CN105321181A - 使用双球的相离像与圆环点的像标定拋物折反射摄像机 - Google Patents

Abstract

本发明涉及使用双球的相离像与圆环点的像标定拋物折反射摄像机的方法。用抛物折反射摄像机拍摄双球作为靶标的1幅图像，并且靶标在像平面是相离的。通过该幅折反射图像中球像的虚交点与对拓球像虚交点对应形成的四组虚对拓像点确定摄像机的内参数中的主点；在获得主点的基础上，求解双球在单位视球上的两组平行投影小圆所在平面的消失线，从而确定该平面上圆环点的像，最终利用圆环点的像对摄像机内参数的约束求解其余摄像机内参数。利用本发明的方法可以实现全自动标定，减少了标定过程中由测量引起的误差。由于球的投影轮廓线在图像中可以全部提取，因此提高了摄像机的标定精度。

Description

使用双球的相离像与圆环点的像标定拋物折反射摄像机

技术领域

本发明属于计算机视觉领域，涉及一种利用相离的双球与圆环点的像求解抛物折反射摄像机内参数的方法。

背景技术

计算机视觉的中心任务就是对图像进行理解，而它的最终目标是使计算机具有通过二维图像认知三维环境信息的能力。这种能力将不仅使机器能感知包括形状、姿态、运动等在内的三维环境中物体的几何信息，而且能对它们进行描述、存储、识别与理解。摄像机标定就是确定从三维空间点到它的二维图像点之间的映射关系，它是许多计算机视觉应用必不可少的步骤。为了确定这一映射过程，需要建立摄像机的几何成像模型，几何模型的参数称为摄像机参数，摄像机参数可分为内参数和外参数两类。内参数描述成像系统的成像几何特性，外参数描述成像系统关于世界坐标系的方向和位置。摄像机标定可分为传统标定、自标定和基于几何实体的标定。无论哪种标定方法，都旨在建立二维图像与摄像机内参数之间的约束关系，特别是线性约束关系，这是目前摄像机标定所追求的目标，也是目前计算机视觉领域研究的热点之一。

抛物折反射摄像机由一个抛物镜面和一个正交摄像机组成，它的成像视野大，是全景视觉领域研究的热点之一。文献“Catadioptricself-calibration”，（KangS.B.,ProceedingsofIEEEConferenceonComputerVisionandPatternRecognition,vol.1,pp.201-207,2000.）提出了一种折反射摄像机自标定方法，这类方法的优点是不需要使用标定块，缺点是必须获得图像之间的对应点。而在计算机视觉中，实现一个十分有效的寻找对应点的方法是很困难的。文献“Geometricpropertiesofcentralcatadioptriclineimagesandtheirapplicationincalibration”,（BarretoJ.P.,AraujoH.,IEEETransactionsonPatternAnalysisandMachineIntelligence,vol.27,no.8,pp.1327-1333,2005）研究了中心折反射摄像机下直线的像的几何性质，并将这些性质应用于中心折反射摄像机的标定。文献“Anewlinearalgorithmforcalibratingcentralcatadioptriccameras”,（WuF.,DuanF.,HuZ.etal.,PatternRecognition,vol.41,no.10,pp.3166-3172,2008）介绍了对拓点和对拓像点，导出了空间中的一个点在视球上的投影和它的折反射图像点之间的关系，使用这个关系建立了中心折反射摄像机内参数的线性约束，通过此线性约束即可获得中心折反射摄像机内参数。文献“CalibrationofcentralcatadioptriccamerasusingaDLT-likeapproach”,（PuigL.,BastanlarY.,SturmP.,etal.InternationalJournalofComputerVision,vol.93,no.1,pp.101-114,2011）提出了一种基于三维控制点的标定方法，通过使用Veronese映射对三维点和其图像点的坐标进行了扩展，在扩展坐标的基础上基于DLT(直接线性变换)——相似方法实现了中心折反射摄像机的标定，但是这类方法需要已知三维点的位置，并且容易从图像中提取其图像点。

球作为一种常见的几何体，其最重要的优点在于无自身遮挡，从任何一个方向看空间中一个球的封闭轮廓线总是一个圆，并且它的投影轮廓线可全部提取。由于球具有丰富的视觉几何特性，因此利用球进行摄像机标定已成为近年来的一个热点。文献“Catadioptriccameracalibrationusinggeometricinvariants”，（YingX.,HuZ.,IEEETransactionsonPatternAnalysisandMachineIntelligence,vol.26,no.10,pp.1260-1271,2004）首次提出了利用球标定中心折反射摄像机。他们证明了球在中心折反射摄像机的单位球投影模型下的像为椭圆，并且在非退化情况下一个球的投影二次曲线提供两个不变量。为了降低求解的复杂度，他们提出了一种分步标定方法，该方法至少需要4个球的投影才能完成摄像机的标定。但是该文献提出的标定方法是非线性的，计算的复杂度较高，并且该标定方法只能标定抛物折反射摄像机的部分内参数。文献“Identicalprojectivegeometricpropertiesofcentralcatadioptriclineimagesandsphereimageswithapplicationstocalibration”，（YingX.,ZhaH.,InternationalJournalofComputerVision,vol.78,no.1,pp.89-105,2008）介绍了修正绝对二次曲线的像（MIAC）在中心折反射摄像机标定中的作用。他们通过研究球在中心折反射摄像机下的像与MIAC的几何与代数关系提出了两种线性标定算法。它们得出的结论对于对偶形式也是成立的。但是这篇文献中的理论和标定方法对于抛物折反射摄像机的情况是退化的。文献“Acalibrationmethodforparacatadioptriccamerafromsphereimages”，（DuanH.,WuY.,PatternRecognitionLetters,vol.33,no.6,pp.677-684,2012）基于圆环点理论提出了一种利用对拓球像标定抛物折反射摄像机的线性方法。但是这篇文献中关于圆环点的像的选取比较复杂。

发明内容

本发明提供了一种制作简单，适用广泛，稳定性好的利用靶标求解抛物折反射摄像机内参数的方法，该靶标由空间的双球构成，并且靶标在抛物折反射摄像机的像平面的投影是相离的。在求解抛物折反射摄像机内参数的过程中，需使用抛物折反射摄像机拍摄靶标的1幅图像便可线性求解出抛物折反射摄像机的5个内参数。

本发明采用如下技术方案：

本发明是由空间的双球构成的靶标，并且该靶标在抛物折反射摄像机的像平面的投影是平行的，利用靶标求解抛物折反射摄像机内参数的方法，其特征在于仅利用球元素。首先，从该幅图像中提取镜面轮廓投影的边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和双球的像。其次，根据像点和其对拓像点的关系获得对拓像点，从而估计双球像的对拓球像，根据球像的虚交点与对拓球像的虚交点对应形成的四组虚对拓像点确定主点。在获得主点的基础上，求解双球在单位视球上的两组平行投影小圆所在平面的消失线，从而确定该平面上圆环点的像。最后，利用圆环点的像对摄像机内参数的约束求解其余摄像机内参数。具体的步骤包括：拟合镜面轮廓投影方程及靶标投影方程，估计双球像的对拓球像，确定摄像机的主点，确定圆环点的像，求解抛物折反射摄像机的其余内参数。

1．拟合镜面轮廓投影方程及靶标投影方程

利用Matlab程序中的函数提取镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影方程和双球像的方程。

2．估计双球像的对拓球像

空间中的一个点以单位视球（简称单位球或视球）的球心为中心在球面上的投影有两个点，在靠近空间点在球面上的投影点是可见的称为投影点，远离空间点在球面上的投影为不可见称为对拓点，球面上投影两点相对于球心对称；同时在球面上任取一点，将投影点和对拓点投影到一个平面上，对应于投影点在投影平面上的像称为投影点的像，对应于对拓点在投影平面上的像称为对拓点的像，即不可见的像。空间中的双球与，并且在像平面的投影是相离的，双球在拋物折反射摄像机的单位球模型下的投影分为两步：第一步，将双球与投影为以为中心的单位视球面上的两组平行小圆和，称为的对拓圆，即关于球心对称，并在球面上。与没有实交点，与也没有实交点，下标表示与球对应的像，+表示单位视球球面上可见像，-表示单位视球球面上不可见像，即对拓球像；。第二步，以单位视球表面上的一点为投影中心，即主点，这里看作一个摄像机的光心，将这两组平行小圆和分别投影为抛物折反射图像平面上的两组二次曲线和，其中称可见的二次曲线为靠近球与的像，不可见的二次曲线为球像的对拓球像，抛物折反射图像平面与直线垂直。与有两对虚交点；与也有两对虚交点。令以为光心的摄像机的内参数矩阵为，其中是纵横比，是有效焦距，是倾斜因子，是摄像机主点的齐次坐标。利用Matlab中的函数提取该幅图像中的镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程，这里用表示镜面轮廓投影曲线的系数矩阵，表示该幅图像中的两个球像的系数矩阵（为了简化表述，用相同字母表示曲线和它的系数矩阵）。通过获得摄像机内参数矩阵的一个初始值，从而得到绝对二次曲线的像（IAC）的初始值。这里，是纵横比的初始值，是有效焦距的初始值，是倾斜因子的初始值，是摄像机主点的初始齐次坐标，记。取上的一组点，表示取的第几个点，上下标表示哪一个球，则与它相对应的一组对拓像点可由关系式确定，，用齐次坐标表示，-表示不可见的像。根据对拓像点的定义，点在球像的对拓球像上，因此可用最小二乘法拟合得到对拓球像的初始方程，最后通过最小化函数获得的一个估计，其中是Lagrange乘数因子，，，这里表示矩阵的第行第列元素。

3．确定摄像机的主点

空间中的双球与的相离像和有两对虚交点，它们的对拓球像和也有两对虚交点，其中。根据步骤2对拓像点的定义，互为虚对拓，+表示虚像点，-表示虚对拓像点，它们看作互为虚对拓点的像，其中。根据步骤（2）中对拓像点的定义，虚线段过单位视球的球心，再由射影变换的结合性和主点的定义可知，虚线段过摄像机的主点，于是可通过求四条虚线段的交点确定摄像机的主点，其中。使用靶标的1幅图像即可确定摄像机的主点的坐标。

4．确定圆环点的像

在球的投影小圆上取两个互异的点和，用和分别表示和的对拓点，则点和在的对拓圆上，下标第一位表示第1个球，下标第二位表示取的第几个点。直线为小圆在点处的切线，直线为小圆在点处的切线，其中。根据对拓点的定义和圆的几何性质，有，于是和具有相同的无穷远点，这里用表示上的无穷远点，其中。通过和可以确定小圆所在平面上的两个无穷远点，确定该平面上的无穷远直线，这里用表示该平面上的无穷远直线，其中。根据圆环点的定义，与小圆及小圆的交点相同，均为该平面上的圆环点。用分别表示的像，则为两对对拓像点。记球像在点处的切线为，它的对拓球像在点处的切线为，则根据射影变换的性质，直线为直线的像，直线为直线的像，于是可通过直线和直线确定小圆所在平面上的两个消失点（的像），从而可确定该平面的消失线（的像），其中。最后，求直线与球像的交点得到一对共轭虚点，同时求直线与球像的对拓球像的交点也可得到一对共轭虚点。理论上这两对共轭虚点相同，均为小圆所在平面上的圆环点的像，由于噪声影响，它们可能不同，这里通过求对应点坐标的平均值作为最终结果，从而获得该平面上的圆环点的像；对于小圆所在平面上的圆环点的像也可获得；下标表示对应于圆环点。

5．求解抛物折反射摄像机的其余内参数

由于已经获得了摄像机的主点，因此只需求解摄像机其余的三个内参数。使用抛物折反射摄像机拍摄靶标的1幅图像。首先，通过一个平移变换矩阵将图像坐标系的坐标原点平移到主点形成新的坐标系，其中。在新坐标系下内参数矩阵可简化为，这里；于是，可简化为，表示等价于，此时仅有3个自由度。在新坐标系下小圆所在平面上的一对圆环点的像变换为，其中，为齐次坐标；其次，可通过SVD方法求解新坐标系下圆环点的像，对简化的绝对二次曲线的像的线性约束获得，即：，其中分别表示复数的实部和虚部；最后，对进行Cholesky分解再求逆便可获得新坐标系下的内参数矩阵，即获得了抛物折反射摄像机的其余三个内参数中。

本发明优点：

（1）该靶标制作简单，只需将两个球固定在一个支架上，使其相离。

（2）对该靶标的物理尺度没有要求，无需知道球心在世界坐标系下的坐标。

（3）该靶标的图像边界点几乎可以全部提取，这样可以提高曲线拟合的精确度，从而提高标定精度。

附图说明

图1是用于求解抛物折反射摄像机内参数的靶标示意图。

图2是靶标在单位球上的投影。

图3是靶标在抛物折反射图像平面上的投影。

具体实施方式

本发明提供了一种用于求解抛物折反射摄像机内参数的靶标，它是由空间中的双球构成的，并且在像平面的投影是相离的，如图1。用此新型靶标完成抛物折反射摄像机内参数的求解需要经过以下步骤：从折反射图像中提取镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和双球的像。根据像点和其对拓像点的关系获得对拓像点，从而估计双球像的对拓球像。根据球像的虚交点与对拓球像的虚交点对应形成的四组虚对拓像点确定主点。在获得主点的基础上，求解双球在单位视球上的两组平行投影小圆所在平面的消失线，从而确定该平面上圆环点的像。利用圆环点的像对摄像机内参数的约束求解其余摄像机内参数。具体的步骤包括：拟合镜面轮廓投影方程及靶标投影方程，估计双球像的对拓球像，确定摄像机的主点，确定圆环点的像，求解抛物折反射摄像机的其余内参数。利用本发明中的方法对用于实验的拋物折反射摄像机进行标定，具体步骤如下：

1．拟合镜面轮廓投影方程及靶标投影方程

利用Matlab程序中的函数提取镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影方程和双球像的方程。

2．估计双球像的对拓球像

空间中的双球与（如图1），并且在像平面的投影是相离的，它们在拋物折反射摄像机的单位球模型下的投影分为两步：第一步，将双球与投影为以为中心的单位视球上的两组平行小圆和，称为的对拓圆。与没有实交点，与也没有实交点。这一过程如图2所示。第二步，通过摄像机的光心将这两组平行小圆和分别投影为抛物折反射图像平面上的两组二次曲线和，这里称可见的二次曲线为球与的像，不可见的二次曲线为球像的对拓球像。点为与的两对虚交点；点为与的两对虚交点。这一过程如图3所示。利用Matlab中的函数提取该幅图像中的镜面轮廓投影和靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程，这里用表示镜面轮廓投影曲线的系数矩阵，表示该幅图像中的两个球像的系数矩阵。通过可获得摄像机内参数矩阵的一个初始值：

，（1）

这里，表示矩阵的第行第列元素，，为摄像机视场角的一半，为抛物面镜轮廓投影椭圆的长半轴长。在获得的基础上可得到的初始值：

。（2）

取上的一组点，则与它相对应的一组对拓像点可由关系式（3）确定：

[ ，（3）

根据对拓像点的定义，点在球像的对拓球像上，因此可用最小二乘法拟合得到对拓球像的初始方程，最后通过最小化函数获得的一个估计，其中是Lagrange乘数因子，，，这里表示矩阵的第行第列元素。

3．确定摄像机的主点

如图3所示，用表示空间中的双球与的相离像和的虚交点，表示它们的对拓球像和的虚交点，其中。根据对拓像点的定义，为对虚对拓像点，它们可以看作虚对拓点的像，其中。根据对拓点的定义，虚线段过单位视球的球心，再由影变换的结合性和主点的定义可知，虚线段过摄像机的主点，于是可通过求四条虚线段的交点确定摄像机的主点，其中。设的齐次坐标为，其中。这里可得方程组（4）、（5）、（6）

，（4）

，（5）

，（6）

其中为抛物折反射图像平面上的像素坐标。由上面的分析，是方程组（4）的4组解，是方程组（5）的4组解，其中。是方程组（6）的解。由于方程组（6）是超定的，我们使用SVD方法求解。从而使用靶标的1幅图像即可确定摄像机的主点。

4．确定圆环点的像

如图2所示，在球的投影小圆上取两个互异的点和，用和分别表示和的对拓点，则点和在的对拓圆上。直线为小圆在点处的切线，直线为小圆在点处的切线，其中。根据对拓点的定义和圆的几何性质，有，于是和具有相同的无穷远点，这里用表示上的无穷远点，其中。通过和可以确定小圆所在平面上的两个无穷远点，于是可确定该平面上的无穷远直线，这里用表示该平面上的无穷远直线，其中。根据圆环点的定义，与小圆及小圆的交点相同，均为该平面上的圆环点。如图3所示，用分别表示的像，则为两对对拓像点。记球像在点处的切线为，它的对拓球像在点处的切线为。设的齐次坐标为，的齐次线坐标为，则

，（7）

，（8）

其中是非零常数因子，。根据射影变换的性质，直线为直线的像，直线为直线的像，于是可通过直线和直线确定小圆所在平面上的两个消失点。通过联立和的方程可得

；（9）

同理，通过联立和的方程可得

。（10）

设和的齐次坐标分别为和，则是方程组（9）的解，是方程组（10）的解。通过小圆所在平面上的两个消失点和可确定该平面的消失线。设的齐次线坐标为，则

，（11）

其中是非零常数因子。最后，通过联立与的方程可得

；（12）

同理，通过联立与的方程可得

。（13）

理论上方程组（12）和（13）有相同的解，均为小圆所在平面上的圆环点的像，由于噪声的影响，它们的解可能不同。记方程组（12）的解为和，方程组（13）的解为和，则

，（14）

由（14）式可获得小圆所在平面上的圆环点的像。对于小圆所在平面上的圆环点的像可用类似的方法获得。

5．求解抛物折反射摄像机的其余内参数

由于已经获得了摄像机的主点，因此只需求解摄像机其余的三个内参数。使用抛物折反射摄像机拍摄靶标的1幅图像。首先，通过一个平移变换将图像坐标系的坐标原点平移到主点，其中

，（15）

在新坐标系下内参数矩阵可简化为

，（16）

于是，可简化为

，（17）

表示定义为，此时仅有3个自由度。在新坐标系下小圆所在平面上的一对圆环点的像变换为

，（18）

其次，由圆环点的像对IAC的约束有

，（19）

其中分别表示复数的实部和虚部。可通过SVD方法求解方程组（19）获得。最后，对进行Cholesky分解再求逆便可获得，即获得了抛物折反射摄像机的其余三个内参数中。

实施例

本发明提出了一种利用空间的双球作为靶标，并且靶标在成像平面的投影是相离的，利用靶标线性确定抛物折反射摄像机内参数的方法。本发明采用的实验模板结构示意图如图1所示。下面以一实例对本发明的实施方案做出更为详细的描述。

基于空间中的双球的抛物折反射摄像机标定采用的实验模板是空间中的双球，双球在成像平面的投影是相离的，如图1所示，两个球分别为与。利用本发明中的方法对用于实验的抛物折反射摄像机进行标定，具体步骤如下：

1．拟合图像边界及靶标曲线方程

本发明采用的图像大小为，抛物折反射摄像机的视场角为。用抛物折反射摄像机拍摄靶标的1幅实验图像，读入图像，利用Matlab中的Edge函数提取镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影方程和双球像的方程。镜面轮廓投影方程的系数矩阵为，双球像的方程的系数矩阵为，结果如下

，（20）

，（21）

。（22）

2．估计双球像的对拓球像

将（20）代入（1）和（2）可得，结果如下

。（23）

先分别在球像和上取至少5个互异的点，再将所取点和（23）代入（3）得到对拓球像上点的初始坐标，再通过最小二乘法拟合获得对拓球像的初始方程，最后通过最小化函数获得对拓球像的估计，结果如下

，（24）

。（25）

3．确定摄像机的主点

将（21）和（22）代入（4）可得球像的两对虚交点，结果如下

，（26），（27），（28）；（29）同理，将（24）和（25）代入（5）可得对拓球像的两对虚交点，结果如下

，（30），（31），（32）

。（33）

先将（26）~（33）代入方程组（6），再使用SVD方法求解方程组（6），可得到摄像机的主点，结果如下

。（34）

4．确定圆环点的像

在球像上任取两个互异的点，使这两点就是，它们的齐次坐标分别为

，（35）

；（36）

根据对拓像点的性质，可获得与点对应的对拓像点，结果如下

，（37）

。（38）

将（35）、（36）代入（7）可得球像在点和处的切线和的齐次线坐标，结果如下

，（39）

。（40）

将（37）、（38）代入（8）可得对拓球像在点和处的切线和的齐次线坐标，结果如下

，（41）

。（42）

将（39）和（41）代入（9）可得消失点，结果如下

。（43）

将（40）和（42）代入（10）可得消失点，结果如下

。（44）

将（43）和（44）代入（11）可确定小圆所在平面上的消失线，它的齐次线坐标为

。（45）

先将（21）代入（12），（24）代入（13）获得结果，再将其结果代入（14）即可获得小圆所在平面上的圆环点的像，结果如下

，（46）

。（47）

对于小圆所在平面上的圆环点的像可用类似的方法获得。结果如下

，（48）

。（49）

5．求解抛物折反射摄像机的其余内参数

首先，将（34）代入（15）得到平移变换，结果如下

。（50）

其次，将（46）~（50）代入（18）可得新坐标系下小圆所在平面上的一对圆环点的像，其中。结果如下

，（51）

；（52）

，（53）

。（54）

接下来，将（51）和（53）代入（19）得到中元素的线性方程组，使用SVD方法求解该线性方程组得到。结果如下

。（55）

最后，对（55）中的进行Cholesky分解再求逆便可获得，有

，（56）

其中纵横比（表示矩阵的第1行第1列的元素，表示矩阵的第2行第2列的元素），故抛物折反射摄像机的其余3个内参数分别为：，，。

Claims (1)

1.一种使用双球的相离像与圆环点的像标定拋物折反射摄像机的方法，其特征在于由空间中的双球作为靶标，并且双球在抛物折反射摄像机的像平面的投影是相离的，所述方法的具体步骤包括：首先，用抛物折反射摄像机拍摄1幅含有相离的双球的图像，从该幅图像中提取镜面轮廓投影的边缘点和靶标图像边缘点，使用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影和双球的图像；其次，根据双球的像点和其对拓像点的关系获得对拓像点，从而估计双球像的对拓球像，根据球像的交点，与对拓球像的交点，对应形成的四组对拓像点确定主点，球像的交点和对拓球像的交点均为虚点；在获得主点的基础上，求解双球在单位视球上的两组平行投影小圆所在平面的消失线，从而确定该平面上圆环点的像；最后，利用圆环点的像对摄像机内参数的约束求解其余摄像机内参数；

（1）拟合镜面轮廓投影方程及靶标投影方程

利用Matlab程序中的函数提取镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，并用最小二乘法拟合获得镜面轮廓投影方程和双球像的方程；

（2）估计双球像的对拓球像

空间中的一个点以单位视球的球心为中心在球面上的投影有两个点，在靠近空间点在球面上的投影点是可见的称为投影点，远离空间点在球面上的投影为不可见称为对拓点，球面上投影两点相对于球心对称；同时在球面上任取一点，将投影点和对拓点投影到一个平面上，对应于投影点在投影平面上的像称为投影点的像，对应于对拓点在投影平面上的像称为对拓点的像，即不可见的像；空间中的双球与，并且双球在成像平面是相离的，双球在拋物折反射摄像机的单位球模型下的投影分为两步：第一步，将双球与投影为以为中心的单位视球面上的两组平行小圆和，称为的对拓圆，下标表示与球对应的像，+表示单位视球球面上可见投影，-表示单位视球球面上不可见投影；与没有实交点，与也没有实交点；第二步，以单位视球表面上的一点为投影中心，即主点，这里看作一个摄像机的光心，将这两组平行小圆和分别投影为抛物折反射图像平面上的两组二次曲线和，其中称可见的二次曲线为球与的像，不可见的二次曲线为球像的对拓球像，抛物折反射图像平面与直线垂直；与有两对虚交点；与也有两对虚交点；令以为光心的摄像机的内参数矩阵为，其中是纵横比，是有效焦距，是倾斜因子，是摄像机主点的齐次坐标；利用Matlab中的函数提取该幅图像中的镜面轮廓投影边缘点和靶标图像边缘点的像素坐标，通过最小二乘法拟合得到相应的二次曲线方程，这里用表示镜面轮廓投影曲线的系数矩阵，表示该幅图像中的两个球像的系数矩阵，为了简化表述，用相同字母表示曲线和它的系数矩阵；通过获得摄像机内参数矩阵的一个初始值，从而得到绝对二次曲线的像的初始值；这里：，，，是纵横比的初始值，是有效焦距的初始值，是倾斜因子的初始值，是摄像机主点的初始齐次坐标，记；取上的一组点，表示取的第几个点，上下标表示哪一个球，则与它相对应的一组对拓像点由关系式确定，，用齐次坐标表示，-表示不可见的像；根据对拓像点的定义，点在球像的对拓球像上，因此用最小二乘法拟合得到对拓球像的初始方程，最后通过最小化函数获得的一个估计，其中是Lagrange乘数因子，，，这里表示矩阵的第行第列元素；

（3）确定摄像机的主点

空间中的双球与的相离的像和有两对虚交点，对拓球像和也有两对虚交点，其中；根据步骤（2）对拓像点的定义，互为虚对拓，+表示虚像点，-表示虚对拓像点，并且看作互为虚对拓点的像，其中；根据对拓点的定义，虚线段过单位视球的球心，再由投影变换的结合性和主点的定义知，虚线段过摄像机的主点，于是通过求四条虚线段的交点确定摄像机的主点，其中；通过上面的分析，使用靶标的1幅图像确定摄像机的主点的坐标，即求出为摄像机的2个参数；

（4）确定圆环点的像

在球的投影小圆上取两个互异的点和，用和分别表示和的对拓点，则点和在的对拓圆上，下标第一位表示第1个球，下标第二位表示取的第几个点；直线为小圆在点处的切线，直线为小圆在点处的切线，其中下标；根据对拓点的定义和圆的几何性质，有，于是和具有相同的无穷远点，这里用表示上的无穷远点，其中下标；通过和确定小圆所在平面上的两个无穷远点，确定该平面上的无穷远直线，这里用表示该平面上的无穷远直线，其中下标；根据圆环点的定义，与小圆及小圆的交点相同，均为该平面上的圆环点；用分别表示的像，则为两对对拓像点，下标；记球像在点处的切线为，它的对拓球像在点处的切线为，则根据射影变换的性质，直线为直线的像，直线为直线的像，于是通过直线和直线确定小圆所在平面上的两个消失点，即的像，从而确定该平面的消失线，即的像，其中下标；最后，求直线与球像的交点得到一对共轭虚点，同时求直线与球像的对拓球像的交点也得到一对共轭虚点；根据射影理论，这两对共轭虚点相同，均为小圆所在平面上的圆环点的像，但是由于噪声影响，这里通过求对应点坐标的平均值作为最终结果，从而获得该平面上的圆环点的像；对于小圆所在平面上的圆环点的像也获得；下标表示对应于圆环点；

（5）求解抛物折反射摄像机的其余内参数

由于已经获得了摄像机的主点，因此只需求解摄像机其余的三个内参数；使用抛物折反射摄像机拍摄靶标的1幅图像；首先，通过一个平移变换矩阵将图像坐标系的坐标原点平移到主点形成新的坐标系，其中；在新坐标系下内参数矩阵简化为，这里；于是，简化为，表示等价于，此时仅有3个自由度；在新坐标系下小圆所在平面上的一对圆环点的像变换为，其中，为齐次坐标；其次，通过SVD方法求解新坐标系下圆环点的像，对简化的绝对二次曲线的像的线性约束获得，即：，其中分别表示复数的实部和虚部；最后，对进行Cholesky分解再求逆便获得新坐标系下的内参数矩阵，即获得了抛物折反射摄像机的其余三个内参数中，其中是纵横比，是有效焦距，是倾斜因子。