CN109215089A

CN109215089A - 利用单个球及弦中点的性质标定拋物折反射摄像机的方法

Info

Publication number: CN109215089A
Application number: CN201811024631.1A
Authority: CN
Inventors: 杨丰澧; 汪雪纯; 赵越
Original assignee: Yunnan University YNU
Current assignee: Yunnan University YNU
Priority date: 2018-09-04
Filing date: 2018-09-04
Publication date: 2019-01-15

Abstract

本发明涉及一种利用单个球及弦中点的性质标定拋物折反射摄像机的方法。首先，从该幅图像中提取镜面轮廓投影的边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和球像的投影。其次，根据像点和其对拓像点的关系获得对拓像点，从而拟合出球像的对拓球像。在球像上取互异的两个点，并求出两个点的对拓像点。由对拓像点的定义和圆的性质，上述两组对拓像点可以确定球像上弦的中点。根据球像上两个点关于球像的极线及弦的中点的性质，从而确定圆心的像。圆心的像关于球像的极线即为影消线，影消线与球像的交点为圆环点的像，三幅图像提供三组圆环点的像。最后，利用圆环点的像对绝对二次曲线像的约束求解摄像机内参数。

Description

利用单个球及弦中点的性质标定拋物折反射摄像机的方法

技术领域

本发明属于计算机视觉领域，涉及一种利用空间中一个球与弦的中点的性质求解抛物折反射摄像机内参数的方法。

背景技术

计算机视觉的中心任务就是对图像进行理解，而它的最终目标是使计算机具有通过二维图像认知三维环境信息的能力。这种能力将不仅使机器能感知包括形状、姿态、运动等在内的三维环境中物体的几何信息，而且能对它们进行描述、存储、识别与理解。摄像机标定就是确定从三维空间点到它的二维图像点之间的映射关系，它是许多计算机视觉应用必不可少的步骤。为了确定这一映射过程，需要建立摄像机的几何成像模型，几何模型的参数称为摄像机参数，摄像机参数可分为内参数和外参数两类。内参数描述成像系统的成像几何特性，外参数描述成像系统关于世界坐标系的方向和位置。摄像机标定可分为传统标定、自标定和基于几何实体的标定。无论哪种标定方法，都旨在建立二维图像与摄像机内参数之间的约束关系，特别是线性约束关系，这是目前摄像机标定所追求的目标，也是目前计算机视觉领域研究的热点之一。

抛物折反射摄像机由一个抛物镜面和一个正交摄像机组成，它的成像视野大，是全景视觉领域研究的热点之一。文献“Catadioptric self-calibration”，(Kang S.B.,Proceedings of IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition,vol.1,pp.201-207,2000.)提出了一种折反射摄像机自标定方法，这类方法的优点是不需要使用标定块，缺点是必须获得图像之间的对应点。而在计算机视觉中，实现一个十分有效的寻找对应点的方法是很困难的。文献“Geometric properties of centralcatadioptric line images and their application in calibration”,(Barreto J.P.,Araujo H.,IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,vol.27,no.8,pp.1327-1333,2005)研究了中心折反射摄像机下直线的像的几何性质，并将这些性质应用于中心折反射摄像机的标定。文献“A new linear algorithm forcalibrating central catadioptric cameras”,(Wu F.,Duan F.,Hu Z.et al.,PatternRecognition,vol.41,no.10,pp.3166-3172,2008)介绍了对拓点和对拓像点，导出了空间中的一个点在视球上的投影和它的折反射图像点之间的关系，使用这个关系建立了中心折反射摄像机内参数的线性约束，通过此线性约束即可获得中心折反射摄像机内参数。文献“Calibration of central catadioptric cameras using a DLT-like approach”,(PuigL.,Bastanlar Y.,Sturm P.,et al.International Journal of Computer Vision,vol.93,no.1,pp.101-114,2011)提出了一种基于三维控制点的标定方法，通过使用Veronese映射对三维点和其图像点的坐标进行了扩展，在扩展坐标的基础上基于DLT(直接线性变换)——相似方法实现了中心折反射摄像机的标定，但是这类方法需要已知三维点的位置，并且容易从图像中提取其图像点。

球作为一种常见的几何体，其最重要的优点在于无自身遮挡，从任何一个方向看空间中一个球的封闭轮廓线总是一个圆，并且它的投影轮廓线可全部提取。由于球具有丰富的视觉几何特性，因此利用球进行摄像机标定已成为近年来的一个热点。文献“Catadioptric camera calibration using geometric invariants”，(Ying X.,Hu Z.,IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,vol.26,no.10,pp.1260-1271,2004)首次提出了利用球标定中心折反射摄像机。他们证明了球在中心折反射摄像机的单位球投影模型下的像为椭圆，并且在非退化情况下一个球的投影二次曲线提供两个不变量。为了降低求解的复杂度，他们提出了一种分步标定方法，该方法至少需要4个球的投影才能完成摄像机的标定。但是该文献提出的标定方法是非线性的，计算的复杂度较高，并且该标定方法只能标定抛物折反射摄像机的部分内参数。文献“Identicalprojective geometric properties of central catadioptric line images andsphere images with applications to calibration”，(Ying X.,Zha H.,InternationalJournal of Computer Vision,vol.78,no.1,pp.89-105,2008)介绍了修正绝对二次曲线的像(MIAC)在中心折反射摄像机标定中的作用。他们通过研究球在中心折反射摄像机下的像与MIAC的几何与代数关系提出了两种线性标定算法。它们得出的结论对于对偶形式也是成立的。但是这篇文献中的理论和标定方法对于抛物折反射摄像机的情况是退化的。文献“A calibration method for paracatadioptric camera from sphere images”，(DuanH.,Wu Y.,Pattern Recognition Letters,vol.33,no.6,pp.677-684,2012)基于圆环点理论提出了一种利用对拓球像标定抛物折反射摄像机的线性方法。但是这篇文献中关于圆环点的像的选取比较复杂。

发明内容

本发明提供了一种制作简单，适用广泛，稳定性好的利用靶标求解抛物折反射摄像机内参数的方法，该靶标由空间中一个球构成。在求解抛物折反射摄像机内参数的过程中，需使用抛物折反射摄像机拍摄靶标的3幅图像线性求解出抛物折反射摄像机的5个内参数。

本发明采用如下技术方案：

用抛物折反射摄像机拍摄3幅含有一个球的图像。本发明是利用空间中一个球作为靶标用于求解抛物折反射摄像机内参数的方法，其特征在于仅利用球元素。首先，从该幅图像中提取镜面轮廓投影的边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和球像的投影。其次，根据像点和其对拓像点的关系获得对拓像点，从而拟合出球像的对拓球像。在球像上取互异的两个点，并求出两个点的对拓像点。由对拓像点的定义和圆的性质，上述两组对拓像点可以确定球像上弦的中点。根据球像上两个点关于球像的极线及弦的中点的性质，从而确定圆心的像。圆心的像关于球像的极线即为影消线，影消线与球像的交点为圆环点的像，三幅图像提供三组圆环点的像。最后，利用圆环点的像对绝对二次曲线像的约束求解摄像机内参数。具体的步骤包括：拟合出镜面轮廓投影方程及靶标投影方程，估计球像的对拓球像，确定圆环点的像，求解抛物折反射摄像机内参数。

1.拟合镜面轮廓投影方程及靶标投影方程

利用Matlab程序中的Edge函数提取镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影方程和球像的方程。

2.估计像点的对拓像点

空间中的球Q，在拋物折反射摄像机的单位球模型下的投影分为两步。第一步，球Q投影是以O为中心的单位视球上的平行小圆和称为的对拓圆，并且以单位视球中心O对称于单位视球直径的两个端点互为对拓；第二步，以单位视球表面上的一点O_c为投影中心，这里O_c可看作一个摄像机的光心，将平行小圆和分别投影到垂直于光轴O_cO的抛物折反射图像平面上的二次曲线其中称可见的二次曲线为球Q的像，不可见的二次曲线为球像的对拓球像，对应于单位视球上的称为对拓圆。对于单位视球直径的一个端点，该端点在抛物折反射图像平面不可见的称为对拓像点，则单位视球直径的这个端点称为对拓点。令以O_c为光心的摄像机的内参数矩阵为其中r_c是纵横比，f_c是有效焦距，s是倾斜因子，[u₀ v₀ 1]^T是摄像机主点o的齐次坐标矩阵形式。利用Matlab中的函数提取该幅图像中的镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程。这里用C₀表示第1幅图像镜面轮廓投影曲线的系数矩阵，分别表示第n幅图像中的球像和对拓球像的系数矩阵。本文为了简化表述，用相同字母表示曲线和它的系数矩阵。通过C₀可获得摄像机内参数矩阵K_c的一个初始矩阵值从而得到绝对二次曲线的像ω的初始值这里:其中是纵横比的初始值，是有效焦距的初始值，是倾斜因子的初始值，是摄像机主点的初始齐次坐标矩阵表示，记取上的一组点则与它相对应的一组对拓像点可由关系式确定，其中用齐次坐标矩阵表示。

3.确定圆环点的像

若球Q在单位视球上的小圆为若在上取两组互异的两个点和其中下标i＝1,2，用和分别表示和关于单位视球的中心O的对称点，即对拓点，则点和在关于单位视球的中心O的对称圆，即对拓圆上。根据对拓点的定义，线段和线段为视球的两条直径，它们分别记为则的交点为单位视球的中心O。由圆的性质，四个点依次连接构成一个矩形直线为两点所在的直线，直线为两点所在的直线，直线为两点所在的直线，直线为两点所在的直线，其中直线和分别是小圆和对拓圆的弦。因为于是和具有相同的无穷远点，这里用表示上的无穷远点。若记两点构成的直线为由于是矩形，则可知直线经过投影小圆的弦的中点M_1i。若记小圆的圆心为有根据等腰三角形的性质，则有若记点关于小圆的极线为点关于小圆的极线为直线和相交于点H_1i，根据极线的定义，则有则可知三角形也是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，因为三个点都在小圆所在的平面π₁，则三个点在一条直线上，则通过点M_1i,H_1i构成的直线可以确定投影小圆的圆心根据配极原则，圆心关于小圆的极线就是小圆所在平面π₁上的无穷远直线根据圆环点的定义，与小圆交于圆环点I₁,J₁。

在像平面π上，若用分别表示的像，用分别表示的像，则为两对对拓像点。记过两点的直线为过两点的直线为过两点的直线为过两点的直线为过两点的直线为直线两点的直线为直线的交点记为o，直线的交点记为则根据射影变换的性质，直线为直线的像，下标i＝1,2，j＝1,2,3,4,5，直线分别为的像，点o为O的像，点为的像。若过两点的直线为则直线与直线的交点为m_1i，若记为点关于球像的极线，为点关于球像的极线，直线和相交于h_1i。根据射影变换的性质，直线为分别是的像，点m_1i为M_1i的像，点h_1i是H_1i的像。于是通过点m_1i,h_1i构成的直线可以确定小圆上圆心在像平面π上的投影又由配极原则可知，关于球像的极线为小圆所在平面π₁的影消线(的像)，最后，求直线与球像的交点得到一对共轭虚点，则该共轭虚点即为小圆所在平面π₁上的圆环点的像m_1I,m_1J。对于小圆所在平面上的圆环点的像{m_2I,m_2J},{m_3I,m_3J}可用类似的方法可获得。下标I,J表示对应于圆环点I,J。

4.求解抛物折反射摄像机内参数

由圆环点的像m_nI,m_nJ(n＝1,2,3)对绝对二次曲线的像ω的线性约束获得ω，即：其中Re,Im分别表示复数的实部和虚部。最后，根据对ω进行Cholesky分解再求逆得到内参数矩K_c，即获得摄像机的5个内参数。

本发明优点：

(1)该靶标制作简单，只需将一个球固定在一个支架上。

(2)对该靶标的物理尺度没有要求，无需知道球心在世界坐标系下的坐标。

(3)该靶标的图像边界点几乎可以全部提取，这样可以提高曲线拟合的精确度，从而提高标定精度。

附图说明

图1是用于求解抛物折反射摄像机内参数的靶标在单位视球上的示意图。

图2是靶标在抛物折反射图像平面上的投影。

具体实施方式

本发明提供了一种利用靶标求解抛物折反射摄像机内参数的方法，靶标是由空间中的一个球构成，如图1。用此靶标完成抛物折反射摄像机内参数的求解需要经过以下步骤：从折反射图像中提取镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和球的像。根据像点和其对拓像点的关系获得对拓像点。在球像上取互异的两个点，并求出两个点的对拓像点。由对拓像点的定义和圆的性质，上述两组对拓像点可以确定球像上弦的中点。根据球像上两个点关于球像的极线以及弦的中点的性质，从而确定圆心的像。圆心的像关于球像的极线即为影消线，影消线与球像的交点为圆环点的像，三幅图像提供三组圆环点的像。最后，利用圆环点的像对绝对二次曲线像的约束求解摄像机内参数。利用本发明中的方法对用于实验的拋物折反射摄像机进行标定，具体步骤如下：

1.拟合镜面轮廓投影方程及靶标投影方程

2.估计像点的对拓像点

空间中的球Q(如图1)，在拋物折反射摄像机的单位球模型下的投影分为两步。第一步，将球Q投影为以O为原点建立世界坐标系O-x_wy_wz_w，z_w轴与光轴O_cO重合，其中O_c为单位视球表面上一点，x_w,y_w轴分别与像平面的水平和垂直的轴方向一致，单位视球上的平行小圆其对应圆心分别为称为的对拓圆，并且以单位视球中心O对称于单位视球直径的两个端点互为对拓，这一过程如图1(以n＝1为例)所示。第二步，以单位视球表面上的一点O_c为投影中心为原点建立投影坐标系O_c-x_cy_cz_c，z_c轴与z_w轴重合，x_c,y_c轴分别与x_w,y_w轴平行，这里O_c可看作一个摄像机的光心，通过摄像机的光心O_c将这平行小圆分别投影为抛物折反射图像平面上的二次曲线这里称可见的二次曲线为球Q的像，不可见的二次曲线为球像的对拓球像，抛物折反射图像平面与直线O_cO垂直，如图1所示(以n＝1为例)。利用Matlab中的Edge函数提取该幅图像中的镜面轮廓投影和靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程，这里用C₀表示第1幅图像镜面轮廓投影曲线的系数矩阵，表示第n幅图像中的球像的系数矩阵。通过C₀可获得摄像机内参数矩阵K_c的一个初始估计值具体如公式(1)：

这里，C₀(p,q)(p＝1,2；q＝1,2,3)表示矩阵C₀的第p行第q列元素，φ为摄像机视场角的一半，ρ为抛物面镜轮廓投影椭圆C₀的长半轴长。在获得的基础上可得到ω的初始值如公式(2)：

取上的一组点则与它相对应的一组对拓像点

可由关系式(3)确定：

其中是摄像机主点的初始齐次坐标矩阵，其中用齐次坐标矩阵表示。

3.确定圆环点的像

若球Q在单位视球上的投影小圆为在上取两组互异的两个点和其中下标i＝1,2。用和分别表示和关于单位视球的中心O的对称点(如图1所示，取一组互异的两个点)，即对拓点，则点和在小圆关于单位视球的中心O的对称圆，即对拓圆上。根据对拓点的定义，线段和线段为视球的两条直径，它们分别记为则的交点为单位视球的中心O。由圆的性质，四个点依次连接构成一个矩形直线为两点所在的直线，直线为两点所在的直线，直线为两点所在的直线，直线为两点所在的直线，其中直线和分别是小圆和对拓圆的弦。因为于是和具有相同的无穷远点，这里用表示上的无穷远点。若记O,两点构成的直线为由于是矩形，则可知直线经过小圆的弦的中点M_1i。若记小圆的圆心为有根据等腰三角形的性质，则有若记点关于小圆的极线为点关于小圆的极线为直线和相交于点H_1i。根据极线的定义，则有则可知三角形也是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，因为三个点都在小圆所在的平面π₁，则三个点在一条直线，则通过点M_1i,H_1i构成的直线可以确定小圆的圆心根据配极原则，圆心关于小圆的极线就是小圆所在平面π₁上的无穷远直线根据圆环点的定义，与小圆交于圆环点I₁,J₁。

如图1、2所示，在像平面π上，若用分别表示的像，用分别表示的像，则为两对对拓像点。记过两点的直线为过两点的直线为过两点的直线为过两点的直线为过两点的直线为直线两点的直线为直线的交点记为o。设的齐次坐标矩阵分别为的齐次坐标矩阵为其中±表示+和-，直线的齐次线坐标矩阵为下标i＝1,2，j＝1,2,3,4,5，直线的齐次线坐标矩阵分别为则有：

其中是非零常数因子，×表示向量积，下标±表示+和-的简写，+表示可见，-表示不可见，即对拓含义。则根据射影变换的性质，直线为直线的像，下标i＝1,2，j＝1,2,3,4,5。若记的交点的齐次坐标矩阵为的交点的o齐次坐标矩阵为[u_o v_o 1]^T，则有：

其中是非零常数因子。则与o构成的直线的齐次线坐标为即：

其中是非零常数因子。记直线与直线的交点为m_1i，m_1i的齐次坐标矩阵为[u_m1i v_m1i 1]^T，则有：

其中λ_m1i是非零常数因子。若记为点关于球像的极线，为点关于球像的极线，设的齐次线坐标为的齐次线坐标为则有：

其中是非零常数因子，·表示点积。若直线和的交点h_1i的齐次坐标矩阵为[u_h1i v_h1i 1]^T，根据(14)，(15)式有：

其中λ_h1i是非零常数因子。则根据射影变化的性质，点m_1i为M_1i的像，点h_1i是H_1i的像。则若点m_1i,h_1i构成直线的齐次线坐标为则有：

其中λ_mh是非零常数因子。则根据直线可确定小圆的圆心在像平面π₁上的投影若的齐次坐标矩阵为有：

其中λ_o1是非零常数因子。由配极原则可知，关于球像的极线为小圆所在平面π₁的影消线若的齐次线坐标为则有：

其中是非零常数因子。最后，通过联立与的方程可得

方程组(20)的解为小圆所在平面π₁上的圆环点的像m_1I,m_1J。对于小圆所在平面上的圆环点的像m_2I,m_2J和m_3I,m_3J可用类似的方法获得。下标I,J表示对应于圆环点I,J。

4.求解抛物折反射摄像机内参数

由圆环点的像对绝对二次曲线的像的线性约束有：

其中Re,Im分别表示复数的实部和虚部。可用SVD分解(21)获得ω，最后根据对ω进行Cholesky分解得到再求逆便得到内参数矩阵K_c，即获得摄像机5个内参数。

实施例

本发明提出了一种利用空间的一个球作为靶标线性确定抛物折反射摄像机内参数的方法。本发明采用的实验模板结构示意图如图1所示。下面以一实例对本发明的实施方案做出更为详细的描述。

基于空间中球的抛物折反射摄像机标定采用的实验模板是空间中的一个球，如图1所示，球为Q。利用本发明中的方法对用于实验的抛物折反射摄像机进行标定，具体步骤如下：

1.拟合图像边界及靶标曲线方程

本发明采用的图像大小为1063×1033。用抛物折反射摄像机拍摄靶标的3幅实验图像，读入图像，利用Matlab中的Edge函数提取镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影方程和球像的方程。镜面轮廓投影方程的系数矩阵为C₀，3幅球像方程的系数矩阵分别为结果如下：

2.估计像点的对拓像点

将(22)代入(1)和(2)可估计结果如下：

先分别在球像和上取4个互异的像点则其齐次坐标矩阵结果如下：

再将所取的点和(26)式分别代入(3)式得到对应的对拓像点坐标则其齐次坐标矩阵结果如下：

3.确定圆环点的像

由上述可以得到得到第一幅球像上的像点及对拓像点再将它们带入(4-9)式，则可得确定的直线确定的直线确定的直线确定的直线确定的直线确定的直线其中i＝1,2，结果如下：

将(55-58)式带入(10)可以确定直线上的无穷远点将(59-62)式带入(11)可以确定直线的交点o，结果如下：

o＝[319.9999 240.0000 1]^T。(65)

则将(63-65)式带入(12)式可得与o构成的直线结果如下：

将(51)，(52)，(66)，(67)式带入(13)式直线的中点m_1i，结果如下：

m₁₁＝[1176.7943 -785.9768 1]^T，(68)

m₁₂＝[1166.3563 851.1099 1]^T。(69)

再将(27)，(29)式带入(14)式，将(28)，(30)式带入(15)式，可得的极线的极线结果如下：

将(70-73)式带入(16)式得到直线和的交点h_1i，结果如下：

h₁₁＝[1176.5684 -785.9920 1]^T，(74)

h₁₂＝[1166.1120 -851.1763 1]^T。(75)

将(68-69)，(74-75)式带入(17)式可以得到m_1i,h_1i构成直线结果如下：

将(76)，(77)式带入(18)，则可得小圆的圆心的像结果如下：

将(78)式带入(19)式，可以得到小圆所在平面π₁的影消线结果如下：

将(23)，(79)式带入(20)式，则可得小圆所在平面π₁上的圆环点的像m_1I,m_1J，结果如下：

m_1I＝[782.8799-630.8002i -160.8400-822.3238i 1]^T，(80)

m_1I＝[782.8799+630.8002i -160.8400+822.3238i 1]^T。(81)

对于小圆所在平面上的圆环点的像m_2I,m_2J可用类似方法(4-20,51-79)获得，结果如下：

m_2I＝[746.5353-416.7084i 13.2790-885.2449i 1]^T，(82)

m_2J＝[746.5353+416.7084i 13.2790+885.2449i 1]^T。(83)

对于小圆所在平面上的圆环点的像m_3I,m_3J可用类似方法(4-20,51-79)获得，结果如下：

m_3I＝[690.9994-513.5029i -26.4147-807.2228i 1]^T，(84)

m_3I＝[690.9994+513.5029i -26.4147+807.2228i 1]^T。(85)

4.求解抛物折反射摄像机内参数

把(80-85)式带入(21)式得到关于绝对二次曲线的像ω的线性方程组，使用SVD分解该线性方程组得到ω的系数矩阵。结果如下：

最后，根据对(86)中的ω进行Cholesky分解再求逆便可获得K_c，有：

其中纵横比r_c＝K_c(1,1)/K_c(2,2)(其中K_c(1,1)表示矩阵K_c的第1行第1列的元素，K_c(2,2)表示矩阵K_c的第2行第2列的元素)，故抛物折反射摄像机的5个内参数分别为：r_c＝0.940964887281873，f_c＝850.4101206874315，s＝0.4500789930166，u₀＝320.6646919499426，v₀＝239.5165257634017。

Claims

1.一种利用利用单个球及弦中点的性质标定拋物折反射摄像机的方法，其特征在于由空间中的球作为靶标；所述方法的具体步骤包括：首先，从该幅图像中提取镜面轮廓投影的边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和球像的投影；其次，根据像点和其对拓像点的关系获得对拓像点，从而拟合出球像的对拓球像；在球像上取互异的两个点，并求出两个点的对拓像点；由对拓像点的定义和圆的性质，上述两组对拓像点以确定球像上弦的中点；根据球像上两个点关于球像的极线及弦的中点的性质，从而确定圆心的像；圆心的像关于球像的极线即为影消线，影消线与球像的交点为圆环点的像，三幅图像提供三组圆环点的像；最后，利用圆环点的像对绝对二次曲线像的约束求解摄像机内参数；具体的步骤包括：拟合出镜面轮廓投影方程及靶标投影方程，估计球像的对拓球像，确定圆环点的像，求解抛物折反射摄像机内参数；

(1)估计像点的对拓像点

空间中的球Q，在拋物折反射摄像机的单位球模型下的投影分为两步；第一步，球Q投影是以O为中心的单位视球上的平行小圆和n＝1,2,3表示拍摄的三幅图像，称为的对拓圆，并且以单位视球中心O对称于单位视球直径的两个端点互为对拓；第二步，以单位视球表面上的一点O_c为投影中心，这里O_c看作一个摄像机的光心，将平行小圆和分别投影到垂直于光轴O_cO的抛物折反射图像平面上的二次曲线其中称见的二次曲线为球Q的像，不见的二次曲线为球像的对拓球像，对应于单位视球上的称为对拓圆；对于单位视球直径的一个端点，该端点在抛物折反射图像平面不见的称为对拓像点，则单位视球直径的这个端点称为对拓点；令以O_c为光心的摄像机的内参数矩阵为其中r_c是纵横比，f_c是有效焦距，s是倾斜因子，[u₀ v₀ 1]^T是摄像机主点o的齐次坐标矩阵形式；利用Matlab中的函数提取该幅图像中的镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程；这里用C₀表示第1幅图像镜面轮廓投影曲线的系数矩阵，分别表示第n幅图像中的球像和对拓球像的系数矩阵；本文为了简化表述，用相同字母表示曲线和它的系数矩阵；通过C₀获得摄像机内参数矩阵K_c的一个初始矩阵值从而得到绝对二次曲线的像ω的初始值这里:其中是纵横比的初始值，是有效焦距的初始值，是倾斜因子的初始值，是摄像机主点的初始齐次坐标矩阵表示，记取其中n＝1,2,3，上的一组点其中k＝1,2,…,N；N≥5，则与它相对应的一组对拓像点其中k＝1,2,…,N；N≥5，由关系式确定，其中用齐次坐标矩阵表示；

3.确定圆环点的像

若球Q在单位视球上的小圆为若在上取两组互异的两个点和其中下标i＝1,2，用和分别表示和关于单位视球的中心O的对称点，即对拓点，则点和在关于单位视球的中心O的对称圆，即对拓圆上；根据对拓点的定义，线段和线段为视球的两条直径，它们分别记为则的交点为单位视球的中心O；由圆的性质，四个点依次连接构成一个矩形直线为两点所在的直线，直线为两点所在的直线，直线为两点所在的直线，直线为两点所在的直线，其中直线和分别是小圆和对拓圆的弦；因为于是和具有相同的无穷远点，这里用表示上的无穷远点；若记O,两点构成的直线为由于是矩形，则知直线经过投影小圆的弦的中点M_1i；若记小圆的圆心为有根据等腰三角形的性质，则有若记点关于小圆的极线为点关于小圆的极线为直线和相交于点H_1i，根据极线的定义，则有则知三角形也是等腰三角形，由等腰三角形的性质知，因为三个点M_1i,H_1i,都在小圆所在的平面π₁，则三个点M_1i,H_1i,在一条直线上，则通过点M_1i,H_1i构成的直线以确定投影小圆的圆心根据配极原则，圆心关于小圆的极线就是小圆所在平面π₁上的无穷远直线根据圆环点的定义，与小圆交于圆环点I₁,J₁；

在像平面π上，若用分别表示的像，用分别表示的像，则为两对对拓像点；记过两点的直线为过两点的直线为过两点的直线为过两点的直线为过两点的直线为直线两点的直线为直线的交点记为o，直线的交点记为则根据射影变换的性质，直线为直线的像，下标i＝1,2，j＝1,2,3,4,5，直线分别为的像，点o为O的像，点为的像；若过两点o,的直线为则直线与直线的交点为m_1i，若记为点关于球像的极线，为点关于球像的极线，直线和相交于h_1i；根据射影变换的性质，直线为分别是的像，点m_1i为M_1i的像，点h_1i是H_1i的像；于是通过点m_1i,h_1i构成的直线以确定小圆上圆心在像平面π上的投影又由配极原则知，关于球像的极线为小圆所在平面π₁的影消线(的像)，最后，求直线与球像的交点得到一对共轭虚点，则该共轭虚点即为小圆所在平面π₁上的圆环点的像m_1I,m_1J；对于小圆所在平面上的圆环点的像{m_2I,m_2J},{m_3I,m_3J}用同样的方法获得；下标I,J表示对应于圆环点I,J。