解决了现有技术中传统边界元法存在奇异积分不易处理的问题，提供了一种对于不规则边界问题、不连续边界问题与对角边边界问题的求解比传统数值方法更具优势的渗流模型。

Description

一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型

技术领域

本发明涉及稀土矿层地下水渗流模型技术领域，具体涉及一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型。

背景技术

土坝及地下水等渗流问题中,研究的重点之一是确定渗流自由面。该问题由于边界条件复杂难以应用解析的方法求解。因此有限元、边界元及离散元等数值方法成为求解无压渗流自由面的主要方法。有限元法求解渗流自由面主要归结为移动网格法和固定网格法,后者容易引起自由面附近单元形状的畸变,甚至翻转重叠等问题,造成计算错误。边界元法只在渗流边界上划分单元,克服了有限元的不足,所以比有限元法有计算量小、计算精度高等优点。但传统边界元法存在奇异积分不易处理的问题。

随着科技的进步，工程问题多数皆能有效地以计算机进行数值模式的计算与仿真，过去传统的数值方法多以有限差分法(Finite Difference Method,FDM)、有限元素法(Finite Element Method,FEM)及边界元素法(Boundary Element Method,BEM)等数值离散方法求解工程问题，其中有限差分法与有限元素法在计算前需先构建网格，然而多数的工程问题，其范围多为不规则的形狀，因此在使用前两种数值方法时并无法完善的建构网格，另一方面边界元素法在求解的过程，需要对边界作数值积分的动作，难度高且花费时间多。近代数值研究中，随着无网格法的发展与逐渐成熟，越来越多学者透过无网格法求解各种领域内的工程问题，其优点为不需要构建网格亦不需对边界做积分的动作，而Trefftz配点法为无网格法的一种，该方法对于求解非规则型的问题也有相当高的准确性。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型，解决了现有技术中传统边界元法存在奇异积分不易处理的问题，提供了一种对于不规则边界问题、不连续边界问题与对角边边界问题的求解比传统数值方法更具优势的渗流模型。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：

一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型，所述基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型为：利用坐标系统找到T型基底，可通过T型基底的微分方程从而计算稀土矿层地下水渗流的总水头值，其中稀土矿层中渗流情形包括二维稳态均质等向的渗流情形和二维稳态非均质等向单连通区域的渗流情形。

进一步地，所述二维稳态均质等向的渗流情形下，T型基底的控制方程式为：Δu(x,y)＝0,其中u为总水头；

将稀土矿层地下水渗流区域竖向划分，其中稀土矿层地下水渗流区域左半边

的边界为第一类边界条件，右半边

的边界为第二类边界条件；

所述第一类边界边界条件上的点满足的微分方程为：u(x,y)＝f(x,y),(x,y)∈Γ_D；

所述第二类边界条件上的点满足的微分方程为：

所述内部点满足的微分方程为：

进一步地，所述稀土矿层地下水渗流模型的建立包括如下步骤：

步骤一、布置边界点：在边界上布N个边界点，取阶数m＝3，转换直角坐标系统(x_i,y_i)为极坐标系统(r_i,θ_i)，i＝1，2，......N；

步骤二、带入边界条件：边界点编号1～(N-M)为第一类边界条件，边界点(N-M+1)～N为第二类边界条件；

第一类边界条件上的点具体的微分方程为：

第二类边界条件上的点具体的微分方程为：

其中i＝(N-M+1)，(N-M+2)...N；

步骤三、组成联立方程式：通过运算矩阵Aa＝b求解各个边界点的代定系数a，A矩阵由Trefftz基底所组成，b向量利用边界条件所组成，a为代定系数；

步骤四、内部点总水头值的求解：将步骤三所求得各个边界点的代定系数a带入计算内部点总水头值：

进一步说明地，所述稀土矿层地下水渗流模型的建立包括如下步骤：

步骤一、布置边界点：所述N＝7，其中第一类边界条件上的点为：i＝1,2,3,4，第二类边界条件上的点为：i＝5,6,7，内部点为：i＝8,9,10,11；

步骤二、带入边界条件：第一类边界条件上的点具体的微分方程为：

考虑第一点，边界条件可得方程式表示如下：

考虑第二点，边界条件可得方程式表示如下：

考虑第三点，边界条件可得方程式表示如下：

考虑第四点，边界条件可得方程式表示如下：

第二类边界条件上的点具体的微分方程为：

其中i＝5,6,7；

步骤三、组成联立方程式：通过运算矩阵Aa＝b求解各个边界点的代定系数a，A矩阵由Trefftz基底所组成，b向量利用边界条件所组成，a为代定系数；

根据步骤二中的方程式得到如下矩阵就行求解：

其中，

其中i＝1,2,3,4.v为阶数；

其中i＝5,6,7，v为阶数；

步骤四、内部点总水头值的求解：将步骤三所求得各个边界点的代定系数a带入计算内部点总水头值：

进一步地，所述二维稳态非均质等向单连通区域的渗流情形下，T型基底的控制方程式为：

其中k(x,y)在稀土矿层的透水系数，其中u为总水头；将所述稀土矿层地下水渗流区域按着渗水水流方向划分，其中与稀土矿层地下水渗水水流方向相同形成的边界为第三类边界条件，与稀土矿层地下水渗水水流方向相垂直形成的边界为第四类边界条件。

进一步地，所述第四类边界条件的边界条件为

进一步地，所述二维稳态非均质等向单连通区域由上至下为第一稀土矿层和第二稀土矿层，其中第一稀土矿层的高度为H₁，第一稀土矿层的高度为H₂，第一稀土矿层与空气相接触的区域的总水头为u₁，第一稀土矿层与第二稀土矿层的总水头为u₂，第二稀土矿层中远离第一稀土矿层的边界的总水头为u₃，k(x,y)在第一稀土矿层的透水系数为k_x1，k(x,y)在第二稀土矿层的透水系数为k_x2；

此时总水头u的表达式如下：

第一稀土矿层与第二稀土矿层的交界处；

本发明的有益效果是：

1.利用区域分解法搭配Trefftz配点法进行互层稀土矿层渗流问题求解，为使本发明的发展模式更适切的仿真真实工程问题，本发明进一步利用Trefftz配点法求解土坝地下水渗流问题，为求解稀土矿层地下水渗流问题提供了方便简洁的求值模型；

2.此方法不须构建网格且不须对边界进行积分的Trefftz配点法，利用近似解表示成线性函数组合使其满足控制方程式的方法进而求解，与传统数值方法相比Trefftz配点法求解精度高，且对于不规则边界问题、不连续边界问题与对角边边界问题的求解比传统数值方法更具优势；利用区域分解法结合Trefftz配点法进行互层稀土矿层渗流问题的求解模型，以Trefftz配点法所开发的数值模式可分析互层稀土矿层地下水渗流问题并获得良好的应用成果；

3.利用极坐标系统找出T型基底，由于极坐标系统与角度相关，因此所求的T型基底具有周期性，并可通过T型基底的各种组合描述边界及特定微分方程；

4.Trefftz型边界元法具有一定的优势,只需在边界上划分单元,比有限元法减小了计算量；而且不存在奇异积分,比常规边界元法提高了计算精度，本发明有别于过去的数据值方法，采用Trefftz配点法进行地下水渗流问题的求解；另外，为能仿真真实工程案例，本发明针对稳态互层土壤自由液面渗流问题进行建模求解。

附图说明

图1为二维稳态均质等向渗流问题边界布点；

图2为二维稳态拉普拉斯方程的内部点布置；

图3为实施例2中稀土矿层的结构示意图；

图4为实施例2稀土矿层解析解推导示意图；

图5为实施例2中稀土矿层边界与内部布点图；

图6为实施例2中稀土矿层渗流区域内部总水头分布。

具体实施方式

下面结合具体实施例进一步详细描述本发明的技术方案，但本发明的保护范围不局限于以下所述。

实施例1

Trefftz配点法求解渗流问题流程：

考虑二维稳态均质等向的渗流问题，其控制方程式表示如下：

Δu(x,y)＝0,其中，u为总水头。

该问题左半边

的边界为第一类边界边界条件，右半边

的边界为第二类边界条件如图1所示，表示如下：

u(x,y)＝f(x,y),(x,y)∈Γ_D；

包括以下步骤：

第一步：布置边界点：

在边界上布N个边界点(N＝7)如图1，取阶数m＝3，转换直角坐标系统(x_i,y_i)为极坐标系统(r_i,θ_i)，i＝7。

第二步：带入边界条件：

边界点编号1-4为第一类条件，边界点5-7为第二类边界条件，根据其边界条件的不同，分别将边界点带入第一类边界条件与第二类边界条件。考虑第一类边界条件，解的表示式如下：

第一点方程式为：

第二点方程式为：

第三点方程式为：

第四点方程式为：

考虑第二类边界条件，其解表示式如下：

其中i＝5,6,7；

第三步：组成联立方程式：

通过运算矩阵Aa＝b求解各个边界点的代定系数a，A矩阵由Trefftz基底所组成，b向量利用边界条件所组成，a为代定系数；

根据步骤二中的方程式得到如下矩阵就行求解：

其中，

其中i＝1,2,3,4.v为阶数。

其中i＝5,6,7，v为阶数。

第四步：布置内部点：

进行内部点的布置如图2，并以已满足控制方程式T型基底，组成解的表示式如下：

式中v为阶数，待定系数部分，则利用步骤3所求得各个边界点的系数带入计算。将欲求解的内布点代入计算后，计算所得结果即为该内部点总水头值。

综合考虑了利用区域分解法搭配Trefftz配点法进行互层稀土矿层渗流问题求解。为使本发明的发展模式更适切的仿真真实工程问题，本发明进一步利用Trefftz配点法求解土坝地下水渗流问题，为求解稀土矿层地下水渗流问题提供了方便简洁的求值模型。

实施例2

以二维稳态非均质等向单连通区域的地下水渗流问题，该问题是由二种不同稀土矿层性质的稀土矿层所组成，如图3所示，其控制方程式如下式所示：：

其中k(x,y)在稀土矿层1的透水系数为k_x1，k(x,y)在稀土矿层2的透水系数为k_x2且Ω∈(Ω₁∩Ω₂)，可分别表示如下：Ω₁∈{0≤x≤5,0≤y≤10}，Ω₂∈{5≤x≤10,0≤y≤10}；边界条件表示如表1所示：

表1：二维稳态非均质等向单连通区域的稀土矿层边界条件表

根据图4推导解析解，解析结果如表2所示：

表2：互层稀土矿层解析解表

本实例中稀土矿层1与稀土矿层2所使用布点与参数如表3与表4所示：

表3：二维互层渗流问题布点点数表

表4：二维互层渗流问题的参数表

不同稀土矿层性质具与不同的透水系数，本发明中选定稀土矿层1透水系数x_1k为10^-1(cm/s)，根据表5所示稀土矿层性质为粗砂，稀土矿层2透水系数x_1k选定为10^-15(cm/s)，根据表5所示稀土矿层性质为黏土，即水流从粗颗粒稀土矿层介质流向细颗粒的稀土矿层介质。

表5：稀土矿层透水系数表

稀土矿层种类	k(cm/sec)
		干净砾石	100-1.0
粗砂	1.0-0.01
		细砂	0.01-0.001
粉质黏土	0.001-0.00001
		黏土	<0.00001

本实例首先取阶数为70，根据计算域的范围对边界进行布点，如图5所示，菱形所在位置即为稀土矿层1边界点布点位置，圆形所在位置即为稀土矿层2布点位置，黑色十字号圆形所在位置即为内部点所在位。

利用T型基底组成联立方程式，其运算矩阵可表示为Aα＝b，A为利用T型基底所构成的矩阵，α为待定系数，为利用边界条件所组成的矩阵，值得注意的是互层问题稀土矿层交界处的处理，必须满足交界处水头相等、流量相等的条件。由于T型基底本身已经满足控制方程式，因此使边界点满足边界条件后，已知A矩阵与b矩阵，则可求出待定系数α，并可藉由A矩阵的条件数了解矩阵的病态程度，而本实例条件数为7.25×10⁹可知矩阵并未产生严重的病态情形。将所求得的待定系数与内部点进行运算，可得渗流区域内总水头如图6，其中与xy平面平行的总水头数据为稀土矿层2布点，图6中所展示的其余的总水头数据为稀土矿层1边界点布点。

为验证所求解的正确性，对图5所示场内布设内部点，带入所求得的待定系数α进行计算，可以得到渗流区域内总水头的数值解，结果如图6所示，将数值解的结果与解析解的结果进行比对，其中最大绝对误差可达6.37×10^－11，显示出数值解与解析解比对结果准确性高，由此可发现，与传统的数值方法相比，Trefftz配点法具有极高的求解精度；Trefftz型边界元法具有一定的优势,只需在边界上划分单元,比有限元法减小了计算量；而且不存在奇异积分,比常规边界元法提高了计算精度。本发明有别于过去的数据值方法，采用Trefftz配点法进行地下水渗流问题的求解。另外，为能仿真真实工程案例，本发明针对稳态互层土壤自由液面渗流问题进行建模求解。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当理解本发明并非局限于本文所披露的形式，不应看作是对其他实施例的排除，而可用于各种其他组合、修改和环境，并能够在本文所述构想范围内，通过上述教导或相关领域的技术或知识进行改动。而本领域人员所进行的改动和变化不脱离本发明的精神和范围，则都应在本发明所附权利要求的保护范围内。

Claims (5)

1.一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型，其特征在于，所述基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型为：利用坐标系统找到T型基底，可通过T型基底的微分方程从而计算稀土矿层地下水渗流的总水头值，其中稀土矿层中渗流情形包括二维稳态均质等向的渗流情形和二维稳态非均质等向单连通区域的渗流情形；

所述稀土矿层地下水渗流模型的建立包括如下步骤：

步骤一、布置边界点：在边界上布N个边界点，取阶数m＝3，转换直角坐标系统(x_i,y_i)为极坐标系统(r_i,θ_i)，i＝1，2，......N；

步骤二、带入边界条件：边界点编号1～(N-M)为第一类边界条件，边界点(N-M+1)～N为第二类边界条件；

第一类边界条件上的点具体的微分方程为：

第二类边界条件上的点具体的微分方程为：

其中i＝(N-M+1)，(N-M+2)...N；

步骤三、组成联立方程式：通过运算矩阵Aa＝b求解各个边界点的代定系数a，A矩阵由Trefftz基底所组成，b向量利用边界条件所组成，a为代定系数；

步骤四、内部点总水头值的求解：将步骤三所求得各个边界点的代定系数a带入计算内部点总水头值：；

所述稀土矿层地下水渗流模型的建立包括如下步骤：

步骤一、布置边界点：所述N＝7，其中第一类边界条件上的点为：i＝1,2,3,4，第二类边界条件上的点为：i＝5,6,7，内部点为：i＝8,9,10,11；

步骤二、带入边界条件：第一类边界条件上的点具体的微分方程为：

第一点方程式为：

第二点方程式为：

第三点方程式为：

第四点方程式为：

第二类边界条件上的点具体的微分方程为：

其中i＝5,6,7；

步骤三、组成联立方程式：通过运算矩阵Aa＝b求解各个边界点的代定系数a，A矩阵由Trefftz基底所组成，b向量利用边界条件所组成，a为代定系数；

根据步骤二中的方程式得到如下矩阵就行求解：

其中，

其中i＝1,2,3,4.v为阶数；

其中i＝5,6,7，v为阶数；

步骤四、内部点总水头值的求解：将步骤三所求得各个边界点的代定系数a带入计算内部点总水头值：

2.根据权利要求1所述的一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型，其特征在于，所述二维稳态均质等向的渗流情形下，T型基底的控制方程式为：Δu(x,y)＝0,其中u为总水头；

将稀土矿层地下水渗流区域竖向划分，其中稀土矿层地下水渗流区域左半边的边界为第一类边界条件，右半边的边界为第二类边界条件；

所述第一类边界条件上的点满足的微分方程为：u(x,y)＝f(x,y),(x,y)∈Γ_D；

所述第二类边界条件上的点满足的微分方程为：

；

内部点满足的微分方程为：

。

3.根据权利要求1所述的一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型，其特征在于，所述二维稳态非均质等向单连通区域的渗流情形下，T型基底的控制方程式为：其中k(x,y)在稀土矿层的透水系数，其中u为总水头；将所述稀土矿层地下水渗流区域按照渗水水流方向划分，其中与稀土矿层地下水渗水水流方向相同形成的边界为第三类边界条件，与稀土矿层地下水渗水水流方向相垂直形成的边界为第四类边界条件。

4.根据权利要求3所述的一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型，其特征在于，所述第四类边界条件的边界条件为

5.根据权利要求3所述的一种基于Trefftz多源点配点法的稀土矿层地下水渗流模型，其特征在于，所述二维稳态非均质等向单连通区域由上至下为第一稀土矿层和第二稀土矿层，其中第一稀土矿层的高度为H₁，第一稀土矿层的高度为H₂，第一稀土矿层与空气相接触的区域的总水头为u₁，第一稀土矿层与第二稀土矿层的总水头为u₂，第二稀土矿层中远离第一稀土矿层的边界的总水头为u₃，k(x,y)在第一稀土矿层的透水系数为k_x1，k(x,y)在第二稀土矿层的透水系数为k_x2；

此时总水头u的表达式如下：

第一稀土矿层与第二稀土矿层的交界处；

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