CN109885868B - 一种用于有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法，针对有限元分析的结构内部裂纹扩展建模问题，本发明提出的建模方法，同时考虑了裂纹扩展时的四种扩展方式：包括独立裂纹的出现、新裂纹沿旧裂纹延伸、新裂纹从旧裂纹分裂、裂纹之间相交等情况，通过已建立好的数组、算法，自动地调整模型，有效地仿真结构内部裂纹的扩展。本方法已用于滚动轴承接触疲劳分析，结果表明本方法运算速度快、适用性强，能准确预测轴承的寿命。

Description

一种用于有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法

技术领域

本发明涉及一种用于有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法。

背景技术

滚动轴承、齿轮等零件在受到循环应力、摩擦力的工作条件下，材料表面或次表面出现裂纹(接触疲劳)是零件的主要失效形式。通过有限元方法研究接触疲劳引起的零件裂纹及裂纹扩展机理，可以有效预测零件的寿命，对机械零件和设备的安全服役十分重要。

裂纹问题是由物体内部几何突变引起的位移不连续问题，研究裂纹问题的复杂性在于几何界面处的位移不连续性和端部的奇异性。常规有限元法采用连续函数作为形状(插值)函数，在处理这类强不连续问题方面时，为得到满意的精确度，需要很细密的有限元网格，在处理裂纹扩展问题时，还需不断的进行网格重构，存在效率低、工作量巨大等难以克服的缺点。目前采用有限元方法对金属结构的裂纹扩展进行模拟分析主要采用三大类方法：1)美国西北大学的Belytschko研究组提出的扩展有限元法，在处理裂纹等间断问题时，在裂纹等间断区域内，对有限元的位移近似函数进行修正，在位移近似函数中增加富集函数提高计算精度。同时，采用水平集方法或快速推进法描述间断界面，避免计算过程中的网格重构。但扩展有限元在裂纹扩展开发方面还处于起步阶段，对于裂纹扩展的收敛速度和精度还有待研究。2)利用裂纹应力强度因子等参数来模拟裂纹，通过经验公式建立简单结构典型裂纹的应力强度因子，通过参数设置来模拟裂纹扩展过程及轨迹，有限元网格划分则保持不变。随着裂纹不断扩展，裂纹形式多样，该方法不能实现获得通用的、较精确的裂纹应力强度因子经验公式，对多数的裂纹持续扩展问题误差较大；3)对特定的裂纹问题，根据裂纹扩展判据手动分网及再分网来模拟裂纹扩展过程，且需要在裂纹尖端构建奇异单元并在裂尖进行网格局部加密。但是针对单个裂纹扩展分网随意、缺乏通用性，自动化程度差，难以形成通用方法自动模拟不同结构裂纹扩展过程。

发明内容

本发明提供了一种用于有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法，以用于仿真各类机械零部件结构内部裂纹的扩展。

本发明的技术方案是：一种用于有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法，所述有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法的具体步骤如下：

Stepl、初始化裂纹扩展次数i＝1；

Step2、对有限元模型运算得到裂纹扩展对应的两个裂纹节点N_i1和N_i2，在两个裂纹节点位置处新建两个对应的分裂节点N_i3和N_i4，i为裂纹扩展次数；

Step3、根据裂纹扩展次数取值的不同，判断新裂纹与旧裂纹的关系：

如果i＝1，建立数组A和数组B，B＝A＝|N₁₁ N₁₂ N₁₃ N₁₄|，此时为新裂纹萌生情况；接着执行步骤Step4；

如果i＞1，将裂纹节点N_i1和N_i2与数组B中元素比较，判断出新裂纹与旧裂纹的关系，接着执行步骤Step5或者步骤Step2：

①若节点N_i1和N_i2与数组B中的元素节点在模型中都为不同节点，则新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹，接着执行步骤Step5；

②若N_i1和N_i2其中一个节点与数组B中元素节点B_k，l在模型中为同一节点，则判断另一个节点是否与B_k，l+2或B_k，l-2属于同一三角单元：若属于同一单元，则新裂纹在旧裂纹上延伸；否则新裂纹在旧裂纹上分裂；接着执行步骤Step5；其中，B_k，l表示数组B中第k行第l列的元素节点；当l＜3，采用B_k，l+2；当l＞2，采用B_k，l-2；

③若N_i1与数组B中的节点B_m1，n1在模型中为同一节点，N_i2与数组B中的节点B_m2，n2在模型中为同一节点，则判断B_m1，n1和B_m2，n2在数组B中是否处于同一行：若节点B_m1，n1和B_m2，n2在数组B中处于同一行，则计算得出的裂纹节点处已有裂纹，应重新计算裂纹节点，接着执行步骤Step2；若节点B_m1，n1和B_m2，n2在数组B中不处于同一行，则为新裂纹将两条独立裂纹连接在一起，接着执行步骤Step5；

Step4、根据单元中心在N_i1和N_i2所处直线的上下位置，将包含节点N_i1的单元、包含节点N_i2的单元分别分组，共分为两个单元组：U₁和U₂；根据新裂纹与旧裂纹的关系为新裂纹萌生情况，将单元组U₁和U₂中单元均进行单元重组，得到已添加新裂纹的有限元网格，接着执行步骤Step6；其中，U₁表示包含节点N_i1且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；U₂表示包含节点N_i2且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；单元组U₁重组为将单元组U₁的单元中包含的节点N_i1用对应节点N_i3替换，单元组U₂重组为将单元组U₂的单元中包含的节点N_i2用对应节点N_i4替换；

Step5、执行如下两个分步骤后，接着执行步骤Step6：

Step5.1、根据单元中心在N_i1和N_i2所处直线的上下位置，将包含节点N_i1的单元、包含节点N_i2的单元分别分组，共分为两个单元组：U₁和U₂；根据新裂纹与旧裂纹的关系，将单元组U₁、U₂中的单元重组：①若新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹情况、为新裂纹在旧裂纹上分裂的情况或者为新裂纹将两条独立裂纹连接在一起的情况，将单元组U₁和U₂中单元进行单元重组；②若为新裂纹在旧裂纹上延伸的情况，当不重复节点为N_i1时，将单元组U₁中单元将进行单元重组；当不重复节点为N_i2时，将单元组U₂中单元进行单元重组，得到已添加新裂纹的有限元网格；其中，U₁表示包含节点N_i1且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；U₂表示包含节点N_i2且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；单元组U₁重组为将单元组U₁的单元中包含的节点N_i1用对应节点N_i3替换，单元组U₂重组为将单元组U₂的单元中包含的节点N_i2用对应节点N_i4替换；

Step5.2、将裂纹节点N_i1和N_i2和分裂节点N_i3和N_i4加入数组A和B：

根据新旧裂纹之间的关系，修改数组A和数组B：

①若新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹，无需修改数组A和数组B；

②若新裂纹在旧裂纹上延伸：

将数组A中，与B_k，l在模型中为同一节点的N_i1或N_i2改为A_k，l，N_i1对应的N_i3或N_i2对应的N_i4改为A_k，l≠2：

或

将数组B中，与节点B_k，l在模型中为同一节点的节点N_i1或N_i2改为0，N_i1对应的N_i3或N_i2对应的N_i4改为0：

或

其中，当l＜3，采用A_k，l+2；当l＞2，采用A_k，l-2；A_k，l表示数组A中第k行第l列的元素节点；A_i-1，1表示数组A中第i-1行第1列的元素节点，B_i-1，1表示数组B中第i-1行第1列的元素节点；

③若新裂纹在旧裂纹上分裂：若节点B_k，l±1的位置处于N_i1和N_i2所处直线的下方，则将数组A中的A_k，l替换为与节点B_k，l在模型中为同一节点的N_i1或N_i2对应的N_i3或N_i4，数组B无需修改；否则，无需修改数组A和数组B；其中，l为奇数，采用B_k，l+1；偶数，采用B_k，l-1；

④若新裂纹将两条独立裂纹连接在一起：若节点B_m1，n1±1的位置处于N_i1和N_i2所处直线的下方，则将数组A中的A_m1，n1替换为与节点B_m1，n1在模型中为同一节点的N_i1或N_i2对应的N_i3或N_i4，数组B无需修改；若节点B_m2，n2±1的位置处于N_i1和N_i2所处直线的下方，则将数组A中的A_m2，n2替换为与节点B_m2，n2在模型中为同一节点的N_i1或N_i2对应的N_i3或N_i4，数组B无需修改；否则，无需修改数组A和数组B；其中，n1为奇数，采用B_m1，n1+1；n2为奇数，采用B_m2，n2+1；n1为偶数，采用B_m1，n1-1；n2为偶数，采用B_m2，n2-1；

Step6、若i＝1，将数组A＝|N₁₁ N₁₂ N₁₃ N₁₄|中节点N₁₁和N₁₂生成目标面单元，N₁₃和N₁₄生成接触面单元，形成一个接触对，得到已添加新裂纹的有限元模型，接着执行步骤Step7；

若i＞1，删除已存在的接触面单元，将数组A中每一行分别提取出来，将节点A_i，1和A_i，2生成目标面单元，A_i，3和A_i，4生成接触面单元，形成i个接触对，得到已添加新裂纹的有限元模型，接着执行步骤Step7；

Step7、若裂纹扩展未完成，将step6中已添加新裂纹的有限元模型带入Step2中，i＝i+1；若裂纹扩展完成，结束循环，得到有限元分析的结构内部裂纹扩展模型。

本发明的有益效果是：针对有限元分析的结构内部裂纹扩展建模问题，本发明提出的建模方法，同时考虑了裂纹扩展时的四种扩展方式：包括独立裂纹的出现、新裂纹沿旧裂纹延伸、新裂纹从旧裂纹分裂、裂纹之间相交等情况，通过已建立好的数组、算法，自动地调整模型，有效地仿真结构内部裂纹的扩展。本方法已用于滚动轴承接触疲劳分析，结果表明本方法运算速度快、适用性强，能准确预测轴承的寿命。

附图说明

图1是本发明方法步骤流程图；

图2是初始裂纹节点位置；

图3是含新裂纹萌生结构的有限元网格；

图4是新的独立裂纹节点位置；

图5是新裂纹在旧裂纹上延伸的情况下的已添加新裂纹的有限元网格；

图6是裂纹延伸节点位置；

图7是新裂纹在旧裂纹上延伸的情况下的已添加新裂纹的有限元网格；

图8是裂纹分裂节点位置；

图9是新裂纹在旧裂纹上分裂的情况下的已添加新裂纹的有限元网格；

图10是针对第二次裂纹扩展为新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹情况，进行第三次裂纹扩展的节点位置；

图11是新裂纹连接两条独立裂纹的情况下的已添加新裂纹的有限元网格；

图12为实施例1仿真的轴承内部裂纹扩展路径。

具体实施方式

下面结合附图和实施例，对本发明作进一步说明，但本发明的内容并不限于所述范围。

实施例1：如图1-图12所示，一种用于有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法，以轴承内圈内部裂纹扩展过程为例模拟。

Stepl、初始化裂纹扩展次数i＝1；

Step2、对有限元模型运算得到裂纹扩展对应的两个裂纹节点N₁₁和N₁₂，在N₁₁和N₁₂节点位置分别新建两个对应的分裂节点N₁₃和N₁₄，并如图2所示为有限元模型示意图。

Step3、建立数组A和数组B，B＝A＝|N₁₁ N₁₂ N₁₃ N₁₄|，此时为新裂纹萌生情况。

Step4、根据单元中心在N₁₁和N₁₂所处直线的上下位置(直线上横坐标值为单元中心的横坐标时对应的纵坐标值小于单元中心的纵坐标值时：单元中心在N_i1和N_i2所处直线的上方)，将包含节点N₁₁的单元、包含节点N₁₂的单元分别分组，共分为两个单元组：U₁和U₂；根据新裂纹与旧裂纹的关系为新裂纹萌生情况，将单元组U₁和U₂中单元均进行单元重组，得到已添加新裂纹的有限元网格；其中，U₁表示包含节点N₁₁且单元中心处于N₁₁和N₁₂所处直线的下方的单元的组合；U₂表示包含节点N₁₂且单元中心处于N₁₁和N₁₂所处直线的下方的单元的组合；单元组U₁重组为将单元组U₁的单元中包含的节点N₁₁用对应节点N₁₃替换，单元组U₂重组为将单元组U₂的单元中包含的节点N₁₂用对应节点N₁₄替换；如图3所示为含新裂纹萌生结构的有限元网格(为便于观察裂纹结构，对模型施加了拉应力处理)。

Step6、将数组A＝|N₁₁ N₁₂ N₁₃ N₁₄|中节点A_i，1(即N₁₁)和A_i，2(即N₁₂)生成目标面单元，A_i，3(即N₁₃)和A_i，4(即N₁₄)生成接触面单元，形成一个接触对，得到新裂纹萌生情况下的已添加新裂纹的有限元模型。

Step7、将step6中已添加新裂纹的有限元模型带入Step2中，i＝i+1＝2；

Step2、对有限元模型运算得到裂纹扩展对应的两个裂纹节点N₂₁和N₂₂，在两个裂纹节点位置处新建两个对应的分裂节点N₂₃和N₂₄；

Step3、将裂纹节点N₂₁和N₂₂与数组B中元素比较，判断出新裂纹与旧裂纹的关系为以下四种情况中的一种，举例如下：

①N₂₁和N₂₂与数组B中的节点在模型中都不相同，则新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹。如图4所示。

②N₂₁与数组B＝|N₁₁ N₁₂ N₁₃ N₁₄|中B_1，2(即N₁₂，k＝1，l＝2)节点在模型中为同一节点，且节点N₂₂与B_k，l+2(即B_1，4＝N₁₄)属于同一三角单元，则新裂纹在旧裂纹上延伸，如图6所示。

③N₂₁与数组B＝|N₁₁ N₁₂ N₁₃ N₁₄|中B_1，2(即N₁₂，k＝1，l＝2)节点在模型中为同一节点，且节点N₂₂与B_k，l+2(即B_1，4＝N1₄)不属于同一三角单元，则新裂纹在旧裂纹上分裂，如图8所示。

④N₂₁与数组B中的节点B_m1，n1为同一节点，N_i2与数组B中的节点B_m2，n2为同一节点。若节点B_m1，n1和B_m2，n2在数组B中处于同一行(即m1＝m2，m1、m2表示行号，n1、n2表示列号)，则计算得出的裂纹节点处已有裂纹，应重新计算裂纹节点；若节点B_m1，n1和B_m2，n2在数组B中不处于同一行，则为新裂纹将两条独立裂纹(或裂纹分支)连接在一起情况。两节点不处于同一行的情况只会出现在裂纹已扩展两次之后，所以在本次裂纹扩展中不会出现新裂纹将两条独立裂纹(或裂纹分支)连接在一起的情况。

Step5、包括如下两个分步骤：

Step5.1、根据单元中心在N_i1和N_i2所处直线的上下位置，将包含节点N_i1的单元、包含节点N_i2的单元分别分组，共分为两个单元组：U₁和U₂；根据新裂纹与旧裂纹的关系，将单元组U₁、U₂中的单元重组：①若新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹情况、为新裂纹在旧裂纹上分裂的情况或者为新裂纹将两条独立裂纹连接在一起的情况，将单元组U₁和U₁中单元进行单元重组；②若为新裂纹在旧裂纹上延伸的情况，当不重复节点为N_i1时，将单元组U₁中单元将进行单元重组；当不重复节点为N_i2时，将单元组U₂中单元进行单元重组；其中，U₁表示包含节点N_i1且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；U₂表示包含节点N_i2且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；单元组U₁重组为将单元组U₁的单元中包含的节点N_i1用对应节点N_i3替换，单元组U₂重组为将单元组U₂的单元中包含的节点N_i2用对应节点N_i4替换；

针对Step3中的三种可能出现的情况，在完成Step5.1后，会得到如下三种有限元网格中的一种：1、新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹情况下的已添加新裂纹的有限元网格，如图5所示；2、新裂纹在旧裂纹上延伸的情况下的已添加新裂纹的有限元网格，如图7所示；3、新裂纹在旧裂纹上分裂的情况下的已添加新裂纹的有限元网格，如图9所示；

Step5.2、将裂纹节点N₂₁和N₂₂和分裂节点N₂₃和N₂₄加入数组A和B：

根据新旧裂纹之间的关系，修改数组A和数组B：

①若为Step3中的第一种情况，即：新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹，无需修改数组A和数组B。此时

②若为Step3中的第二种情况，即：新裂纹在旧裂纹上延伸，将数组A中，与节点B_1，2(即N₁₂，k＝1，l＝2)在模型中为同一节点的N₂₁改为A_1，2，N₂₁对应的N₂₃改为A_1，4；

将数组B中，与节点B_k，l在模型中为同一节点的N_i1或N_i2改为0，N_i1或N_i2对应的N_i3或N_i4改为0；

③若为Step3中的第三种情况，即：新裂纹在旧裂纹上分裂：若节点B_k，l±1(l为奇数或偶数)，即B_1，1＝N₁₁(k＝1，l＝2)的位置处于N₂₁和N₂₂所处直线的下方，则将数组A中的A_k，l(即A_1，2＝N₁₂，k＝1，l＝2)替换为与节点B_1，2在模型中为同一节点的N₂₁对应的N₂₃。无需修改数组B。

Step6、删除已存在的接触单元，选择数组A中第一行节点A_1，1和A_1，2生成目标面单元，A_1，3和A_1，4生成接触面单元，形成接触对1；第二行节点A_2，1和A_2，2生成目标面单元，A_2，3和A_2，4生成接触面单元，从而形成接触对2。即可使模型在内部裂纹之间传递摩擦力与压应力，完成第二次裂纹扩展模型。

Step7、针对第二次裂纹扩展为新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹情况，进行第三次裂纹扩展，将已添加新裂纹的有限元模型(其网格如图5所示)带入Step2中，i＝i+1＝3；

Step2、对有限元模型运算得到裂纹扩展对应的两个裂纹节点N₃₁和N₃₂，在两个裂纹节点位置处新建两个对应的分裂节点N₃₃和N₃₄；并如图10所示为有限元模型示意图。

Step3、将裂纹节点N₃₁和N₃₂与第二次裂纹扩展在新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹情况下得到的数组

中元素比较，判断出新裂纹与旧裂纹的关系：N₃₁与数组B中的节点B_1，4(即N₁₄，m1＝1，n1＝4)在模型中为同一节点，N₃₂与数组B中的节点B_2，1(即N₂₁，m2＝2，n2＝1)为同一节点。节点B_1，4和B_2，1在数组B中不处于同一行，则本次裂纹扩展为新裂纹将两条独立裂纹(或裂纹分支)连接在一起情况。

Step5、包括如下两个分步骤：

Step5.1、根据单元中心在N_i1和N_i2所处直线的上下位置，将包含节点N_i1的单元、包含节点N_i2的单元分别分组，共分为两个单元组：U₁和U₂；根据新裂纹与旧裂纹的关系，将单元组U₁、U₂中的单元重组：新裂纹与旧裂纹为新裂纹将两条独立裂纹连接在一起的情况，将单元组U₁和U₂中单元进行单元重组。得到已添加新裂纹的有限元网格，如图11所示。其中，U₁表示包含节点N_i1且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；U₂表示包含节点N_i2且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；单元组U₁重组为将单元组U₁的单元中包含的节点N_i1用对应节点N_i3替换，单元组U₂重组为将单元组U₂的单元中包含的节点N_i2用对应节点N_i4替换；

Step5.2、将裂纹节点N_i1和N_i2和分裂节点N_i3和N_i4加入在第二次裂纹扩展时，新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹情况下得到的数组

和

中，得到：

根据新旧裂纹之间的关系，修改数组A和数组B：

新裂纹将两条独立裂纹(或裂纹分支)连接在一起。节点B_m1，n1-1(n1偶数)，即B_1，3(即N₁₃，m1＝1，n1＝4)的位置处于N₃₁和N₃₂所处直线的上方，不处理数组A。节点B_m2，n2+1(n2为奇数)，即B_2，2(即N₂₂，m2＝2，n2＝1)的位置处于N₃₁和N₃₂所处直线的下方，则将数组A中的A_2，1替换为与节点B_2，1在模型中为同一节点的N₃₂对应的N₃₄。无需修数组B，得到最终的数组A和数组B_：

Step6、删除已有的接触单元，选择数组A中节点A_1，1和A_1，2生成目标面单元，A_1，3和A_1，4生成接触面单元，形成接触对1；节点A_2，1和A_2，2生成目标面单元，A_2，3和A_2，4生成接触面单元，形成接触对2。节点A_3，1和A_3，2生成目标面单元，A_3，3和A_3，4生成接触面单元，形成接触对3。

Step7、结束循环，得到第二次裂纹扩展新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹情况下，第三次裂纹扩展有限元分析的结构内部裂纹扩展模型。

至此列举了裂纹扩展过程中，新裂纹的所有可能扩展情况。在后续的轴承内圈内部裂纹扩展仿真中，根据上述方法，经过26次裂纹扩展后，轴承裂纹从内部扩展至表面，最终导致轴承失效。如图12所示为最终获得的轴承内部裂纹扩展模型，黑色连线为裂纹扩展路径。将每次裂纹扩展时所计算出的轴承寿命累加，可得到轴承表面裂纹出现，即轴承失效的总寿命为1.7×10⁷次，与实际相符合。

上面结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出各种变化。

Claims (1)

1.一种用于有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法，其特征在于：所述有限元分析的结构内部裂纹扩展建模方法的具体步骤如下：

Step1、初始化裂纹扩展次数i＝1；

Step2、对有限元模型运算得到裂纹扩展对应的两个裂纹节点N_i1和N_i2，在两个裂纹节点位置处新建两个对应的分裂节点N_i3和N_i4，i为裂纹扩展次数；

Step3、根据裂纹扩展次数取值的不同，判断新裂纹与旧裂纹的关系：

如果i＝1，建立数组A和数组B，B＝A＝|N₁₁ N₁₂ N₁₃ N₁₄|，此时为新裂纹萌生情况；接着执行步骤Step4；

如果i＞1，将裂纹节点N_i1和N_i2与数组B中元素比较，判断出新裂纹与旧裂纹的关系，接着执行步骤Step5或者步骤Step2：

①若节点N_i1和N_i2与数组B中的元素节点在模型中都为不同节点，则新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹，接着执行步骤Step5；

②若N_i1和N_i2其中一个节点与数组B中元素节点B_k，l在模型中为同一节点，则判断另一个节点是否与B_k，l+2或B_k，l-2属于同一三角单元：若属于同一单元，则新裂纹在旧裂纹上延伸；否则新裂纹在旧裂纹上分裂；接着执行步骤Step5；其中，B_k，l表示数组B中第k行第l列的元素节点；当l＜3，采用B_k，l+2；当l＞2，采用B_k，l-2；

③若N_i1与数组B中的节点B_m1，n1在模型中为同一节点，N_i2与数组B中的节点B_m2，n2在模型中为同一节点，则判断B_m1，n1和B_m2，n2在数组B中是否处于同一行：若节点B_m1，n1和B_m2，n2在数组B中处于同一行，则计算得出的裂纹节点处已有裂纹，应重新计算裂纹节点，接着执行步骤Step2；若节点B_m1，n1和B_m2，n2在数组B中不处于同一行，则为新裂纹将两条独立裂纹连接在一起，接着执行步骤Step5；

Step4、根据单元中心在N_i1和N_i2所处直线的上下位置，将包含节点N_i1的单元、包含节点N_i2的单元分别分组，共分为两个单元组：U₁和U₂；根据新裂纹与旧裂纹的关系为新裂纹萌生情况，将单元组U₁和U₂中单元均进行单元重组，得到已添加新裂纹的有限元网格，接着执行步骤Step6；其中，U₁表示包含节点N_i1且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；U₂表示包含节点N_i2且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；单元组U₁重组为将单元组U₁的单元中包含的节点N_i1用对应节点N_i3替换，单元组U₂重组为将单元组U₂的单元中包含的节点N_i2用对应节点N_i4替换；

Step5、执行如下两个分步骤后，接着执行步骤Step6：

Step5.1、根据单元中心在N_i1和N_i2所处直线的上下位置，将包含节点N_i1的单元、包含节点N_i2的单元分别分组，共分为两个单元组：U₁和U₂；根据新裂纹与旧裂纹的关系，将单元组U₁、U₂中的单元重组：①若新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹情况、为新裂纹在旧裂纹上分裂的情况或者为新裂纹将两条独立裂纹连接在一起的情况，将单元组U₁和U₂中单元进行单元重组；②若为新裂纹在旧裂纹上延伸的情况，当不重复节点为N_i1时，将单元组U₁中单元将进行单元重组；当不重复节点为N_i2时，将单元组U₂中单元进行单元重组，得到已添加新裂纹的有限元网格；其中，U₁表示包含节点N_i1且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；U₂表示包含节点N_i2且单元中心处于N_i1和N_i2所处直线的下方的单元的组合；单元组U₁重组为将单元组U₁的单元中包含的节点N_i1用对应节点N_i3替换，单元组U₂重组为将单元组U₂的单元中包含的节点N_i2用对应节点N_i4替换；

Step5.2、将裂纹节点N_i1和N_i2和分裂节点N_i3和N_i4加入数组A和B：

根据新旧裂纹之间的关系，修改数组A和数组B：

①若新裂纹与旧裂纹为相互独立的裂纹，无需修改数组A和数组B；

②若新裂纹在旧裂纹上延伸：

将数组A中，与B_k，l在模型中为同一节点的N_i1或N_i2改为A_k，l，N_i1对应的N_i3或N_i2对应的N_i4改为A_k，l±2：

或

将数组B中，与节点B_k，l在模型中为同一节点的节点N_i1或N_i2改为0，N_i1对应的N_i3或N_i2对应的N_i4改为0：

或

其中，当l＜3，采用A_k，l+2；当l＞2，采用A_k，l-2；A_k，l表示数组A中第k行第l列的元素节点；A_i-1，1表示数组A中第i-1行第1列的元素节点，B_i-1，1表示数组B中第i-1行第1列的元素节点；

③若新裂纹在旧裂纹上分裂：若节点B_k，l±1的位置处于N_i1和N_i2所处直线的下方，则将数组A中的A_k，l替换为与节点B_k，l在模型中为同一节点的N_i1或N_i2对应的N_i3或N_i4，数组B无需修改；否则，无需修改数组A和数组B；其中，l为奇数，采用B_k，l+1；偶数，采用B_k，l-1；

④若新裂纹将两条独立裂纹连接在一起：若节点B_m1，n1±1的位置处于N_i1和N_i2所处直线的下方，则将数组A中的A_m1，n1替换为与节点B_m1，n1在模型中为同一节点的N_i1或N_i2对应的N_i3或N_i4，数组B无需修改；若节点B_m2，n2±1的位置处于N_i1和N_i2所处直线的下方，则将数组A中的A_m2，n2替换为与节点B_m2，n2在模型中为同一节点的N_i1或N_i2对应的N_i3或N_i4，数组B无需修改；否则，无需修改数组A和数组B；其中，n1为奇数，采用B_m1，n1+1；n2为奇数，采用B_m2，n2+1；n1为偶数，采用B_m1，n1-1；n2为偶数，采用B_m2，n2-1；

Step6、若i＝1，将数组A＝|N₁₁ N₁₂ N₁₃ N₁₄|中节点N₁₁和N₁₂生成目标面单元，N₁₃和N₁₄生成接触面单元，形成一个接触对，得到已添加新裂纹的有限元模型，接着执行步骤Step7；

若i＞1，删除已存在的接触面单元，将数组A中每一行分别提取出来，将节点A_i，1和A_i，2生成目标面单元，A_i，3和A_i，4生成接触面单元，形成i个接触对，得到已添加新裂纹的有限元模型，接着执行步骤Step7；

Step7、若裂纹扩展未完成，将step6中已添加新裂纹的有限元模型带入Step2中，i＝i+1；若裂纹扩展完成，结束循环，得到有限元分析的结构内部裂纹扩展模型。

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