CN108763627A - 结构机构失效概率灵敏度分解方法、计算方法及应用 - Google Patents

Abstract

本发明涉及可靠性及稳健性分析技术领域，提出一种基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法。该方法包括：将多维随机变量联合分布函数表示为Copula函数形式，从而建立所述多维随机变量联合分布函数与边缘概率密度函数的关系式：其中，f_X(x)为所述联合概率密度函数，C(u₁,...,u_n)为所述Copula函数，为所述边缘概率密度函数；基于所述关系式将所述结构机构的失效概率灵敏度分解为独立灵敏度与相关灵敏度之和。该方法通过引入Copula函数来描述输入变量的联合概率分布，将失效概率灵敏度分解为独立灵敏度和相关灵敏度，进而分离出变量相关性与独立性分别对失效概率灵敏度计算的影响，研究得到的技术方法为设计人员提供了衡量输入变量相关性与独立性在失效概率灵敏度分析中作用大小的理论依据。

Description

结构机构失效概率灵敏度分解方法、计算方法及应用

技术领域

本公开涉及可靠性及稳健性分析技术领域，尤其涉及一种结构机构失效概率灵敏度分解方法、计算方法及应用。

背景技术

失效概率是在规定条件下机构不能完成既定任务事件的概率，是衡量机构可靠性的重要指标。灵敏度分析是衡量变量不确定性对感兴趣输出量(如输出方差、分布、失效概率等)的贡献程度，为改进输出提供依据。通过失效概率灵敏度的分析可以得到决定结构失效的输入变量分布参数的相对重要程度，从而为结构可靠性分析、预测和优化提供指导。

然而，工程结构中输入变量之间通常存在着相关性，影响结构失效概率的各个输入变量不服从独立分布。输入变量相关性与独立性共同影响失效概率灵敏度。通过现有技术计算得到的失效概率灵敏度为输入变量相关性与独立性共同作用的灵敏度，其并不能用来衡量输入变量相关性与独立性在失效概率灵敏度分析中作用大小。

需要说明的是，在上述背景技术部分公开的信息仅用于加强对本公开的背景的理解，因此可以包括不构成对本领域普通技术人员已知的现有技术的信息。

发明内容

本公开的目的在于提供一种结构机构失效概率灵敏度分解方法、计算方法及应用，该方法通过引入Copula函数来描述输入变量的联合概率分布，将失效概率灵敏度分解为独立灵敏度和相关灵敏度，进而分离出变量相关性与独立性分别对失效概率灵敏度计算的影响，研究得到的技术方法为设计人员提供了衡量输入变量相关性与独立性在失效概率灵敏度分析中作用大小的理论依据。

根据本发明的一个方面，提供一种基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，包括：

将多维随机变量联合分布函数表示为Copula函数形式，从而建立所述多维随机变量联合分布函数与边缘概率密度函数的关系式：

其中，f_X(x)为所述联合概率密度函数，C(u₁,...,u_n)为所述Copula函数，为所述边缘概率密度函数；

基于所述关系式将所述结构机构的失效概率灵敏度分解为独立灵敏度与相关灵敏度之和。

在本发明的一种示例性实施例中，所述基于所述关系式将所述结构机构的失效概率灵敏度分解为独立灵敏度与相关灵敏度之和包括：

将所述联合概率密度函数对数的偏导数表示为：

其中，为边缘分布的核函数 为Copula密度函数的核函数

计算所述结构机构的失效概率：

其中，为独立灵敏度 为相关灵敏度I_F(x)为失效概率指示函数。

在本发明的一种示例性实施例中，所述Copula函数包括为双变量Copula函数或者多变量Copula函数。

在本发明的一种示例性实施例中，所述双变量Copula函数为u₁u₂(1+θ(1-u₁)(1-u₂))、Φ_G[Φ^-1(u₁),Φ^-1(u₂)；θ]、 u₁u₂(1-θ(1-u₁)(1-u₂))^-1中的一种。

在本发明的一种示例性实施例中，所述多变量Copula函数为FGM函数族和Clayton函数族中的一种。

在本发明的一种示例性实施例中，所述边缘概率密度函数为

中的一种。

根据本发明的一方面，提供一种结构机构失效概率灵敏度计算方法，应用上述的基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，包括：

根据所述结构机构的边缘概率密度函数随机抽取多个输入变量样本向量x_j＝(x_1,j,...,x_n,j)(j＝1,...,N)，基于所述变量样本向量x_j＝(x_1,j,...,x_n,j)(j＝1,...,N)根据所述结构机构的功能函数计算所述结构机构的失效概率指示函数样本I_F(x_j)。

计算对应于所述输入变量样本向量的累积分布函数值向量u_j＝(u_1,j,...,u_n,j)，并根据Copula密度函数计算密度函数样本值c(u_j)；

根据边缘输入变量样本计算核函数样本并根据所述累积分布函数样本向量u_j得到的Copula核函数样本ck_i(u_j)。

根据公式计算独立灵敏度

根据公式计算相关灵敏度

根据公式计算所述结构机构失效概率灵敏度

根据本发明的一方面，提供一种Y型节点管失效概率灵敏度计算方法，其特征在于，应用上述的结构机构失效概率灵敏度计算方法。

本发明提出一种结构机构失效概率灵敏度分解方法，该方法通过引入Copula函数来描述输入变量的联合概率分布，将失效概率灵敏度分解为独立灵敏度和相关灵敏度，进而分离出变量相关性与独立性分别对失效概率灵敏度计算的影响。一方面，该方法得到的技术方法为设计人员提供了衡量输入变量相关性与独立性在失效概率灵敏度分析中作用大小的理论依据；另一方面，该方法计算过程简单，可实施性强。

应当理解的是，以上的一般描述和后文的细节描述仅是示例性和解释性的，并不能限制本发明。

附图说明

此处的附图被并入说明书中并构成本说明书的一部分，示出了符合本公开的实施例，并与说明书一起用于解释本公开的原理。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本公开的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本公开基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法的流程图；

图2为本公开结构机构失效概率灵敏度计算方法一种示例性实施例的流程图；

图3为本公开Y型节点管失效概率灵敏度计算方法一种示例性实施例中Y型节点管的受力图。

具体实施方式

现在将参考附图更全面地描述示例实施方式。然而，示例实施方式能够以多种形式实施，且不应被理解为限于在此阐述的范例；相反，提供这些实施方式使得本公开将更加全面和完整，并将示例实施方式的构思全面地传达给本领域的技术人员。所描述的特征、结构或特性可以以任何合适的方式结合在一个或更多实施方式中。在下面的描述中，提供许多具体细节从而给出对本公开的实施方式的充分理解。然而，本领域技术人员将意识到，可以实践本公开的技术方案而省略所述特定细节中的一个或更多，或者可以采用其它的方法、组元、装置、步骤等。在其它情况下，不详细示出或描述公知技术方案以避免喧宾夺主而使得本公开的各方面变得模糊。

此外，附图仅为本公开的示意性图解，并非一定是按比例绘制。图中相同的附图标记表示相同或类似的部分，因而将省略对它们的重复描述。附图中所示的一些方框图是功能实体，不一定必须与物理或逻辑上独立的实体相对应。可以采用软件形式来实现这些功能实体，或在一个或多个硬件模块或集成电路中实现这些功能实体，或在不同网络和/或处理器装置和/或微控制器装置中实现这些功能实体。

为方便理解本实施例中失效概率灵敏度的分解过程，本实施例性实施例首先对失效概率及失效概率灵敏度进行定义。

考虑结构机构的功能函数为Y＝g(X)，其中X＝(X₁,X₂,...,X_n)为相关输入变量，其不确定性可以通过联合概率密度函数f_X(x)来描述。结构失效概率P_f可以表示为积分形式：

其中，设存在n个随机输入变量影响结构机构可靠性，并将影响该结构机构可靠性的n维随机输入变量表述为X＝(X₁,X₂,...,X_n)∈R^N，R^N为n维变量空间，n为大于等于1的整数。I_F(x)为失效概率指示函数(当x∈F时I_F(x)＝1，当时I_F(x)＝0)，E[·]为求均值函数。

为衡量分布参数μ_i的微小扰动对失效概率的影响，定义基于偏导数的失效概率灵敏度：

式中μ_i只作为输入变量X_i分布参数的符号表示，实际分析过程中需根据分布类型确定分布参数。式(2)将失效概率对分布参数的偏导数转化为联合概率密度函数对数对分布参数偏导数的积分，避免了直接利用差分法对失效概率灵敏度进行计算所带来的计算精度和计算效率问题。

基于此，本示例性实施例首先提供一种基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，如图1所示，为本公开基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法的流程图。包括：

步骤S1：将多维随机变量联合分布函数表示为Copula函数形式，从而建立所述多维随机变量联合分布函数与边缘概率密度函数的关系式：

其中，f_X(x)为所述联合概率密度函数，C(u₁,...,u_n)为所述Copula函数，为所述边缘概率密度函数；

步骤S2：基于所述关系式将所述结构机构的失效概率灵敏度分解为独立灵敏度与相关灵敏度之和。

本发明提出一种结构机构失效概率灵敏度分解方法，该方法通过引入Copula函数来描述输入变量的联合概率分布，将失效概率灵敏度分解为独立灵敏度和相关灵敏度，进而分离出变量相关性与独立性分别对失效概率灵敏度计算的影响。一方面，该方法得到的技术方法为设计人员提供了衡量输入变量相关性与独立性在失效概率灵敏度分析中作用大小的理论依据；另一方面，该方法计算过程简单，可实施性强。

本示例性实施例中，将多维随机变量联合分布函数表示为Copula函数形式，从而建立所述多维随机变量联合分布函数与边缘概率密度函数的关系式的具体过程如下：

根据Sklar理论，多维随机变量的联合分布函数可以表示为Copula函数的形式：

其中，为各随机变量的边缘分布函数值。

根据式(3)，多维随机变量的联合概率密度函数可以表示为

其中，可以通过积累统计数据得到输入变量的边缘概率密度函数

需要说明的是，Copula函数的相关性可以通过Kendall的秩相关系数τ来衡量，它不仅能够描述变量之间的线性相关性，也可以对变量之间的非线性相关性进行描述。因此，该方法可以适用于输入变量为非线性关系的失效概率灵敏度分析。

本示例性实施例中，所述基于所述关系式将所述结构机构的失效概率灵敏度分解为独立灵敏度与相关灵敏度之和可以包括：

根据式(3)将所述联合概率密度函数对数的偏导数表示为：

其中，为边缘分布的核函数 为Copula密度函数的核函数

将式(5)带入式(2)计算所述结构机构的失效概率：

其中，为独立灵敏度 为相关灵敏度I_F(x)为失效概率指示函数。

需要说明的是，由式(5)可知，联合概率密度函数对数的偏导数可以分解为两部分，第一部分为边缘概率密度函数对数的偏导数，本示例性实施例将其定义为边缘分布的核函数第二部分为Copula密度函数对数的偏导数，本示例性实施例类似地定义为Copula密度函数的核函数

由式(6)可知，针对变量相关的情况，分布参数μ_i对失效概率的灵敏度可以分解为两部分，第一部分E(I_F(x)·k_i)表示分布参数μ_i的微小扰动通过边缘概率密度函数(即变量独立部分)对失效概率的影响，称为独立灵敏度第二部分E(I_F(x)·ck_i)表示分布参数μ_i的微小扰动通过Copula密度函数(即变量相关部分)对失效概率的影响，称为相关灵敏度如果则表示分布参数μ_i对失效概率的影响主要是通过输入变量X_i的边缘统计特性进行传递；如果则表示分布参数μ_i对失效概率的影响主要是通过输入变量X_i与其他变量之间的相关性统计特征进行传递。因此，式(6)可以很清晰地反映出分布参数μ_i对失效概率的灵敏度与变量之间相关性的关系。

上述式(6)中包含有边缘分布的核函数以下介绍针几种常用的边缘概率密度函数分布形式以及其对应的边缘分布的核函数如表1所示：

表1常用的几种分布类型及其核函数

由表1可以看到，在给定分布参数μ_i的条件下，对于常用分布类型的核函数其数值只和边缘输入变量X_i的值有关，所以可以将核函数表示为输入变量的函数，记为因此，在利用抽样方法进行失效概率计算时，只需利用计算过程中得到的输入变量X_i的样本值，便可以根据表1中的核函数解析表达式计算得到核函数进而结合已有的功能函数计算结果得到独立灵敏度该过程将在下面结构机构失效概率灵敏度计算方法中得以体现。需要说明的是，在其他实施例中，边缘概率密度函数以及其对应的边缘分布的核函数还有更多的表现形式，这些都属于本公开的保护范围。

上述式(6)中还包含有Copula密度函数的核函数以下介绍针几种常用的Copula函数以及其对应的Copula密度函数的核函数

本示例性实施例中，Copula函数可以为双变量Copula函数。如果输入变量X_i之间存在两两相关的情况，则可以利用双变量Copula函数描述两个变量之间的相关性，以下介绍几种常用的Copula函数以及其对应的Copula核函数，如表2所示。

表2五种常见的双变量Copula函数及对应的核函数

需要说明的是，在其他实施例中，双变量Copula函数及对应的核函数还有更多的表现形式，这些都属于本公开的保护范围。

上述双变量Copula函数只能用于描述两个变量之间的相关性，实际中还存在着多个变量相关的情况，本示例性实施例中，Copula函数还可以为多变量Copula函数，多变量Copula函数可以用于描述多个输入变量的相关性。

本示例性实施例中，多变量Copula函数可以为FGM函数族和Clayton函数族，以下分别对FGM函数族和Clayton函数族进行介绍。

FGM型Copula函数族的一般表达式可以表示为：

其中，Θ为维度空间{1,2,...,d}的子集，并且至少包含两个元素。θ_S为任意子集S∈Θ的连接参数，并且当S＝{i₁,i₂,...,i_k}，

不难证明，任意FGM型Copula函数是绝对连续的，并且可以给出其密度函数c_d(u₁,u₂,...,u_d)如下:

根据式(5)中核函数的定义，FGM型Copula函数族的核函数可以表示为

Clayton型Copula函数族是Archimedean型Copula的一种，其一般表达式可以表示为：

其中，参数且θ≠0。当θ＝0时，表示变量相互独立。

相应地，Clayton型Copula的密度函数可以表示为：

根据Copula核函数的定义，FGM型Copula函数族的核函数可以表示为

需要说明的是，在其他示例性实施例中，双变量Copula函数还有更多的表现形式，这些都属于本公开的保护范围。

通过上述内容对五种双变量Copula函数以及两类典型的多变量Copula函数族的核函数进行了推导。可以看到，Copula核函数表达式中包含着边缘累积分布函数对分布参数的偏导数根据累积分布函数的积分表达式，可以作如下推导：

其中，为边缘分布的核函数。因此，对于偏导数可以直接利用已有样本值和得到的核函数进行计算，进而将其代入选定的Copula核函数计算式中得到其计算结果，该过程将在下面结构机构失效概率灵敏度计算方法中得以体现。

本示例性实施例还提供一种结构机构失效概率灵敏度计算方法，应用上述的基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，如图2所示，为本公开结构机构失效概率灵敏度计算方法一种示例性实施例的流程图。该方法包括：

步骤S1：根据所述结构机构的边缘概率密度函数随机抽取多个输入变量样本向量x_j＝(x_1,j,...,x_n,j)(j＝1,...,N)，基于所述变量样本向量x_j＝(x_1,j,...,x_n,j)(j＝1,...,N)根据所述结构机构的功能函数计算所述结构机构的失效概率指示函数样本I_F(x_j)。

步骤S2：计算对应于所述输入变量样本向量的累积分布函数值向量u_j＝(u_1,j,...,u_n,j)，并根据Copula密度函数计算密度函数样本值c(u_j)；

步骤S3：根据边缘输入变量样本计算核函数样本并根据所述累积分布函数样本向量u_j得到的Copula核函数样本ck_i(u_j)。

步骤S4：根据公式：

计算独立灵敏度

步骤S5：根据公式：

计算相关灵敏度

步骤S6：根据公式计算所述结构机构失效概率灵敏度

需要说明的是，步骤S1中，x_j表示第j次抽取的样本向量，(x_1,j,...,x_n,j)分别表示第j次抽取的n个输入变量样本。步骤S2中，u_1,j分别表示第j次抽取的输入变量样本对应的累计分布函数值。u_j表示n个累计分布函数值组合而成的积分布函数值向量。步骤S3中，表示(x_1,j,...,x_n,j)中第j次抽取的第i个输入变量样本。步骤S4中，公式(7)可以通过公式推导得出。步骤S5中，公式(8)可以通过公式推导得出。

本示例性实施例还提供一种Y型节点管失效概率灵敏度计算方法，其特征在于，应用上述的结构机构失效概率灵敏度计算方法。

如图3所示，为本公开Y型节点管失效概率灵敏度计算方法一种示例性实施例中Y型节点管的受力图。该Y型节点管剖面A-A的载荷包括轴向力F、面内弯矩M_i、截面扭矩M₀。D为主管外径，d为侧管外直径，b为侧管内半径，θ为主管与侧管夹角。

根据该管道的受力情况可以建立极限状态方程如下式：

g＝0.8-2×10^-5F-(2×10^-4|M_i|)^1.2-(2×10^-5|M₀|)^2.1

其中，F、M_i和M₀为正态分布随机变量，其分布参数见表3。考虑轴向力F、面内弯矩M_i、截面扭矩M₀具有相关性，并可以通过Clayton型Copula函数建立其联合分布。考虑Copula函数的Kendall秩相关系数τ＝0.5时，Y型节点管的失效概率及其灵敏度分析结果列于表4中。

表3 Y型节点管中随机变量的分布参数

表4 Y型节点管的失效概率灵敏度计算结果

表4中给出了输入变量独立和相关时的失效概率计算结果，可以看到：对于Y型节点管，输入变量之间存在相关性时将导致结构的失效概率的增加。对于失效概率灵敏度，面内弯矩M_i的分布参数(μ₂，σ₂)对失效概率的影响最大，并且其影响主要是由独立灵敏度引起的；而对于截面扭矩M₀的分布参数(μ₃，σ₃)，尽管其失效概率灵敏度最小，但其独立灵敏度和相关灵敏度都比较大。因此在Y型节点管结构设计中，针对截面扭矩M₀的分布参数对失效概率的影响，可以单独考虑该输入变量的独立统计信息；而针对截面扭矩M₀的分布参数对失效概率的影响，则必须综合考虑截面扭矩M₀的统计信息以及与其他变量的相关性统计信息。

本领域技术人员在考虑说明书及实践这里发明的发明后，将容易想到本发明的其它实施方案。本申请旨在涵盖本发明的任何变型、用途或者适应性变化，这些变型、用途或者适应性变化遵循本发明的一般性原理并包括本发明未发明的本技术领域中的公知常识或惯用技术手段。说明书和实施例仅被视为示例性的，本发明的真正范围和精神由所附的权利要求指出。

上述所描述的特征、结构或特性可以以任何合适的方式结合在一个或更多实施方式中，如有可能，各实施例中所讨论的特征是可互换的。在上面的描述中，提供许多具体细节从而给出对本发明的实施方式的充分理解。然而，本领域技术人员将意识到，可以实践本发明的技术方案而没有特定细节中的一个或更多，或者可以采用其它的方法、组件、材料等。在其它情况下，不详细示出或描述公知结构、材料或者操作以避免模糊本发明的各方面。

Claims (8)

1.一种基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，其特征在于，包括：

将多维随机变量联合分布函数表示为Copula函数形式，从而建立所述多维随机变量联合分布函数与边缘概率密度函数的关系式：

其中，f_X(x)为所述联合概率密度函数，C(u₁,...,u_n)为所述Copula函数，为所述边缘概率密度函数；

基于所述关系式将所述结构机构的失效概率灵敏度分解为独立灵敏度与相关灵敏度之和。

2.根据权利要求1所述的基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，其特征在于，所述基于所述关系式将所述结构机构的失效概率灵敏度分解为独立灵敏度与相关灵敏度之和包括：

将所述联合概率密度函数对数的偏导数表示为：

其中，为边缘分布的核函数 为Copula密度函数的核函数

计算所述结构机构的失效概率：

其中，为独立灵敏度 为相关灵敏度I_F(x)为失效概率指示函数。

3.根据权利要求2所述的基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，其特征在于，

所述Copula函数为双变量Copula函数或者多变量Copula函数。

4.根据权利要求3所述的基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，其特征在于，

所述双变量Copula函数为u₁u₂(1+θ(1-u₁)(1-u₂))、Φ_G[Φ^-1(u₁),Φ^-1(u₂)；θ]、u₁u₂(1-θ(1-u₁)(1-u₂))^-1中的一种。

5.根据权利要求3所述的基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，其特征在于，

所述多变量Copula函数为FGM函数族和Clayton函数族中的一种。

6.根据权利要求2所述的基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，其特征在于，

所述边缘概率密度函数为

中的一种。

7.一种结构机构失效概率灵敏度计算方法，应用权利要求1-6任一项所述的基于Copula函数的结构机构失效概率灵敏度分解方法，其特征在于，包括：

根据所述结构机构的边缘概率密度函数随机抽取多个输入变量样本向量x_j＝(x_1,j,...,x_n,j)(j＝1,...,N)，基于所述变量样本向量x_j＝(x_1,j,...,x_n,j)(j＝1,...,N)根据所述结构机构的功能函数计算所述结构机构的失效概率指示函数样本I_F(x_j)；

计算对应于所述输入变量样本向量的累积分布函数值向量u_j＝(u_1,j,...,u_n,j)，并根据Copula密度函数计算密度函数样本值c(u_j)；

根据边缘输入变量样本计算核函数样本并根据所述累积分布函数样本向量u_j得到的Copula核函数样本ck_i(u_j)；

根据公式计算独立灵敏度

根据公式计算相关灵敏度

根据公式计算所述结构机构失效概率灵敏度

8.一种Y型节点管失效概率灵敏度计算方法，其特征在于，应用如权利要求7所述的结构机构失效概率灵敏度计算方法。