CN109522588A - 一种油井水泥环的水-热-力学多场耦合模型的建立及计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种油井水泥环的水‑热‑力学多场耦合模型的建立及计算方法，包括以下步骤：(1)建立孔隙水压力的本构模型，包括应力‑应变本构方程，及孔隙压力和单位体积材料内孔隙的体积变化量的本构方程：(2)增加由温度引起单位体积内的熵的变化量，建立考虑热效应的孔隙力学模型；(3)增加由温度梯度引起的孔隙溶液流量的变化量，建立考虑热渗流效应的本构模型：(4)建立油井水泥环的边界条件；(5)结合油井水泥环的边界条件，计算并获得油井水泥环内部的孔隙压力、径向有效应力和环向有效应力随时间和空间的分布曲线。本发明可测算并评估油井水泥环的受力和油井水泥环完整性和安全性。

Description

一种油井水泥环的水-热-力学多场耦合模型的建立及计算 方法

技术领域

本发明涉及计算机软件领域，具体涉及一种油井水泥环的水-热-力学多场耦合模型的建立及计算方法。

背景技术

页岩气，作为一种非常重要的非常规能源，越来越受到国家的重视。如图1和图2所示，水压裂方法已经成为页岩气开采的一种重要方法，在这个方法中，介于钢套管(Casing)和围岩(Formation)之间的油井水泥环(Cement Sheath)越来越成为薄弱环节。在地底下几千米处，油井水泥环遭受了高压-高热-高盐溶液等多种不利因素的作用。在页岩气开采过程中，由于深层地层的特殊条件所产生的困难，很难通过实验手段测定水泥环在几千米的受力和破坏情况，因此，现阶段更多的是利用科学的理论模型和/或模拟手段来计算油井水泥环在钻井中的受力情况并判断其破环情况。

在本领域内，已有的涉及油井水泥环力学行为计算的发明专利主要有以下几个方面的缺点：1)水泥基材料被视为一种连续材料，水泥环本质上是一种孔隙材料，内部的孔隙水压力对水泥环的作用经常受到忽视；2)围岩温度和钢套管内水温度的温差所导致的温度应力以及热量流动方程对水泥环的力学行为影响很大，而这部分影响往往不被传统的专利所重视；3)围岩温度和钢套管内水温度的温差除了会导致水泥环的温度应力，其温度梯度还会产生热渗作用(Thermo-osmotic effect)，这种效应对于水泥环这种高密实的孔隙材料的力学行为影响很大，但是，传统的专利往往没有考虑到这部分影响。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术中的不足，提供一种油井水泥的水-热-力学多场耦合模型的建立及计算方法。本发明基于所建立的考虑水泥环孔隙水压力、温度应力和热渗效应的水-热-力多场耦合模型，可以测算并评估油井水泥环的受力和油井水泥环完整性和安全性。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种油井水泥环的水-热-力学多场耦合模型的建立及计算方法，包括以下步骤：

(1)建立孔隙水压力的本构模型，包括下述公式(1.1)的应力-应变本构方程，和公式(1.2)的孔隙压力和单位体积材料内孔隙的体积变化量的本构方程：

其中，σ_ij为应力张量，ε_ij为应变张量，p为孔隙水压，ζ为单位体积材料内孔隙的体积的变化量，G为剪切刚度模量，ν为泊松比，α为Biot系数，M为Biot模量，ε为材料的体积应变，δ_ij为克罗内克符号，当i＝j时，δ_ij＝1，当i≠j时，δ_ij＝0；

(2)增加由温度引起单位体积内的熵的变化量，以建立考虑热效应的孔隙力学模型：

s＝α_dε-β_ep+m_dT (1.3)

其中，s为单位体积内的熵增，β_e为材料热膨胀系数，α_d为排水条件下的热弹性有效应力系数，m_d为体积比热容与初始温度的比值，T为实时温度与初始参考温度之差；

(3)增加由温度梯度引起的孔隙溶液流量的变化量，对传统的达西定律进行修正，建立考虑热渗流效应的本构模型：

其中，其中为孔隙水流量向量，其中为热流流量向量，κ为渗流系数，k_pT为热渗流系数，k_T为导热系数，▽p为孔隙水压梯度向量，▽T为温度梯度向量；

(4)建立油井水泥环的边界条件，利用Maple数值软件，计算式(1.1)-(1.6)中的未知参数；

(5)对式(1.1)-(1.6)进行拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换，结合油井水泥环的边界条件，计算并获得油井水泥环内部的孔隙压力、径向有效应力和环向有效应力随时间和空间的分布曲线。

进一步的，步骤(4)中建立油井水泥环的边界条件的具体步骤如下：

(401)、在边界r＝r₁处

σ^cas(r₁)＝-p_i (1.7)

其中，r₁为钢套管的内半径，σ^cas(r₁)为钢套管在r₁处的径向应力，p_i表示钢套管中的水压，下述式中符号中上标cas,cem和for分别表示钢套管、水泥环以及围岩中的参量；

(402)、在边界r＝r₂处

T(r₂)＝ΔT₀ (1.8)

其中，r₂为油井水泥环的内半径，和分别为r₂处的钢套管径向应力和油井水泥环的径向应力，和分别为r₂处的钢套管径向位移和油井水泥环的径向位移，为r₂处油井水泥环的径向水流量，ΔT₀表示套管中水温和围岩初始温度之差

(403)、在边界r＝r₃处

T(r₃)＝0 (1.12)

p^cem(r₃)＝p^for(r₃) (1.16)

其中，r₃为油井水泥环的外半径，和分别为r₃处的围岩径向应力和油井水泥环的径向应力，和分别为r₃处的围岩径向位移和油井水泥环的径向位移，和为r₃处油井水泥环和围岩的径向水流量，p^cem(r₃)和p^for(r₃)分别为r₃处油井水泥和围岩的孔隙水压；

(404)、在步骤(403)基础上，边界r＝r₃处还需遵循以下条件

p^for(r→∞)＝0 (1.18)

其中，和p^for(r→∞)分别表示无穷远处围岩的径向位移和孔隙水压。

与现有技术相比，本发明的技术方案所带来的有益效果是：

1.和传统将油井水泥视为连续介质不同，本方法将油井水泥视为孔隙材料，并建立了钢套管内压裂水所导致的水泥孔隙水压力及其对水泥环力学行为的影响；

2.和传统方法不同，本方法建立围岩和钢套管内压裂水温差所导致的温度应力及其对水泥环力学行为的影响；

3.和传统的达西定律不同，本方法建立了围岩和钢套管内压裂水温度梯度所产生的热渗流(Thermo-osmosis)，并计算了该热渗流对油井水泥环力学行为的影响。

4.通过本发明方法可以在页岩气开采过程中，同时考虑水-热-力耦合作用下，计算地下几千米处的油井水泥环的受力情况并评估油井水泥环完整性和安全性。

附图说明

图1是页岩气开采中钢套管-水泥环-围岩组合体边界条件示意图。

图2是页岩气开采中钢套管-水泥环-围岩组合体示意图。

图3是具体实施例中钢套管-水泥环-围岩体系的水-热-力学多场耦合模型计算方法实施的流程图。

图4是水泥环热渗效应的模拟结果和试验结果的比较图。

图5是水泥环孔隙水压力随时间的变化图。

图6是水泥环径向有效应力沿径向距离的分布图。

图7是水泥环环向有效应力沿径向距离的分布图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的描述。

本发明通过建立一种油井水泥环的水-热-力学多场耦合模型及计算方法，获取油井水泥孔隙材料内的孔隙水流量、孔隙压力和有效应力，其步骤如下：

1、建立水泥环以及围岩采用热孔弹性的本构模型。

步骤1.1、建立水泥环和围岩的热孔隙力学模型，包括考虑了单位体积内的熵增和孔隙水压力及温度之间关系的本构方程(1)，应力应变本构方程(2)，单位体积材料内孔隙的体积变化量和孔隙水压力及温度之间关系的本构方程(3)。这些模型的数学表达式分别如下：

s＝α_dε-β_ep+m_dT (1)

其中，σ_ij为应力张量，ε_ij为应变张量，p为孔隙水压，T为实时温度与温度之差，ζ为单位体积材料内孔隙的体积的变化量，s为单位体积内的熵增，G为剪切刚度模量。ν为泊松比，α为Biot系数，M为Biot模量，β_e为材料热膨胀系数，α_d为排水条件下的热弹性有效应力系数，m_d为体积比热容与初始温度的比值，ε为材料的体积应变，δ_ij为克罗内克符号，当i＝j时，δ_ij＝1，当i≠j时，δ_ij＝0。

步骤1.2、建立钢套管连续线弹性本构模型，钢套管没有孔隙水压力，采用连续线弹性本构模型，即方程(1)-(3)内的孔隙水压力为0。

步骤2、建立钢套管-油井水泥环-围岩体系(如图1所示)的平衡方程：

σ_ij,j＝0 (4)

步骤3、基于钢套管-油井水泥环-围岩体系的二维平面应变假设，建立钢套管-油井水泥环-围岩体系的应变-位移方程：

其中，ε_rr和ε_θθ分别为径向应变和环向应变，ε为二维平面应变状态下的总应变，u_r为径向位移。

步骤4、建立油井水泥环和围岩孔隙内的流体质量守恒方程：

其中为孔隙水流量向量。

步骤5、建立钢套管-油井水泥环-围岩体系的能量守恒方程。

步骤5.1建立钢套管-油井水泥环-围岩体系的内能守恒方程

其中，为热流流量向量，T₀为材料初始温度。

步骤5.2、考虑温度梯度引起了热渗流效应，建立钢套管-油井水泥环-围岩体系的渗流和传热过程本构方程为：

其中，κ为渗流系数，k_pT为热渗流系数，k_T为导热系数，▽p为孔隙水压梯度向量，▽T为温度梯度向量。

步骤6、对方程(1)-(8),进行拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换，结合钢套管-油井水泥环-围岩体系具体的边界条件，计算油井水泥环内部的孔隙压力、径向有效有效应力和环向有效应力随时间和空间的分布曲线。

步骤6.1、建立方程(1)-(8)的拉普拉斯空间下的解析解，见下面的方程(9)-(18)，

T^o＝C₁I₀(ξ_T)+C₂K₀(ξ_T) (10)

b＝-c_gg^o

g^o＝2C₅ (16)

其中，s为Laplace空间下与时间t对应的频域变量，各式中，上角标o表示拉普拉斯空间下的各物理量。I_n,K_n(n＝1,2)为两类变态贝塞尔函数，C_m(m＝1,2,...,6)为由边界条件确定的待定常数，β_c为孔隙材料均质化热膨胀系数， g^o,ξ_p,ξ_T为中间参数，无明确的物理意义。

步骤6.2、建立钢套管-油井水泥环-围岩体系的边界条件，输入表1所示的模型参数，包括水泥环的几何、物理力学和时间参数和边界条件。

表1材料参数取值(该表所用材料参数中，水泥环的剪切模量大于围岩)

具体的边界条件可分为下面四部分：

(1)、在边界r＝r₁处

σ^cas(r₁)＝-p_i (19)

其中，r₁为钢套管的内径，σ^cas(r₁)为钢套管在r₁处的径向应力，p_i表示钢套管中的水压，下面式子符号中上标cas,cem和for分别表示钢套管、水泥环以及围岩中的参量。

(2)、在边界r＝r₂处

T(r₂)＝ΔT₀ (20)

其中，r₂为油井水泥环的内径，和分别为r₂处的钢套管径向应力和油井水泥环的径向应力，和分别为r₂处的钢套管径向位移和油井水泥环的径向位移，为r₂处油井水泥环的径向水流量，ΔT₀表示套管中水温和围岩初始温度之差

(3)、在边界r＝r₃处

T(r₃)＝0 (24)

p^cem(r₃)＝p^for(r₃) (28)

其中，r₃为油井水泥环的外径，和分别为r₃处的围岩径向应力和油井水泥环的径向应力，和分别为r₃处的围岩径向位移和油井水泥环的径向位移，和为r₃处油井水泥环和围岩的径向水流量，p^cem(r₃)和p^for(r₃)分别为r₃处油井水泥和围岩的孔隙水压。

(4)、在上述步骤(3)基础上，边界r＝r₃处还需遵循以下条件

p^for(r→∞)＝0 (30)

其中，和p^for(r→∞)分别表示无穷远处围岩的径向位移和孔隙水压。

将边界条件方程(19)-(30)代入方程(9)-(18)，利用Maple数值软件，计算方程(9)-(18)(即方程(1)-(8))本构模型中的参数。

步骤6.3、对拉普拉斯空间内方程(9)-(18)进行拉普拉斯逆变换，本实施例中采用Stehfast算法进行拉普拉斯逆变换(方程(31))反演出水泥环中各力学参量的时域数值解：

其中，f代表逆变换后得到的时域函数，F代表拉普拉斯空间内的原函数(即方程(9)-(18)的最左边项)，其中N取2～12之间的偶数。利用Stehfast算法，通过对方程(9)-(18)的拉普拉斯逆变换，最终可以获取油井水泥孔隙材料内的孔隙水流量、孔隙压力、有效应力(包括径向应力和切向应力)，位移随时间的变化曲线。最后进行数据、曲线图输出。

本发明计算部分的总体设计流程见图3。该力学算法程序所需参数来自于软件界面参数的输入，软件界面绘制程序为相对独立的程序；内部算法完成计算后，将计算结果传递给图像绘制程序和力学参数结果程序，并将结果显示在软件界面的结果显示区；最终，计算结果由结果导出程序完成结果导出。该平台基于Unity3d软件和C#语言而开发，旨在实现该平台与用户交互式操作，计算不同工况下油井水泥的某些力学性质变化。

图4展示的考虑了热渗效应的模型结果和传统模型(不考虑热渗效应)结果和试验结果的比较。通过模拟结果和试验结果可以发现，本发明所建立的模型考虑了热渗效应并能很好的重现试验结果，且我们的模型有较高的精确度。

图5为钢套管水裂压力(无温差)作用下，油井水泥环内孔隙压力的消逝过程。图6-7为孔隙水和深地围岩温度差值作用下的水泥环的径向有效应力和环向有效应力随水泥环距离圆心位置的变换情况。由于实际工程中，深达几千米的地下环境，限制了试验的开展，石油工程师对地下高压、高温复杂环境作用下的水泥环受力情况了解有限，这些模拟结果弥补了这些缺憾，能够为石油工程师现场固井操作提供设计和施工参考。

本发明并不限于上文描述的实施方式。以上对具体实施方式的描述旨在描述和说明本发明的技术方案，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，并不是限制性的。在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，本领域的普通技术人员在本发明的启示下还可做出很多形式的具体变换，这些均属于本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种油井水泥环的水-热-力学多场耦合模型的建立及计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立孔隙水压力的本构模型，包括下述公式(1.1)的应力-应变本构方程，和公式(1.2)的孔隙压力和单位体积材料内孔隙体积变化量的本构方程：

其中，σ_ij为应力张量，ε_ij为应变张量，p为孔隙水压，ζ为单位体积材料内孔隙的体积的变化量，G为剪切刚度模量，ν为泊松比，α为Biot系数，M为Biot模量，ε为材料的体积应变，δ_ij为克罗内克符号，当i＝j时，δ_ij＝1，当i≠j时，δ_ij＝0；

(2)增加由温度引起的孔隙材料内部单位体积内熵的变化量，以建立考虑热效应的孔隙力学模型：

s＝α_dε-β_ep+m_dT (1.3)

其中，s为单位体积内的熵增，β_e为材料热膨胀系数，α_d为排水条件下的热弹性有效应力系数，m_d为体积比热容与初始温度的比值，T为实时温度与初始参考温度之差；

(3)增加由温度梯度引起的孔隙溶液流量的变化量，对传统的达西定律进行修正，建立考虑热渗流效应的本构模型：

其中，其中为孔隙水流量向量，其中为热流流量向量，κ为渗流系数，k_pT为热渗流系数，k_T为导热系数，▽p为孔隙水压梯度向量，▽T为温度梯度向量；

(4)建立油井水泥环的边界条件，利用Maple数值软件，计算式(1.1)-(1.6)中的未知参数；

(5)对式(1.1)-(1.6)进行拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换，结合油井水泥环的边界条件，计算并获得油井水泥环内部的孔隙压力、径向有效应力和环向有效应力随时间和空间的分布曲线。

2.根据权利要求1所述一种油井水泥环的水-热-力学多场耦合模型的建立及计算方法，其特征在于，步骤(4)中建立油井水泥环的边界条件的具体步骤如下：

(401)、在边界r＝r₁处

σ^cas(r₁)＝-p_i (1.7)

其中，r₁为钢套管的内半径，σ^cas(r₁)为钢套管在r₁处的径向应力，p_i表示钢套管中的水压，下述式中符号中上标cas,cem和for分别表示钢套管、水泥环以及围岩中的参量；

(402)、在边界r＝r₂处

T(r₂)＝ΔT₀ (1.8)

其中，r₂为油井水泥环的内半径，和分别为r₂处的钢套管径向应力和油井水泥环的径向应力，和分别为r₂处的钢套管径向位移和油井水泥环的径向位移，为r₂处油井水泥环的径向水流量，ΔT₀表示套管中水温和围岩初始温度之差

(403)、在边界r＝r₃处

T(r₃)＝0 (1.12)

p^cem(r₃)＝p^for(r₃) (1.16)

其中，r₃为油井水泥环的外半径，和分别为r₃处的围岩径向应力和油井水泥环的径向应力，和分别为r₃处的围岩径向位移和油井水泥环的径向位移，和为r₃处油井水泥环和围岩的径向水流量，p^cem(r₃)和p^for(r₃)分别为r₃处油井水泥和围岩的孔隙水压；

(404)、在步骤(403)基础上，边界r＝r₃处还需遵循以下条件

p^for(r→∞)＝0 (1.18)

其中，和p^for(r→∞)分别表示无穷远处围岩的径向位移和孔隙水压。