CN109356626B - 一种基于覆岩移动边界形态留设保护煤柱宽度的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于覆岩移动边界形态留设保护煤柱宽度的方法，包括以下步骤：（1）收集并确定开采矿区的移动参数；（2）确定基岩和松散层移动边界形态；（3）根据移动参数和边界形态确定基岩和松散层的移动边界方程；（4）根据开采矿区基岩和松散层移动边界方程和被保护对象的位置设计保护煤柱宽度。本发明中被保护对象的保护煤柱宽度是根据覆岩移动边界实际形态确定的，能够准确使被保护对象处于开采影响范围外，为煤矿地下空间的利用提供了强有力的工具。
Description
技术领域
本发明属于煤系地层研究领域，具体涉及一种基于覆岩移动边界形态留设保护煤柱宽度的方法。
背景技术
煤系地层属于典型的层状岩层，地下煤层开采后会引起一定范围内岩层的移动，如下沉和水平位移，岩层移动边界是指煤层开采后岩层产生移动与未产生移动的分界线。岩层移动边界是岩层移动变形预计、煤炭开采范围外的地面房屋、地下巷道和构筑物保护的基础和前提。传统上岩层移动边界被认为是一条直线，根据这一认识建立了地表与覆岩内部岩层移动变形关系的数学表达式，但预测结果并不能很好地符合现场实测数据。徐州大黄山矿按直线岩层移动边界设计了暗立井的保护煤柱宽度，但开采保护煤柱外的3303和3304工作面时，暗立井却出现了井壁脱落、裂缝等现象。平顶山一矿为保护丁戊三乘人巷，乘人巷底板戊10煤层留有按直线岩层移动边界设计的90m乘人巷保护煤柱，但工作面回采期间，乘人巷仍产生严重变形。这些工程实践说明岩层移动边界可能不是直线。事实上，煤层开挖后，不同高度岩层应力大小和分布范围具有差异性，导致不同层位的岩层移动变形梯度不同，由于梯度的方向就是移动边界线的法线方向，所以移动边界的扩展方向是变化的，而不是从煤层向地表直线发展。
地表移动边界由于与地面生活环境紧密联系而得到了充分的研究。尤其是在人口密集的矿区，地面有村庄、工业厂区、铁路线及垃圾场等，为了保护这些地面建(构)筑物，许多学者对地表移动边界和保护煤柱宽度的留设进行了研究。此外还研究了地表移动边界与覆岩岩性的关系。地下移动边界研究方法有限，现场只能通过在地面不同位置布置钻孔进行测量，但测量的是超前影响边界，不是静态岩层移动边界，且观测数据极少、信服力不足。数值模拟结果表明岩层移动边界线并不是直线而是一条向上凸的幂函数曲线。相似模拟实验结果表明基岩移动边界在切眼侧和停采线侧分别是一条向上凸和向上凹的曲线，或呈现出“S”型曲线。在概率积分法的基础上，假设岩层内部的主要影响角与层位以及埋深满足一定的关系，可以得到地下岩层开采影响半径与地表开采影响半径间的关系式，根据所给出的关系式可以知道，岩层移动边界线随参数变化有两种曲线形态，即上凹形和上凸形。目前，岩层移动边界方面的研究极其有限，现有的研究还不能确切地说明岩层移动边界的形态，更没有区分研究物理力学特性差异较大的基岩和松散层的移动边界形态。
发明内容
本发明提供一种基于覆岩移动边界形态留设保护煤柱宽度的方法，能准确使保护对象处于开采影响范围外，为煤矿地下空间的利用提供了强有力的工具。
为了解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：
一种基于覆岩移动边界形态留设保护煤柱宽度的方法，包括以下步骤：
步骤(1)，收集并确定矿区的移动参数；
步骤(2)，确定基岩的移动边界形态，具体为：
将覆岩任意一层岩层视为均匀各向同性的平面应变长梁，并认为岩层的厚度、力学性质沿轴向不变化，岩层上下表面受方向相反的摩擦力作用，近似认为上下表面摩擦系数、支撑力和载荷大小相等，进而忽略摩擦力的影响并忽略轴向力的作用，岩层上部的均布载荷在岩层沉积过程中就存在，不计入对岩层造成的下沉，岩层只受到端部弯矩Mi和横向剪力Fi的作用，其中i代表从煤层开始往上数的第i层岩层，假设垫层的变形符合温克尔假设，其中垫层指覆岩中第i层岩层以下所有岩层的集合，则岩层下沉的微分方程为
式中Ei为第i层岩层的弹性模量，Ii为第i层岩层的截面惯性矩、Eif为垫层的综合弹性模量、Hi为第i层岩层到煤层底板的距离，wi为第i层岩层任意点的下沉，x为任意点的横坐标，令
因此，βi为随第i层岩层的截面惯性矩Ii、垫层的综合弹性模量Eif、第i层岩层到煤层底板的距离Hi、第i层岩层的弹性模量Ei变化的变量，则式(1)变为
四阶常微分方程(2)的通解为
式中，Ai、Bi、Ci、Di为第i层岩层下沉表达式中的常数。由于煤层开采后的影响范围总是有限的，因此在无穷远处有边界条件wi(∞)＝0，由式(3)可知，Ai＝Bi＝0，因此，式(3)变为
根据内力与岩层下沉之间的关系可得
式中，Mi和Fi分别为第i层岩层任意位置处的端部弯矩和横向剪力。又因在坐标原点对应位置的边界条件为Mi＝EiIiw＂i0，Fi＝EiIiw＂i0，式中wi0为第i层岩层坐标原点处的下沉，0代表坐标原点，把边界条件带入式(5)就可得到用边界条件表达的岩层下沉方程
对式(6)进行三角变换得
式中，
为位移波的初相，
由式(7)可知，在弯矩和横向剪力的作用下，岩层的竖向位移为按照负指数函数
规律衰减的余弦函数，且半周期后，竖向位移可忽略不计，
式(7)为第i层岩层在自身载荷作用下的下沉，没有考虑下部岩层下沉的叠加效果，当把下部岩层的下沉叠加到第i层岩层的下沉后，则第i层岩层的下沉为
以第一个零点下沉作为第i层岩层的移动边界，则计算岩层的下沉范围为
根据三角函数求和原则可知，不同角频率三角函数相加后的三角函数的角频率为求和之前最小的一个，即β＝minβk(k＝1…i)，由于随着岩层层位的变高，β不断减小，所以βi<βi-1，因此，β＝βi，此时，式(9)变为
根据开采影响角γi与第i层岩层埋深Hi的几何关系，其中开采影响角是用来确定保护煤柱宽度的一个无量纲角度，可得相邻两层岩层间的开采影响角之差为：
其中，
为第i层岩层考虑下沉叠加后的初相，因为
又Ii、Eif、Ei为常数，因此βi与Hi的关系可以简化为
中，其中，ki为与Ii、Eif、Ei有关的常数，把βi带入式(11)可得
化简(12)可以得到
其中，
为两者的最大值，由于开采边界上覆岩层的下沉与初相的余弦函数相等，而当计算岩层靠近地表时，由于下沉的叠加效应，开采边界上覆岩层的下沉不断增大，所以初相
不断减小，也就是
由式(13)可知，Δγi<0，所以γi＜γi-1，即越靠近地表，岩层的开采影响角越小，进而基岩移动边界是一条上凹型曲线；
步骤(3)，确定松散层的移动边界形态，具体为：
二维随机介质理论模型中任意颗粒的下沉有如下微分方程
式中，A为任意常数，式(14)是一个二阶抛物线型的偏微分方程，为了求得其解，根据采矿实际列出如下边界条件
w(x,0)＝δ(x) (15)
式中δ(x)为狄拉克数，其定义为
根据二阶抛物线型偏微分方程的解法，得
式(17)中的常数A与式(14)中的常数A相同，式(17)表明下沉随层位是变化的，且开采导致的影响范围在理论上为无穷远，为了求得松散层移动边界的形态，以最大下沉一定百分比作为移动边界，可得不同层位的移动边界范围为
x2＝By (18)
式中B为正的常数，对式(18)求二阶导数并根据高等数学知识关于曲线凹凸性判别定理，松散层移动边界是一条向上凹的曲线；
步骤(4)，
根据步骤(1)得到的矿区移动参数以及步骤(2)得到的基岩移动边界形态确定基岩的移动边界方程，
根据步骤(1)得到的矿区移动参数以及步骤(3)得到的松散层移动边界形态确定松散层的移动边界方程；
步骤(5)，根据步骤(4)得到的基岩和松散层的移动边界方程以及被保护对象的位置设计保护煤柱宽度，具体为：
(a)，工作面回采后，根据实际情况计算并画出岩层移动边界，
(b)，确定煤层顶板被保护对象所在水平与岩层移动边界的交点，作出该交点在开采煤层上的投影点，
(c)，工作面边界与投影点间的距离即为煤层顶板被保护对象的保护煤柱宽度。
进一步地，步骤(1)中，
当保护工作面与相邻工作面地质条件和埋深相似时，移动参数根据相邻开采工作面的实测数据通过数学反演的手段得到；
当保护工作面与相邻工作面地质条件和埋深不相似时，移动参数根据岩层柱状图、岩石的物理力学参数通过数值模拟手段得到或根据相邻矿区经验数据取值；
当保护工作面与相邻工作面地质条件和埋深相似，但缺少移动参数测试的现场条件或设备时，移动参数根据数值模拟结果或相邻矿区经验数据直接得到。
进一步地，步骤(4)中，确定基岩和松散层移动边界方程的具体方法为：
基岩和松散层移动边界都是向上凹的幂函数曲线，但由于基岩和松散层的物理力学性质不同，基岩和松散层的移动边界形态并不完全一样，
以开采边界为坐标原点建立坐标系，则基岩和松散层的移动边界线方程分别如式(19)和(20)所示，
[r(y)-r0]n＝By y＜Hr (19)
其中，B、B1、n和n1为系数，且n和n1大于1，r为地表主要影响半径，r1为基岩顶界面的主要影响半径，r0为煤层的主要影响半径，Hr为基岩厚度，当松散层较薄或松散层移动边界线与基岩移动边界线连续光滑时，整个覆岩移动边界方程用式(19)表示。
相对于现有技术，本发明的有益效果为：
本发明提出的保护煤柱宽度留设方法是根据覆岩移动边界实际形态确定的，能够准确使保护对象处于开采影响范围外，为煤矿地下空间的利用提供了强有力的工具，本发明理论基础严谨，可操作性强，并且充分考虑了覆岩移动边界形态的非线性特征，能够对不同矿区保护煤柱宽度的计算精确化，避免了使用以往按直线移动边界留设保护煤柱的偏危险的方法，对于煤矿地下空间的利用、水体下采煤、巷道和构筑物的保护具有一定的优势。
附图说明
图1为本发明中保护煤柱宽度留设步骤示意图；
图2为覆岩下沉弹性地基梁力学模型示意图；
图3为不同岩层移动边界形态对应的开采影响角示意图；
图4为基岩和松散层移动边界示意图；
图5为巷道位置与保护煤柱宽度设计示意图；
图6为乘人巷与工作面的平面示意图；
图7为图6中A-A方向结构示意图；
图8为乘人巷顶底板下沉量示意图；
图9为按岩层移动边界留设的乘人巷保护煤柱宽度示意图。
具体实施方式
一种基于覆岩移动边界形态留设保护煤柱宽度的方法，包括以下步骤：
步骤(1)，收集并确定矿区的移动参数，具体为：
当保护工作面与相邻工作面地质条件和埋深相似时，移动参数根据相邻开采工作面的实测数据通过数学反演的手段得到，
当保护工作面与相邻工作面地质条件和埋深不相似时，移动参数根据岩层柱状图、岩石的物理力学参数通过数值模拟手段得到或根据相邻矿区经验数据取值，
当保护工作面与相邻工作面地质条件和埋深相似，但缺少移动参数测试的现场条件或设备时，移动参数根据数值模拟结果或相邻矿区经验数据直接得到；
步骤(2)，确定基岩的移动边界形态，具体为：
将覆岩任意一层岩层视为均匀各向同性的平面应变长梁，并认为岩层的厚度、力学性质沿轴向不变化，岩层上下表面受方向相反的摩擦力作用，近似认为上下表面摩擦系数、支撑力和载荷大小相等，进而忽略摩擦力的影响并忽略轴向力的作用，岩层上部的均布载荷在岩层沉积过程中就存在，不计入对岩层造成的下沉，岩层只受到端部弯矩Mi和横向剪力Fi的作用，如图2所示，其中i代表从煤层开始往上数的第i层岩层，假设垫层的变形符合温克尔假设，其中垫层指覆岩中第i层岩层以下所有岩层的集合，则岩层下沉的微分方程为
式中Ei为第i层岩层的弹性模量，Ii为第i层岩层的截面惯性矩、Eif为垫层的综合弹性模量、Hi为第i层岩层到煤层底板的距离，wi为第i层岩层任意点的下沉，x为任意点的横坐标，令
因此，βi为随第i层岩层的截面惯性矩Ii、垫层的综合弹性模量Eif、第i层岩层到煤层底板的距离Hi、第i层岩层的弹性模量Ei变化的变量，则式(1)变为
四阶常微分方程(2)的通解为
式中，Ai、Bi、Ci、Di为第i层岩层下沉表达式中的常数。由于煤层开采后的影响范围总是有限的，因此在无穷远处有边界条件wi(∞)＝0，由式(3)可知，Ai＝Bi＝0，因此，式(3)变为
根据内力与岩层下沉之间的关系可得
式中，Mi和Fi分别为第i层岩层任意位置处的端部弯矩和横向剪力。又因在坐标原点对应位置的边界条件为Mi＝EiIiw＂i0，Fi＝EiIiw＂i0，式中wi0为第i层岩层坐标原点处的下沉，0代表坐标原点，把边界条件带入式(5)就可得到用边界条件表达的岩层下沉方程
对式(6)进行三角变换得
式中，
为位移波的初相，
由式(7)可知，在弯矩和横向剪力的作用下，岩层的竖向位移为按照负指数函数
规律衰减的余弦函数，且半周期后，竖向位移可忽略不计。
式(7)为第i层岩层在自身载荷作用下的下沉，没有考虑下部岩层下沉的叠加效果，当把下部岩层的下沉叠加到第i层岩层的下沉后，则第i层岩层的下沉为
以第一个零点下沉作为第i层岩层的移动边界，则计算岩层的下沉范围为
根据三角函数求和原则可知，不同角频率三角函数相加后的三角函数的角频率为求和之前最小的一个，即β＝minβk(k＝1…i)，由于随着岩层层位的变高，β不断减小，所以βi<βi-1，因此，β＝βi，此时，式(9)变为
根据开采影响角γi与第i层岩层埋深Hi的几何关系，其中开采影响角是用来确定保护煤柱宽度的一个无量纲角度，可得相邻两层岩层间的开采影响角之差为：
其中，
为第i层岩层考虑下沉叠加后的初相，因为
又Ii、Eif、Ei为常数，因此βi与Hi的关系可以简化为
中，其中，ki为与Ii、Eif、Ei有关的常数，把βi带入式(11)可得
化简(12)可以得到
其中，
为两者的最大值，由于开采边界上覆岩层的下沉与初相的余弦函数相等，而当计算岩层靠近地表时，由于下沉的叠加效应，开采边界上覆岩层的下沉不断增大，所以初相
不断减小，也就是
由式(13)可知，Δγi<0，所以γi＜γi-1，即越靠近地表，岩层的开采影响角越小，
如图3所示，γ1、γ2、γ3为不同层位的开采影响角，图3中，若CD为岩层移动边界线，当点C与点O重合时，开采影响角不随层位而变化，所以岩层移动边界不是直线，当曲线DAC为移动边界线时，从图3可以看出γ1＜γ3，即对于上凸型曲线DAC，一定层位以后，越靠近地表，开采影响角越大，所以岩层移动边界不是上凸型曲线，当曲线DBC为移动边界线时，从图3可以看出γ2＜γ3，即对于上凹型曲线DBC，越靠近地表，岩层的开采影响角越小，所以基岩移动边界是一条上凹型曲线；
步骤(3)，确定松散层的移动边界形态，具体为：
二维随机介质理论模型中任意颗粒的下沉有如下微分方程
式中，A为任意常数，式(14)是一个二阶抛物线型的偏微分方程，为了求得其解，根据采矿实际列出如下边界条件
w(x,0)＝δ(x) (15)
式中δ(x)为狄拉克数，其定义为
根据二阶抛物线型偏微分方程的解法，得
式(17)中的常数A与式(14)中的常数A相同，式(17)表明下沉随层位是变化的，且开采导致的影响范围在理论上为无穷远，为了求得松散层移动边界的形态，以最大下沉一定百分比作为移动边界，可得不同层位的移动边界范围为
x2＝By (18)
式中B为正的常数，对式(18)求二阶导数并根据高等数学知识关于曲线凹凸性判别定理，松散层移动边界是一条向上凹的曲线，由于松散层通常具有一定的粘性，所以松散层移动边界线方程不一定为式(18)表示的抛物线；
步骤(4)，
根据步骤(1)得到的矿区移动参数以及步骤(2)得到的基岩移动边界形态确定基岩的移动边界方程，
根据步骤(1)得到的矿区移动参数以及步骤(3)得到的松散层移动边界形态确定松散层的移动边界方程，
具体为：
基岩和松散层移动边界都是向上凹的幂函数曲线，但由于基岩和松散层的物理力学性质不同，基岩和松散层的移动边界形态并不完全一样，且由于不同矿区具有不同的覆岩特性，因此不同矿区的岩层移动边界线方程不一样，
如图4所示，以开采边界为坐标原点，建立坐标系，则基岩和松散层的移动边界线方程分别如式(19)和(20)所示，
[r(y)-r0]n＝By y＜Hr (19)
其中，B、B1、n和n1为系数，且n和n1大于1，r为地表主要影响半径，r1为基岩顶界面的主要影响半径，r0为煤层的主要影响半径，Hr为基岩厚度，当松散层较薄或松散层移动边界线与基岩移动边界线连续光滑时，整个覆岩移动边界方程用式(19)表示，图4中H为地表到煤层的厚度；
步骤(5)，根据步骤(4)得到的基岩和松散层的移动边界方程设计保护煤柱宽度，
岩层移动边界是划定工作面上覆岩层是否受工作面回采影响的边界线，岩层移动边界内侧开采煤层上覆岩层受工作面回采影响位移发生改变，而岩层移动边界外侧开采煤层上覆岩层基本处于未受开采影响的状态，如图5所示，基岩和松散层移动边界由开采煤层向地表呈上凹式延伸，移动边界距开采边界的水平距离随着距开采煤层高度的增大而逐渐增大，但增大趋势逐渐减小，因此，为保证顶板巷道或者井下建筑物不受工作面回采影响，保护煤柱的宽度需要根据岩层移动边界形态和被保护对象的位置进行设计，
具体为：
(a)，工作面回采后，根据实际情况计算并画出岩层移动边界，
(b)，确定煤层顶板被保护对象所在水平与岩层移动边界的交点，作出该交点在开采煤层上的投影点，
(c)，工作面边界与投影点间的距离即为煤层顶板被保护对象的保护煤柱宽度。
工作面回采后上覆岩层移动边界如图5所示，图5中γ为传统按直线画出岩层移动边界与竖向线间的夹角，也是曲线岩层移动边界与地表的交点和开采边界的连线与竖向线间的夹角，用来确定保护煤柱的宽度，□表示巷道，工作面回采后，按传统方法得到的巷道位置在A处，此时巷道保护煤柱宽度应为a(保护煤柱宽度由被保护物向煤层做垂线得到)，而曲线岩层移动边界设计的巷道位置在B处，由图5知a＜b，则巷道A仍位于采动影响范围内，因此按传统的直线岩层移动边界设计顶板巷道保护煤柱宽度时，巷道仍受工作面回采影响而产生变形，不能满足设计要求，而基于曲线岩层移动边界设计顶板巷道保护煤柱时可以使巷道和井下建筑物处于开采影响范围外，能够更好地满足工程实践，此外，保护煤柱的宽度设计还需要考虑受保护物的层位，由图5可以看出，巷道B和巷道C位于不同的高度，虽然留设的保护煤柱宽度一样，但巷道C受采动影响，而巷道B位于采动影响范围外，因此岩层移动边界形态和受保护物的位置是保护物煤柱宽度设计需要同时考虑的重要因素。
实施例
平顶山天安煤业股份有限公司一矿丁戊三乘人巷(简称：乘人巷)埋深约440m，黄土厚5.1m左右，乘人巷的巷道断面尺寸为(宽×高)4.2m×3.0m，采用锚杆锚索联合支护方式，锚杆直径Φ＝20mm，长L＝2.2m，间排距为700mm×700mm，锚索直径Φ＝20mm，长L＝7.0m。乘人巷底板戊10煤层中布置有戊10-21210、戊10-31010工作面，图6为乘人巷与工作面的平面示意图，图7为图6中A-A方向结构示意图。
如图6所示，图中1#～20#表示布置在乘人巷中的测点编号，戊10-31010工作面中Ⅰ～Ⅴ分别为2012年1～5月份工作面回采位置，工作面于2012年7月2日回采结束，戊10-21210工作面中Ⅷ～Ⅻ分别为2011年8～12月份工作面回采位置，工作面于2012年1月回采结束。乘人巷相邻巷道为丁戊三东大巷(简称：东大巷)、丁戊三总回风巷(简称：回风巷)。如图7所示，21210与31010工作面间留有255m顶板巷道保护煤柱，其中为保护乘人巷，31010工作面回风巷侧煤柱宽度为90m，在21210工作面轨道巷侧留有165m的东大巷保护煤柱，乘人巷与戊10煤层间垂直距离为85m。
为观测乘人巷受工作面开采影响的变形特征，在乘人巷中每隔50m布置一个测点，共20个测点，测点布置位置如图6所示，后期观测中采用“十字测量法”测量巷道顶底板数据，并于2012年1月21日测量出巷道顶底板初始数据。
实测小组分别于2012年2月12日、3月10日、4月6日、4月30日、6月9日、7月7日对乘人巷顶底板进行多次现场实测，顶底板下沉实测结果如图8所示。在21210工作面停采后，31010工作面回采之前，乘人巷顶底板基本无变形，因此21210工作面的回采对巷道基本无影响。31010工作面开始回采至2012年7月时，乘人巷出现不同程度的变形，所以巷道变形是由于31010工作面开采引起的。
如图9所示，乘人巷明显位于按传统直线AC设计的开采影响范围外，也就是说按传统直线AC设计的90m保护煤柱宽度应该能使乘人巷不产生变形，但实测结果却使乘人巷产生了较大变形。而按本发明提出的曲线边界移动法，乘人巷需要的保护煤柱宽度为99.4m，大于留设的90m保护煤柱宽度。为了使乘人巷不产生变形，乘人巷需要的保护煤柱宽度至少为99.4m。乘人巷产生不同程度变形的原因是由于传统上认识的直线移动边界不是真正的岩层移动边界。
下面给出曲线移动边界线方程计算过程。由于缺乏21210工作面和31010工作面开采后地表沉陷观测资料，近似认为岩层边界角与主要开采影响角相等，而地表主要开采影响角正切按《建筑物、铁路、水体及主要井巷煤柱留设与压煤开采规程》给出的此矿区附近11个工作面的平均值计算。主要开采影响角正切平均计算值为1.85。而31010工作面回风巷的埋深为538m，因此根据主要影响角正切与埋深的关系得到31010工作面开采后的地表影响范围为290.8m。由于31010工作面覆岩松散层较薄，可用一条曲线表示岩层移动边界。由于传统岩层移动边界直线的一个端点在开采边界，为了更好地进行对比说明，因此式(19)中的r0为零。要确定一条岩层移动边界线方程中的两个参数n和B，至少需要两个岩层移动边界上的点，而据现有数据只能确定一个移动边界点C。由于当式(19)中的n为1.2时，岩层移动边界线已很接近直线。但是31010工作面埋深较大，覆岩各种岩层岩性差别较大，所以岩层移动曲线并不能近似为直线，为了更有效的说明问题，本发明假设31010工作面岩层移动边界线n为1.4。把n＝1.4、r0＝0和r＝290.8带入式(19)，计算得到B＝5.23。这样确定了平顶山一矿31010工作面岩层移动边界线方程，即r1.4(y)＝5.23y。
地下空间的利用必然涉及到保护煤柱的留设，传统直线移动边界留设的保护煤柱使得被保护对象处于偏危险状态，本发明提出的保护煤柱留设方法是根据覆岩移动边界实际形态确定的，能够准确使保护对象处于开采影响范围外，为煤矿地下空间的利用提供了强有力的工具。
Claims (3)
1.一种基于覆岩移动边界形态留设保护煤柱宽度的方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤(1)，收集并确定矿区的移动参数；
步骤(2)，确定基岩的移动边界形态，具体为：
将覆岩任意一层岩层视为均匀各向同性的平面应变长梁，并认为岩层的厚度、力学性质沿轴向不变化，岩层上下表面受方向相反的摩擦力作用，近似认为上下表面摩擦系数、支撑力和载荷大小相等，进而忽略摩擦力的影响并忽略轴向力的作用，岩层上部的均布载荷在岩层沉积过程中就存在，不计入对岩层造成的下沉，岩层只受到端部弯矩Mi和横向剪力Fi的作用，其中i代表从煤层开始往上数的第i层岩层，假设垫层的变形符合温克尔假设，其中垫层指覆岩中第i层岩层以下所有岩层的集合，则岩层下沉的微分方程为
式中Ei为第i层岩层的弹性模量，Ii为第i层岩层的截面惯性矩、Eif为垫层的综合弹性模量、Hi为第i层岩层到煤层底板的距离，wi为第i层岩层任意点的下沉，x为任意点的横坐标，令
因此，βi为随第i层岩层的截面惯性矩Ii、垫层的综合弹性模量Eif、第i层岩层到煤层底板的距离Hi、第i层岩层的弹性模量Ei变化的变量，则式(1)变为
四阶常微分方程(2)的通解为
式中，Ai、Bi、Ci、Di为第i层岩层下沉表达式中的常数，由于煤层开采后的影响范围总是有限的，因此在无穷远处有边界条件wi(∞)＝0，由式(3)可知，Ai＝Bi＝0，因此，式(3)变为
根据内力与岩层下沉之间的关系可得
式中，Mi和Fi分别为第i层岩层任意位置处的端部弯矩和横向剪力，又因在坐标原点对应位置的边界条件为Mi＝EiIiw＂i0，Fi＝EiIiw＂i0，式中wi0为第i层岩层坐标原点处的下沉，0代表坐标原点，把边界条件带入式(5)就可得到用边界条件表达的岩层下沉方程
对式(6)进行三角变换得
式中，
为位移波的初相，
由式(7)可知，在端部弯矩和横向剪力的作用下，岩层的竖向位移为按照负指数函数
规律衰减的余弦函数，且半周期后，竖向位移可忽略不计，
式(7)为第i层岩层在自身载荷作用下的下沉，没有考虑下部岩层下沉的叠加效果，当把下部岩层的下沉叠加到第i层岩层的下沉后，则第i层岩层的下沉为
其中，
为综合初相，β为综合角频，以第一个零点下沉作为第i层岩层的移动边界，则计算岩层的下沉范围为
根据三角函数求和原则可知，不同角频率三角函数相加后的三角函数的角频率为求和之前最小的一个，即β＝minβk(k＝1…i)，由于随着岩层层位的变高，β不断减小，所以βi<βi-1，因此，β＝βi，此时，式(9)变为
根据开采影响角γi与第i层岩层到煤层底板的距离Hi的几何关系，其中开采影响角是用来确定保护煤柱宽度的一个无量纲角度，可得相邻两层岩层间的开采影响角之差为：
其中，
为第i层岩层考虑下沉叠加后的初相，因为
又Ii、Eif、Ei为常数，因此βi与Hi的关系可以简化为
中，其中，ki为与Ii、Eif、Ei有关的常数，把βi带入式(11)可得
化简(12)可以得到
其中，
为两者的最大值，由于开采边界上覆岩层的下沉与初相的余弦函数相等，而当计算岩层靠近地表时，由于下沉的叠加效应，开采边界上覆岩层的下沉不断增大，所以初相
不断减小，也就是
由式(13)可知，Δγi<0，所以γi<γi-1，即越靠近地表，岩层的开采影响角越小，进而基岩移动边界是一条上凹型曲线；
步骤(3)，确定松散层的移动边界形态，具体为：
二维随机介质理论模型中任意颗粒的下沉有如下微分方程
式中，A为任意常数，式(14)是一个二阶抛物线型的偏微分方程，为了求得其解，根据采矿实际列出如下边界条件
w(x,0)＝δ(x) (15)
式中δ(x)为狄拉克数，其定义为
根据二阶抛物线型偏微分方程的解法，得
式(17)中的常数A与式(14)中的常数A相同，式(17)表明下沉随层位是变化的，且开采导致的影响范围在理论上为无穷远，为了求得松散层移动边界的形态，以最大下沉一定百分比作为移动边界，可得不同层位的移动边界范围为
x2＝By (18)
式中B为正的常数，对式(18)求二阶导数并根据高等数学知识关于曲线凹凸性判别定理，松散层移动边界是一条向上凹的曲线；
步骤(4)，
根据步骤(1)得到的矿区移动参数以及步骤(2)得到的基岩移动边界形态确定基岩的移动边界方程，
根据步骤(1)得到的矿区移动参数以及步骤(3)得到的松散层移动边界形态确定松散层的移动边界方程；
步骤(5)，根据步骤(4)得到的基岩和松散层的移动边界方程以及被保护对象的位置设计保护煤柱宽度，具体为：
(a)，工作面回采后，根据实际情况计算并画出岩层移动边界，
(b)，确定煤层顶板被保护对象所在水平与岩层移动边界的交点，作出该交点在开采煤层上的投影点，
(c)，工作面边界与投影点间的距离即为煤层顶板被保护对象的保护煤柱宽度。
2.根据权利要求1所述的一种基于覆岩移动边界形态留设保护煤柱宽度的方法，其特征在于步骤(1)中，
当保护工作面与相邻工作面地质条件和埋深相似时，移动参数根据相邻开采工作面的实测数据通过数学反演的手段得到；
当保护工作面与相邻工作面地质条件和埋深不相似时，移动参数根据岩层柱状图、岩石的物理力学参数通过数值模拟手段得到或根据相邻矿区经验数据取值；
当保护工作面与相邻工作面地质条件和埋深相似，但缺少移动参数测试的现场条件或设备时，移动参数根据数值模拟结果或相邻矿区经验数据直接得到。
3.根据权利要求1所述的一种基于覆岩移动边界形态留设保护煤柱宽度的方法，其特征在于步骤(4)中，确定基岩和松散层移动边界方程的具体方法为：
基岩和松散层移动边界都是向上凹的幂函数曲线，但由于基岩和松散层的物理力学性质不同，基岩和松散层的移动边界形态并不完全一样，
以开采边界为坐标原点建立坐标系，则基岩和松散层的移动边界线方程分别如式(19)和(20)所示，
[r(y)-r0]n＝By y<Hr (19)
其中，B、B1、n和n1为系数，且n和n1大于1，r为地表主要影响半径，r1为基岩顶界面的主要影响半径，r0为煤层的主要影响半径，Hr为基岩厚度，当松散层较薄或松散层移动边界线与基岩移动边界线连续光滑时，整个覆岩移动边界方程用式(19)表示。
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