CN109858191A

CN109858191A - 一种广义混沌同步系统构建与电路设计方法

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Publication number: CN109858191A
Application number: CN201910187659.5A
Authority: CN
Inventors: 钟小勇; 吴政泽; 张小红
Original assignee: Jiangxi University of Science and Technology
Current assignee: Jiangxi University of Science and Technology
Priority date: 2019-03-13
Filing date: 2019-03-13
Publication date: 2019-06-07
Anticipated expiration: 2039-03-13
Also published as: CN109858191B

Abstract

一种广义混沌同步系统构建与电路设计方法，基于广义混沌同步(GCS)理论，设计了一个四维混沌驱动系统，并构造一个新的四维同胚传递函数，以生成相应的GCS响应系统。利用Multisim软件构建了信息交互与控制的结构电路和同步电路，电路仿真结果与数值计算具有完全一致的轨迹。结果表明：本发明的GCS系统结构简单，电路实现可靠稳定，具有非线性动力学系统的复杂行为，可灵活广泛应用于智能控制与安全通信之中。

Description

一种广义混沌同步系统构建与电路设计方法

技术领域

本发明属于非线性动力学控制领域，涉及广义混沌系统模型及相应同步电路设计。

背景技术

混沌是由确定的非线性系统产生的复杂动力学行为，其动力学轨迹与随机统计过程相似。1990年美国海军实验室的Pecora和Caroll首次用电路实现混沌同步以来，利用混沌实现保密通信已成为近年各国有关学者研究的热点课题。混沌同步在各领域具有较广泛应用，如天气预报、神经医学、电子商务、工业制造工程、无线通信信息处理等等。。

Rulkov等(1995年)和Kocarev与Parlitz(1996年)提出的广义混沌同步(Generalized Chaos Synchronization,GCS)理论为混沌保密通信的研究提供了新的理论工具。包括脉冲耦合同步、双向广义同步、广义投影同步、波动同步、相位同步。相关的研究还综合了分数阶、变时延、复尺度函数等数学理论。这些算法的复杂度相对较高，主要集中在指数、对数、分段函数、三角函数等方面，很多算法局限于计算机仿真，在物理电路实现上受到限制。近年来陆续出现了一些混沌电路的设计和仿真，这些都为混沌同步的实际应用提供了很好的方法和参考。

发明内容

本发明的目的是提出一种广义混沌同步系统构建方法，并通过电路基本原理设计实现广义同步电路，本发明构造的一个四维广义同步的同胚函数，数值计算与电路仿真证实此设计的可行性。

本发明是通过以下技术方案实现的。

本发明所述的一种广义混沌同步系统构建与电路设计方法，按如下步骤：

(S01)：构建一个一阶四维非线性动力学系统：

其中x₁,x₂,x₃,x₄为状态变量，α₁,β₁,γ₁,δ₁,ε₁,ζ₁,η₁,μ₁,σ₁为实常数，并定义分析F(X)系统非线性动力学特点，数值计算并验证混沌现象的存在；

(S02)：采用Multisim电路软件对系统(1)进行电路仿真，并与(S01)中的数值计算结果进行比较；

(S03)：根据广义混沌同步理论，设计一个四维同胚传递函数H(X)：

H(X)＝(h₁(X),h₂(X),h₃(X),h₄(X))^T (2)

其中

推导出同胚传递函数H(X)的逆函数V(Y)，将(S01)中的F(X)作为同步的驱动系统，由此产生的广义同步的响应系统：

其中q(X_m,Y)＝V(Y)-X_m(m＝1,2,3,4)，X_m＝(x₁,x₂,x₃,x₄)；

(S04)：由(S01)构造的F(X)驱动系统和(S03)构造的G(Y,X)响应系统(4)形成的广义混沌同步系统(GCS，Generalized Chaos Synchronization)，分析GCS系统非线性动力学特点，数值计算并验证GCS混沌同步现象的存在；

(S05)：采用Multisim电路软件对(S04)形成的GCS系统进行同步电路仿真，并与(S04)中的数值计算结果进行比较，以验证同步电路设计的可行性。

本发明构造了一个八维广义超混沌同步系统，且结构简单，电路设计方便。对数值计算和电路仿真进行了比较分析，结果表明了该设计方法的物理可实现性。

附图说明

图1为系统(6)中各变量的轨迹。其中(a)为x₁变量与x₂变量；(b)为x₁变量与x₃变量；(c)为x₂变量与x₃变量；(d)为x₃变量与x₄变量。

图2为用Multisim软件设计的系统(6)对应的模型电路。

图3为图2电路图中示波器仿真显示的结果。其中(a)为x₁变量与x₂变量；(b)为x₁变量与x₃变量；(c)为x₂变量与x₃变量；(d)为x₃变量与x₄变量。

图4为响应系统(15)中各变量的轨迹。其中(a)为y₁变量与y₄变量；(b)为y₁变量与y₃变量；(c)为y₁变量与y₂变量；(d)为y₃变量与y₄变量。

图5为广义混沌同步系统各变量及同胚逆函数(14)的轨迹。其中(a)为变量x₁,x₂与x₃轨迹；(b)为变量y₁,y₂与y₃轨迹；(c)为传递函数H的逆函数V₁,V₂与V₃轨迹；(d)为变量x₁与逆函数V₁同步。

图6为广义混沌同步系统(16)各变量及同胚逆函数的轨迹。其中(a)为变量x₁,x₄与x₂轨迹；(b)为变量y₁,y₄与y₂轨迹；(c)为传递函数H的逆函数V₁,V₄与V₂轨迹；(d)为变量x₂与逆函数V₂同步。

图7为广义混沌同步系统(16)各变量及同胚逆函数的轨迹。其中(a)为变量x₁,x₃与x₄轨迹；(b)为变量y₁,y₃与y₄轨迹；(c)为传递函数H的逆函数V₁,V₃与V₄轨迹；(d)为变量x₃与逆函数V₃同步。

图8为广义混沌同步系统(16)各变量及同胚逆函数的轨迹。其中(a)为变量x₂,x₄与x₃轨迹；(b)为变量y₂,y₄与y₃轨迹；(c)为传递函数H的逆函数V₂,V₄与V₃轨迹；(d)为变量x₄与逆函数V₄同步。

图9为广义混沌同步系统(16)中驱动变量与响应变量的轨迹。(a)为驱动变量x₂与响应变量y₁轨迹；(b)为驱动变量x₃与响应变量y₄轨迹；(c)为x₃变量与y₁变量；(d)为x₂变量与y₃变量。

图10为采用Multisim软件设计出系统(16)相应的整合电路图。其中左边虚线框内为驱动系统(6)模块，右边虚线框内为响应系统(15)模块，下面虚线框内为x_i(i＝1,2,3,4)变量与逆传递函数V_k(k＝1,2,3,4)同步模块。

图11为响应系统中y₁(等同于G₁)的模块电路结构图。

图12为响应系统中y₂(等同于G₂)的模块电路结构图。

图13为响应系统中y₃(等同于G₃)的模块电路结构图。

图14为响应系统中y₄(等同于G₄)的模块电路结构图。

图15为驱动系统变量x₁与逆传递函数V₁同步模块的电路结构图。

图16为驱动系统变量x₂与逆传递函数V₂同步模块的电路结构图。

图17为驱动系统变量x₃与逆传递函数V₃同步模块的电路结构图。

图18为驱动系统变量x₄与逆传递函数V₄同步模块的电路结构图。

图19为图10整合电路中驱动系统电路仿真结果。其中(a)为x₁变量与x₂变量；(b)为x₁变量与x₃变量；(c)为x₂变量与x₃变量；(d)为x₃变量与x₄变量。

图20为图10整合电路中响应系统电路仿真结果。其中(a)为y₁变量与y₄变量；(b)为y₁变量与y₃变量；(c)为x₃变量与y₁变量；(d)为x₂变量与y₃变量。

图21为图10整合电路中广义混沌同步电路仿真结果。其中(a)为驱动系统x₁变量与逆传递函数V₁同步结果；(b)为驱动系统x₂变量与逆传递函数V₂同步结果；(c)为驱动系统x₃变量与逆传递函数V₃同步结果；(d)为驱动系统x₄变量与逆传递函数V₄同步结果。

具体实施方式

本发明将结合附图，通过以下实施例作进一步说明。

实施例。

步骤1：构造一个一阶四维非线性动力学系统：

其中x₁,x₂,x₃,x₄为状态变量，α₁,β₁,γ₁,δ₁,ε₁,ζ₁,η₁,μ₁,σ₁为实常数。

当α₁＝-12,β₁＝6,γ₁＝2.5,δ₁＝4,ε₁＝-1,ζ₁＝-8,η₁＝2,μ₁＝-0.75,σ₁＝1，系统(5)变化为：

等式(6)是一个含x_ix_j(i,j＝1,2,3,4)双变量自治的动力学方程，选择变量初始条件(x₁₀,x₂₀,x₃₀,x₄₀)＝(0.15,0.2,1.5,0.1)，系统(6)的数值计算结果轨迹如图1所示，从图中可以看出它们具有明显的混沌吸引子现象。

同时，我们通过以下非线性动力学定量分析，验证混沌的存在性。

1)Lyapunov指数：选择等式(6)变量的初始条件(x₁₀,x₂₀,x₃₀,x₄₀)＝(0.15,0.2,1.5,0.1)，计算Lyapunov指数分别为：LE₁＝1.0302,LE₂＝0.0004,LE₃＝-0.9347,LE₄＝-16.8460。由于包含一个正的Lyapunov指数，因此系统(6)实际上是一个混沌系统。从图1中也可以看出变量轨迹存在明显的混沌吸引子。

2)Lyapunov指数和：上述四个Lyapunov指数和为

李雅谱诺夫指数(Lyapunov指数)定性地描述了长时间系统运动中相邻轨道的平均发散或收敛。小于0的李雅谱诺夫指数和表示轨道收敛的程度。

3)Lyapunov指数维：

D_L值是一个非整数，表明奇异吸引子具有自相似结构的特征，即局部和全局存在一定的相似性。

4)散度值：公式(6)的耗散与收敛可计算为:

因此，系统(6)具有耗散性，以指数形式收敛:

这意味着，当t→∞每一个包含系统轨道的小体积元素V以指数速度α₁+δ₁+ζ₁+μ₁收缩到零。所有的系统轨道最终都将被限制在一个体积为零的极限子集中，它的运动轨迹将被固定在一个吸引子上，这也说明了系统(6)的吸引子的存在。

步骤2：对步骤1中构建的四维非线性动力学系统进行电路仿真。

为验证系统(6)的可实现性，本发明通过Multisim软件搭建模拟电路图。选择LF347型号的运算放大器，由于图1中(x₁,x₂,x₃,x₄)数值计算中各变量轨迹可能超出了LF347能承受的±5-18V工作电压(±13.5V的输出电压)，因此电路设计中将系统(6)中各变量进行5倍的缩小，即：

X₁＝5x₁,X₂＝5x₂,X₃＝5x₃,X₄＝5x₄，这样等式(6)变化为：

为了保持书写的习惯性，将X_i(i＝1,2,3,4)调整到x_i(i＝1,2,3,4)，得到电路设计的状态方程：

图2是根据模拟电路基本原理采用Multisim软件设计的系统(7)电路图，相关的电阻值、电容值均在图中标示，各变量电压输出曲线由示波器显示，如图3所示。

比较图1(数值计算)和图3(电路仿真)，发现各变量的轨迹图非常相似，也证明电路图2设计的正确性。

步骤3：基于广义混沌同步理论，构造广义混沌同步系统。

(1)广义同步理论。

考虑两个非线性系统：

其中：

X(t)＝(x₁(t),x₂(t),…,x_n(t))^T∈Rⁿ,Y(t)∈R^m

X_m(t)＝(x₁(t),x₂(t),…,x_m(t))^T

F(X)＝(f₁(X),f₂(X),…,f_n(X))^T,

G(Y,X_m,t)＝(g₁(Y,X_m,t),g₂(Y,X_m,t),...,g_n(Y,X_m,t))^T.

系统(8)称为驱动系统，系统(9)称为响应系统。若存在一个映射H:Rⁿ→R^m和开集使得当初始条件(X(0),Y(0))∈B时，系统(8)和(9)的解(X(t),Y(t))满足：

则称响应系统(9)与驱动系统(8)关于H广义同步。

(2)广义混沌同步定理。

设映射函数H:R^m→R^m是C¹同胚，X_m＝V(Y)＝H^-1，假如响应系统(9)与驱动系统(8)均为混沌系统，则它们是关于H是GCS(广义混沌同步)，G(Y,X)可写成以下形式：

广义混沌函数V的雅可比矩阵可表示为：

式中的F(X)可表示为：

F(X)＝(f₁(X),f₂(X),...,f_m(X))^T

且函数q(X_m,Y)＝(q₁(X_m,Y),q₂(X_m,Y),...,q_m(X_m,Y))^T使得误差方程

零解渐进稳定。

(3)构造本发明C¹同胚传递函数H(X)。

H(X)＝(h₁(X),h₂(X),h₃(X),h₄(X))^T (11)

其中

当α₂＝-2,β₂＝2,γ₂＝0.1,δ₂＝-1,ε₂＝-2,ζ₂＝-1,η₂＝0.1,μ₂＝-2，系统(12)转换为：

推导出同胚传递函数H(X)的逆函数V(Y)：

因此

(4)生成广义混沌同步响应系统。

根据广义混沌同步理论，由此产生的响应系统为：

对响应系统(15)的动力学轨迹进行数值计算，结果如图4所示。

步骤4：分析广义混沌同步系统的非线性特点。

将驱动系统(6)与响应系统(15)进行广义混沌系统整合，得到(16)式的完整GCS系统：

类似于步骤(1)的非线性动力学特点的定量分析，在初始条件(x₁₀,x₂₀,x₃₀,x₄₀)＝(0.15,0.2,1.5,0.1)，(y₁₀,y₂₀,y₃₀,y₄₀)＝(-0.04-0.03-0.25-0.15)，我们可以得到：

(1)Lyapunov指数：计算8维GCS系统的Lyapunov指数分别为：LE₁＝1.0297，LE₂＝0.0002，LE₃＝-0.9296，LE₄＝-0.9997，LE₅＝-1.0001，LE₆＝-1.0001，LE₇＝-1.0023，LE₈＝-16.8480。由于包含一个正的Lyapunov指数，因此系统(16)实际上是一个混沌系统。从图4中也可以看出变量轨迹存在明显的混沌吸引子。

(2)Lyapunov指数和：

(3)Lyapunov指数维：

(4)散度值：

因此，说明了广义同步系统(16)的同样具有混沌特点，是一个标准的广义混沌同步(GCS)系统。

响应系统变量y_j(j＝1,2,3,4)与驱动系统变量x_i(i＝1,2,3,4)，以及逆传递函数V_k(k＝1,2,3,4)之间的轨迹如图5～8所示。从图中可以看出：变量x₁与逆传递函数V₁完全同步，变量x₂与逆传递函数V₂完全同步，变量x₃与逆传递函数V₃完全同步，变量x₄与逆传递函数V₄完全同步，从数值计算可以证实用系统(13)构造的同胚传递函数H(X)满足GCS同步目标。

图9为部分驱动系统变量x_i(i＝1,2,3,4)和部分响应系统变量y_j(j＝1,2,3,4)组合后的轨迹图。

步骤5：广义混沌同步系统的电路设计。

为验证系统(16)的可实现性，本发明通过Multisim软件搭建模拟电路图。选择LF347型号的运算放大器，由于图4中(y₁,y₂,y₃,y₄)数值计算中各变量轨迹可能超出了LF347能承受的±5-18V工作电压(±13.5V的输出电压)，因此电路设计中将系统(16)中x_i(i＝1,2,3,4)各变量进行5倍的缩小，y_j(j＝1,2,3,4)各变量进行10倍的缩小，即：

X₁＝5x₁,X₂＝5x₂,X₃＝5x₃,X₄＝5x₄Y₁＝10y₁,Y₂＝10y₂,Y₃＝10y₃,Y₄＝10y₄，这样等式(15)变化为：

为了保持书写的习惯性，将X_i(i＝1,2,3,4)调整到x_i(i＝1,2,3,4)，Y_j(j＝1,2,3,4)调整到y_j(j＝1,2,3,4)，得到GCS完整电路设计的状态方程：

图10是根据模拟电路基本原理采用Multisim软件设计的系统(17)电路图。

图11～14分别为依据公式(15)设计的响应系统中y_j(j＝1,2,3,4)，即等同于G_j(j＝1,2,3,4)的模块电路结构图。图15～18分别为依据公式(6)设计的驱动系统变量x_i(i＝1,2,3,4)与依据公式(14)设计的逆传递函数V_k(k＝1,2,3,4)同步模块的电路结构图。

图19为图10整合电路中驱动系统电路仿真结果，该结果与图3电路仿真结果完全一致，表明整合电路10的可靠性。

图20为图10整合电路中响应系统电路仿真结果，其中图20(a)和图20(b)分别与图4(a)和图4(b)电路仿真结果完全一致，图20(c)和图20(d)分别与图9(c)和图9(d)数值计算结果完全一致。这些一致性的结果表明公式(11)～(13)中构造的同胚函数H(X)的可行性。

图21为图10整合电路中广义混沌同步电路仿真结果，其中图21(a)和图5(d)数值计算结果完全一致，图21(b)和图6(d)数值计算结果完全一致，图21(c)和图7(d)数值计算结果完全一致，图21(d)和图8(d)数值计算结果完全一致。这些一致性的结果表明公式(14)～(15)计算的正确性。

图10～18相关的电阻值、电容值均在图中标示，各变量电压输出曲线由示波器显示。

比较图4～9(数值计算)和图19～21(电路仿真)，发现各变量的轨迹图非常相似，也证明电路图10设计的可行性。

本发明构造了一个八维广义混沌同步系统，且结构简单，电路设计方便。对数值计算和电路仿真进行了比较分析，结果表明了该设计方法同步的稳定性和物理可实现性。

Claims

1.一种广义混沌同步系统构建与电路设计方法，其特征是按如下步骤：

(S01)：构建一个一阶四维非线性动力学系统：

H(X)＝(h₁(X),h₂(X),h₃(X),h₄(X))^T (2)

其中

其中q(X_m,Y)＝V(Y)-X_m(m＝1,2,3,4)，X_m＝(x₁,x₂,x₃,x₄)；

(S04)：由(S01)构造的F(X)驱动系统和(S03)构造的G(Y,X)响应系统(4)形成的广义混沌同步系统，分析广义混沌同步系统非线性动力学特点，数值计算并验证广义混沌同步系统混沌同步现象的存在；

(S05)：采用Multisim电路软件对(S04)形成的广义混沌同步系统进行同步电路仿真，并与(S04)中的数值计算结果进行比较，以验证同步电路设计的可行性。