CN109150630B - 基于整数阶网络拥塞模型可调节分岔点控制器的建立方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及基于整数阶网络拥塞模型的可调节分岔点的控制器的建立方法，包括如下步骤：分析出无控的整数阶网络拥塞模型的稳定性特性和唯一平衡点x^*；对于无控的整数阶网络拥塞模型施加可调节分岔点的

控制器，至少满足研究系统的稳定性、Hopf分岔和周期振荡范围的问题；对含有分数阶控制器的网络拥塞模型在平衡点x^*处线性化，从而得到线性化后的受控系统的特征方程；选取系统时延τ作为分岔参数，通过前述步骤中线性化后的受控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，通过设置适当的控制器参数，有效地提前或滞后Hopf分岔的发生时间，使拥塞系统变得可控，实现理想行为。

Description

基于整数阶网络拥塞模型可调节分岔点控制器的建立方法

技术领域

本发明涉及一种控制器的建立方法，具体的说是一种基于整数阶网络拥塞模型的可调节分岔点的控制器

的建立方法，属于控制器技术领域。

背景技术

随着物联网和移动网络的快速发展，人们可以获得各种高速的互联网服务，信息通信也变得方便快捷。因此，互联网用户的数量在不断增加。然而，计算机网络的资源容量不能满足互联网用户的需求，计算机网络拥塞现象日益严重。因此，针对这些问题，在拥塞控制系统的研究中取得了很大的成果。特别是该模型的动力学特性，包括稳定性、Hopf分岔、混沌和周期振荡等，已经得到了许多重要的结果。

在拥塞控制系统和其他动态系统如神经元系统、电力系统、商业周期模型等中，并不总是需要分岔，甚至可能对系统造成损害。因此，需要设计一些控制方案来改变系统的分岔特性，通常称为分岔控制。一般而言，分岔控制是指控制给定非线性系统的分岔动力学，使系统产生良好的动力学特性。同时，大多数分叉控制方案不会改变原始系统的属性。目前，分叉控制已经引起了不同学科研究者的广泛关注。

PD控制方案作为一类具有代表性的PID控制方法，在许多工程过程中得到了广泛的应用，来研究了系统或模型的性能，特别是在机器人控制中。虽然分数阶PD控制器近些年来也被运用到在Hopf分岔控制中，但受控系统的阶次与控制器的阶次相同。为了使控制器更具普遍性，本发明采用分数阶PD控制器对整数阶拥塞控制系统进行控制。也就是说，控制器

的阶次与网络拥塞模型的阶次不同。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于克服现有技术的不足，提供一种基于整数阶网络拥塞模型的可调节分岔点的控制器的建立方法，通过调节适当的系统参数，方便并且准确的使受控系统的分岔点提前或滞后。

为实现上述目的，本发明具体采用的技术方案为一种基于整数阶网络拥塞模型的可调节分岔点的控制器的建立方法，包括以下步骤：

步骤一：分析出原始模型的稳定性特性和平衡点信息。

一维带有时滞的网络拥塞模型如下：

其中，x(t)是在t时刻总影响量；τ是系统交流时延(τ≥0)；k是系统增益参数(k>0)，c是系统的容纳力(c>0)。由上述参数很容易得到该模型的唯一平衡点为

步骤二：对于整数阶网络拥塞模型施加可调节分岔点的

控制器，以便准确的调节分岔点。

所述可调节分岔点的

控制器如下：

其中，k_p、k_d是控制器的系统参数，n是自然数，x*是系统的平衡点。

将控制器施加到受控模型中得到如下模型：

步骤三：对于上述施加控制器的模型在平衡点x*处进行线性化，得出被控系统的特征方程。

令

x₁(t)＝x(t)-x^*

其中，n是自然数，故

通过一系列的数学替换，将不同阶次的拥塞控制系统转化为相应同阶次系统，可以得到如下形式：

那么，上述系统在平衡点处线性化后的方程为：

那么它的特征方程为

经过整理得到：

步骤四：选定系统分岔参数，对被控系统进行稳定性分析。

我们选定时延参数τ作为分岔参数对系统进行稳定性分析。系统能够稳定的条件是系统特征方程的根具有负实部，因此我们需要找到系统处于临界稳定的条件，即系统的特征方程出现纯虚根的情况。

①当控制器为整数阶且系统无时延(即n＝1,τ＝0)时，特征方程可改写为

(1-k_d)s-k_p+ck＝0

∴

讨论上述特征方程的特征根是否具有负实部。

②当控制器为整数阶且系统存在时延(即n＝1,τ>0)时，特征方程可改写为

(1-k_d)s-k_p+cke^-sτ＝0

讨论有时延的特征方程是否存在分岔点出现，以及讨论系统参数k_p、k_d对分岔点的影响。

③当控制器为分数阶且系统无时延(即n>2,τ＝0)时，特征方程可改写为

讨论上述方程的所有根是否都位于复平面的左侧。

④当控制器为分数阶且系统存在时延(即n>2,τ>0)，特征方程为

讨论有时延的特征方程是否存在分岔点出现，以及讨论系统参数k_p、k_d对分岔点的影响。

与现有技术相比，本发明具有以下的有益技术效果：

1、本发明提出的

控制器的设计方法具有较强的适用性，也可适用于其它带有时滞系统的分岔控制。

2、通过设置适当的比例和导数控制参数，可以有效地延迟或提前系统Hopf分岔点的起始。因此，原始系统具有更好的动态特性。

3、通过一些准确的控制参数，可以准确地推导出拥塞控制系统的稳定性条件、出现Hopf分岔的时间和周期振荡范围。本发明中的可调节分岔点的分数阶PD控制器的设计方法简单易行。

附图说明

图1为本发明的原理图。

图2和图3分别为受控系统处于无控的情况下(k＝0.01,c＝50,k_p＝0,k_d＝0)，得到原始系统的分岔点τ₀₀＝π，系统在平衡点x*处稳定和出现Hopf分岔的波形图。

图4和图5分别为受控系统处于整数阶PD(n＝1,k＝0.01,c＝50,k_p＝0.4,k_d＝0.5)控制器的情况下，可以提前受控系统的分岔点τ₀₁＝1.07，系统在平衡点x*处稳定和出现Hopf分岔的波形图。

图6和图7分别为受控系统处于整数阶PD(n＝1,k＝0.01,c＝50,k_p＝-0.3,k_d＝0.4)控制器的情况下，可以滞后受控系统的分岔点τ₀₁＝3.3214，系统在平衡点x*处稳定和出现Hopf分岔的波形图。

图8和图9分别为受控系统处于分数阶PD(n＝4,k＝0.01,c＝50,k_p＝0.2,k_d＝-0.01)控制器的情况下，可以提前受控系统的分岔点τ₀₂＝3.02，系统在平衡点x*处稳定和出现Hopf分岔的波形图。

图10和图11分别为受控系统处于整数阶PD(n＝4,k＝0.01,c＝50,k_p＝-0.1,k_d＝-0.1)控制器的情况下，可以滞后受控系统的分岔点τ₀₁＝3.3214，系统在平衡点x*处稳定和出现Hopf分岔的波形图。

图12为当k_d＝-0.1时，k_p与τ₀的关系图。

图13为当k_p＝-0.2时，k_d与τ₀的关系图。

表1为阶次n对系统分岔点τ₀的影响(k＝0.01,c＝50,k_p＝0.25,k_d＝-0.1)。

具体的实施方式

下面结合说明书附图对本发明的实施方式进行描述。

如图1所示，本发明是基于整数阶网络拥塞模型的可调节分岔点的控制器的建立方法，具体包括以下步骤:

步骤一：分析出原始模型的稳定性特性和平衡点信息。

一维带有时滞的网络拥塞模型如下：

其中，x(t)是在t时刻总影响量；τ是系统交流时延(τ≥0)；k是系统增益参数(k>0)，c是系统的容纳力(c>0)。由上述参数很容易得到该模型的唯一平衡点为

步骤二：对于整数阶网络拥塞模型施加可调节分岔点的

控制器，以便准确的调节分岔点。

所述可调节分岔点的

控制器如下：

其中，k_p、k_d是控制器的系统参数，n是自然数，x*是系统的平衡点。

将控制器施加到受控模型中得到如下模型：

步骤三：对于上述施加控制器的模型在平衡点x*处进行线性化，得出被控系统的特征方程。

令

x₁(t)＝x(t)-x^*

其中，n是自然数，故

通过一系列的数学替换，将不同阶次的拥塞控制系统转化为相应同阶次系统，可以得到如下形式：

那么，上述系统在平衡点处线性化后的方程为：

那么它的特征方程为

经过整理得到：

步骤四：选定系统分岔参数，对被控系统进行稳定性分析。

我们选定时延参数τ作为分岔参数对系统进行稳定性分析。系统能够稳定的条件是系统特征方程的根具有负实部，因此我们需要找到系统处于临界稳定的条件，即系统的特征方程出现纯虚根的情况。

1)当控制器为整数阶且系统无时延(即n＝1,τ＝0)时，特征方程可改写为

(1-k_d)s-k_p+ck＝0

∴

很明显，我们可以得出以下结论一：

当n＝1，k_d<1且k_p<ck成立时，上式的根具有一个负实部，此时无时滞系统在平衡点x^*处大范围渐进稳定。

2)当控制器为整数阶且系统存在时延(即n＝1,τ>0)时，特征方程可

改写为

(1-k_d)s-k_p+cke^-sτ＝0

令s＝iω，则e^-sτ＝cos(ωτ)-isin(ωτ)。代入原方程，并且分离实部虚部得，

可得，

当-ck<k_p<ck，k_d<1时，可以分别得到

因此，此特征方程具有纯虚根。

分岔点是系统从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此在该点出特征根对于分岔参数τ的导数在τ₀₁处的实部是大于零的，那么特征根才能从左半平面穿越到右半平面。

对此处的特征方程两边对于τ求导得出

由于

其中，k_d<1。因此，

上述结果可以看出在τ₀₁处满足穿越条件，因此，τ₀₁是当n＝1,τ>0时受控受系统的分岔点。我们可以得出以下结论二：

当n＝1，-ck<k_p<ck，且k_d<1时，受控系统在平衡点处大范围渐进稳定对于τ∈[0,τ₀₁)并且在平衡点处发生Hopf分岔对于τ＝τ₀₁；当n＝1，k_p<-ck，且k_d<1时，受控系统在平衡点处大范围渐进稳定对于τ≥0。

3)当控制器为分数阶且系统无时延(即n>2,τ＝0)时，特征方程可改写为

令s＝Ae^θi＝A(cosθ+isinθ)，其中A和θ分别为s在复平面的模长和辐角。带入上式可得，

分离实虚部可得

很明显，当k_d<0，k_p<ck且

时，此时的系统特征方程无根，这就意味着所有特征方程的根都在复平面的左半平面。我们可以得出以下结论三：

当n≥2，k_d<0且k_p<ck成立时，此时无时滞系统在平衡点x^*处大范围渐进稳定。

系统在平衡点处大范围渐进稳定对于τ≥0。

4)当控制器为分数阶且系统存在时延(即n>2,τ>0)，特征方程为

令s＝iω，则e^-sτ＝cos(ωτ)-isin(ωτ)，

代入原方程，并且分离实部虚部得，

得

令

则ω＝zⁿ，代入原方程得

定义函数

当0≤k_p<ck，k_d<0时，H(0)<0，因此，H(z)＝0有唯一零点z₀，即此特征方程有纯虚根。

当k_d<0，k_p<0时，H'(z)>0恒成立对于z>0，即H(z)是单调递增函数。

①当k_p<-ck，k_d<0时，则k_p ²-(ck)²>0，即H(0)>0。因此，H(z)＝0无正根，即此特征方程无纯虚根对于任意的τ≥0。

②当-ck<k_p<0，k_d<0时，则k_p ²-(ck)²<0,即H(0)<0。因此，H(z)＝0有唯一零点z₀，即此特征方程有纯虚根。

因此，我们可以推导出ω₀₂＝z₀ ⁿ，

因此，此特征方程具有纯虚根。

分岔点是系统从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此在该点出特征根对于分岔参数τ的导数在τ₀₂处的实部是大于零的，那么特征根才能从左半平面穿越到右半平面。对此处的特征方程两边对于τ求导得出：

由于

其中，

我们假设

方程两边对ω求导，得

根据之前的条件可知，当满足-ck<k_p<ck，k_d<0时，G'(ω)>0在ω＝ω₀₂处恒成立。因此，g(ω₀₂)＞0，

上述结果可以看出在τ₀₂处满足穿越条件，因此，τ₀₂是当n＝2,τ>0时受控受系统的分岔点。我们可以得出以下结论四：

当n＝2，-ck<k_p<ck，且k_d<0时，受控系统在平衡点处大范围渐进稳定对于τ∈[0,τ₀₂)并且在平衡点处发生Hopf分岔对于τ＝τ₀₂；当n＝2，k_p<-ck，且k_d<0时，受控系统在平衡点处大范围渐进稳定对于τ≥0。

表1为阶次n对系统分岔点τ₀的影响(k＝0.01,c＝50,k_p＝0.25,k_d＝-0.1)

表1

下面运用实例对本发明做进一步的说明，通过Matlab来验证理论分析的正确性。第一步：为了方便比较，我们设定k＝0.01，c＝50。其数学模型如下：

系统的平衡点为

第二步：我们对上述模型施加分数阶PD控制器得到如下被控模型：

第三步：我们对上述模型，进行分情况研究，得到在不同情形下，受控系统的不同特性。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和优点。本领域的技术人员应该了解，本发明不受上述具体实施例的限制，上述具体实施例和说明书中的描述只是为了进一步说明本发明的原理，在不脱离本发明精神范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护的范围由权利要求书及其等效物界定。

Claims (5)

1.基于整数阶网络拥塞模型可调节分岔点控制器的建立方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：分析出无控的整数阶网络拥塞模型的稳定性特性和唯一平衡点x^*；其中，整数阶网络拥塞模型如下：

其中，x(t)是在t时刻总影响量；τ是系统交流时延， τ≥0；k是系统增益参数， k>0，c是系统的容纳力， c>0；由上述参数很容易得到模型的唯一平衡点为

步骤2：对于无控的整数阶网络拥塞模型施加可调节分岔点的

控制器，至少满足研究系统的稳定性、Hopf分岔和周期振荡范围的问题；其中，可调节分岔点的

控制器如下：

其中，k_p、k_d是控制器的系统参数，n是自然数，x*是系统的平衡点；

步骤3：对含有分数阶控制器的网络拥塞模型在平衡点x^*处线性化，从而得到线性化后的受控系统的特征方程；

步骤4：选取系统时延τ作为分岔参数，通过前述步骤中线性化后的受控网络的特征方程进行稳定性分析和分岔分析，通过设置适当的控制器参数，有效地提前或滞后Hopf分岔的发生时间，使拥塞系统变得可控，实现理想行为。

2.根据要求1所述的基于整数阶网络拥塞模型可调节分岔点控制器的建立方法，其特征在于：将所述控制器施加到受控模型中得到如下模型：

将系统中的时延τ作为分岔参数，对于受控系统的稳定性进行分析，并通过稳定性分析的结果。

3.根据权利要求1所述的基于整数阶网络拥塞模型可调节分岔点控制器的建立方法，其特征在于：所述步骤3中，被控系统特征方程的推导过程为：

令

x₁(t)＝x(t)-x^*

其中，n是自然数，故

通过一系列的数学替换，将不同阶次的拥塞控制系统转化为相应同阶次系统，可以得到如下形式：

那么，上述系统在平衡点处线性化后的方程为：

那么它的特征方程为

经过整理得到：

4.根据权利要求1所述的基于整数阶网络拥塞模型可调节分岔点控制器的建立方法，其特征在于：所述步骤4中，系统能够稳定的条件是系统特征方程的根具有负实部，针对系统处于临界稳定的条件进行处理，即系统的特征方程出现纯虚根的情况。

5.根据权利要求4所述的基于整数阶网络拥塞模型可调节分岔点控制器的建立方法，其特征在于：

当控制器为整数阶且系统无时延， 即n＝1,τ＝0时，特征方程可改写为

(1-k_d)s-k_p+ck＝0

讨论上述特征方程的特征根是否具有负实部；

当控制器为整数阶且系统存在时延， 即n＝1,τ>0时，特征方程可改写为

(1-k_d)s-k_p+cke^-sτ＝0

讨论有时延的特征方程是否存在分岔点出现，以及讨论系统参数k_p、k_d对分岔点的影响；

当控制器为分数阶且系统无时延， 即n>2,τ＝0时，特征方程可改写为

讨论上述方程的所有根是否都位于复平面的左侧；

当控制器为分数阶且系统存在时延， 即n>2,τ>0，特征方程为

讨论有时延的特征方程是否存在分岔点出现，以及讨论系统参数k_p、k_d对分岔点的影响。

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