CN109242312A - 一种单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，包括：建立单井循环系统的承压含水层数学模型；确定所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程与所述承压含水层数学模型中的边界条件；应用Laplace变换得出Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程以及所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件；应用分离变量法及井周边界条件傅里叶级数延拓的方法得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解；应用Laplace逆变换变换求得所述承压含水层数学模型的渗流解析解。本发明获得的单井循环系统的承压含水层渗流解析解，对进一步解决单井循环系统含水层的传热机理及温度场变化奠定重要基础。
Description
技术领域
本发明涉及新能源、可再生能源及水文地质领域，特别是指一种单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法。
背景技术
地热能是一种绿色低碳的可再生清洁能源。我国蕴含丰富的地热资源，市场潜力巨大，发展前景广阔，加快开发及利用地热能对能源结构调整、节能减排、改善环境具有重要意义，是解决当前资源与环境矛盾的重要途径之一。在目前所有地源热泵开发地热能的技术分类中，单井循环地源热泵系统以其系统运行稳定、效率高、占地面积少，初期投资低，设计及施工简单等优点而备受青睐，是当前的重点发展方向和热点研究领域。
承压含水层中地下水的流动及传热机理相当复杂，要厘清单井循环系统运行时承压含水层复杂的传热机理，需要解决的首要问题是承压含水层中地下水的渗流问题。在单井循环系统中，含水层中的传热方式以热对流为主，把地下水作为传热介质，其从周围的含水层及与含水层骨架的直接接触中获得热量，从而通过地下水的流动实现能量的运移，但是承压含水层中地下水的流动是一个复杂的三维渗流问题，再加之含水层地质条件的复杂性，导致单井循环系统中渗流场与温度场的耦合作用更加复杂，而渗流场的解决是解决这一问题的重要突破口。由于单井循环系统应用时间不长，关于单井循环系统承压含水层的渗流解析解的研究很少，只有少数研究者对其进行研究和报道，且模型假设及边界条件设置简单，其理论研究在深度和广度上的认知还很不完善，对工程实际的指导作用有限。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的在于提出一种单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，对进一步解决单井循环系统含水层的传热机理及温度场变化奠定重要基础。
基于上述目的，本发明提供了一种单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法。
一种单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，包括：建立单井循环系统的承压含水层数学模型；确定所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程与所述承压含水层数学模型中的边界条件；通过所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程与所述承压含水层数学模型中的边界条件，应用Laplace变换得出Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程以及所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件；通过所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程以及所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件，应用分离变量法及井周边界条件傅里叶级数延拓的方法得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解；通过所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解，应用Laplace逆变换变换求得所述承压含水层数学模型的渗流解析解。
在一些实施例中，承压含水层的底板为隔水层，所述承压含水层的顶板为弱透水层，在所述承压含水层中设置有两段竖直方向的井；下段进行抽水，称为抽水井；上段进行灌水，称为回灌井；在所述抽水井的顶部和所述回灌井的底部分别设置隔板，防止抽水井中的水和回灌井中的水混合。建立柱坐标系，将井轴线与所述承压含水层底板的交点设为坐标原点，把所述井轴线设为z轴，方向竖直向上为正向，所述承压含水层水平向右的方向作为r坐标的正向。
在一些实施例中，对于确定所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程与所述承压含水层数学模型中的边界条件，包括假设：所述承压含水层为均质各项异性且水平方向无限延伸；所述顶板为弱透水层越流补给且补给强度与承压含水层水位变化幅度呈正比，所述底板不透水；假设井壁边界条件满足Hantush提出的地下水渗流速度沿井壁均匀分布；所述承压含水层中水的流动满足达西定律，由于水头变化引起的含水层中地下水的储存和释放都是瞬时完成的；将所述承压含水层上部边界的越流补给项看作为源汇项。
在一些实施例中，根据所述假设，确定所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程：
式中：S为承压层中的水头变化幅度；Kr和Kz分别为承压层径向和数值方向的渗透系；D和D’，分别为所述承压含水层和所述弱透水层厚度；
化简所述式(1)得：
式中：为竖直方向水头传导系数，为阻越流系数；
为了便于所述数学模型求解，可对所述(2)式做坐标变换，即令：
确定所述承压含水层数学模型中的边界条件：
(a)所述承压含水层数学模型中的上边界条件：
(b)所述承压含水层数学模型中的下边界条件：
(c)所述承压含水层数学模型中的井边界条件：
式中：Q为抽水速速，d1为抽水井底部到坐标轴原点的距离，d2抽水井顶部到坐标轴原点的距离，d3回灌井底部到坐标轴原点的距离，d4回灌井底顶到坐标轴原点的距离。
在一些实施例中，所述通过所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程与所述承压含水层数学模型中的边界条件，应用Laplace变换得出Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程以及所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件包括：
对所述式(3)Laplace变换，得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程：
得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件：
(a)所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的上边界条件：
(b)所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的下边界条件：
(c)所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的井边界条件：
在一些实施例中，所述通过所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程以及所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件，应用分离变量法及井周边界条件傅里叶级数延拓的方法得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解包括：
对所述式(5)应用分离变量法，令：SL＝RZ，得出：
根据所述(7)式可得出所述式(5)的一般解为：
式中：
其中F0和Fk为待定系数
对所述式(8)对变量进行偏微分，将代入得：
将所述Laplace域上的井边界条件式(6)延拓为傅里叶级数表达式：
对比所述式(9)和所述式(10)，求得待定系数F0和Fk：
F0＝0
当井径较小时，rwβ0K1(β0rw)P→P
得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解为：
在此处定义井结构函数：
把所述式(13)代入所述式(12)，所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解为：
在一些实施例中，所述通过所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解，应用Laplace逆变换变换求得所述承压含水层数学模型的渗流解析解包括：
对所述式(14)作所述Laplace逆变换，根据Jeffrey得出的结论：
然后将代入，由所述式(14)和所述式(15)同时可得：
在所述式(16)，中令则可以得到：
由第一类越流系统定流量井函数：
把所述式(18)代入式(17)可得：
在所述式(19)中定义函数χk，则有：
当所述单井循环系统长时间抽水时，即抽水时间趋于无穷大时，所述承压含水层中地下水的降深S趋于稳定值，则有：
W(u,χk)＝2K0(χk) (21)
因此有：
定义单井循环井结构函数，则有：
令
则式(23)写成无量纲形式为：
结合所述式(19)、(20)、(21)、(22)、(23)、(24)，得出通过所述Laplace逆变换变换求得所述承压含水层数学模型的渗流解析解为：
从上面所述可以看出，本发明提供的一种单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，利用Laplace积分变换的方法得出单井循环系统的承压含水层渗流解析解，可以描述承压含水层由于抽水与回灌引起的渗流问题，能够揭示单井循环系统承压含水层水头发展变化和分布规律，单井循环系统含水层能量的运移主要以热对流为主，而影响含水层中热对流的最关键因素是地下水渗流，本发明获得的单井循环系统的承压含水层渗流解析解，对进一步解决单井循环系统含水层的传热机理及温度场变化奠定重要基础。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明实施例单井循环系统承压含水层的数学模型；
图2为本发明实施例单井循环系统井结构函数值；
图3为本发明实施例单井循环系统降深等值线分布。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实施例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。
一种单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，包括：
步骤001：建立单井循环系统的承压含水层数学模型；
步骤002：确定单井循环系统承压含水层的控制方程与边界条件；
步骤003：通过Laplace变换得出数学模型控制方程及边界条件的变换形式；
步骤004：应用分离变量法及井周边界条件傅里叶级数延拓的方法得出Laplace变换域上的解；
步骤005：通过Laplace逆变换变换求得单井循环系统承压含水层数学模型的解析解。
本发明单井循环系统承压含水层的数学模型如图1所示。
单井循环系统的承压含水层底板为隔水层，顶板为弱透水层，在承压含水层中设置有两段竖直方向的井；下段进行抽水，称为抽水井；上段进行灌水，称为回灌井；在抽水井的顶部和回灌井的底部分别设置隔板，防止抽水井中的水和回灌井中的水混合。建立柱坐标系，将井轴线与承压含水层底板的交点设为坐标原点，把井轴设为z轴，方向竖直向上为正向，承压层水平向右的方向作为r坐标的正向。
为研究单井循环系统的含水层渗流场的解析解，先作如下假设：
(1)承压含水层为均质各项异性且水平方向无限延伸；
(2)承压含水层顶板为弱透水层越流补给且补给强度与承压含水层水位变化幅度呈正比，承压含水层底板不透水；
(3)假设井壁边界条件满足Hantush提出的地下水渗流速度沿井壁均匀分布；
(4)承压含水层中水的流动满足达西定律，由于水头变化引起的含水层中地下水的储存和释放都是瞬时完成的；
(5)将承压含水层上部边界的越流补给项看作为源汇项
根据假设条件，可得单井循环系统承压含水层模型地下水流动的控制方程
式中：S为承压层中的水头变化幅度；Kr和Kz分别为承压层径向和数值方向的渗透系；D和D，分别为承压层和弱透水层厚度；
化简式(1)得：
式中：为竖直方向水头传导系数，为阻越流系数；
为了便于模型求解，可对(2)式做坐标变换，即令：
定解条件：
(a)上边界条件：
(b)下边界条件：
(c)井边界条件：
式中：Q为抽水速速，d1为抽水井底部到坐标轴原点的距离，d2抽水井顶部到坐标轴原点的距离，d3回灌井底部到坐标轴原点的距离，d4回灌井底顶到坐标轴原点的距离。
对式(3)Laplace变换，可得出Laplace域上地下水流动的控制方程：
Laplace域上的边界条件为：
(a)上边界条件：
(b)下边界条件：
(c)井边界条件：
对式(5)中的第一方程应用分离变量法，令：SL＝RZ，得出：
根据(7)式可得出式(5)的一般解为：
式中：
其中F0和Fk为待定系数
对式(8)对变量进行偏微分，将代入得：
将井周边界条件式(6)延拓为傅里叶级数表达式：
对比式(9)和式(10)，可求得待定系数F0和Fk：
F0＝0
当井径较小时，rwβ0K1(β0rw)P→P
可得出Laplace域上的解为：
在此处定义井结构函数：
把式(13)代入式(12)，Laplace域上单井循环系统含水层的渗流场解析解可表示为：
对式(14)作Laplace逆变换，根据Jeffrey得出的结论：
然后将代入，由式(14)和式同时(15)可得：
在式(16)，中令则可以得到：
由第一类越流系统定流量井函数：
把式(18)代入式(17)可得：
在式(19)中定义函数χk，则有：
当单井循环系统长时间抽水时，即抽水时间趋于无穷大时，承压含水层中地下水的降深S趋于稳定值，则有：
W(u,χk)＝2K0(χk) (21)
因此有：
定义单井循环井结构函数，则有：
令
则式(23)写成无量纲形式为：
结合式(19)、(20)、(21)、(22)、(23)、(24)，得出单井循环系统承压含水层的渗流解析解为：
在另一些实施例中：
为了求解单井循环系统承压含水层的渗流解析解，对所述的单井循环系统模型进行地下水渗流的解析解求解。参数设置如表格1。
表格1计算模型参数设置
求解析解之前先要对式(24)的井结构函数做计算，由于式(24)中的k值可以无限取值，但是当k大于10时，该井结构函数趋于一无穷小值(如图2)，即可忽略不计，所以k的取值为1到10。
将表格1的参数代入式(25)求解，可计算出单井循环系统的承压含水层的水位变化如图3所示。可以看出，含水层中地下水的降深随坐标显著变化，降深随距井轴的距离的增大而快速减小；越靠近抽水井与回灌井之间抽水段的部分，降深的绝对值越小，在含水层的中部降深为0，抽水井和回灌井的降深分布具有反对称分布的特点；抽水井周围的降深分布式呈正置降落漏斗形状，回灌井周围的降深分布呈倒置的降落漏斗形状。
上述实施例的装置用于实现前述实施例中相应的方法，并且具有相应的方法实施例的有益效果，在此不再赘述。
所属领域的普通技术人员应当理解：以上任何实施例的讨论仅为示例性的，并非旨在暗示本公开的范围(包括权利要求)被限于这些例子；在本发明的思路下，以上实施例或者不同实施例中的技术特征之间也可以进行组合，步骤可以以任意顺序实现，并存在如上所述的本发明的不同方面的许多其它变化，为了简明它们没有在细节中提供。
另外，对本领域技术人员来说显而易见的是，可以在没有具体细节的情况下或者具体细节有变化的情况下实施本发明。因此，这些描述应被认为是说明性的而不是限制性的。
尽管已经结合了本发明的具体实施例对本发明进行了描述，但是根据前面的描述，这些实施例的很多替换、修改和变型对本领域普通技术人员来说将是显而易见的。
本发明的实施例旨在涵盖落入所附权利要求的宽泛范围之内的所有这样的替换、修改和变型。因此，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何省略、修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (7)
1.一种单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，其特征在于，包括：建立单井循环系统的承压含水层数学模型；确定所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程与所述承压含水层数学模型中的边界条件；通过所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程与所述承压含水层数学模型中的边界条件，应用Laplace变换得出Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程以及所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件；通过所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程以及所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件，应用分离变量法及井周边界条件傅里叶级数延拓的方法得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解；通过所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解，应用Laplace逆变换变换求得所述承压含水层数学模型的渗流解析解。
2.根据权利要求1所述的单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，其特征在于，承压含水层的底板为隔水层，所述承压含水层的顶板为弱透水层，在所述承压含水层中设置有两段竖直方向的井；下段进行抽水，称为抽水井；上段进行灌水，称为回灌井；在所述抽水井的顶部和所述回灌井的底部分别设置隔板，防止抽水井中的水和回灌井中的水混合。建立柱坐标系，将井轴线与所述承压含水层底板的交点设为坐标原点，把所述井轴线设为z轴，方向竖直向上为正向，所述承压含水层水平向右的方向作为r坐标的正向。
3.根据权利要求1所述的单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，其特征在于，对于确定所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程与所述承压含水层数学模型中的边界条件，包括假设：所述承压含水层为均质各项异性且水平方向无限延伸；所述顶板为弱透水层越流补给且补给强度与承压含水层水位变化幅度呈正比，所述底板不透水；假设井壁边界条件满足Hantush提出的地下水渗流速度沿井壁均匀分布；所述承压含水层中水的流动满足达西定律，由于水头变化引起的含水层中地下水的储存和释放都是瞬时完成的；将所述承压含水层上部边界的越流补给项看作为源汇项。
4.根据权利要求3所述的单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，其特征在于，根据所述假设，确定所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程：
式中：S为承压层中的水头变化幅度；Kr和Kz分别为承压层径向和数值方向的渗透系；D和D’，分别为所述承压含水层和所述弱透水层厚度；
化简所述式(1)得：
式中：为竖直方向水头传导系数，为阻越流系数；
为了便于所述数学模型求解，可对所述(2)式做坐标变换，即令：
确定所述承压含水层数学模型中的边界条件：
(a)所述承压含水层数学模型中的上边界条件：
(b)所述承压含水层数学模型中的下边界条件：
(c)所述承压含水层数学模型中的井边界条件：
式中：Q为抽水速速，d1为抽水井底部到坐标轴原点的距离，d2抽水井顶部到坐标轴原点的距离，d3回灌井底部到坐标轴原点的距离，d4回灌井底顶到坐标轴原点的距离。
5.根据权利要求1所述的单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，其特征在于，所述通过所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程与所述承压含水层数学模型中的边界条件，应用Laplace变换得出Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程以及所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件包括：
对所述式(3)Laplace变换，得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程：
得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件：
(a)所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的上边界条件：
(b)所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的下边界条件：
(c)所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的井边界条件：
6.根据权利要求1所述的单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，其特征在于，所述通过所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的地下水流动的控制方程以及所述Laplace域上所述承压含水层数学模型中的的边界条件，应用分离变量法及井周边界条件傅里叶级数延拓的方法得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解包括：
对所述式(5)应用分离变量法，令：SL＝RZ，得出：
根据所述(7)式可得出所述式(5)的一般解为：
式中：
其中F0和Fk为待定系数
对所述式(8)对变量进行偏微分，将代入得：
将所述Laplace域上的井边界条件式(6)延拓为傅里叶级数表达式：
对比所述式(9)和所述式(10)，求得待定系数F0和Fk：
F0＝0
当井径较小时，rwβ0K1(β0rw)P→P
得出所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解为：
在此处定义井结构函数：
把所述式(13)代入所述式(12)，所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解为：
7.根据权利要求1所述的单井循环系统承压含水层渗流解析解的求解方法，其特征在于，所述通过所述Laplace域上所述承压含水层数学模型的渗流解析解，应用Laplace逆变换变换求得所述承压含水层数学模型的渗流解析解包括：
对所述式(14)作所述Laplace逆变换，根据Jeffrey得出的结论：
然后将代入，由所述式(14)和所述式(15)同时可得：
在所述式(16)，中令则可以得到：
由第一类越流系统定流量井函数：
把所述式(18)代入式(17)可得：
在所述式(19)中定义函数χk，则有：
当所述单井循环系统长时间抽水时，即抽水时间趋于无穷大时，所述承压含水层中地下水的降深S趋于稳定值，则有：
W(u,χk)＝2K0(χk) (21)
因此有：
定义单井循环井结构函数，则有：
令θ21＝d2-d1；θ43＝d4-d3
则式(23)写成无量纲形式为：
结合所述式(19)、(20)、(21)、(22)、(23)、(24)，得出通过所述Laplace逆变换变换求得所述承压含水层数学模型的渗流解析解为：
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