CN109767007B - 一种基于量子计算的最小均方误差检测方法 - Google Patents

一种基于量子计算的最小均方误差检测方法 Download PDF

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CN109767007B CN201811501783.6A CN201811501783A CN109767007B CN 109767007 B CN109767007 B CN 109767007B CN 201811501783 A CN201811501783 A CN 201811501783A CN 109767007 B CN109767007 B CN 109767007B
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Abstract

本发明公开了一种基于量子计算的最小均方误差检测方法，包括以下步骤：S1：根据基站天线和用户之间的链路距离设定阈值，稀疏化信道矩阵，进而得到稀疏的需求逆矩阵；S2：将基站天线接收的传统信号制备成特定的量子态信号，将量子态信号输入到量子线性运算系统中，得到贮存线性方程解的量子纠缠态；S3：将线性方程解从量子纠缠态中提取出来。本发明针对大规模通信系统中传统的最小均方误差检测方法涉及的大规模矩阵求逆问题，采用量子线性系统算法以及量子读取技术，降低了传统最小均方误差检测方法求解大规模矩阵求逆问题的复杂度，从而得到更稳定的检测性能，能更好的适用于如大规模MIMO系统在内的应用场景。

Description

一种基于量子计算的最小均方误差检测方法
技术领域
本发明涉及通信领域，特别是涉及一种基于量子计算的最小均方误差检测方法。
背景技术
1982年，Feynman描述了量子计算的巨大潜力，并且建议在量子力学原理的基础上构造量子计算机，以此来挖掘量子计算的潜力。进一步的，1994年Shor提出素数因子分解和离散对数问题的多项式时间量子算法；1995年Grover提出了在没有结构的搜索空间上进行搜索的量子算法。这些量子计算算法都展示了量子计算的特殊潜力，对传统的算法提供了加速。另一方面，随着技术和需求的增加，通信系统发展迅速，特别是大规模多输入多输出系统(Massive MIMO：Massive Multiple-Input Multiple-Output)系统作为移动通信领域的关键技术之一，现如今越来越受到青睐。由于大规模MIMO系统的研究存在大量基站天线来联合服务于多个用户的现象，因此这类研究涉及了很多高计算复杂度的问题，并且其中一部分至今也没有较好的处理方式。例如最小均方误差(MMSE：Minimum Mean SquareError)检测方法在大规模MIMO系统中有较多的应用，但为了避免复杂度为O(N3)的大规模矩阵求逆问题，研究人员只好牺牲部分检测性能来降低计算复杂度。近期，一些研究人员提出了基于诺伊曼级数的近似矩阵求逆，将大规模矩阵求逆的计算复杂度降到了O(N2)，但该计算复杂度对于大规模MIMO系统来说仍略显不足。
发明内容
发明目的：本发明的目的是提供一种基于量子计算的最小均方误差检测方法，将传统最小均方误差检测方法求解大规模矩阵求逆问题的复杂度降低至O(N log N)，从而更加适用于大规模多用户系统应用场景中并且得到更快的运算速度。
技术方案：为达到此目的，本发明采用以下技术方案：
本发明所述的基于量子计算的最小均方误差检测方法，包括以下步骤：
S1：根据基站天线和用户之间的链路距离设定阈值，稀疏化信道矩阵，进而得到稀疏的需求逆矩阵；
S2：将基站天线接收的传统信号制备成特定的量子态信号，将量子态信号输入到量子线性运算系统中，得到贮存线性方程解的量子纠缠态；
S3：将线性方程解从量子纠缠态中提取出来。
进一步，所述步骤S1中，稀疏化信道矩阵之后得到稀疏的信道矩阵为
Figure BDA0001898365650000011
Figure BDA0001898365650000012
的第n行、第k列的元素为
Figure BDA0001898365650000021
Figure BDA0001898365650000022
根据式(1)得到：
Figure BDA0001898365650000023
式(1)中，Hn，k为未稀疏化的信道矩阵的第n行、第k列的元素，bn，k为基站上第n根天线至第k个用户之间的链路距离，b0为设定的阈值。
进一步，所述步骤S1中，稀疏的需求逆矩阵为
Figure BDA0001898365650000024
Figure BDA0001898365650000025
根据式(2)得到：
Figure BDA0001898365650000026
式(2)中，D是一个K×K的对角矩阵，K为用户个数，D中对角线上的系数为慢衰系数；N0为用户发射信噪比的倒数，I为N阶单位矩阵，Γ根据式(3)得到：
Figure BDA0001898365650000027
式(3)中，
Figure BDA0001898365650000028
为
Figure BDA0001898365650000029
的第j列，
Figure BDA00018983656500000210
为
Figure BDA00018983656500000211
的第j列，Dj为D的对角线上的第j个元素，
Figure BDA00018983656500000212
Figure BDA00018983656500000213
为快衰信道矩阵，H中的元素Hn，k表示基站上第n根天线到第k个用户的快衰系数，N为天线的个数。
进一步，所述步骤S2中，制备得到的特定的量子态信号
Figure BDA00018983656500000214
为：
Figure BDA00018983656500000215
其中，将
Figure BDA00018983656500000216
和
Figure BDA00018983656500000217
在
Figure BDA00018983656500000218
的本征矢量基
Figure BDA00018983656500000219
上分解可得
Figure BDA00018983656500000220
Figure BDA00018983656500000221
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000222
Figure BDA00018983656500000223
在计算基上分解为
Figure BDA00018983656500000224
Figure BDA00018983656500000225
在计算基上分解为
Figure BDA00018983656500000226
Figure BDA00018983656500000227
为存入第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000228
Figure BDA00018983656500000229
为y的相位，y为输入信号，Cy≤1/max(yj)，yj为
Figure BDA00018983656500000230
的幅度，
Figure BDA00018983656500000231
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000232
μj为第j个本征矢量基，N为天线的个数；
量子线性运算系统包括七个量子寄存器，贮存线性方程解的量子纠缠态通过以下方法获得：
S2.1：对量子态信号进行酉操作和量子傅里叶变换操作，得到初始量子态
Figure BDA0001898365650000031
如式(4)所示；
Figure BDA0001898365650000032
式(4)中，
Figure BDA0001898365650000033
λj为
Figure BDA0001898365650000034
的第j个特征值，t0＝O(k1/ε)，k1为条件数，ε为量子线性运算系统中算法的精度阈值，
Figure BDA0001898365650000035
为存入了第一个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000036
Figure BDA0001898365650000037
为存入了第三个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000038
Figure BDA0001898365650000039
为存入了第三个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000310
S2.2：对初始量子态
Figure BDA00018983656500000311
进行量子受控旋转操作，该操作受控于第一个量子寄存器的状态，使得初始量子态
Figure BDA00018983656500000312
变为中间量子态
Figure BDA00018983656500000313
Figure BDA00018983656500000314
如式(5)所示；
Figure BDA00018983656500000315
式(5)中，C＝O(1/k1)，k1为条件数，
Figure BDA00018983656500000316
为存入了第四个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000317
Figure BDA00018983656500000318
为存入了第四个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000319
S2.3：实施逆相位估计操作，不计算第一个量子寄存器，并且只关注第三个量子寄存器和第四个量子寄存器同时为1时的量子纠缠态，通过式(6)得到该量子纠缠态
Figure BDA00018983656500000320
Figure BDA00018983656500000321
式(6)中，
Figure BDA00018983656500000322
进一步，所述步骤S3具体包括以下步骤：
S3.1：制备特定量子态
Figure BDA00018983656500000323
Figure BDA00018983656500000324
Cm≤1/max(mj)，mj是
Figure BDA00018983656500000325
的幅度，
Figure BDA00018983656500000326
在计算基上分解为
Figure BDA00018983656500000327
Figure BDA00018983656500000328
为
Figure BDA00018983656500000329
的相位，
Figure BDA00018983656500000330
在计算基上分解为
Figure BDA00018983656500000331
重写量子态
Figure BDA0001898365650000041
其中，下角标“5”表示第五个量子寄存器，下角标“6”表示第六个量子寄存器；
融合量子纠缠态
Figure BDA0001898365650000042
和初始化为0状态的第七个量子寄存器，根据式(7)得到
Figure BDA0001898365650000043
Figure BDA0001898365650000044
式(7)中，sin φs＝sin φysin φxsin φm，
Figure BDA0001898365650000045
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000046
x为解向量，
Figure BDA0001898365650000047
为存入了第五个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000048
Figure BDA0001898365650000049
为存入了第三个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000410
Figure BDA00018983656500000411
为存入了第四个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000412
Figure BDA00018983656500000413
为存入了第六个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000414
Figure BDA00018983656500000415
为存入了第七个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000416
S3.2：运用一次Hadamard门于第七个量子寄存器，在第二个量子寄存器与第五个量子寄存器之间运用一次受控量子交换操作，该交换操作由第七个量子寄存器状态为1时触发，最终再运用一次Hadamard门于第七个量子寄存器，将
Figure BDA00018983656500000417
变换成：
Figure BDA00018983656500000418
式(8)中，
Figure BDA00018983656500000419
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000420
Figure BDA00018983656500000421
为存入了第五个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000422
Figure BDA00018983656500000423
为存入了第七个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000424
S3.3：将
Figure BDA00018983656500000425
划分成两部分：
Figure BDA00018983656500000426
其中x||为x中与M平行的部分，x⊥为x中与M垂直的部分，M||为M中与x平行的部分，M⊥为M中与x垂直的部分；由此
Figure BDA00018983656500000427
变换成由两部分组成，如式(9)所示：
Figure BDA00018983656500000428
式(9)中，
Figure BDA00018983656500000429
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000430
Figure BDA00018983656500000431
为存入了第五个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000432
Figure BDA00018983656500000433
为存入了第五个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000434
Figure BDA00018983656500000435
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000436
Figure BDA00018983656500000437
为存入了第三个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000438
Figure BDA00018983656500000439
为存入了第四个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000440
Figure BDA00018983656500000441
为存入了第六个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000442
Figure BDA00018983656500000443
为存入了第七个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000051
S3.4：根据式(10)得到
Figure BDA0001898365650000052
Figure BDA0001898365650000053
式(10)中，sin4φx通过sin2φx取平方得到，sin2φx通过误差为ε的幅度估计方法估计得到，
Figure BDA0001898365650000054
是
Figure BDA0001898365650000055
在
Figure BDA0001898365650000056
的单位上的幅度，
Figure BDA0001898365650000057
为
Figure BDA0001898365650000058
在计算基上的归一化幅度，P1110为第三个量子寄存器、第四个量子寄存器和第六个量子寄存器状态同时为1并且第七个量子寄存器状态为0的检测概率，P1110＝sin2φs(|x|||2+|x⊥|2/2)，P1111为第三个量子寄存器、第四个量子寄存器、第六个量子寄存器和第七个量子寄存器状态同时为1的检测概率，P1111＝sin2φs|x⊥|2/2；
令
Figure BDA0001898365650000059
计算出解向量的第j个维度值
Figure BDA00018983656500000510
经过N次迭代后，获得最终的线性方程解
Figure BDA00018983656500000511
其中，
Figure BDA00018983656500000512
为稀疏的需求逆矩阵，
Figure BDA00018983656500000513
为输入信号。
有益效果：本发明公开了一种基于量子计算的最小均方误差检测方法，针对大规模通信系统中传统的最小均方误差检测方法涉及的大规模矩阵求逆问题，采用量子线性系统算法以及量子读取技术，降低了传统最小均方误差检测方法求解大规模矩阵求逆问题的复杂度，从而得到更稳定的检测性能，能更好的适用于如大规模MIMO系统在内的应用场景。
附图说明
图1为本发明具体实施方式中的方法流程图；
图2为本发明具体实施方式中的应用场景图；
图3为本发明具体实施方式中步骤S2和S3的流程图。
具体实施方式
下面结合具体实施方式对本发明的技术方案作进一步的介绍。
本具体实施方式公开了一种基于量子计算的最小均方误差检测方法，如图1所示，包括以下步骤：
S1：根据基站天线和用户之间的链路距离设定阈值，稀疏化信道矩阵，进而得到稀疏的需求逆矩阵；
S2：将基站天线接收的传统信号制备成特定的量子态信号，将量子态信号输入到量子线性运算系统中，得到贮存线性方程解的量子纠缠态；
S3：将线性方程解从量子纠缠态中提取出来。
图2为应用场景图。步骤S1中，稀疏化信道矩阵之后得到稀疏的信道矩阵为
Figure BDA0001898365650000061
Figure BDA0001898365650000062
的第n行、第k列的元素为
Figure BDA0001898365650000063
Figure BDA0001898365650000064
根据式(1)得到：
Figure BDA0001898365650000065
式(1)中，Hn，k为未稀疏化的信道矩阵的第n行、第k列的元素，bn，k为基站上第n根天线至第k个用户之间的链路距离，b0为设定的阈值。
步骤S1中，稀疏的需求逆矩阵为
Figure BDA0001898365650000066
Figure BDA0001898365650000067
根据式(2)得到：
Figure BDA0001898365650000068
式(2)中，D是一个K×K的对角矩阵，K为用户个数，D中对角线上的系数为慢衰系数；N0为用户发射信噪比的倒数，I为N阶单位矩阵，Γ根据式(3)得到：
Figure BDA0001898365650000069
式(3)中，
Figure BDA00018983656500000610
为
Figure BDA00018983656500000611
的第j列，
Figure BDA00018983656500000612
为
Figure BDA00018983656500000613
的第j列，Dj为D的对角线上的第j个元素，
Figure BDA00018983656500000614
为快衰信道矩阵，H中的元素Hn，k表示基站上第n根天线到第k个用户的快衰系数，N为天线的个数。
步骤S2和S3如图3所示。步骤S2中，制备得到的特定的量子态信号
Figure BDA00018983656500000615
为：
Figure BDA00018983656500000616
其中，将
Figure BDA00018983656500000617
和
Figure BDA00018983656500000618
在
Figure BDA00018983656500000619
的本征矢量基
Figure BDA00018983656500000620
上分解可得
Figure BDA00018983656500000621
Figure BDA00018983656500000622
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000623
Figure BDA00018983656500000624
在计算基上分解为
Figure BDA00018983656500000625
Figure BDA00018983656500000626
在计算基上分解为
Figure BDA00018983656500000627
Figure BDA00018983656500000628
为存入第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000629
Figure BDA00018983656500000630
为y的相位，y为输入信号，Cy≤1/max(yj)，yj为
Figure BDA0001898365650000071
的幅度，
Figure BDA0001898365650000072
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000073
μj为第j个本征矢量基，N为天线的个数；
量子线性运算系统包括七个量子寄存器，贮存线性方程解的量子纠缠态通过以下方法获得：
S2.1：对量子态信号进行酉操作和量子傅里叶变换操作，得到初始量子态
Figure BDA0001898365650000074
如式(4)所示；
Figure BDA0001898365650000075
式(4)中，
Figure BDA0001898365650000076
λj为
Figure BDA0001898365650000077
的第j个特征值，t0＝O(k1/ε)，k1为条件数，ε为量子线性运算系统中算法的精度阈值，
Figure BDA0001898365650000078
为存入了第一个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000079
Figure BDA00018983656500000710
为存入了第三个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000711
Figure BDA00018983656500000712
为存入了第三个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000713
S2.2：对初始量子态
Figure BDA00018983656500000714
进行量子受控旋转操作，该操作受控于第一个量子寄存器的状态，使得初始量子态
Figure BDA00018983656500000715
变为中间量子态
Figure BDA00018983656500000716
Figure BDA00018983656500000717
如式(5)所示；
Figure BDA00018983656500000718
式(5)中，C＝O(1/k1)，k1为条件数，
Figure BDA00018983656500000719
为存入了第四个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000720
Figure BDA00018983656500000721
为存入了第四个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000722
S2.3：实施逆相位估计操作，不计算第一个量子寄存器，并且只关注第三个量子寄存器和第四个量子寄存器同时为1时的量子纠缠态，通过式(6)得到该量子纠缠态
Figure BDA00018983656500000723
Figure BDA00018983656500000724
式(6)中，
Figure BDA00018983656500000725
步骤S3具体包括以下步骤：
S3.1：制备特定量子态
Figure BDA00018983656500000726
Figure BDA0001898365650000081
Cm≤1/max(mj)，mj是
Figure BDA0001898365650000082
的幅度，
Figure BDA0001898365650000083
在计算基上分解为
Figure BDA0001898365650000084
Figure BDA0001898365650000085
为
Figure BDA0001898365650000086
的相位，
Figure BDA0001898365650000087
在计算基上分解为
Figure BDA0001898365650000088
重写量子态
Figure BDA00018983656500000836
为
Figure BDA0001898365650000089
其中，下角标“5”表示第五个量子寄存器，下角标“6”表示第六个量子寄存器；
融合量子纠缠态
Figure BDA00018983656500000810
和初始化为0状态的第七个量子寄存器，根据式(7)得到
Figure BDA00018983656500000811
Figure BDA00018983656500000812
式(7)中，sin φs＝sin φysin φxsin φm，
Figure BDA00018983656500000813
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000814
x为解向量，
Figure BDA00018983656500000815
为存入了第五个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000816
Figure BDA00018983656500000817
为存入了第三个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000818
Figure BDA00018983656500000819
为存入了第四个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000820
Figure BDA00018983656500000821
为存入了第六个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000822
Figure BDA00018983656500000823
为存入了第七个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000824
S3.2：运用一次Hadamard门于第七个量子寄存器，在第二个量子寄存器与第五个量子寄存器之间运用一次受控量子交换操作，该交换操作由第七个量子寄存器状态为1时触发，最终再运用一次Hadamard门于第七个量子寄存器，将
Figure BDA00018983656500000825
变换成：
Figure BDA00018983656500000826
式(8)中，
Figure BDA00018983656500000827
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000828
Figure BDA00018983656500000829
为存入了第五个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000830
Figure BDA00018983656500000831
为存入了第七个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000832
S3.3：将
Figure BDA00018983656500000833
划分成两部分：
Figure BDA00018983656500000834
其中x||为x中与M平行的部分，x⊥为x中与M垂直的部分，M||为M中与x平行的部分，M⊥为M中与x垂直的部分；由此
Figure BDA00018983656500000835
变换成由两部分组成，如式(9)所示：
Figure BDA0001898365650000091
式(9)中，
Figure BDA0001898365650000092
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000093
Figure BDA0001898365650000094
为存入了第五个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000095
Figure BDA0001898365650000096
为存入了第五个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000097
Figure BDA0001898365650000098
为存入了第二个量子寄存器中的
Figure BDA0001898365650000099
Figure BDA00018983656500000910
为存入了第三个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000911
Figure BDA00018983656500000912
为存入了第四个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000913
Figure BDA00018983656500000914
为存入了第六个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000915
Figure BDA00018983656500000916
为存入了第七个量子寄存器中的
Figure BDA00018983656500000917
S3.4：根据式(10)得到
Figure BDA00018983656500000918
Figure BDA00018983656500000919
式(10)中，sin4φx通过sin2φx取平方得到，sin2φx通过误差为ε的幅度估计方法估计得到，
Figure BDA00018983656500000920
是
Figure BDA00018983656500000921
在
Figure BDA00018983656500000922
的单位上的幅度，
Figure BDA00018983656500000923
为
Figure BDA00018983656500000924
在计算基上的归一化幅度，P1110为第三个量子寄存器、第四个量子寄存器和第六个量子寄存器状态同时为1并且第七个量子寄存器状态为0的检测概率，P1110＝sin2φs(|x|||2+|x⊥|2/2)，P1111为第三个量子寄存器、第四个量子寄存器、第六个量子寄存器和第七个量子寄存器状态同时为1的检测概率，P1111＝sin2φs|x⊥|2/2；
令
Figure BDA00018983656500000925
计算出解向量的第j个维度值
Figure BDA00018983656500000926
经过N次迭代后，获得最终的线性方程解
Figure BDA00018983656500000927
其中，
Figure BDA00018983656500000928
为稀疏的需求逆矩阵，
Figure BDA00018983656500000929
为输入信号。
方法的复杂度如下：第一，受控酉操作U由稀疏Hamiltonian模拟技术制备，其复杂度为O[d4log(N)t0]；第二，在相位估计过程中，为了使算法精确度不超过ε，t0被设置为O(k/ε)；第三，sin2φy，sin2φm和sin2φx由误差为ε的幅度估计方法进行估计复杂度为O(1/ε)；最后，经过N次迭代后，可获得线性方程解
Figure BDA00018983656500000930
所以总的复杂度为O[d4k N log(N)/ε2]，关注
Figure BDA00018983656500000931
的维度N，本发明可得到O(N log N)的复杂度，降低了传统最小均方误差检测方法求解大规模矩阵求逆问题的复杂度，从而得到更稳定的检测性能，能更好的适用于如大规模MIMO系统在内的应用场景。

Claims (1)

1.一种基于量子计算的最小均方误差检测方法，其特征在于：包括以下步骤：
S1：根据基站天线和用户之间的链路距离设定阈值，稀疏化信道矩阵，进而得到稀疏的需求逆矩阵；稀疏化信道矩阵之后得到稀疏的信道矩阵为
Figure FDA0003952678420000011
Figure FDA0003952678420000012
的第n行、第k列的元素为
Figure FDA0003952678420000013
Figure FDA0003952678420000014
根据式(1)得到：
Figure FDA0003952678420000015
式(1)中，Hn,k为未稀疏化的信道矩阵的第n行、第k列的元素，bn,k为基站上第n根天线至第k个用户之间的链路距离，b0为设定的阈值；
稀疏的需求逆矩阵为
Figure FDA0003952678420000016
Figure FDA0003952678420000017
根据式(2)得到：
Figure FDA0003952678420000018
式(2)中，D是一个K×K的对角矩阵，K为用户个数，D中对角线上的系数为慢衰系数；N0为用户发射信噪比的倒数，I为N阶单位矩阵，Γ根据式(3)得到：
Figure FDA0003952678420000019
式(3)中，
Figure FDA00039526784200000110
为
Figure FDA00039526784200000111
的第j列，
Figure FDA00039526784200000112
为
Figure FDA00039526784200000113
的第j列，Dj为D的对角线上的第j个元素，
Figure FDA00039526784200000114
为快衰信道矩阵，H中的元素Hn,k表示基站上第n根天线到第k个用户的快衰系数，N为天线的个数；
S2：将基站天线接收的传统信号制备成特定的量子态信号，将量子态信号输入到量子线性运算系统中，得到贮存线性方程解的量子纠缠态；
制备得到的特定的量子态信号|yT>2,3为：
Figure FDA00039526784200000115
其中，将|y>和
Figure FDA00039526784200000116
在
Figure FDA00039526784200000117
的本征矢量基|μj>2上分解可得
Figure FDA00039526784200000118
Figure FDA00039526784200000119
|y>2为存入了第二个量子寄存器中的|y>，|y>在计算基上分解为
Figure FDA00039526784200000120
Figure FDA00039526784200000121
在计算基上分解为
Figure FDA00039526784200000122
为存入第二个量子寄存器中的
Figure FDA0003952678420000021
Figure FDA0003952678420000022
为y的相位，y为输入信号，Cy≤1/max(yj)，yj为|y>的幅度，|μj>2为存入了第二个量子寄存器中的|μj>，μj为第j个本征矢量基，N为天线的个数；
量子线性运算系统包括七个量子寄存器，贮存线性方程解的量子纠缠态通过以下方法获得：
S2.1：对量子态信号进行酉操作和量子傅里叶变换操作，得到初始量子态|Ψ>，如式(4)所示；
Figure FDA0003952678420000023
式(4)中，
Figure FDA0003952678420000024
λj为
Figure FDA0003952678420000025
的第j个特征值，t0＝O(k1/ε)，k1为条件数，ε为量子线性运算系统中算法的精度阈值，
Figure FDA0003952678420000026
为存入了第一个量子寄存器中的
Figure FDA0003952678420000027
|0>3为存入了第三个量子寄存器中的|0>，|1>3为存入了第三个量子寄存器中的|1>；
S2.2：对初始量子态|Ψ>进行量子受控旋转操作，该操作受控于第一个量子寄存器的状态，使得初始量子态|Ψ>变为中间量子态|Ψ>′，|Ψ>′如式(5)所示；
Figure FDA0003952678420000028
式(5)中，C＝O(1/k1)，k1为条件数，|0>4为存入了第四个量子寄存器中的|0>，|1>4为存入了第四个量子寄存器中的|1>；
S2.3：实施逆相位估计操作，不计算第一个量子寄存器，并且只关注第三个量子寄存器和第四个量子寄存器同时为1时的量子纠缠态，通过式(6)得到该量子纠缠态|Ψ0>；
|Ψ0>＝sinφysinφx|x>2|1>3|1>4                 (6)
式(6)中，
Figure FDA0003952678420000029
S3：将线性方程解从量子纠缠态中提取出来；具体包括以下步骤：
S3.1：制备特定量子态
Figure FDA0003952678420000031
Figure FDA0003952678420000032
Cm≤1/max(mj)，mj是|M>的幅度，|M>在计算基上分解为
Figure FDA0003952678420000033
Figure FDA0003952678420000034
为|M>的相位，
Figure FDA0003952678420000035
在计算基上分解为
Figure FDA0003952678420000036
重写量子态|MT>为
Figure FDA0003952678420000037
其中，下角标“5”表示第五个量子寄存器，下角标“6”表示第六个量子寄存器；
融合量子纠缠态|Ψ0>和初始化为0状态的第七个量子寄存器，根据式(7)得到|Ψc>：
|Ψc>＝sinφs|x>2|M>5|1>3|1>4|1>6|0>7               (7)
式(7)中，sinφs＝sinφysinφxsinφm，|x>2为存入了第二个量子寄存器中的|x>，x为解向量，|M>5为存入了第五个量子寄存器中的|M>，|1>3为存入了第三个量子寄存器中的|1>，|1>4为存入了第四个量子寄存器中的|1>，|1>6为存入了第六个量子寄存器中的|1>，|0>7为存入了第七个量子寄存器中的|0>；
S3.2：运用一次Hadamard门于第七个量子寄存器，在第二个量子寄存器与第五个量子寄存器之间运用一次受控量子交换操作，该交换操作由第七个量子寄存器状态为1时触发，最终再运用一次Hadamard门于第七个量子寄存器，将|Ψc>变换成：
Figure FDA0003952678420000038
式(8)中，|M>2为存入了第二个量子寄存器中的|M>，|x>5为存入了第五个量子寄存器中的|x>，|1>7为存入了第七个量子寄存器中的|1>；
S3.3：将|x>划分成两部分：|x>＝x|||M||>+x⊥|M⊥>，其中x||为x中与M平行的部分，x⊥为x中与M垂直的部分，M||为M中与x平行的部分，M⊥为M中与x垂直的部分；由此|Ψc>变换成由两部分组成，如式(9)所示：
Figure FDA0003952678420000041
式(9)中，|M||>2为存入了第二个量子寄存器中的|M||>，|M||>5为存入了第五个量子寄存器中的|M||>，|M⊥>5为存入了第五个量子寄存器中的|M⊥>，|M⊥>2为存入了第二个量子寄存器中的|M⊥>，|1>3为存入了第三个量子寄存器中的|1>，|1>4为存入了第四个量子寄存器中的|1>，|1>6为存入了第六个量子寄存器中的|1>，|0>7为存入了第七个量子寄存器中的|0>；
S3.4：根据式(10)得到|<Mu|xu>|2：
Figure FDA0003952678420000042
式(10)中，sin4φx通过sin2φx取平方得到，sin2φx通过误差为ε的幅度估计方法估计得到，
Figure FDA0003952678420000043
是|x>在|y>的单位上的幅度，
Figure FDA0003952678420000044
为|x>在计算基上的归一化幅度，P1110为第三个量子寄存器、第四个量子寄存器和第六个量子寄存器状态同时为1并且第七个量子寄存器状态为0的检测概率，P1110＝sin2φs(|x|||2+|x⊥|2/2)，P1111为第三个量子寄存器、第四个量子寄存器、第六个量子寄存器和第七个量子寄存器状态同时为1的检测概率，P1111＝sin2φs|x⊥|2/2；
令|Mu>＝|j>，计算出解向量的第j个维度值xj＝<j|xu>，经过N次迭代后，获得最终的线性方程解
Figure FDA0003952678420000045
其中，
Figure FDA0003952678420000046
为稀疏的需求逆矩阵，|y>为输入信号。
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