CN109858078B - 一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法 - Google Patents

Abstract

一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法，包括以下步骤：1.定义设计输入条件，包括叶片设计参数和叶片初始轴面形状；2.建立叶片平均环量分布函数；3.假定叶片无限薄，对叶片进行网格划分；4.基于不可穿透条件，通过数值迭代计算不断修正叶片形状；5.定义叶片优化目标函数；6.基于设计目标函数和NSGA II遗传优化算法对双叶片离心叶轮进行优化设计，得到最优叶轮模型。本发明利用自寻优反向设计方法能够快速地获取所需的叶轮几何模型，同时改善了离心叶轮的运行效率和运行稳定性。

Description

一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法

技术领域

本发明属于离心泵水力设计方法领域，具体涉及一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法，主要用于快速有效的对双叶片离心叶轮进行水力设计及优化，在保证泵的颗粒过流能力和自吸能力的前提下，以进一步提升水力模型的效率以及运行过程的稳定性。

背景技术

双叶片离心叶轮的设计与分析是一项复杂的工程，通常采用正向设计方法，即运用流体动力学理论(Computer Fluid Dynamics,CFD)来评估给定水力模型的综合性能，以此来确认设计的准确性。正向设计方法需要依赖于设计人员丰富的工程经验和大量的模型库，因此掌握该方法设计叶轮模型具有一定的难度。基于该方法的局限性，众多学者提出了反向设计方法或逆向设计方法，该方法基于给定的性能参数和叶片载荷函数，通过反问题求解算法快速的获取所需的叶轮几何模型。张明在其专利“旋转机械叶片反问题设计的计算方法”(专利号：CN106339557)中利用有限元法求解流固耦合问题，并对计算结果进行反推预加工模型；张人会在论文《基于自由曲面变形方法的离心泵三维叶片反问题方法》中通过正——反问题的耦合迭代，根据叶片实际载荷和目标载荷间的差值驱动叶片的变形。在叶轮机械工程设计过程中，通常会遇到多目标优化问题，大都因其各个目标函数不可比较，甚至相互冲突，因而采用经典的优化方法很难对其进行求解。杨魏在其专利“一种双吸离心泵叶轮的水力优化方法以及装置”(专利号：CN105465037A)中采用叶片环量分布和多目标遗传算法对双吸离心泵叶轮进行设计与优化。

上述方法中与本专利较为接近为一种双吸离心泵叶轮的水力优化方法，该方法通过叶片环量梯度实现了叶片的快速建模与优化，但是该方法并没有考虑采用相关的控制变量对叶片轴面进行定义，同时没有考虑相关目标函数的定义，因此在大规模叶片设计与优化过程中存在一定的不足，无法有效地实现对叶片轴面的控制。针对上述存在的问题，本专利发明了一种自寻优的设计方法，通过该方法实现了对叶片轴面的参数控制以及定义了考虑不同目标权重的总体目标函数，以实现叶片的自寻优设计。因此，该方法具有重要的学术和工程应用价值。

经检索，至今尚未见关于该方法的文献和申报专利。

发明内容

为了克服已有双叶片离心叶轮设计方法的正向设计方法过分依赖设计人员的相关经验、单目标优化无法综合考虑叶片的效率、自吸性能和运行的稳定性的不足，本发明提供了一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法，通过参数化叶片轴面形状，定义合理的目标函数，以及结合NSGA II遗传优化算法对双叶片离心叶轮进行水力优化设计。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法，包括以下步骤：

步骤1.定义设计输入条件，包括叶片设计参数和叶片初始轴面形状

首先需要定义叶片设计的基本输入条件，包括设计流量Q、设计扬程H、设计转速Ω、叶片数Z、叶片厚度δ、叶片尾缘交错角θ_TE；其次基于给定的设计变量建立叶片轴面形状；

叶片轴面形状为叶片自寻优反向设计方法的初始输入条件，分别采用叶片前缘前盖板处直径D₁，叶片前缘中间流面处直径D_1m，叶片前缘后盖板处直径D_1h，叶片轮毂直径Shaft d，叶片前缘前盖板处离原点的距离ShroudZ₁，叶片尾翼前盖板处离原点的距离ShroudZ₂，叶片前缘轴向距离Z₁，叶片进口宽度b₁，叶片出口宽度b₂，叶片外径D₂，叶片前盖板处弯曲半径R_s，叶片后盖板处弯曲半径R_h，叶片前盖板型线出口角度θ₁和叶片后盖板型线出口角度θ₂对叶片轴面形状进行参数化表征，通过对上述控制变量进行赋值建立叶片轴面形状；

步骤2.建立叶片平均环量分布函数，对叶片轴面形状进行单位化

叶片的平均环量分布

是关于轴面坐标r，z的函数，采用m，s来表示轴面上个点的坐标，其中m为叶片进口边到出口边的单位化长度，m＝0对应叶片的进口边，m＝1对应叶片的出口边，s为叶片后盖板到前盖板周向的单位化长度，s＝0对应叶片后盖板，s＝1对应叶片前盖板；

叶片的平均环量代表叶片同一半径上压力面与吸力面之间的能量差；其推导过程如下，假设叶片同一半径上压力面与吸力面的势差为Δφ，它与平均环量的关系如下：

其中，φ_ss为叶片吸力面的势能；φ_ps为叶片压力面的势能；r为叶片径向半径；θ为叶片周向角度；ds＝rdθ；v_θ为叶片绝对速度圆周分量；假设叶片厚度无穷小并趋向0，则θ_ss-θ_ps＝2π/Z，Z为叶片数；

为了建立叶片平均环量分布函数，假设叶轮进口流动没有预旋，即

则：

基于动量守恒定律，扬程的表达为：

其中，u(1,s)和u(0,s)分别表示叶片进口边和出口边的圆周速度；H为理论扬程；

同时，根据伯努利方程，叶片吸力面与压力面之间的压差Δp＝p_ps-p_ss表述如下，其中假设叶片厚度为0，则u_ps＝u_ss；

其中，

为叶片压力面和吸力面上相对速度的平均值；

叶片进口边和出口边在周向上的势差Δφ为一常量，如公式(2)和(4)所示；因此，在叶片的进出口边满足

同时，根据不可穿透条件规定的w_n,ss＝w_n,ps＝0，则叶片的进口边(m＝0)和出口边(m＝1)满足以下等式：

其中，Δp(0,s)为叶片进口边压差；Δp(1,s)为叶片出口边压差；l为叶片表面切向方法，即将其映射到轴面上对应于m方向；

叶片的安放角如公式(8)所示；

其中，w_m为叶片相对速度径向分量；w_l为叶片相对速度切向分量；

将公式(1)和(8)带入公式(6)和(7)中得到：

根据Kutta条件和叶片进口无冲击条件，在叶片的进、出口边满足p_ss＝p_ps，则得到：

其中，上述推导结果作为平均环量分布的附加约束，公式(11)为叶片进口无冲击条件；公式(12)为自寻优设计的Kutta条件；

综述所述，为了获得叶轮的预期设计性能，其平均环量分布的函数定义如下：

其中无量纲函数f(m,s)需要满足以下约束条件：

1)叶片进口边没有预旋：f(0,s)＝0；

2)出口边的总压为目标设计压力：f(1,s)＝1；

3)叶片进口边为零冲角：

4)叶片出口边满足库塔(Kutta)条件：

在自寻优设计过程中，通过选择叶片前盖板型线、流道中心型线和后盖板型线上的平均环量分布作为叶片反问题设计输入，采用BF、GRD和BR控制变量来对平均环量分布曲线进行控制，其中0到BF段，采用椭圆方程进行函数表达；BF到BR段，采用直线方程进行函数表达；BR到1段，采用椭圆方程进行函数表达；从而对型线上的平均环量分布构建控制函数，控制函数如公式(14)所示：

其中，BF：Blade Front的缩写，表示叶片翼型前半部分的控制变量；BR：BladeRear的缩写，表示叶片翼型后半部分的控制变量；GRD：Gradient的缩写，表示叶片翼型中间部分的变化曲率；

步骤3.假定叶片无限薄，对叶片进行网格划分

在叶片形状迭代求解时，需要以叶片初始轴面形状作为输入条件，这里对叶片轴面的网格生成进行说明；叶片轴面生成过程为：首先生成一系列初始流线和准正交线，初始流线和准正交线可以看作网格生成问题，该网格生成问题要求保证网格边界上节点尽可能均匀分布，计算域内的网格节点应尽可能均匀分布，网格线尽可能趋于正交，基于此，用迭代的方法对计算区生成网格；

为使叶片轴面前后盖板流线及进出口边界上的网格均匀分布，边界按照线性插值得到各节点的初始位置；计算域内的节点位置通过迭代求解即得到满意的网格线；

步骤4.基于不可穿透条件，通过数值迭代计算不断修正叶片形状

对于叶片几何形状，唯一未知的量是叶片角度分布函数θ(m,s)，因为叶片径向分布函数r(m,s)和轴向分布函数z(m,s)根据初始叶片轴面输入已经基本确定；叶片的整个迭代过程中，基于前一次的结果来迭代求解下一次的结果；根据不可穿透条件，采用叶片第n次的速度分量结果来计算第n+1次的结果，同时获得新的叶片形状，其计算公式如下所示：

w⁽ⁿ⁾·n⁽ⁿ⁺¹⁾＝0 (15)

叶片表面法向矢量n是关于叶片坐标系(r,θ,z)的函数，其中r和z由初始叶片轴面形状得到，θ为未知待解变量；为了将不可穿透条件转换到m和s构造的曲线坐标系，需要引入两个向量

和/>

它们与叶片表面相切；通常，一个沿着曲线的切向量/>

可以采用r＝r(t),θ＝θ(t),z＝z(t)进行参数化表征；基于圆柱坐标系，即x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z，则/>

的表达式如下：

其中，e_x，e_y，e_z，e_r和e_θ分别是在x，y，z，r和θ方向上的单位向量；因此，如果采用轴面上的m和s来定义切向向量，则获得以下方程：

叶片表面法向向量n则可采用

和/>

这两个向量的矢量乘积来表达：

其中，n*是未单位化的法向矢量，那么不可穿透条件演变成以下形式：

w·n＝w·n^*＝0 (21)

将公式(19)和w＝w_re_r+w_θe_θ+w_ze_z带入公式(21)中，得到叶片角度θ的偏微分方程：

由于初始叶片轴面形状给出了叶片径向分布函数r(m,s)和轴向分布函数z(m,s)，故

为已知量；而相对速度分量w_r，w_θ，w_z由前一次的迭代计算结果获得，见公式(15)；基于上述推导，则求出叶片角度函数θ(m,s)；

步骤5.定义叶片优化目标函数

5.1)泵内损失目标函数，表示为：

f₁(X)＝P_m+P_h (25)

其中，P_m为圆盘摩擦损失，P_h为水力损失，圆盘摩擦损失的计算公式如下：

其中，Re＝10⁶ω(D₂/2)²；ω为叶轮角速度；D₂为叶片外径；

P_h＝ρgQ(H_t-H) (27)

其中，H_t为叶轮理论扬程；Q为泵的实际流量；H为泵的实际扬程；理论扬程H_t的计算公式如下：

其中，β₂为叶片出口安放角，b₂为叶片出口宽度，Q_t为泵的理论流量，φ₂为叶片的出口排挤系数；

将公式(26)-(27)带入公式(25)可以得到泵内损失的最小目标函数，该函数与叶片设计变量D₂，b₂，β₂，Z有关，其标准形式为：min f₁(X)；

5.2)泵内汽蚀余量目标函数，由下式表示：

其中，v₁为叶片进口绝对速度；w₁为叶片进口相对速度；k₁为叶片进口降压系数；g为重力加速度；由于叶片进口无预旋，即v_u1＝0，

则

其中，u₁为叶片进口圆周速度；b₁为叶片进口宽度；D₁为叶片进口直径；φ₁为叶片进口排挤系数；将式(31)和(32)带入式(29)得汽蚀余量目标函数：

则汽蚀余量最小目标函数可表示为min f₂(X)，其与叶片设计变量D₁，b₁有关；

5.3)泵内消除驼峰目标函数

消除扬程曲线的驼峰的方法是通过增加Q-H曲线的斜率，其表达式为：

其中，

为扬程-流量曲线的夹角；/>

S为静矩，/>

为了便于建立扬程驼峰曲线目标函数，即将

因为/>

越小，则

越大，扬程曲线越陡，越不容易产生驼峰现象；故扬程驼峰曲线目标函数表示为：

则扬程驼峰曲线最小目标函数表示为min f₃(X)，其与叶片设计变量D₁，b₂，D₂，β₂，Z有关；

5.4)泵内性能统一目标函数

综上所述，分别为损失目标函数f₁(X)、汽蚀余量目标函数f₂(X)和消除扬程驼峰曲线目标函数f₃(X)定义影响权重因子λ₁、λ₂和λ₃，则单一工况下的统一目标函数如下所示：

因此，该统一目标函数与叶片设计变量b₁，D₁，b₂，D₂，β₂，Z有关；通过优化这6个关键变量来对双叶片离心叶轮的综合性能进行有效控制；

步骤6.基于NSGA II遗传优化算法对双叶片离心叶轮进行优化设计

NSGA-II算法是一种基于遗传算法的高效快速的排序算法，其无需对设计目标进行任何转化，根据个体之间的支配关系就实现对个体优劣的筛选；根据非支配排序和拥挤度理论，对总体目标函数F(X)进行求解并得到控制变量的Pareto最优解集，通过对Pareto前沿的分析，选择最佳的叶轮模型。

进一步，所述的步骤1中，设计输入参数：设计流量Q、设计扬程H、设计转速Ω和叶片数Z根据实际产品性能要求进行给定；叶片厚度δ和叶片尾缘交错角θ_TE根据相关铸造要求进行给定；叶片轴面形状的控制变量的值需要根据双叶片无堵塞叶轮设计理论进行计算得到。

再进一步，所述的步骤5中，叶片目标函数的定义过程中，需要优先考虑叶片的效率，则λ₁取大值；需要优先考虑自吸性能，则λ₂取大值；需要优先考虑叶片的运行稳定性，则λ₃取大值。

更进一步，叶片设计过程中假定叶片厚度为0，叶片真实厚度在设计完成后通过相关的三维软件对最终的叶片模型进行加厚。

本发明的有益效果是：1)采用参数化的控制变量能够实现叶片轴面形状的快速建模，实现轴面形状的精确控制；2)采用自优化设计方法，能够快速有效地完成双叶片离心叶轮的设计工作，同时也可以提高叶轮的整体性能；3)通过定义泵内性能统一目标函数和遗传优化算法能够有效地提高泵的效率、气蚀余量及运行的稳定性。

附图说明

图1为叶片自寻优设计方法流程。

图2为叶片轴面形状参数化示意图。

图3为叶片轴面形状单位化示意图。

图4为叶片平均环量分布曲线示意图。

图5为叶片初始网格划分示意图。

图6为双叶片离心叶轮模型示意图，其中1为前盖板，2为后盖板，3为叶片。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图6，一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法，图1为双叶片离心叶轮自寻优设计流程图，整个设计流程包括步骤S01定义设计参数；步骤S02参数化叶片轴面形状；步骤S03对叶片轴面进行网格划分，生成网格；步骤S04基于平均环量输入，求解Laplace方程；步骤S05计算叶片型线安放角；步骤S06基于不可穿透条件，不断迭代调整叶片形状；步骤S07判断是否收敛；步骤S08得到原始叶片模型；S09基于设计目标函数，采用遗传算法得到最佳叶片模型。一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法的具体实施如下所示：

步骤1.定义设计输入条件，包括叶片设计参数和叶片初始轴面形状

首先需要定义叶片设计的基本输入条件，具体包括设计流量Q＝65m³/h、设计扬程H＝40m、设计转速Ω＝303.7rad/s、叶片数Z＝2、叶片厚度δ＝5mm、叶片尾缘交错角θ_TE＝0；其次基于给定的设计变量建立叶片轴面形状；

图2为叶片轴面形状参数化示意图，基于步骤1中给定的设计参数，基于叶片设计理论，分别计算得到叶片前缘前盖板处直径D₁＝83mm，叶片前缘中间流面处直径D_1m＝65mm，叶片前缘后盖板处直径D_1h＝45mm，叶片轮毂直径Shaft d＝30mm，叶片前缘前盖板处离原点的距离ShroudZ₁＝16.4mm，叶片尾翼前盖板处离原点的距离ShroudZ₂＝30mm，叶片前缘轴向距离Z₁＝41.3mm，叶片进口宽度b₁＝48mm，叶片出口宽度b₂＝38mm，叶片外径D₂＝190mm，叶片前盖板处弯曲半径R_s＝18mm，叶片后盖板处弯曲半径R_h＝32mm，叶片前盖板型线出口角度θ₁＝100°和叶片后盖板型线出口角度θ₂＝91°对叶片轴面形状进行参数化表征，通过对上述控制变量进行赋值，则可以快速建立叶片轴面形状；

步骤2.建立叶片平均环量分布函数，对叶片轴面形状进行单位化

叶片的平均环量分布

是关于轴面坐标r，z的函数，采用m，s来表示轴面上个点的坐标，其中m为叶片进口边到出口边的单位化长度，m＝0对应叶片的进口边，m＝1对应叶片的出口边，s为叶片后盖板到前盖板周向的单位化长度，s＝0对应叶片后盖板，s＝1对应叶片前盖板，采用该曲线坐标的优势在于它能够适用于不同类型的叶轮，例如径向式叶轮、混流式叶轮和轴流式叶轮，图3为叶片轴面形状单位化示意图；

叶片的平均环量代表叶片同一半径上压力面与吸力面之间的能量差；其推导过程如下，假设叶片同一半径上压力面与吸力面的势差(位差)为Δφ，它与平均环量的关系如下：

其中，φ_ss为叶片吸力面的势能；φ_ps为叶片压力面的势能；r为叶片径向半径；θ为叶片周向角度；ds＝rdθ；v_θ为叶片绝对速度圆周分量；假设叶片厚度无穷小并趋向0，则θ_ss-θ_ps＝2π/Z，Z为叶片数；

为了建立叶片平均环量分布函数，这里假设叶轮进口流动没有预旋，即

则：

基于动量守恒定律，扬程的表达为：

其中，u(1,s)和u(0,s)分别表示叶片进口边和出口边的圆周速度；H为理论扬程；

同时，根据伯努利方程，叶片吸力面与压力面之间的压差Δp＝p_ps-p_ss可以表述如下，其中假设叶片厚度为0，则u_ps＝u_ss；

其中，

为叶片压力面和吸力面上相对速度的平均值；

叶片进口边和出口边在周向上的势差Δφ为一常量，如公式(2)和(4)所示；因此，在叶片的进出口边满足

同时，根据不可穿透条件规定的w_n,ss＝w_n,ps＝0，则叶片的进口边(m＝0)和出口边(m＝1)满足以下等式：

其中，Δp(0,s)为叶片进口边压差；Δp(1,s)为叶片出口边压差；l为叶片表面切向方法，即将其映射到轴面上对应于m方向；

叶片的安放角如公式(8)所示；

其中，w_m为叶片相对速度径向分量；w_l为叶片相对速度切向分量；

将公式(1)和(8)带入公式(6)和(7)中可以得到：

根据Kutta条件和叶片进口无冲击条件，在叶片的进、出口边满足p_ss＝p_ps，则可以得到：

其中，上述推导结果作为平均环量分布的附加约束，公式(11)为叶片进口无冲击条件；公式(12)为自寻优设计的Kutta条件；

综述所述，为了获得叶轮的预期设计性能，其平均环量分布的函数定义如下：

其中无量纲函数f(m,s)需要满足以下约束条件：

(1)叶片进口边没有预旋：f(0,s)＝0；

(2)出口边的总压为目标设计压力：f(1,s)＝1；

(3)叶片进口边为零冲角：

(4)叶片出口边满足库塔(Kutta)条件：

在自寻优设计过程中，通过选择叶片前盖板型线、流道中心型线和后盖板型线上的平均环量分布作为叶片反问题设计输入，采用BF、GRD和BR等控制变量来对平均环量分布曲线进行控制，其中0到BF段，采用椭圆方程进行函数表达；BF到BR段，采用直线方程进行函数表达；BR到1段，采用椭圆方程进行函数表达；从而可以对型线上的平均环量分布构建控制函数，实施例中叶片前盖板型线、流道中心型线和后盖板型线对应的BF_shr，BF_mid和BF_hub分别为0.3，0.25和0.2；对应的GRD_shr，GRD_mid和GRD_hub分别为-0.8，-0.6和0.7；对应的BR_shr，BR_mid和BR_hub分别为0.85，0.8和0.7；控制函数如公式(14)所示，图4为叶片平均环量分布曲线示意图；

其中，BF：Blade Front的缩写，表示叶片翼型前半部分的控制变量；BR：BladeRear的缩写，表示叶片翼型后半部分的控制变量；GRD：Gradient的缩写，表示叶片翼型中间部分的变化曲率；

步骤3.假定叶片无限薄，对叶片进行网格划分

在叶片形状迭代求解时，需要以叶片初始轴面形状作为输入条件，这里对叶片轴面的网格生成进行说明；叶片轴面生成过程为：首先生成一系列初始流线和准正交线，初始流线和准正交线可以看作网格生成问题，该网格生成问题要求保证网格边界上节点尽可能均匀分布，计算域内的网格节点应尽可能均匀分布，网格线尽可能趋于正交，基于此，可以用迭代的方法对计算区生成网格；

为使叶片轴面前后盖板流线及进出口边界上的网格均匀分布，边界可以按照线性插值得到各节点的初始位置；计算域内的节点位置通过迭代求解即可得到满意的网格线，图5为叶片初始网格划分示意图；

步骤4.基于不可穿透条件，通过数值迭代计算不断修正叶片形状

对于叶片几何形状，唯一未知的量是叶片角度分布函数θ(m,s)，因为叶片径向分布函数r(m,s)和轴向分布函数z(m,s)根据初始叶片轴面输入已经基本确定；叶片的整个迭代过程中，基于前一次的结果来迭代求解下一次的结果；根据不可穿透条件，采用叶片第n次的速度分量结果来计算第n+1次的结果，同时获得新的叶片形状，其计算公式如下所示：

w⁽ⁿ⁾·n⁽ⁿ⁺¹⁾＝0 (15)

叶片表面法向矢量n是关于叶片坐标系(r,θ,z)的函数，其中r和z由初始叶片轴面形状得到，θ为未知待解变量；为了将不可穿透条件转换到m和s构造的曲线坐标系，需要引入两个向量

和/>

它们与叶片表面相切；通常，一个沿着曲线的切向量/>

可以采用r＝r(t),θ＝θ(t),z＝z(t)进行参数化表征；基于圆柱坐标系，即x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z，则/>

的表达式如下：/>

其中，e_x，e_y，e_z，e_r和e_θ分别是在x，y，z，r和θ方向上的单位向量；因此，如果采用轴面上的m和s来定义切向向量，则可获得以下方程：

叶片表面法向向量n则可采用

和/>

这两个向量的矢量乘积来表达：

其中，n*是未单位化的法向矢量，那么不可穿透条件可以演变成以下形式：

w·n＝w·n^*＝0 (21)

将公式(19)和w＝w_re_r+w_θe_θ+w_ze_z带入公式(21)中，可以得到叶片角度θ的偏微分方程：

由于初始叶片轴面形状给出了叶片径向分布函数r(m,s)和轴向分布函数z(m,s)，故

为已知量；而相对速度分量w_r，w_θ，w_z由前一次的迭代计算结果获得，见公式(15)；基于上述推导，则可以求出叶片角度函数θ(m,s)；

步骤5.定义叶片优化目标函数

5.1)泵内损失目标函数

泵内损失目标函数可以表示为：

f₁(X)＝P_m+P_h (25)

其中，P_m为圆盘摩擦损失，P_h为水力损失，圆盘摩擦损失的计算公式如下：

其中，Re＝10⁶ω(D₂/2)²；ω为叶轮角速度；D₂为叶片外径；

P_h＝ρgQ(H_t-H) (27)

其中，H_t为叶轮理论扬程；Q为泵的实际流量；H为泵的实际扬程；理论扬程H_t的计算公式如下：

其中，β₂为叶片出口安放角，b₂为叶片出口宽度，Q_t为泵的理论流量，φ₂为叶片的出口排挤系数；

将公式(26)-(27)带入公式(25)可以得到泵内损失的最小目标函数，该函数与叶片设计变量D₂，b₂，β₂，Z有关，其标准形式为：min f₁(X)；

5.2)泵内汽蚀余量目标函数

泵内汽蚀余量由下式表示：

其中，v₁为叶片进口绝对速度；w₁为叶片进口相对速度；k₁为叶片进口降压系数；g为重力加速度；由于叶片进口无预旋，即v_u1＝0，

则

其中，u₁为叶片进口圆周速度；b₁为叶片进口宽度；D₁为叶片进口直径；φ₁为叶片进口排挤系数；将式(31)和(32)带入式(29)可得汽蚀余量目标函数：

则汽蚀余量最小目标函数可表示为min f₂(X)，其与叶片设计变量D₁，b₁有关；

5.3)泵内消除驼峰目标函数

消除扬程曲线的驼峰的方法是通过增加Q-H曲线的斜率，其表达式为：

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其中，

为扬程-流量曲线的夹角；/>

S为静矩，/>

为了便于建立扬程驼峰曲线目标函数，即将

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越小，则

越大，扬程曲线越陡，越不容易产生驼峰现象；故扬程驼峰曲线目标函数可表示为：

则扬程驼峰曲线最小目标函数可表示为min f₃(X)，其与叶片设计变量D₁，b₂，D₂，β₂，Z有关；

5.4)泵内性能统一目标函数

综上所述，分别为损失目标函数f₁(X)、汽蚀余量目标函数f₂(X)和消除扬程驼峰曲线目标函数f₃(X)定义影响权重因子λ₁、λ₂和λ₃，则单一工况下的统一目标函数如下所示：

因此，该统一目标函数与叶片设计变量b₁，D₁，b₂，D₂，β₂，Z有关；可以通过优化这6个关键变量来对双叶片离心叶轮的综合性能进行有效控制；

步骤6.基于NSGA II遗传优化算法对双叶片离心叶轮进行优化设计

NSGA-II算法是一种基于遗传算法的高效快速的排序算法，其无需对设计目标进行任何转化，根据个体之间的支配关系就实现对个体优劣的筛选；根据非支配排序和拥挤度理论，对总体目标函数F(X)进行求解并得到控制变量的Pareto最优解集，通过对Pareto前沿的分析，选择最佳的叶轮模型，图6为双叶片离心叶轮模型示意图，其中1为前盖板，2为后盖板，3为叶片。

本说明书实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，本发明的保护范围不应当被视为仅限于实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也包涵本领域技术人员根据本发明构思所能够想到的等同技术手段。

Claims (4)

1.一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1.定义设计输入条件，包括叶片设计参数和叶片初始轴面形状

首先需要定义叶片设计的基本输入条件，包括设计流量Q_d、设计扬程H_d、设计转速Ω、叶片数Z、叶片厚度δ、叶片尾缘交错角θ_TE；其次基于给定的设计变量建立叶片轴面形状；

叶片轴面形状为叶片自寻优反向设计方法的初始输入条件，分别采用叶片前缘前盖板处直径D₁，叶片前缘中间流面处直径D_1m，叶片前缘后盖板处直径D_1h，叶片轮毂直径Shaft d，叶片前缘前盖板处离原点的距离ShroudZ₁，叶片尾翼前盖板处离原点的距离ShroudZ₂，叶片前缘轴向距离Z₁，叶片进口宽度b₁，叶片出口宽度b₂，叶片外径D₂，叶片前盖板处弯曲半径R_s，叶片后盖板处弯曲半径R_h，叶片前盖板型线出口角度θ₁和叶片后盖板型线出口角度θ₂对叶片轴面形状进行参数化表征，通过对控制变量进行赋值建立叶片轴面形状；

步骤2.建立叶片平均环量分布函数，对叶片轴面形状进行单位化

叶片的平均环量分布

是关于轴面坐标r，z的函数，采用m，s来表示轴面上个点的坐标，其中m为叶片进口边到出口边的单位化长度，m＝0对应叶片的进口边，m＝1对应叶片的出口边，s为叶片后盖板到前盖板周向的单位化长度，s＝0对应叶片后盖板，s＝1对应叶片前盖板；

叶片的平均环量代表叶片同一半径上压力面与吸力面之间的能量差；其推导过程如下，假设叶片同一半径上压力面与吸力面的势差为Δφ，它与平均环量的关系如下：

其中，φ_ss为叶片吸力面的势能；φ_ps为叶片压力面的势能；r为叶片径向半径；θ为叶片周向角度；ds＝rdθ；v_θ为叶片绝对速度圆周分量；假设叶片厚度无穷小并趋向0，则θ_ss-θ_ps＝2π/Z，Z为叶片数；

为了建立叶片平均环量分布函数，假设叶轮进口流动没有预旋，即

则：

基于动量守恒定律，扬程的表达为：

其中，u(1,s)和u(0,s)分别表示叶片进口边和出口边的圆周速度；H_t为理论扬程；

同时，根据伯努利方程，叶片吸力面与压力面之间的压差Δp＝p_ps-p_ss表述如下，其中假设叶片厚度为0，则u_ps＝u_ss；

其中，

为叶片压力面和吸力面上相对速度的平均值；

叶片进口边和出口边在周向上的势差Δφ为一常量，如公式(2)和(4)所示；因此，在叶片的进出口边满足

同时，根据不可穿透条件规定的w_n,ss＝w_n,ps＝0，则叶片的进口边和出口边满足以下等式：

其中，Δp(0,s)为叶片进口边压差；Δp(1,s)为叶片出口边压差；l为叶片表面切向方法，即将其映射到轴面上对应于m方向；

叶片的安放角如公式(8)所示；

其中，w_m为叶片相对速度径向分量；w_l为叶片相对速度切向分量；

将公式(1)和(8)带入公式(6)和(7)中得到：

根据Kutta条件和叶片进口无冲击条件，在叶片的进、出口边满足p_ss＝p_ps，则得到：

其中，推导结果作为平均环量分布的附加约束，公式(11)为叶片进口无冲击条件；公式(12)为自寻优设计的Kutta条件；

为了获得叶轮的预期设计性能，其平均环量分布的函数定义如下：

其中无量纲函数f(m,s)需要满足以下约束条件：

1)叶片进口边没有预旋：f(0,s)＝0；

2)出口边的总压为目标设计压力：f(1,s)＝1；

3)叶片进口边为零冲角：

4)叶片出口边满足Kutta条件：

在自寻优设计过程中，通过选择叶片前盖板型线、流道中心型线和后盖板型线上的平均环量分布作为叶片反问题设计输入，采用BF、GRD和BR控制变量来对平均环量分布曲线进行控制，其中0到BF段，采用椭圆方程进行函数表达；BF到BR段，采用直线方程进行函数表达；BR到1段，采用椭圆方程进行函数表达；从而对型线上的平均环量分布构建控制函数，控制函数如公式(14)所示：

其中，BF：Blade Front的缩写，表示叶片翼型前半部分的控制变量；BR：Blade Rear的缩写，表示叶片翼型后半部分的控制变量；GRD：Gradient的缩写，表示叶片翼型中间部分的变化曲率；

步骤3.假定叶片无限薄，对叶片进行网格划分

在叶片形状迭代求解时，需要以叶片初始轴面形状作为输入条件，这里对叶片轴面的网格生成进行说明；叶片轴面生成过程为：首先生成一系列初始流线和准正交线，初始流线和准正交线可以看作网格生成问题，该网格生成问题要求保证网格边界上节点尽可能均匀分布，计算域内的网格节点应尽可能均匀分布，网格线尽可能趋于正交，基于此，用迭代的方法对计算区生成网格；

为使叶片轴面前后盖板流线及进出口边界上的网格均匀分布，边界按照线性插值得到各节点的初始位置；计算域内的节点位置通过迭代求解即得到满意的网格线；

步骤4.基于不可穿透条件，通过数值迭代计算不断修正叶片形状

对于叶片几何形状，唯一未知的量是叶片角度分布函数θ(m,s)，因为叶片径向分布函数r(m,s)和轴向分布函数z(m,s)根据初始叶片轴面输入已经基本确定；叶片的整个迭代过程中，基于前一次的结果来迭代求解下一次的结果；根据不可穿透条件，采用叶片第n次的速度分量结果来计算第n+1次的结果，同时获得新的叶片形状，其计算公式如下所示：

w⁽ⁿ⁾·n⁽ⁿ⁺¹⁾＝0 (15)

叶片表面法向矢量n是关于叶片坐标系(r,θ,z)的函数，其中r和z由初始叶片轴面形状得到，θ为未知待解变量；为了将不可穿透条件转换到m和s构造的曲线坐标系，需要引入两个向量

和/>

它们与叶片表面相切；一个沿着曲线的切向量/>

采用r＝r(t),θ＝θ(t),z＝z(t)进行参数化表征；基于圆柱坐标系，即x＝rcosθ，y＝rsinθ，z＝z，则/>

的表达式如下：

其中，e_x，e_y，e_z，e_r和e_θ分别是在x，y，z，r和θ方向上的单位向量；因此，如果采用轴面上的m和s来定义切向向量，则获得以下方程：

叶片表面法向向量n则可采用

和/>

这两个向量的矢量乘积来表达：

其中，n*是未单位化的法向矢量，那么不可穿透条件演变成以下形式：

w·n＝w·n^*＝0 (21)

将公式(19)和w＝w_re_r+w_θe_θ+w_ze_z带入公式(21)中，得到叶片角度θ的偏微分方程：

由于初始叶片轴面形状给出了叶片径向分布函数r(m,s)和轴向分布函数z(m,s)，故

为已知量；而相对速度分量w_r，w_θ，w_z由前一次的迭代计算结果获得，见公式(15)；按照方程(22)求出叶片角度函数θ(m,s)；

步骤5.定义叶片优化目标函数

5.1)泵内损失目标函数，表示为：

f₁(X)＝P_m+P_h (25)

其中，P_m为圆盘摩擦损失，P_h为水力损失，圆盘摩擦损失的计算公式如下：

其中，Re＝10⁶ω(D₂/2)²；ω为叶轮角速度；D₂为叶片外径；

P_h＝ρgQ(H_t-H) (27)

其中，H_t为理论扬程；Q为泵的实际流量；H为泵的实际扬程；理论扬程H_t的计算公式如下：

其中，β₂为叶片出口安放角，b₂为叶片出口宽度，Q_t为泵的理论流量，φ₂为叶片的出口排挤系数；

将公式(26)-(27)带入公式(25)可以得到泵内损失的最小目标函数，该函数与叶片设计变量D₂，b₂，β₂，Z有关，其标准形式为：min f₁(X)；

5.2)泵内汽蚀余量目标函数，由下式表示：

其中，v₁为叶片进口绝对速度；w₁为叶片进口相对速度；k₁为叶片进口降压系数；g为重力加速度；由于叶片进口无预旋，即v_u1＝0，

则

其中，u₁为叶片进口圆周速度；b₁为叶片进口宽度；D₁为叶片进口直径；φ₁为叶片进口排挤系数；将式(31)和(32)带入式(29)得汽蚀余量目标函数：

则汽蚀余量最小目标函数可表示为min f₂(X)，其与叶片设计变量D₁，b₁有关；

5.3)泵内消除驼峰目标函数

消除扬程曲线的驼峰的方法是通过增加Q-H曲线的斜率，其表达式为：

其中，

为扬程-流量曲线的夹角；/>

S为静矩，/>

为了便于建立扬程驼峰曲线目标函数，即将

因为/>

越小，则/>

越大，扬程曲线越陡，越不容易产生驼峰现象；故扬程驼峰曲线目标函数表示为：

则扬程驼峰曲线最小目标函数表示为min f₃(X)，其与叶片设计变量D₁，b₂，D₂，β₂，Z有关；

5.4)泵内性能统一目标函数

分别为损失目标函数f₁(X)、汽蚀余量目标函数f₂(X)和消除扬程驼峰曲线目标函数f₃(X)定义影响权重因子λ₁、λ₂和λ₃，则单一工况下的统一目标函数如下所示：

因此，该统一目标函数与叶片设计变量b₁，D₁，b₂，D₂，β₂，Z有关；通过优化这6个关键变量来对双叶片离心叶轮的综合性能进行有效控制；

步骤6.基于NSGA II遗传优化算法对双叶片离心叶轮进行优化设计

NSGA-II算法是一种基于遗传算法的高效快速的排序算法，其无需对设计目标进行任何转化，根据个体之间的支配关系就实现对个体优劣的筛选；根据非支配排序和拥挤度理论，对总体目标函数F(X)进行求解并得到控制变量的Pareto最优解集，通过对Pareto前沿的分析，选择最佳的叶轮模型。

2.如权利要求1所述的一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法，其特征在于，所述的步骤1中，设计输入参数：设计流量Q_d、设计扬程H_d、设计转速Ω和叶片数Z根据实际产品性能要求进行给定；叶片厚度δ和叶片尾缘交错角θ_TE根据相关铸造要求进行给定；叶片轴面形状的控制变量的值需要根据双叶片无堵塞叶轮设计理论进行计算得到。

3.如权利要求1或2所述的一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法，其特征在于，所述的步骤5中，叶片目标函数的定义过程中，需要优先考虑叶片的效率，则λ₁取大值；需要优先考虑自吸性能，则λ₂取大值；需要优先考虑叶片的运行稳定性，则λ₃取大值。

4.如权利要求1或2所述的一种双叶片离心叶轮自寻优设计方法，其特征在于，叶片设计过程中假定叶片厚度为0，叶片真实厚度在设计完成后通过相关的三维软件对最终的叶片模型进行加厚。

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