CN109145364A - 基于基尼均差的灵敏度分析方法 - Google Patents

Abstract

本公开是关于一种基于基尼均差的灵敏度分析方法，包括：根据至少一个输入变量和响应函数，计算输出结果；根据输出结果，计算结果基尼均差；将第一输入变量划分为多个连续不相交的子区间，计算每个子区间对应的第一子输出变量，所述第一输入变量为至少一个输入变量中的任意一个输入变量；根据每个第一子输出变量，计算对应的第一子基尼均差；根据所述结果基尼均差和所述第一子基尼均差，计算第一输入变量对应的灵敏度。

Description

基于基尼均差的灵敏度分析方法

技术领域

本公开涉及可靠性分析技术领域，具体而言，涉及一种基于基尼均差的灵敏度分析方法。

背景技术

在工业生产制造和航空航天等工程领域中，产品在设计、制造、服役过程中会遇到多种多样的不确定性。这些广泛存在的不确定性会导致结构的输出响应也相应存在不确定性，进而会对结构的安全性产生的影响。失效概率是描述结构输出响应的不确定性的一个特征量，可靠性灵敏度分析着重关注输入变量的不确定性对结构失效概率的影响。

目前，全局灵敏度分析主要是通过单输出变量模型分析，对于多输出变量来说，由于个输出变量往往存在较强的相关性。针对每个输出变量进行单独的灵敏度分析会忽略不同输出变量之间的相关性，使得分析的结果出现冗余，甚至忽略输出变量的某些重要特征量。

需要说明的是，在上述背景技术部分公开的信息仅用于加强对本公开的背景的理解，因此可以包括不构成对本领域普通技术人员已知的现有技术的信息。

发明内容

本公开的目的在于提供一种基于基尼(Gini)均差的灵敏度分析方法，进而克服针对每个输出变量进行单独的灵敏度分析所存在的问题。

根据本公开的一个方面，提供一种灵敏度分析方法，包括：

根据至少一输入变量和响应函数，计算输出结果；

根据输出结果，计算结果基尼均差；

将第一输入变量划分为多个连续不相交的子区间，计算每个子区间对应的第一子输出变量，所述第一输入变量为至少一个输入变量中的任意一个输入变量；

根据每个第一子输出变量，计算对应的第一子基尼均差；

根据所述结果基尼均差和所述第一子基尼均差，计算第一输入变量对应的灵敏度。

根据本公开的一实施方式，在所述计算输出结果的基尼均差中，通过公式(1)计算：

其中，为输出结果的基尼均差，Y为输出结果，||·||表示欧式范数，y₁,y₂,...,y_N为Y的样本集。

根据本公开的一实施方式，所述输出结果包括至少一个输入变量中每个输入变量对应的输出变量。

根据本公开的一实施方式，所述将第一输入变量划分为多个连续不相交的子区间包括：

将输入变量X_i的分布区间划分为L个连续但不相交的子区间A_l＝[a_l-1,a_l]，其中，l＝1,2,...,L。

根据本公开的一实施方式，所述在子区间A_l＝[a_l-1,a_l]中，Δa＝a_l-a_l-1→0。

根据本公开的一实施方式，所述分别通过响应函数计算每个子区间对应的第一子输出变量包括：

根据输入变量X_i的区间划分，将输出变量的样本集划分为L个子集，即

根据本公开的一实施方式，在所述计算所述第一子输出变量的第一子基尼均差中，通过公式(2)计算：

其中，为第一子基尼均差，b₁...b_M为第l个子区间对应的输出变量的样本集。

根据本公开的一实施方式，所述根据所述基尼均差和所述第一子基尼均差，计算第一输入变量对应的灵敏度中，通过公式(3)计算：

其中，为第一输入变量对应的灵敏度，P_l为第一输入变量落在第l个子区间的概率，L为第一输入变量被划分为连续不相交的子区间的数量。

根据本公开的一实施方式，P_l通过公式(4)计算得到：

为第一输入变量的概率密度函数，为第一输入变量的累积分布函数。

根据本公开的一实施方式，所述至少一个输入变量为根据输入变量的联合概率密度函数f_X(x)产生一组样本{x₁,...,x_N}，其中N≥1。，

本公开提供一种基于基尼均差的灵敏度分析方法，通过至少一个输入变量对应的输出结果的基尼均差和第一输入变量子区间对应的第一子输出变量的基尼均差计算多输出变量的全局灵敏度。避免了现有技术中针对每个输出变量进行单独的灵敏度分析会忽略不同输出变量之间的相关性，使得分析的结果出现冗余，甚至会忽略输出变量的某些重要特征量的问题。并且在分析过程中计算简单高效，灵敏度分析结果准确。

应当理解的是，以上的一般描述和后文的细节描述仅是示例性和解释性的，并不能限制本公开。

附图说明

此处的附图被并入说明书中并构成本说明书的一部分，示出了符合本公开的实施例，并与说明书一起用于解释本公开的原理。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本公开的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本公开实施例提供的一种基于基尼均差的灵敏度分析方法的流程图。

图2为本公开实施例提供的一种输入变量的灵敏度指标估计值随样本数的增加的变化图。

具体实施方式

现在将参考附图更全面地描述示例实施方式。然而，示例实施方式能够以多种形式实施，且不应被理解为限于在此阐述的实施方式；相反，提供这些实施方式使得本发明将全面和完整，并将示例实施方式的构思全面地传达给本领域的技术人员。图中相同的附图标记表示相同或类似的结构，因而将省略它们的详细描述。

灵敏度分析的结果可以帮助研究人员得到各输入变量对模型输出变量的不确定性的相对贡献大小，得到输入变量的重要性排序，通过分配更多的资源到重要输入变量以减小其不确定性，从而可以高效地降低模型输出变量的不确定性，从而提高模型的稳健性或结构的可靠度。对于不重要的输入变量，可以将其当作常数处理，从而实现模型的简化，降低输入变量的维数，有助于降低可靠性优化设计的计算代价。可以看出，灵敏度分析和可靠性分析是相辅相成的，在实际的工程结构中，灵敏度分析受到了越来越多的重视与应用。

灵敏度分析可以分为局部灵敏度分析(Local sensitivity analysis)和全局灵敏度分析(Global sensitivity analysis)。局部灵敏度通常表征的是当一个输入变量变化而其它输入变量固定时，输出变量的变化情况，在数学上它可以表达为模型输出变量对输入变量在给定点处的偏导数。局部灵敏度存在着以下缺陷：对于非线性模型，只能表达模型输出变量在输入变量给定值处的灵敏度信息；一次只能表达单个输入变量的变化对模型输出变量的影响，无法表达输入变量之间的交互作用对模型输出变量的影响。

相对于局部灵敏度，全局灵敏度衡量输入变量在其整个分布域内变化时对模型输出变量的不确定性的影响，同时还能衡量不同输入变量之间的交互作用对模型输出变量的不确定性的影响。因而对于复杂的非线性模型，常常采用全局灵敏度分析来衡量输入变量的相对重要性。

在过去的几十年中，研究人员提出了许多不同的全局灵敏度分析方法，其中多数方法适用于具有单个输出变量的模型，单个输出变量的全局灵敏度分析的理论体系已经发展得比较完善。然而在实际的工程结构中，许多模型都包含有多个人们所关心的输出变量，或者人们所关心的输出变量是随时间或空间发生变化的。对于随时间或空间发生变化的输出变量，通常可以将其离散为不同时刻或不同空间位置处的多个变量，因而以下将其统称为多输出变量。

对于具有多输出变量的模型，对其进行全局灵敏度分析的直接方法是针对每个输出变量进行单独的灵敏度分析，即重复地使用已有的单输出全局灵敏度分析方法。这种分析方法能够得到输入变量对不同输出变量的灵敏度，即输入变量对输出变量的灵敏度随时间或空间的变化规律，从而可以得到不同时间段或空间内输入变量对输出变量的影响程度。但是多输出变量之间常常存在较强的相关性，针对每个输出变量进行单独的灵敏度分析会忽略不同输出变量之间的相关性，可能会使得分析的结果出现冗余，甚至会忽略输出变量的某些重要特征。

相关技术中，传统的方差分析，方差分解式可以看作是针对样本统计量的分解式，而全方差公式可以看作是针对变量总体的分解式。与方差相似，基尼均差是另一种常用的衡量随机变量的变异性的测度，与方差相比，基尼均差的稳健性更高，对异常值的敏感度低，并且对于尾部分布特征比较明显的变量更有效。

本示例实施方式中首先提供了一种基于基尼均差的灵敏度分析方法，如图1所示，包括如下步骤：

步骤S1，根据至少一输入变量和响应函数，计算输出结果；

步骤S2，根据输出结果，计算结果基尼均差；

步骤S3，将第一输入变量划分为多个连续不相交的子区间，计算每个子区间对应的第一子输出变量，所述第一输入变量为至少一个输入变量中的任意一个输入变量；

步骤S4，根据每个第一子输出变量，计算对应的第一子基尼均差；

步骤S5，根据所述结果基尼均差和所述第一子基尼均差，计算第一输入变量对应的灵敏度。

需要说明的是，在实际应用中，输入变量通常为一组n维向量，其中n维向量中的每一个分量为一个输入变量。

本公开实施例提供一种基于基尼均差的灵敏度分析方法，通过至少一个输入变量对应的输出结果的基尼均差和第一输入变量子区间对应的第一子输出变量的基尼均差计算多输出变量的全局灵敏度。避免了现有技术中针对每个输出变量进行单独的灵敏度分析会忽略不同输出变量之间的相关性，使得分析的结果出现冗余，甚至会忽略输出变量的某些重要特征量的问题。并且在分析过程中计算简单高效，灵敏度分析结果准确。

下面对本公开实施例提供的基于基尼均差的灵敏度分析方法进行详细说明：

在步骤S1中，至少一个输入变量为根据输入变量的联合概率密度函数f_X(x)产生一组样本{x₁,...,x_N}，其中N≥1。响应函数为系统固有的输入变量和输出变量函数关系。可以记为响应函数Y＝g(X)，通过响应函数得到输出结果，输出结果中包括一组与输入样本对应的输出样本{y₁,...,y_N}。

在步骤S2中，对于随机变量X，其基尼均差(Gini’s Mean Difference)定义为

G(X)＝E|X-X'| (1)

其中，X′是与X独立同分布的变量，E表示期望运算，|·|表示绝对值运算。与方差相似，基尼均差(GMD)是另一种常用的衡量随机变量的变异性的测度。与方差相比，基尼均差的稳健性更高(对异常值的敏感度低，并且对于尾部分布特征比较明显的变量更有效)。

对于随机向量X，可以类似地定义广义的基尼均差，即

G(X)＝E||X-X'|| (2)

其中，X'是与X独立同分布的随机向量，||·||表示欧式范数。对于随机向量X的样本集x₁,x₂,...,x_N,由公式(2)可得对应的CMD估计式为：

对于步骤S1中的输出样本{y₁,...,y_N}，代入公式(3)，得到输出结果的基尼均差如公式4所示：

其中，为输出结果的基尼均差，Y为输出结果，||·||表示欧式范数，y₁,y₂,...,y_N为Y的样本集。

在步骤S3中，将输入变量X_i的分布区间划分为L个连续但不相交的子区间A_l＝[a_l-1,a_l]，其中，l＝1,2,...,L。其中，在子区间A_l＝[a_l-1,a_l]中，Δa＝a_l-a_l-1→0。

计算每个子区间对应的第一子输出变量，可以是通过响应函数直接计算每个子区间对应的第一子输出变量；也可以是通过输入变量的划分规则，将步骤S1中得到的输出变量进行划分，得到对应的第一子输出变量。

步骤S4，将步骤S3中的到的每一个子输出变量带入公式(3)中，得到式(5)：

其中，为第一子基尼均差，b₁...b_M为第l个子区间对应的输出变量的样本集。

步骤S5中，对于多元响应函数Y＝g(X),X＝(X₁,X₂,...,X_d)表示d维随机输入向量，Y＝(Y₁,Y₂,...,Y_m)表示m维随机输出向量。随机输入变量X₁,X₂,...,X_d相互独立，由其概率密度函数(Probability Density Function)决定。

当输入变量X_i被确定为某一固定值x_i时，多元模型输出的条件基尼均差表示为G(Y|X_i＝x_i)。输入变量X_i的固定值x_i对多变量输出的影响效应可以通过G(Y)和G(Y|X_i＝x_i)的差值进行度量，如下式(10)所示:

d(x_i)＝G(Y)-G(Y|X_i＝x_i) (6)

其中，d(x_i)是关于x_i的函数。由于x_i是概率密度函数决定的输入变量X_i的一个固定值，X_i对于多变量输出的平均影响效应可以通过d(x_i)的期望值表示为：

式(11)也表示当X_i固定时，Y的基尼均差的平均减小量。

对于X_i的多变量灵敏度指标可以通过标准化定义为式(8)：

表示当输入变量X_i固定时，模型输出量Y的变异性的标准化期望减少。的值越大，表示输入变量X_i对整体输出量Y的影响程度越大。

根据相关的Distance Components分析结论，提出类似于全方差公式的GMD的分解表达式，如式(13)所示：

其中,ε(·,·)表示能量距离。

关于能量距离的详细介绍和式(9)的推导证明如下所示：

(1)根据能量距离的定义，对式(9)证明：

由于E||Y|X_i-Y′|X_i||仅依赖于X_i，E||Y|X′_i-Y′|X′_i||仅依赖于X′_i,因此式(11)成立，如下：

考虑X′_i是X_i的一个独立同分布样本，有式(12)存在：

因此式(11)可表示为：

式(9)等号右边第二部分可表示为：

因此式(9)等号右侧可写为：

由于E||Y|X-Y′|X′||可表示为：

继而式(9)等号右侧可写为：

式(9)等号左侧也可表示为：

由此得证式(9)正确。

根据式(9)可将式(7)改写为如下表达式：

因此，所提出的对于X_i的多变量全局灵敏度指标可表示为：

由于能量距离可以度量两个随机向量概率分布的差异，因此ε(Y|X_i,Y′|X′_i)可以表示Y|X_i的概率分布和Y′|X′_i的概率分布之间的差异。根据基尼均差的定义可以看出，可以表示当X_i固定时Y的条件分布的变异性，不同之处在于将原始的欧氏距离替换为能量距离。因此可以度量输入变量X_i对于多输出变量Y的整体分布的影响，这也表明

相关技术中，基于方差的主效应灵敏度指标是V[E(Y|X_i)]，表示输出变量Y关于X_i的条件均值的变异性(通过方差衡量变异性)。因而根据全方差公式V[E(Y|X_i)]＝V(Y)-E[V(Y|X_i)]可知，V[E(Y|X_i)]也以度量当X_i固定时Y的方差的平均减小量。对于多元输出变量基于方差的主效应灵敏度指标可记为它表示当X_i固定时输出变量Y的条件均值的变异性，其变异性通过方差进行度量，该式也表示当X_i固定时Y的方差的平均减小量。标准化的基于灵敏度分析的方差分解主效应指标为：

与对比而言，度量了X_i固定时模型输出变量Y标准化的基尼均差平均减少量。根据式(20)可知，同时也考虑了多输出结果的整体分布情况，因此获取到更多模型输出不确定性的信息。相比于方差不能全面地表现模型输出结果的变异性而言，可以给出一个更合理、更准确的灵敏度分析结果。

对于输出量为标量的模型，式(9)仍然成立。输出标量的能量距离可表示为随机输入变量为标量的累积分布函数之间的一种加权距离。因此，所提出的灵敏度指标适用。

根据上述内容，提出灵敏度指标的估计方法。根据式(8)的灵敏度定义，直接估计需要嵌套抽样。然而，嵌套抽样的计算代价往往是比较高的。相关研究人员提出了一种Given-data方法用于高效地估计单输入输出样本集的矩独立灵敏度指标。后来该方法也被发展为一种通用的灵敏度指标估计方法。本发明中将采用Given-data法估计

假设输入变量X_i对应的样本空间为[b₁,b₂]，将[b₁,b₂]划分为L个连续但不相交的子区间A_l＝[a_l-1,a_l](l＝1,2,...,L)，其中b₁＝a₀＜a₁＜...＜a_l＜...＜a_L＝b₂，从而可以得到以下定理。

定理1：假设响应函数Y＝g(X)是关于X的连续函数，那么当趋于零时，下式(26)成立

其中， 表示输入变量X_i的累积分布函数。

定理1的证明如下：

首先将改写为：

根据中值定理可知，存在一个λ_l∈[a_l-1,a_l]满足

由此可知：

当Δa→0时，区间[a_l-1,a_l]→λ_l。由此根据Riemann积分的定义可得下式成立：

将式(26)带入式(8)，得到：

其中，为第一输入变量对应的灵敏度，P_l为第一输入变量落在第l个子区间的概率，L为第一输入变量被划分为连续不相交的子区间的数量。

P_l通过公式(4)计算得到：

为第一输入变量的概率密度函数，为第一输入变量的累积分布函数。

通过式(4)、(5)、(27)和(28)求得第一输入变量对应的灵敏度，通过选择不同的第一输入变量，可以计算不同第一输入变量对应的灵敏度。

同一个输出样本集{y₁,...,y_N}可以根据不同输入变量的区间划分情况划分为不同的子集，因而整个过程只需要一组输入-输出样本用于估计所有输入变量对应的灵敏度值。相关研究表明，对于给定的一组输入-输出样本，需要对所划分的输入变量的子区间数进行权衡，需要保证子区间数以及每个子区间内的样本数都足够多。推荐用Li和Mahadevan提出的方法来确定子区间数，即(表示取的整数部分，N为总样本数)，以达到子区间数和各子区间内样本数的平衡，本公开实施例中也采取该方法。

下面通过算例对本公开实施例中所提出的基于基尼均差的灵敏度分析方法进行运算与说明。

考虑如下所示的Campbell函数：

其中，参数θ取值范围为-90°到90°，θ的每一个取值对应一个输出变量，这里，θ的取值为-90°,-89°,...,90°，从而会有181个输出变量。输入变量a,b,c,d相互独立且服从区间[-1,5]内的均匀分布。常数的取值为K₁＝0.1,K₂＝0.1。为了更好地进行对比分析，首先计算了各变量基于本发明中所提出的灵敏度指标的估计值，同时计算各变量基于方差的灵敏度指标结果如图1和表1所示：

图1显示了各变量的灵敏度指标估计值随样本数的增加的变化图。由图1中各个变量对应的灵敏度线条变化趋势可知，所提出的灵敏度指标和求解方法随着样本数的增加可以得到稳定的结果。

表1各变量基于方差和基尼均差的灵敏度指标的估计值

表1针对各个变量，给出了基于协方差分解的灵敏度指标和基于基尼均差所定义的灵敏度指标的各自估计值。表1中括号内的数字表示输入变量a,b,c,d的重要性排序。对于两种方差度量的灵敏度，变量d的灵敏度均为最大，这表明变量d对模型输出结果的方差和模型输出结果的整体分布都有最大的影响。对于协方差分解灵敏度指标b是第二重要的变量，其次是a。对于所提出的灵敏度指标a是第二重要的变量，其次是b。输入变量c的两种灵敏度指标估计值均为最小。基于以上结果，对变量d应该进行更多的关注以便获得一个更好的模型输出估计值。鉴于变量c对于模型输出结果的影响微小，可以将c当作常数而对多输出变量的不确定性不产生显著影响。

本领域技术人员在考虑说明书及实践这里公开的发明后，将容易想到本公开的其它实施方案。本申请旨在涵盖本公开的任何变型、用途或者适应性变化，这些变型、用途或者适应性变化遵循本公开的一般性原理并包括本公开未公开的本技术领域中的公知常识或惯用技术手段。说明书和实施例仅被视为示例性的，本公开的真正范围和精神由所附的权利要求指出。

Claims (10)

1.一种基于基尼均差的灵敏度分析方法，其特征在于，包括：

根据至少一个输入变量和响应函数，计算输出结果；

根据输出结果，计算结果基尼均差；

将第一输入变量划分为多个连续不相交的子区间，计算每个子区间对应的第一子输出变量，所述第一输入变量为至少一个输入变量中的任意一个输入变量；

根据每个第一子输出变量，计算对应的第一子基尼均差；

根据所述结果基尼均差和所述第一子基尼均差，计算第一输入变量对应的灵敏度。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，在所述计算输出结果的基尼均差中，通过公式(1)计算：

其中，为输出结果的基尼均差，Y为输出结果，||·||表示欧式范数，y₁,y₂,…,y_N为Y的样本集。

3.如权利要求2所述的方法，其特征在于，所述输出结果包括至少一个输入变量中每个输入变量对应的输出变量。

4.如权利要求2所述的方法，其特征在于，所述将第一输入变量划分为多个连续不相交的子区间包括：

将输入变量X_i的分布区间划分为L个连续但不相交的子区间A_l＝[a_l-1,a_l]，其中，l＝1,2,...,L。

5.如权利要求4所述的方法，其特征在于，所述在子区间A_l＝[a_l-1,a_l]中，Δa＝a_l-a_l-1→0。

6.如权利要求4所述的方法，其特征在于，所述分别通过响应函数计算每个子区间对应的第一子输出变量包括：

根据输入变量X_i的区间划分，将输出变量的样本集划分为L个子集，即

7.如权利要求6所述的方法，其特征在于，在所述计算所述第一子输出变量的第一子基尼均差中，通过公式(2)计算：

其中，为第一子基尼均差，b₁...b_M为第l个子区间对应的输出变量的样本集。

8.如权利要求7所述的方法，其特征在于，所述根据所述基尼均差和所述第一子基尼均差，计算第一输入变量对应的灵敏度中，通过公式(3)计算：

其中，为第一输入变量对应的灵敏度，P_l为第一输入变量落在第l个子区间的概率，L为第一输入变量被划分为连续不相交的子区间的数量。

9.如权利要求8所述的方法，其特征在于，P_l通过公式(4)计算得到：

为第一输入变量的概率密度函数，为第一输入变量的累积分布函数。

10.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述至少一个输入变量为根据输入变量的联合概率密度函数f_X(x)产生一组样本{x₁,...,x_N}，其中N≥1。