CN109062061A - 基于逆解耦自抗扰内模技术的磨矿分级过程运行控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明为一种基于逆解耦自抗扰内模技术的磨矿分级过程运行控制方法。该方法通过将逆解耦、线性自抗扰控制器、内模控制相结合的方法，对多变量、强耦合、大时滞等错综复杂的磨矿分级系统进行解耦控制，其中逆解耦方法将磨矿分级系统中的多变量之间的强耦合性解除，形成两个独立的单变量回路，内模控制方法对解耦后的子系统进行时滞补偿、线性自抗扰控制器抑制外部干扰及不确定性因素对系统带来的不利影响和反馈控制器F₁(s),F₂(s)用来提高系统的抗干扰和鲁棒性。本发明实现多变量磨矿分级过程的解耦控制，并提高系统的鲁棒稳定性。

Description

基于逆解耦自抗扰内模技术的磨矿分级过程运行控制方法

技术领域

本发明涉及磨矿分级过程的技术领域，尤其涉及一种基于逆解耦自抗扰内模技术的磨矿分级过程运行控制方法。

背景技术

在冶金选矿业中，磨矿作业是将矿石研磨碾碎，将有用矿物与大量的无用脉石分离，若磨矿过程中有用矿物分离程度不佳或者过粉粹程度严重都会使得选矿产品的金属回收率下降，因此磨矿成为任一选矿方法的先决条件。

在实际工业过程中，磨矿分级过程受到量测噪声、模型参数摄动和传输过程中的不确定性扰动等因素的影响，往往表现为多变量、强耦合、大时滞等特点，使得磨矿分级系统的控制精度、鲁棒性能较低。针对以上问题，需要通过解耦方法将多变量控制转变为单变量控制，从而使得系统输出很好的跟踪到期望值，实现磨矿分级过程作业的优化控制。然而传统解耦方法涉及矩阵求逆计算，导致解耦器复杂化，不适用于高维多变量系统。如果采用模型降阶的方法来拟合被控对象的传递函数值，虽简化了解耦器，却导致系统误差增大，解耦精度、鲁棒稳定性降低。。

发明内容

本发明的目的为针对当前磨矿分级过程技术中存在的不确定性扰动、大时滞、强耦合等不足，提出一种基于逆解耦自抗扰内模技术的磨矿分级过程运行控制方法。该方法通过将逆解耦、线性自抗扰控制器、内模控制相结合的方法，对多变量、强耦合、大时滞等错综复杂的磨矿分级系统进行解耦控制，其中逆解耦方法将磨矿分级系统中的多变量之间的强耦合性解除，形成两个独立的单变量回路，内模控制方法对解耦后的子系统进行时滞补偿、线性自抗扰控制器抑制外部干扰及不确定性因素对系统带来的不利影响和反馈控制器F₁(s),F₂(s)用来提高系统的抗干扰和鲁棒性。本发明实现多变量磨矿分级过程的解耦控制，并提高系统的鲁棒稳定性。

本发明的技术方案为：

一种基于逆解耦自抗扰内模技术的磨矿分级过程运行控制方法，该方法包括以下步骤：

步骤1：确定磨矿分级过程的被控变量(运行指标)y＝{y₁,y₂}，包括分级机溢流浓度y₁、返砂量y₂；

步骤2：确定磨矿分级过程运行指标的过程变量u＝{u₁,u₂}，包括分级机补加水量u₁、磨机给矿量u₂；

步骤3：根据步骤2中的过程变量的结果，确定操作变量，包括球磨机给矿水阀门开度v_m、磨矿分级机补加水阀门开度v_c；

步骤4：确定磨矿分级过程的运行指标的期望值r＝{r₁,r₂}，将磨矿分级过程的运行指标的期望值设为单位阶跃；

步骤5：通过测量仪表对磨矿过程中的运行指标y、过程变量u进行实时检测，得到运行指标y、过程变量u的实际值，通过下位机PLC系统和通信网络将数据信息传输到上位机回路系统中；

其中，测量仪表包括：称重仪表WT、电磁流量计FT、放射性浓度计DT；

步骤6：采用逆解耦自抗扰内模技术解除步骤1、2中的y₁、y₂与u₁、u₂间的强耦合性，需要对线性自抗扰控制器、逆解耦器以及反馈控制器进行设计，使得被控变量更好的跟踪其期望值r，整个磨矿分级过程得到更好的优化控制；

步骤6-1：被控对象的确定：

磨矿分级系统的被控对象G(s)，设为并令被控对象对角矩阵的传递函数为一阶时滞系统；

其中g_ii(s)为不含有时滞的传递函数，为时间常数为τ_ii的时滞因子；

步骤6-2：线性自抗扰控制器的设计：

通过步骤6-1中被控对象对角矩阵的传递函数为一阶时滞系统，因此将一阶时滞系统传递函数进行时域描述，再化为状态空间表达式，进而求得一阶线性自抗扰控制器；

将一阶时滞系统传递函数的时域描述为式(1)：

其中，u为一阶时滞系统的输入量，y为一阶时滞系统输出量，a与b为一阶时滞系统增益，ω为一阶时滞系统的外部扰动，τ为一阶时滞系统的时滞，f＝-ay+ω(t-τ)表示一阶时滞系统内部不确定性与外部扰动的总扰动。

令y＝x₁，f＝x₂为其扩张状态，式(1)的状态空间表达式为：

通过LADRC的LESO对上述总扰动f估计并进行补偿，可得：

其中z₁、z₂为扩张状态观测器x₁、x₂的观测值，b₀为b的估计，β₁、β₂为LESO的增益。

对一阶时滞系统的输入量u进行设计：

将式(4)代入式(1)，可得：

其中u₀的表达式为：

u₀＝k_p(r-y) (6)

步骤6-3：线性自抗扰控制器的传递函数形式的设计：

将步骤6-2中线性自抗扰控制器转化为传递函数的形式；

通过拉氏变换、待定系数法，得到一阶线性自抗扰控制器的传递函数形式为H(s)、G_c(s)

其中LESO的增益β₁、β₂的选取，应使得其特征多项式满足s²+β₁s+β₂＝(s+ω_o)²，ω_o为观测器带宽，可得β₁＝2ω_o，同时令k_p＝ω_c，ω_c为控制器带宽；

步骤6-4：将步骤6-3求得的线性自抗扰控制器的传递函数的形式H(s)、G_c(s)代入到多变量磨矿分级系统中，求得多变量磨矿分级系统的闭环传递函数以及解耦后的磨矿分级系统理想式；

基于逆解耦自抗扰内模技术的多变量磨矿分级系统的闭环传递函数为式(8)；

其中F(s)为反馈控制器、G(s)为被控对象传递函数、G_m(s)为过程模型传递函数、K_N(s)为逆解耦器；

当模型匹配G(s)＝G_m(s)且d₀(s)＝0时，可求得解耦后的多变量磨矿分级系统为：

其中K_N(s)G(s)为广义被控对象；

令解耦后多变量磨矿分级系统的广义被控对象的理想式为：

K_N(s)G(s)＝diag{G₁₁(s),...,G_jj(s)}；

其中G₁₁(s)、G_jj(s)为多变量磨矿分级过程中的被控对象传递函数，j为多变量磨矿分级系统的被控对象传递函数的阶数，diag{·}为对角矩阵；

可得解耦后的多变量磨矿分级系统的理想式是正则且稳定的，具体为下式：

步骤6-5：逆解耦器的设计：

令步骤6-4中的j＝2，本发明将多变量磨矿分级系统设置为双输入双输出系统，通过对双输入双输出磨矿分级系统进行分析，求得逆解耦器；

由图4所示，求得从过程变量输入u到控制器G_c(s)的输出n的传递函数如式(11)；

通过对式(11)进行分析，求得逆解耦器为式(12)、(13)；

步骤6-6：逆解耦器补偿设计：

在设计逆解耦器之前需要对被控对象的时滞、非最小相位零点、相对阶次进行补偿：

其中不满足物理可实现的三个具体条件为：

当τ_ij＜τ_ii时，Δτ＝τ_ij-τ_ii＜0，使得解耦器K_Nij(s)的滞后时间大于0，出现预测环节；

当α_ij＞0时，使得解耦器K_Nij(s)含有非最小相位零点，当α_ij＜0时，使得解耦器K_Nij(s)含有非最小相位极点，导致磨矿分级系统不稳定；

当O_ij＜O_ii时，ΔO＝O_ij-O_ii＜0，解耦器K_Nij(s)的相对阶次小于0，使得解耦器K_Nij(s)出现超前环节；

其中(i,j＝1,2,i≠j)，τ_ij表示模型传递函数矩阵G_m(s)中传递函数的时滞，α_ij表示模型传递函数矩阵G_m(s)中传递函数的非最小相位零点数量，O_ij表示模型传递函数矩阵G_m(s)中传递函数的相对阶次，Δτ_ij表示解耦器K_Nij(s)中的时滞，Δα_ij表示解耦器K_Nij(s)中的非最小相位零点的数目，ΔO_ij表示解耦器K_Nij(s)中的相对阶次；

当逆解耦器中存在上述分析中一个条件、两个条件或三个条件时，逆解耦器在物理上都是不可实现的，因此在求逆解耦器之前需要对被控对象的传递函数进行补偿设计；

时滞补偿设计：

当τ₁₂≥τ₁₁,τ₂₁≥τ₂₂时，解耦器K_Nij(s)不存在预测环节，因此令补偿项为N(s)＝diag{11}；

其中τ₁₁、τ₁₂、τ₂₁、τ₂₂为被控对象的过程模型传递函数中G_m11(s)、G_m12(s)、G_m21(s)、G_m22(s)的时滞；

当τ₁₁＞τ₁₂,τ₂₁＞τ₂₂时，解耦器K_Nij(s)存在一个预测环节，因此需要对被控对象的过程模型传递函数设计补偿项N(s)，进而求得解耦器K_Nij(s)；

当τ₁₁-τ₁₂＜τ₂₁-τ₂₂，将补偿项设计为：N(s)＝diag{1e^-τs}；

其中τ＝τ₁₁-τ₁₂；

可得补偿之后的被控对象的模型传递函数矩阵为：

通过补偿后的的被控对象的模型传递函数矩阵求得逆解耦器K_Nij(s)为：

当τ₂₁-τ₂₂＜τ₁₁-τ₁₂时只需对G_m11(s)进行补偿，在G_m11(s)中右乘补偿

可得逆解耦器为：

当τ₂₂-τ₂₁＜τ₁₂-τ₁₁时，逆解耦按照式(15)、(16)进行补偿设计；

当τ₁₂-τ₁₁＜τ₂₂-τ₂₁时，被控对象的模型传递函数按照上述分析右乘补偿项，消除逆解耦器含有的预测环节，可得得逆解耦器K_N21(s)；

其中补偿项

当τ₁₁＞τ₁₂,τ₂₂＞τ₂₁，存在两个预测环节时，将过程模型传递函数矩阵G_m(s)进行行与行(列与列)的交换；

通过补偿后的过程模型传递函数矩阵可求得逆解耦器为：

非最小相位零极点补偿设计：

要保证逆解耦器K_Nij(s)稳定，则进而使得与同时成立；

其中α为整数；

对逆解耦器K_Nij(s)中的α值进行判断，设计补偿项N(s)，求得补偿之后的逆解耦器K_Nij(s)；

当时，同时时，可得补偿项为N＝diag{1 1}；

当时，同时要使得逆解耦器稳定；

可得逆解耦器为

当时，则逆解耦器不含有非最小相位零极点，是稳定的；

当时，其中为消除逆解耦器中的极点，补偿项为

补偿之后的被控对象的过程模型传递函数矩阵为：

通过上式可求得逆解耦器为：

相对阶次补偿设计：

要保证逆解耦器不存在超前环节，必须保证为真，当系统中出现超前环节时，引入滤波器对相对阶次进行补偿；

当O(G₁₂(s))＞O(G₁₁(s))、O(G₂₁(s))＞O(G₂₂(s))时，相对应的补偿项为：N(s)＝diag{11}；

其中典型滤波器存在任何结构的相对阶次模型，对于双输入双输出磨矿分级系统，O为传递函数的相对阶次；

当O(G₁₁(s))-O(G₁₂(s))≤O(G₂₁(s))-O(G₂₂(s))时，相应的补偿项为：

其中β₁₂为滤波器参数；

补偿之后的被控对象的过程模型传递函数矩阵为：

通过上式可求得逆解耦器为：

当O(G₁₁(s))-O(G₁₂(s))＞O(G₂₁(s))-O(G₂₂(s))时，只对G_m12(s)进行补偿。

其中补偿项为

步骤6-7：反馈控制器的设计：

通过步骤6-6求得补偿之后的逆解耦器K_N12(s)、K_N21(s)，并将其代入双输入双输出的磨矿分级系统中，在基于逆解耦自抗扰内模技术的双输入双输出磨矿分级系统中引入反馈控制器，并对反馈控制器进行设计；

F₁(s)、F₂(s)为反馈控制器，

其中λ₁、λ₂为反馈控制器的可调参数；

对反馈控制器的可调参数λ₁、λ₂进行整定，当λ较小时，调节反馈控制的参数λ₁、λ₂：

步骤6-8：将步骤6-3求得线性自抗扰控制器传递函数形式、步骤6-5求得逆解耦、6-7求得的反馈控制器代入到双输入双输出的磨矿分级系统中，求得输入的控制变量u₁、u₂的表达式，从输入信号u₁、u₂到输出信号y₁、y₂的表达式为，进而求得y₁、y₂与r₁、r₂的表达式为式，验证逆解耦自抗扰内模控制方法在磨矿分级过程中的解耦控制性能；

将上述求得的线性自抗扰控制器、逆解耦器、反馈控制器代入到双输入双输出的磨矿分级系统中；

求得输入控制变量u₁、u₂的表达式为：

u₁＝[r₁H₁-(y₁-u₁G_m11-u₂G_m12)F₁]G_c1+u₂K_N12 (29)

u₂＝[r₂H₂-(y₂-u₂G_m22-u₁G_m21)F₂]G_c2+u₁K_N21 (30)

求得输出信号y₁、y₂与输入控制变量u₁、u₂之间的表达式为：

y₁＝G₁₁u₁+G₁₂u₂ (31)

y₂＝G₂₂u₂+G₂₁u₁ (32)

求得输出量y₁、y₂与期望值r₁、r₂之间的表达式为：

其中Δ的表达式为：

Δ＝[1+G_c2F₂(G₂₂-G_m22)][1+G_c1F₁(G₁₁-G_m11)]-[K_N12-G_c1F₁(G₁₂-G_m12)][K_N21-G_c2F₂(G₂₁-G_m21)] (35)

当模型匹配G₁₁＝G_m11、G₁₂＝G_m12、G₂₁＝G_m21、G₂₂＝G_m22时，上述输出量y₁、y₂与期望值r₁、r₂之间的表达式式(33)、(34)可得：

将逆解耦器式(12)、(13)代入式(36)、(37)，实现解耦控制的双输入输出的磨矿分级系统为：

y₁＝H₁G_c1G₁₁r₁ (38)

y₂＝H₂G_c2G₂₂r₂ (39)

其中H₁、H₂、G_c1、G_c2为线性自抗扰控制器对解耦后的双输入双输出的磨矿分级系统进行控制；

从而实现在磨矿分级系统中逆解耦自抗扰内模控制。

本发明的实质性特点为：

传统解耦方法涉及矩阵求逆计算，导致解耦器复杂化，不适用于高维多变量系统。如果采用模型降阶的方法来拟合被控对象的传递函数值，虽简化了解耦器，却导致系统误差增大；本发明和V-IMC方法都避免了对矩阵求逆运算，在仿真时，使系统存在模型失配、期望值加入阶跃扰动、对系统加入不确定扰动的情况，通过仿真结果比较，可得本发明所得的系统响应曲线比较稳定且调节时间、突变尖峰、调节扰动的时间都较小。在步骤6-3：通过拉氏变换、待定系数法求出线性自抗扰控制器的传递函数形式，通过调节b₀,ω_c,ω_o,三个参数，来提高系统抑制不确定性干扰的能力；在步骤6-6：对被控对象的时滞、非最小相位零点、相对阶次进行补偿，避免逆解耦器出现物理不可实现情况；在步骤6-8：将推导出的逆解耦器代入双输入双输出逆解耦自抗扰内模控制结构中，验证本发明可实现磨矿分级系统解耦。

本发明的有益效果为：

1、本发明针对多变量、强耦合、大时滞的磨矿分级系统，采用逆解耦自抗扰内模控制方法，其中逆解耦方法实现了系统解耦，避免了矩阵求逆，简化了计算；

2、内模控制对解耦后的子系统进行时滞补偿，消除建模误差、抑制外部扰动；

3、线性自抗扰控制器消除不确定性干扰对系统的影响，反馈控制器F₁(s),F₂(s)用来提高系统的抗干扰性和鲁棒性；

4、当系统中存在不确定性扰动以及模型失配时，通过调节线性自抗扰控制器参数、反馈控制器参数，使得系统响应的调节时间、超调量、突变尖峰都较小，以及使得系统具有较好的解耦性能、鲁棒性能，使得系统输出很好的跟踪到期望值，实现磨矿分级过程作业的优化控制；

5、由于本发明在实现过程中无需增加任何硬件设备，实施成本低，节省了硬件资源的投入便于推广和应用。

附图说明

图1：一阶LADRC自抗扰控制结构图

图2：一阶LADRC自抗扰控制传递函数结构图

图3：多变量逆解耦自抗扰内模控制方框图

图4：双输入双输出逆解耦自抗扰内模结构图

图5：闭路磨矿分级系统流程图

图6：RSView32与MATLAB通信结构图

图7-图20为标称、摄动的磨矿分级过程的解耦控制响应分别在r₁＝1,r₂＝0、r₁＝0,r₂＝1下运行，将逆解耦自抗扰内模方法的运行控制结果与V规范型内模解耦控制方法进行比较图；

其中，

图7是在r₁＝1,r₂＝0模型匹配下的系统响应曲线；

图8是在r₁＝0,r₂＝1模型匹配下的系统响应曲线；

图9是在r₁＝1,r₂＝0增益增加20％下的系统响应曲线；

图10是在r₁＝0,r₂＝1增益增加20％下的系统响应曲线；

图11是在r₁＝1,r₂＝0时间常数增加20％下的系统响应曲线；

图12是在r₁＝0,r₂＝1时间常数增加20％下的系统响应曲线；

图13是在r₁＝1,r₂＝0时滞增加20％下的系统响应曲线；

图14是在r₁＝0,r₂＝1时滞增加20％下的系统响应曲线；

图15是在r₁＝1,r₂＝0乘性输入不确定干扰下的系统响应曲线；

图16是在r₁＝0,r₂＝1乘性输入不确定干扰下的系统响应曲线；

图17是在r₁＝1,r₂＝0乘性输出不确定性干扰下的系统响应曲线；

图18是在r₁＝0,r₂＝1乘性输出不确定性干扰下的系统响应曲线；

图19是在r₁＝1,r₂＝0加性不确定性干扰下的系统响应曲线；

图20是在r₁＝0,r₂＝1加性不确定性干扰下的系统响应曲线。

具体实施方式

结合附图对本发明作进一步详细说明。

为方便描述，将其中的符号和术语定义为：

LADRC 线性自抗扰控制器，英文为linearactive dis-turbance rejectioncontroller；

LESO 线性扩张状态观测器，英文为linearexte-ndedstate observer；

V-IMC V规范型内模解耦控制方法，英文为V-norminternalmodel decouplingcontrol method；

u₁ 磨矿分级机补加水量(m³/h)的实际值；

u₂ 磨矿给矿量(t/h)的实际值；

y₁ 磨矿分级机溢流浓度(％)实际值；

r₁ 磨矿分级机溢流浓度的期望值；

y₂ 磨矿返砂量(t/h)实际值；

r₂ 磨矿返砂量的期望值；

v_m 磨矿球磨机给矿水阀门开度(％)；

v_c 磨矿分级机补加水阀门开度(％)；

WT 称重仪；

DT 放射性浓度计；

FT 电磁流量计；

本发明所述的基于逆解耦自抗扰内模技术的磨矿分级过程运行控制方法，包括以下步骤：

步骤1：确定磨矿分级过程的被控变量(运行指标)y＝{y₁,y₂}，包括分级机溢流浓度y₁、返砂量y₂；

步骤2：确定磨矿分级过程运行指标的过程变量u＝{u₁,u₂}，包括分级机补加水量u₁、磨机给矿量u₂；

步骤3：根据步骤2中的过程变量的结果，确定操作变量，包括球磨机给矿水阀门开度v_m、磨矿分级机补加水阀门开度v_c；

步骤4：确定磨矿分级过程的运行指标的期望值r＝{r₁,r₂}，本发明将磨矿分级过程的运行指标的期望值设为单位阶跃；

步骤5：通过测量仪表对磨矿过程中的运行指标y、过程变量u进行实时检测，得到运行指标y、过程变量u的实际值，通过下位机PLC系统和通信网络将数据信息传输到上位机回路系统中；

其中测量仪表包括：称重仪表WT、电磁流量计FT、放射性浓度计DT；

步骤6：采用逆解耦自抗扰内模技术解除步骤1、2中的y₁、y₂与u₁、u₂间的强耦合性，需要对线性自抗扰控制器、逆解耦器以及反馈控制器进行设计，使得被控变量更好的跟踪其期望值r，整个磨矿分级过程得到更好的优化控制；

步骤6-1：被控对象的确定：

本发明磨矿分级系统的被控对象G(s)，设为并令被控对象对角矩阵的传递函数为一阶时滞系统。

其中g_ii(s)为不含有时滞的传递函数，为时间常数为τ_ii的时滞因子；

步骤6-2：线性自抗扰控制器的设计：

通过步骤6-1中被控对象对角矩阵的传递函数为一阶时滞系统，因此将一阶时滞系统传递函数进行时域描述，再化为状态空间表达式，进而求得一阶线性自抗扰控制器；

对线性自抗扰控制器(LADRC)进行设计，如图1所示，将一阶时滞系统传递函数的时域描述为式(1)：

其中，u为一阶时滞系统的输入量，y为一阶时滞系统输出量，a与b为一阶时滞系统增益，ω为一阶时滞系统的外部扰动，τ为一阶时滞系统的时滞，f＝-ay+ω(t-τ)表示一阶时滞系统内部不确定性与外部扰动的总扰动。

令y＝x₁，f＝x₂为其扩张状态，式(1)的状态空间表达式为：

通过LADRC的LESO对上述总扰动f估计并进行补偿，可得：

其中z₁、z₂为扩张状态观测器x₁、x₂的观测值，b₀为b的估计，β₁、β₂为LESO的增益。

对一阶时滞系统的输入量u进行设计：

将式(4)代入式(1)，可得：

由式(5)可得，一阶时滞系统存在的总扰动被近似补偿，从u₀到y之间近似一个积分器环节，则一阶自抗扰u₀通过比例控制器k_p实现对一阶时滞系统的控制。

其中u₀的表达式为：

u₀＝k_p(r-y) (6)

因此当参数b_o、β₁、β₂、k_p确定时，便可对一阶线性自抗扰控制器(LADRC)进行设计。

步骤6-3：线性自抗扰控制器的传递函数形式的设计：

为便于对双输入双输出的磨矿分级系统进行频域分析，需要将步骤6-2中线性自抗扰控制器转化为传递函数的形式；

通过拉氏变换、待定系数法，得到一阶线性自抗扰控制器的传递函数形式为H(s)、G_c(s)如图2所示。

其中LESO的增益β₁、β₂的选取，应使得其特征多项式满足s²+β₁s+β₂＝(s+ω_o)²，ω_o为观测器带宽，可得β₁＝2ω_o，同时令k_p＝ω_c，ω_c为控制器带宽。

因此通过整定线性自抗扰控制器的三个参数b₀,ω_c,ω_o来提高系统抑制不确定性干扰的能力，其既保留了自抗扰控制器的特点，也简化了控制结构。

步骤6-4：将步骤6-3求得的线性自抗扰控制器的传递函数的形式H(s)、G_c(s)代入到多变量磨矿分级系统中，求得多变量磨矿分级系统的闭环传递函数以及解耦后的磨矿分级系统理想式；

如图3所示，基于逆解耦自抗扰内模技术的多变量磨矿分级系统的闭环传递函数为式(8)。

其中F(s)为反馈控制器、G(s)为被控对象传递函数、G_m(s)为过程模型传递函数、K_N(s)为逆解耦器。

在理想情况下对式(8)进行分析，当模型匹配G(s)＝G_m(s)且d₀(s)＝0时，可求得解耦后的多变量磨矿分级系统为：

其中K_N(s)G(s)为广义被控对象。

为使得基于逆解耦自抗扰内模技术的多变量磨矿分级系统可实现解耦控制，则令解耦后多变量磨矿分级系统的广义被控对象的理想式为：K_N(s)G(s)＝diag{G₁₁(s),...,G_jj(s)}。

其中G₁₁(s)、G_jj(s)为多变量磨矿分级过程中的被控对象传递函数，j为多变量磨矿分级系统的被控对象传递函数的阶数，diag{·}为对角矩阵。

可得解耦后的多变量磨矿分级系统的理想式是正则且稳定的，具体为下式：

步骤6-5：逆解耦器的设计：

令步骤6-4中的j＝2，本发明将多变量磨矿分级系统设置为双输入双输出系统，通过对双输入双输出磨矿分级系统进行分析，求得逆解耦器；

由图4所示，求得从过程变量输入u到控制器G_c(s)的输出n的传递函数如式(11)。

通过对式(11)进行分析，求得逆解耦器为式(12)、(13)。

步骤6-6：逆解耦器补偿设计：

由步骤6-5求得的逆解耦器K_N12、K_N21可知，逆解耦器是通过被控对象中的传递函数多项式相除得出的，因此需要判断逆解耦是否存在不满足物理可实现的条件，包括：(1)分子的时滞比分母小，出现超前项(2)解耦器中含有不稳定的零点，从而导致解耦后的系统也存在相对应的不稳定的零点(3)传递函数的分子的阶次高于分母的阶次，出现预测项。

因此在设计逆解耦器之前需要对被控对象的时滞、非最小相位零点、相对阶次进行补偿。

其中不满足物理可实现的三个具体条件为：

当τ_ij＜τ_ii时，Δτ＝τ_ij-τ_ii＜0，使得解耦器K_Nij(s)的滞后时间大于0，出现预测环节；

当α_ij＞0时，使得解耦器K_Nij(s)含有非最小相位零点，当α_ij＜0时，使得解耦器K_Nij(s)含有非最小相位极点，导致磨矿分级系统不稳定；

当O_ij＜O_ii时，ΔO＝O_ij-O_ii＜0，解耦器K_Nij(s)的相对阶次小于0，使得解耦器K_Nij(s)出现超前环节；

其中(i,j＝1,2,i≠j)，τ_ij表示模型传递函数矩阵G_m(s)中传递函数的时滞，α_ij表示模型传递函数矩阵G_m(s)中传递函数的非最小相位零点数量，O_ij表示模型传递函数矩阵G_m(s)中传递函数的相对阶次，Δτ_ij表示解耦器K_Nij(s)中的时滞，Δα_ij表示解耦器K_Nij(s)中的非最小相位零点的数目，ΔO_ij表示解耦器K_Nij(s)中的相对阶次。

当逆解耦器中存在上述分析中一个条件、两个条件或三个条件时，逆解耦器在物理上都是不可实现的，因此在求逆解耦器之前需要对被控对象的传递函数进行补偿设计。

时滞补偿设计：

当τ₁₂≥τ₁₁,τ₂₁≥τ₂₂时，解耦器K_Nij(s)不存在预测环节，因此令补偿项为N(s)＝diag{11}；

其中τ₁₁、τ₁₂、τ₂₁、τ₂₂为被控对象的过程模型传递函数中G_m11(s)、G_m12(s)、G_m21(s)、G_m22(s)的时滞。

当τ₁₁＞τ₁₂,τ₂₁＞τ₂₂时，解耦器K_Nij(s)存在一个预测环节，因此需要对被控对象的过程模型传递函数设计补偿项N(s)，进而求得解耦器K_Nij(s)。

当τ₁₁-τ₁₂＜τ₂₁-τ₂₂，将补偿项设计为：N(s)＝diag{1 e^-τs}。

其中τ＝τ₁₁-τ₁₂。

可得补偿之后的被控对象的模型传递函数矩阵为：

通过补偿后的的被控对象的模型传递函数矩阵求得逆解耦器K_Nij(s)为：

当τ₂₁-τ₂₂＜τ₁₁-τ₁₂时只需对G_m11(s)进行补偿，在G_m11(s)中右乘补偿

可得逆解耦器为：

当τ₂₂-τ₂₁＜τ₁₂-τ₁₁时，逆解耦按照式(15)、(16)进行补偿设计。

当τ₁₂-τ₁₁＜τ₂₂-τ₂₁时，被控对象的模型传递函数按照上述分析右乘补偿项，消除逆解耦器含有的预测环节，可得得逆解耦器K_N21(s)。

其中补偿项

当τ₁₁＞τ₁₂,τ₂₂＞τ₂₁，存在两个预测环节时，将过程模型传递函数矩阵G_m(s)进行行与行(列与列)的交换。

通过补偿后的过程模型传递函数矩阵可求得逆解耦器为：

非最小相位零极点补偿设计：

要保证逆解耦器K_Nij(s)稳定，则进而使得与同时成立。

其中α为整数。

对逆解耦器K_Nij(s)中的α值进行判断，设计补偿项N(s)，求得补偿之后的逆解耦器K_Nij(s)。

当时，同时时，可得补偿项为N＝diag{1 1}；

当同时要使得逆解耦器稳定。

可得逆解耦器为

当时，则逆解耦器不含有非最小相位零极点，是稳定的；

当时，其中为消除逆解耦器中的极点，补偿项为

补偿之后的被控对象的过程模型传递函数矩阵为：

通过上式可求得逆解耦器为：

相对阶次补偿设计

要保证逆解耦器不存在超前环节，必须保证为真，当系统中出现超前环节时，可以引入滤波器对相对阶次进行补偿。

当O(G₁₂(s))＞O(G₁₁(s))、O(G₂₁(s))＞O(G₂₂(s))时，相对应的补偿项为：N(s)＝diag{1 1}；

其中典型滤波器存在任何结构的相对阶次模型，对于双输入双输出磨矿分级系统，O为传递函数的相对阶次。

当O(G₁₁(s))-O(G₁₂(s))≤O(G₂₁(s))-O(G₂₂(s))时，相应的补偿项为：

其中β₁₂为滤波器参数。

补偿之后的被控对象的过程模型传递函数矩阵为：

通过上式可求得逆解耦器为：

当O(G₁₁(s))-O(G₁₂(s))＞O(G₂₁(s))-O(G₂₂(s))时，只对G_m12(s)进行补偿。

其中补偿项为

步骤6-7：反馈控制器的设计：

通过步骤6-6求得补偿之后的逆解耦器K_N12(s)、K_N21(s)，并将其代入双输入双输出的磨矿分级系统中，为提高磨矿分级系统抑制扰动的能力，在基于逆解耦自抗扰内模技术的双输入双输出磨矿分级系统中引入反馈控制器，并对反馈控制器进行设计；

如图4所示，F₁(s)、F₂(s)为反馈控制器，

其中λ₁、λ₂为反馈控制器的可调参数。

对反馈控制器的可调参数λ₁、λ₂进行整定，当λ较小时，可加快系统输出响应速度，但不利于控制系统鲁棒性，当λ较大时，系统输出响应速度变慢，但提高了系统抗干扰能力和鲁棒稳定性，因此适当调节反馈控制的参数λ₁、λ₂，既可以改善系统控制性能又可以提高系统的鲁棒性能。

步骤6-8：将步骤6-3求得线性自抗扰控制器传递函数形式、步骤6-5求得逆解耦、6-7求得的反馈控制器代入到双输入双输出的磨矿分级系统中，求得输入的控制变量u₁、u₂的表达式，从输入信号u₁、u₂到输出信号y₁、y₂的表达式为，进而求得y₁、y₂与r₁、r₂的表达式为式，验证逆解耦自抗扰内模控制方法在磨矿分级过程中的解耦控制性能。

将上述求得的线性自抗扰控制器、逆解耦器、反馈控制器代入到双输入双输出的磨矿分级系统中。

由图4所示求得输入控制变量u₁、u₂的表达式为：

u₁＝[r₁H₁-(y₁-u₁G_m11-u₂G_m12)F₁]G_c1+u₂K_N12 (29)

u₂＝[r₂H₂-(y₂-u₂G_m22-u₁G_m21)F₂]G_c2+u₁K_N21 (30)

求得输出信号y₁、y₂与输入控制变量u₁、u₂之间的表达式为：

y₁＝G₁₁u₁+G₁₂u₂ (31)

y₂＝G₂₂u₂+G₂₁u₁ (32)

求得输出量y₁、y₂与期望值r₁、r₂之间的表达式为：

其中Δ的表达式为：

Δ＝[1+G_c2F₂(G₂₂-G_m22)][1+G_c1F₁(G₁₁-G_m11)]-[K_N12-G_c1F₁(G₁₂-G_m12)][K_N21-G_c2F₂(G₂₁-G_m21)] (35)

当模型匹配G₁₁＝G_m11、G₁₂＝G_m12、G₂₁＝G_m21、G₂₂＝G_m22时，上述输出量y₁、y₂与期望值r₁、r₂之间的表达式式(33)、(34)可得：

将逆解耦器式(12)、(13)代入式(36)、(37)，实现解耦控制的双输入输出的磨矿分级系统为：

y₁＝H₁G_c1G₁₁r₁ (38)

y₂＝H₂G_c2G₂₂r₂ (39)

其中H₁、H₂、G_c1、G_c2为线性自抗扰控制器对解耦后的双输入双输出的磨矿分级系统进行控制，使得磨矿系统具有很好的抗扰能力，更好的跟踪期望值。

磨矿分级系统工艺流程：

磨矿分级过程的工艺流程为：处理后的原矿石由矿仓经过电振给矿机进入传送带，并输送到球磨机中，同时给球磨机加入一定比例的水进行研磨，研磨后的物料顺流到螺旋分级机进行分级，不符合粒度要求的粗矿浆通过返砂槽进入到一段球磨机内重新研磨，符合粒度要求的细矿浆排出。本发明所述的闭路磨矿分级设备为公知装置，主要设备包括格子型球磨机(规格型号：MQG4.0×5.0，矿浆容积为55.1m³，筒体转速16r/min)、传送带、螺旋分级机(规格型号:2FLG-φ2400mm，螺旋旋转速度为3.5r/min，槽坡斜度为17°)。

本发明根据步骤7中的工艺流程设计磨矿分级过程运行控制的整体结构。

根据磨矿分级过程的工艺流程如图5所示，磨矿分级过程的被控变量(运行指标)为分级机溢流浓度y₁、返砂量y₂，影响y₁、y₂的过程变量为分级机补加水量u₁、磨机给矿量u₂，其中u₁、u₂又通过称重仪WT、电磁流量计FT进行实时检测，以及通过球磨机给矿水阀门开度v_m、磨矿分级机补加水阀门开度v_c进行调节。

磨矿分级过程现场安装所需的测量仪表为：称重仪表WT称重磨机给矿u₂、返砂量y₂，电磁流量计FT测量球磨机加水量、分级机补水量u₁，放射性浓度计测量溢流浓度y₁。磨矿分级过程现场安装所需的执行机构为两个电动调节阀控制着球磨机给矿水阀门开度v_m、磨矿分级机补加水阀门开度v_c。

如图6所示，通过PLC来实现控制回路中自动控制，在下位机中，通过调节电振频率来控制u₂，通过调节电动阀门开度v_c来控制分级机补加水u₁。在上位机中，前台应用程序采用RSView32，在上位机中通过RSView32内置的VBA编程语言作为程序接口，实现RSView32与MATLAB中球磨机、螺旋分级机等磨矿分级过程的模型的ActiveX、DDE方式的双向通信，完成数据的传输。通过PLC读取当前数据，传递到MATLAB的球磨机、螺旋分级机等磨矿分级过程的模型中，并对基于逆解耦自抗扰内模技术的磨矿分级系统进行实现。

经过上述分析，在磨矿分级系统中逆解耦自抗扰内模技术设计完毕；

步骤7：为验证步骤1到步骤6中的逆解耦自抗扰内模控制技术在双输入双输出的磨矿分级系统中的有效性，引入磨矿分级系统的数学模型，并代入到基于逆解耦自抗扰内模控制技术的双输入双输出的磨矿分级系统中，求得对应的线性自抗扰控制器、反馈控制器、逆解耦，并将本发明方法与V规范型内模解耦方法进行比较。

磨矿分级的数学模型为：

所求得在分级机溢流浓度通道的线性自抗扰控制器可调节参数为b₀＝0.4167、ω_o＝1.2、ω_c＝2.1，反馈控制器参数为λ₁＝10.562，在返砂量通道的线性自抗扰控制器可调节参数为b₀＝0.222、ω_o＝1.5、ω_c＝1.2，反馈控制器参数为λ₂＝9.614。

可得线性自抗扰控制器为：

求得反馈控制器为：

由步骤6-6中对时滞补偿进行设计，将G₂₁(s)、G₂₂(s)中的时滞进行交换，消除系统出现的超前项，可得补偿后的逆解耦器为式(44)，。

步骤8：将步骤7求得的一阶线性自抗扰控制器、反馈控制器、逆解耦器代入双输入双输出磨矿分级系统中，通过表1对逆解耦自抗扰内模控制方法与V规范型内模解耦控制方法在磨矿分级过程的模型匹配、模型失配以及期望值存在阶跃干扰下的解耦控制效果进行比较分析，可得本发明方法在模型匹配、模型失配以及期望值存在阶跃干扰下具有很好的解耦性能、跟踪性能。

在t＝1000s和t＝1500s时对期望值分别加入幅值为2、-2的阶跃干扰信号，并将本发明的解耦控制方法与V-IMC的系统响应曲线进行比较，如表1所示。

表1本发明与V-IMC系统响应效果比较

因此磨矿分级系统在被控对象各参数的变化引起的模型失配以及强干扰下，通过调整LADRC参数、反馈控制器参数来抑制外部扰动、模型失配等问题，使得磨矿分级系统具有较好的随动跟踪性能、解耦性能，验证本发明方法的有效性。

步骤9：将步骤7求得的一阶线性自抗扰控制器、反馈控制器、逆解耦器代入双输入双输出磨矿分级系统中，通过表2将本发明方法和V-IMC进行比较，讨论当系统中存在不确定扰动时，进一步验证基于逆解耦自抗扰内模控制方法的磨矿分级过程的解耦性能、期望值跟踪性能以及鲁棒稳定性。

本发明通过不确定性扰动来代替原矿石的硬度、粒度大小的波动等情况。将乘性输入不确定性Δ_I、乘性输出不确定性Δ_O和加性不确定性扰动Δ₂的设定值设为式(46)～(48)，并代入到磨矿分级过程中。

当加入乘性与加性不确定性扰动时，并且在t＝1000s和t＝1500s时对期望值分别加入幅值为2、-2的阶跃干扰信号，将本发明的解耦控制方法与V-IMC进行比较，如表2所示。

表2本发明与V-IMC系统响应效果比较

因此磨矿分级系统在不确定扰动下，通过调整LADRC参数、反馈控制器参数来抑制不确定扰动的问题，使得磨矿分级系统具有较好的随动跟踪性能、解耦性能、鲁棒稳定性、验证本发明方法的有效性。

虽然上述的被控对象为双输入双输出的、大时滞、强耦合的磨矿分级过程数学模型，但对于更复杂的高维时滞耦合的发酵、化工、冶金等控制过程，仍可以采用本发明提出的逆解耦自抗扰内模控制方法。当系统中存在不确定性干扰、模型失配和外部扰动时，系统都能快速准确地跟踪到期望值，且具有很好的鲁棒性能，说明本方法有很好的应用价值。

本发明未尽事宜为公知技术。

Claims (1)

1.一种基于逆解耦自抗扰内模技术的磨矿分级过程运行控制方法，其特征为该方法包括以下步骤：

步骤1：确定磨矿分级过程的被控变量(运行指标)y＝{y₁,y₂}，包括分级机溢流浓度y₁、返砂量y₂；

步骤2：确定磨矿分级过程运行指标的过程变量u＝{u₁,u₂}，包括分级机补加水量u₁、磨机给矿量u₂；

步骤3：根据步骤2中的过程变量的结果，确定操作变量，包括球磨机给矿水阀门开度v_m、磨矿分级机补加水阀门开度v_c；

步骤4：确定磨矿分级过程的运行指标的期望值r＝{r₁,r₂}，将磨矿分级过程的运行指标的期望值设为单位阶跃；

步骤5：通过测量仪表对磨矿过程中的运行指标y、过程变量u进行实时检测，得到运行指标y、过程变量u的实际值，通过下位机PLC系统和通信网络将数据信息传输到上位机回路系统中；

其中，测量仪表包括：称重仪表WT、电磁流量计FT、放射性浓度计DT；

步骤6：采用逆解耦自抗扰内模技术解除步骤1、2中的y₁、y₂与u₁、u₂间的强耦合性，需要对线性自抗扰控制器、逆解耦器以及反馈控制器进行设计，使得被控变量更好的跟踪其期望值r，整个磨矿分级过程得到更好的优化控制；

步骤6-1：被控对象的确定：

磨矿分级系统的被控对象G(s)，设为并令被控对象对角矩阵的传递函数为一阶时滞系统；

其中g_ii(s)为不含有时滞的传递函数，为时间常数为τ_ii的时滞因子；

步骤6-2：线性自抗扰控制器的设计：

通过步骤6-1中被控对象对角矩阵的传递函数为一阶时滞系统，因此将一阶时滞系统传递函数进行时域描述，再化为状态空间表达式，进而求得一阶线性自抗扰控制器；

将一阶时滞系统传递函数的时域描述为式(1)：

其中，u为一阶时滞系统的输入量，y为一阶时滞系统输出量，a与b为一阶时滞系统增益，ω为一阶时滞系统的外部扰动，τ为一阶时滞系统的时滞，f＝-ay+ω(t-τ)表示一阶时滞系统内部不确定性与外部扰动的总扰动；

令y＝x₁，f＝x₂为其扩张状态，式(1)的状态空间表达式为：

通过LADRC的LESO对上述总扰动f估计并进行补偿，可得：

其中z₁、z₂为扩张状态观测器x₁、x₂的观测值，b₀为b的估计，β₁、β₂为LESO的增益。

对一阶时滞系统的输入量u进行设计：

将式(4)代入式(1)，可得：

其中u₀的表达式为：

u₀＝k_p(r-y) (6)

步骤6-3：线性自抗扰控制器的传递函数形式的设计：

将步骤6-2中线性自抗扰控制器转化为传递函数的形式；

通过拉氏变换、待定系数法，得到一阶线性自抗扰控制器的传递函数形式为H(s)、G_c(s)

其中LESO的增益β₁、β₂的选取，应使得其特征多项式满足s²+β₁s+β₂＝(s+ω_o)²，ω_o为观测器带宽，可得β₁＝2ω_o，同时令k_p＝ω_c，ω_c为控制器带宽；

步骤6-4：将步骤6-3求得的线性自抗扰控制器的传递函数的形式H(s)、G_c(s)代入到多变量磨矿分级系统中，求得多变量磨矿分级系统的闭环传递函数以及解耦后的磨矿分级系统理想式；

基于逆解耦自抗扰内模技术的多变量磨矿分级系统的闭环传递函数为式(8)；

其中F(s)为反馈控制器、G(s)为被控对象传递函数、G_m(s)为过程模型传递函数、K_N(s)为逆解耦器；

当模型匹配G(s)＝G_m(s)且d₀(s)＝0时，可求得解耦后的多变量磨矿分级系统为：

其中K_N(s)G(s)为广义被控对象；

令解耦后多变量磨矿分级系统的广义被控对象的理想式为：

K_N(s)G(s)＝diag{G₁₁(s),...,G_jj(s)}；

其中G₁₁(s)、G_jj(s)为多变量磨矿分级过程中的被控对象传递函数，j为多变量磨矿分级系统的被控对象传递函数的阶数，diag{·}为对角矩阵；

可得解耦后的多变量磨矿分级系统的理想式是正则且稳定的，具体为下式：

步骤6-5：逆解耦器的设计：

令步骤6-4中的j＝2，本发明将多变量磨矿分级系统设置为双输入双输出系统，通过对双输入双输出磨矿分级系统进行分析，求得逆解耦器；

由图4所示，求得从过程变量输入u到控制器G_c(s)的输出n的传递函数如式(11)；

通过对式(11)进行分析，求得逆解耦器为式(12)、(13)；

步骤6-6：逆解耦器补偿设计：

在设计逆解耦器之前需要对被控对象的时滞、非最小相位零点、相对阶次进行补偿：

其中不满足物理可实现的三个具体条件为：

当τ_ij＜τ_ii时，Δτ＝τ_ij-τ_ii＜0，使得解耦器K_Nij(s)的滞后时间大于0，出现预测环节；

当α_ij＞0时，使得解耦器K_Nij(s)含有非最小相位零点，当α_ij＜0时，使得解耦器K_Nij(s)含有非最小相位极点，导致磨矿分级系统不稳定；

当O_ij＜O_ii时，ΔO＝O_ij-O_ii＜0，解耦器K_Nij(s)的相对阶次小于0，使得解耦器K_Nij(s)出现超前环节；

其中(i,j＝1,2,i≠j)，τ_ij表示模型传递函数矩阵G_m(s)中传递函数的时滞，α_ij表示模型传递函数矩阵G_m(s)中传递函数的非最小相位零点数量，O_ij表示模型传递函数矩阵G_m(s)中传递函数的相对阶次，Δτ_ij表示解耦器K_Nij(s)中的时滞，Δα_ij表示解耦器K_Nij(s)中的非最小相位零点的数目，ΔO_ij表示解耦器K_Nij(s)中的相对阶次；

当逆解耦器中存在上述分析中一个条件、两个条件或三个条件时，逆解耦器在物理上都是不可实现的，因此在求逆解耦器之前需要对被控对象的传递函数进行补偿设计；

时滞补偿设计：

当τ₁₂≥τ₁₁,τ₂₁≥τ₂₂时，解耦器K_Nij(s)不存在预测环节，因此令补偿项为N(s)＝diag{11}；

其中τ₁₁、τ₁₂、τ₂₁、τ₂₂为被控对象的过程模型传递函数中G_m11(s)、G_m12(s)、G_m21(s)、G_m22(s)的时滞；

当τ₁₁＞τ₁₂,τ₂₁＞τ₂₂时，解耦器K_Nij(s)存在一个预测环节，因此需要对被控对象的过程模型传递函数设计补偿项N(s)，进而求得解耦器K_Nij(s)；

当τ₁₁-τ₁₂＜τ₂₁-τ₂₂，将补偿项设计为：N(s)＝diag{1 e^-τs}；

其中τ＝τ₁₁-τ₁₂；

可得补偿之后的被控对象的模型传递函数矩阵为：

通过补偿后的的被控对象的模型传递函数矩阵求得逆解耦器K_Nij(s)为：

当τ₂₁-τ₂₂＜τ₁₁-τ₁₂时只需对G_m11(s)进行补偿，在G_m11(s)中右乘补偿

可得逆解耦器为：

当τ₂₂-τ₂₁＜τ₁₂-τ₁₁时，逆解耦按照式(15)、(16)进行补偿设计；

当τ₁₂-τ₁₁＜τ₂₂-τ₂₁时，被控对象的模型传递函数按照上述分析右乘补偿项，消除逆解耦器含有的预测环节，可得得逆解耦器K_N21(s)；

其中补偿项

当τ₁₁＞τ₁₂,τ₂₂＞τ₂₁，存在两个预测环节时，将过程模型传递函数矩阵G_m(s)进行行与行(列与列)的交换。

通过补偿后的过程模型传递函数矩阵可求得逆解耦器为：

非最小相位零极点补偿设计：

要保证逆解耦器K_Nij(s)稳定，则进而使得与同时成立；

其中α为整数；

对逆解耦器K_Nij(s)中的α值进行判断，设计补偿项N(s)，求得补偿之后的逆解耦器K_Nij(s)；

当时，同时时，可得补偿项为N＝diag{1 1}；

当时，同时要使得逆解耦器稳定；

可得逆解耦器为

当时，则逆解耦器不含有非最小相位零极点，是稳定的；

当时，其中为消除逆解耦器中的极点，补偿项为

补偿之后的被控对象的过程模型传递函数矩阵为：

通过上式可求得逆解耦器为：

相对阶次补偿设计：

要保证逆解耦器不存在超前环节，必须保证为真，当系统中出现超前环节时，引入滤波器对相对阶次进行补偿；

当O(G₁₂(s))＞O(G₁₁(s))、O(G₂₁(s))＞O(G₂₂(s))时，相对应的补偿项为：N(s)＝diag{11}；

其中典型滤波器存在任何结构的相对阶次模型，对于双输入双输出磨矿分级系统，O为传递函数的相对阶次；

当O(G₁₁(s))-O(G₁₂(s))≤O(G₂₁(s))-O(G₂₂(s))时，相应的补偿项为：

其中β₁₂为滤波器参数；

补偿之后的被控对象的过程模型传递函数矩阵为：

通过上式可求得逆解耦器为：

当O(G₁₁(s))-O(G₁₂(s))＞O(G₂₁(s))-O(G₂₂(s))时，只对G_m12(s)进行补偿。

其中补偿项为

步骤6-7：反馈控制器的设计：

通过步骤6-6求得补偿之后的逆解耦器K_N12(s)、K_N21(s)，并将其代入双输入双输出的磨矿分级系统中，在基于逆解耦自抗扰内模技术的双输入双输出磨矿分级系统中引入反馈控制器，并对反馈控制器进行设计；

F₁(s)、F₂(s)为反馈控制器，

其中λ₁、λ₂为反馈控制器的可调参数；

对反馈控制器的可调参数λ₁、λ₂进行整定，当λ较小时，调节反馈控制的参数λ₁、λ₂：

步骤6-8：将步骤6-3求得线性自抗扰控制器传递函数形式、步骤6-5求得逆解耦、6-7求得的反馈控制器代入到双输入双输出的磨矿分级系统中，求得输入的控制变量u₁、u₂的表达式，从输入信号u₁、u₂到输出信号y₁、y₂的表达式为，进而求得y₁、y₂与r₁、r₂的表达式为式，验证逆解耦自抗扰内模控制方法在磨矿分级过程中的解耦控制性能；

将上述求得的线性自抗扰控制器、逆解耦器、反馈控制器代入到双输入双输出的磨矿分级系统中；

求得输入控制变量u₁、u₂的表达式为：

u₁＝[r₁H₁-(y₁-u₁G_m11-u₂G_m12)F₁]G_c1+u₂K_N12 (29)

u₂＝[r₂H₂-(y₂-u₂G_m22-u₁G_m21)F₂]G_c2+u₁K_N21 (30)

求得输出信号y₁、y₂与输入控制变量u₁、u₂之间的表达式为：

y₁＝G₁₁u₁+G₁₂u₂ (31)

y₂＝G₂₂u₂+G₂₁u₁ (32)

求得输出量y₁、y₂与期望值r₁、r₂之间的表达式为：

其中Δ的表达式为：

Δ＝[1+G_c2F₂(G₂₂-G_m22)][1+G_c1F₁(G₁₁-G_m11)]-[K_N12-G_c1F₁(G₁₂-G_m12)][K_N21-G_c2F₂(G₂₁-G_m21)] (35)

当模型匹配G₁₁＝G_m11、G₁₂＝G_m12、G₂₁＝G_m21、G₂₂＝G_m22时，上述输出量y₁、y₂与期望值r₁、r₂之间的表达式式(33)、(34)可得：

将逆解耦器式(12)、(13)代入式(36)、(37)，实现解耦控制的双输入输出的磨矿分级系统为：

y₁＝H₁G_c1G₁₁r₁ (38)

y₂＝H₂G_c2G₂₂r₂ (39)

其中H₁、H₂、G_c1、G_c2为线性自抗扰控制器对解耦后的双输入双输出的磨矿分级系统进行控制；

从而实现在磨矿分级系统中逆解耦自抗扰内模控制。