CN109030197A - 一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型 - Google Patents

Abstract

一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型，在考虑混凝土龄期的情况下，得到考虑温湿度耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型的表达式为式中：θ(τ_e)为混凝土抗压强度，MPa；τ_e为混凝土等效龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数，且0≤β≤1。本发明提供的一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型，可以解决目前没有考虑温湿度耦合作用的混凝土抗压强度模型的问题，不仅充分反映了混凝土抗压强度与养护龄期和养护温湿度的关系，还具有模型参数少、预测精度高和适应性强的优点。

Description

一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型

技术领域

本发明涉及混凝土抗压强度领域，尤其是一种用于混凝土抗压强度力学性能发展预测的考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型。

背景技术

混凝土试验规程规定混凝土标准养护室温度应控制在20℃±5℃，湿度控制在95％以上。目前，国内关于混凝土力学性能计算模型一般是基于标准养护试验结果获得的，而未考虑养护温度以及湿度条件改变对混凝土力学特性的影响。然而，在实际工程中，混凝土结构所处的环境温度和湿度是动态变化的，例如三峡工程在夏季平均气温超过28℃，相对湿度在80％左右；而在冬季平均气温只有10℃，相对湿度只有70％左右。研究表明，混凝土的力学性能通常由混凝土配合比和原材料控制，而环境因素，比如养护温度、湿度等将通过影响混凝土内水泥水化度的发展而影响混凝土力学性能。实际工程中，混凝土结构常暴露于变化的环境中，了解不同温湿度环境对其力学性能发展的影响能更准确地对混凝土结构安全进行判定。目前，关于温度对混凝土水化度和其力学性能的影响的研究较多，而综合考虑温湿耦合影响混凝土力学性能以及预测模型的研究相对偏少。混凝土是一种抗压强度高、抗拉强度较低的脆性材料，充分掌握混凝土材料力学性能是防止和控制大坝混凝土裂缝的必要条件之一。抗压强度作为混凝土的基本力学性能参数之一，它随着水泥水化进程而发展，是混凝土微观结构性能的宏观反映。了解和确定混凝土在不同养护环境和工作条件下抗压强度的发展历程对工程应用具有重要意义。当混凝土原材料及配合比确定后，温度和湿度作用成为混凝土微观结构发展的主要因素。目前关于外界环境对混凝土抗压强度影响的研究，主要集中在温度对混凝土抗压强度的影响较多，考虑温度对抗压强度发展的影响，通常有成熟度法和水化度法两种方法。混凝土成熟度定义为不同温度历程下温度随时间的积分。成熟度法假设同一配合比的混凝土经历不同的温度历程，在水分充足的条件下，达到相同成熟度时的混凝土强度近似相等。水化度法假设同一配合比的混凝土在达到相同的水泥水化程度时具有相同的抗压强度，应用上述两个方法分别建立混凝土强度与等效龄期和水化度的关系具有很好的适应性。由于水化度理论上更为严谨，目前在工程上常使用水化度理论来分析早龄期混凝土水泥水化反应。一般而言，水泥水化会引起混凝土内部湿度下降，而湿度下降则会反过来通过降低水泥水化速率遏制水泥水化进程，进而影响混凝土抗压强度。在混凝土工程中，各种外加剂和新型材料的广泛应用，使得影响混凝土强度发展的因素越来越多，混凝土强度发展过程也更为多变，如何选择一个精确预测混凝土抗压强度的模型成为目前研究的热点。

目前，关于温度对混凝土水化度和其抗压强度的影响的研究较多，而综合考虑温湿耦合影响混凝土抗压强度以及预测模型的研究相对偏少，至今尚未见考虑温湿度耦合作用的混凝土抗压强度模型的报导，因此，本专利从水化度的角度出发，建立一个考虑温湿耦合的混凝土抗压强度模型，并通过试验值验证模型的准确性、可行性以及适用性。

下面以表1展示一下目前运用较为广泛的混凝土抗压强度预测模型。

表1现有混凝土抗压强度模型

对于上述模型的局限性及适用性，下表2详细列出了目前运用较为广泛的抗压强度模型的主要缺陷和适用范围。

表2模型适用范围及主要缺陷

针对上述常用的抗压强度模型存在的缺陷，需建立一种新的混凝土抗压强度模型。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型，可以解决目前没有考虑温湿度耦合作用的混凝土抗压强度模型的问题，不仅充分反映了混凝土抗压强度与养护龄期和养护温湿度的关系，还具有模型参数少、预测精度高和适应性强的优点。

本发明技术方案的得到过程如下：

由于分数阶微积分是一个有力的物理力学建模工具，为此，以下探讨建立混凝土抗压强度的分数阶模型。试验表明，混凝土是由水泥浆和骨料拌和而成的复合材料。初期呈塑性流动状态，随着水泥水化反应，混凝土逐渐硬化，最终趋于稳定值。即混凝土强度增长规律可采用理想弹簧和理想黏壶并联的开尔文模型来描述。研究表明，一个开尔文模型可以较好地描述单指数式的材料性能增长规律，虽然多个开尔文模型串联能更好地描述复杂的材料性能增长规律，但存在参数多、难以合理确定的缺点。为了解决这些问题，采用分数阶微积分进行模型建立，即采用可以描述处于理想流体和理想固体之间某种状态的软体元件来代替开尔文模型中的理想黏壶。带软体元件的开尔文模型如图1所示。

由理想弹簧和黏壶的并联关系，可得到带软体元件的开尔文模型的本构方程为

σ(t)＝(E+ηD^β)ε(t) (12)

当σ(t)等于常数时，即应力不变的情况下，由Riemann-Liouville型分数阶微积分算子理论,可得

式中：σ、E、η分别代表应力、弹簧元件、软体元件；t、ε(t)代表时间以及应变；n代表级数的展开项数，且为整数；β为系数，且0≤β≤1，当β＝1时，该软体元件是阻尼器元件，代表理想流体；当β＝0时，该软体元件变成弹簧元件，代表理想固体；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

将式(13)改写为混凝土分数阶抗压强度模型，则有

式中：θ(τ)为混凝土抗压强度，MPa；τ为混凝土养护龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数；n代表级数的展开项数，且为整数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对抗压强度进行拟合，式(1)中未知参数有3个，分别为θ₀、m、β，将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃]^T,并且有约束条件：0<x₃≤1，x_i≥0(i＝1～3)，则有

用抗压强度试验值和计算值的残差平方和最小，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分抗压强度表达式的3参数，即

式中：θ(τ)为抗压强度计算值，θ′(τ)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数。

结合式(1)在考虑水泥水化反应的考虑温湿度耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型的表达式为

式中：θ(τ_e)为混凝土抗压强度，MPa；τ_e为混凝土等效龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数，且0≤β≤1；n代表级数的展开项数，且为整数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

考虑温湿度耦合影响的情况下，结合式(1)得到考虑温湿度耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型的步骤如下：

步骤1：定义等效龄期：为了考虑温湿度耦合作用下的等效龄期，定义相同配合比的混凝土在不同的温度、湿度-时间历程下达到相同的水化度时参考温度的养护时间；

步骤2：建立等效龄期表达式：基于混凝土水化度的发展不仅与龄期相关，还受温度和湿度的共同作用的影响，为此建立了考虑温湿度耦合作用的等效龄期

式中：τ_e为等效龄期，τ为龄期，β_T为依赖混凝土温度的系数，β_h为依赖混凝土内部湿度的系数，T为混凝土温度，h为混凝土湿度；dξ为微分增量。

步骤3：建立β_T和β_h表达式，即计算混凝土的温度因子和湿度因子：

采用水化热法来描述水化度，即定义水化度为某时刻已释放的热量和最终完全释放的热量的比值，水泥水化会随着温度的升高而加快，基于Arrhenius方程提出的水化反应速率常数β_T与温度的关系式为

式中：U_h为水化活动能；R为气体常数，为8.315J/K；T为混凝土实际温度；T₀为参考温度，通常取293K，即20℃。当混凝土温度在0～100℃，U_h/R大约在2700K左右；exp[]为以底数为e的指数函数。

对于β_h的计算，朱伯芳给出表达式为

β_h＝[1+(3.5-3.5h)⁴]^-1 (5)

式中：β_h为依赖混凝土内部湿度的系数，h为混凝土内部湿度；

混凝土内部湿度h分布很复杂，不同位置的湿度值不一样。其内部湿度受外界环境湿度交换及自干燥的双重作用，对于式(7)的湿度h的计算，引入下列假设

h＝ah₁+(1-a)h₂ (6)

式中：a为环境湿度影响因子，即权重，0≤a≤1；h₁，h₂分别为环境湿度和混凝土中心位置处的湿度，事实上，混凝土内部湿度在不同位置处是不一样的，为了简化模型，同时考虑混凝土内部湿度受外界环境等因素影响，a取为0.5；

步骤4：计算混凝土的等效龄期：由于环境温湿度随着时间变化，采用式(3)计算等效龄期时，根据定积分的性质，分N个时间段进行积分，即

式中：τ_e为混凝土的等效龄期，d；β_T为依赖混凝土温度的系数，β_h为依赖混凝土内部湿度的系数；dξ为微分增量；i为整数，N为积分时间段的数量。

步骤5：建立考虑温湿耦合作用的分数阶抗压强度模型：根据上述步骤(1)-(4)建立了基于水化度的考虑温度和湿度影响的等效龄期，将等效龄期代入到权利要求1中的式(1)，即可得到考虑温湿耦合作用的分数阶抗压强度模型

式中：θ(τ_e)为混凝土抗压强度，MPa；τ_e为考虑温湿度耦合作用的等效龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数，且0≤β≤1；n代表级数的展开项数，且为整数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对混凝土抗压强度进行拟合，式(2)中未知参数有3个，分别为θ₀、m、β,将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃]^T,并且有约束条件：0≤x₃≤1，x_i≥0(i＝1～3)，则有

用抗压强度试验值和计算值的残差平方和最小，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分抗压强度表达式的3参数，即

式中：θ(τ_e)为抗压强度计算值，θ′(τ_e)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数。

采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对混凝土抗压强度进行拟合，求得各待定参数的方法为

步骤1：确定变量个数为3个，复合形顶点数目k取4个，精度取值为1e-6；

步骤2：产生初始复合形，在约束范围中产生k个随机点，构成初始复合形；

步骤3：对式(1)进行如下处理，得到式(10)：

采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对抗压强度进行拟合，式(1)中未知参数有3个，分别为θ₀、m、β，将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃]^T,并且有约束条件：0<x₃≤1，x_i≥0(i＝1～3)，则有

用抗压强度试验值和计算值的残差平方和最小，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分抗压强度表达式的3参数，即

式中：θ(τ)为抗压强度计算值，θ′(τ)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数；τ为混凝土养护龄期。

同理，运用上述考虑温湿耦合作用的等效龄期，将τ_e代替τ，结合式(11)可以得到考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型参数反演的目标函数，即

式中：θ(τ_e)为抗压强度计算值，θ′(τ_e)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数；τ_e为混凝土等效龄期。

步骤4：对式(10)和(8)进行收敛性分析，根据无穷级数的收敛性，结合具体算例确定n的取值；

步骤5：基于MATLAB平台，利用复合形法优选抗压强度参数，采用各顶点与好点的目标函数值之差的均方根值小于误差限作为终止迭代条件，利用复合形各顶点函数值大小的关系，判断目标函数值的下降方向，不断替换最坏点，使复合形不断向最优点收缩，直到满足收敛精度为止。

本发明提供的一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型，将分数阶微积分流变模型、混凝土抗压强度特性和水化度理论(等效龄期)相结合，建立了一种考虑水化度的温湿耦合作用下混凝土分数阶抗压强度模型。相对传统抗压强度模型，本发明专利不仅充分反映混凝土抗压强度与养护龄期和养护温度的关系，而且还综合反映了温湿度耦合效应；相对传统抗压强度模型需要较多的参数才能与试验值吻合良好，本发明专利建立的混凝土抗压强度分数阶模型，仅需要较少的参数，就可以与试验值吻合良好，而且具有良好的模型适应性。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明：

图1为本发明的带软体元件的开尔文模型的示意图；

图2为本发明实施例二中，在养护期间，采用温湿度传感器记录试验室中温度和湿度时具体试验室温湿度历程图；

图3为本发明实施例二中，不同养护条件下各龄期抗压强度试验值记录图；

图4为本发明实施例二中，标准养护下各龄期组合指数式、组合修正对数式、分数阶抗压强度模型拟合曲线图；

图5为本发明实施例二中，包裹养护下各龄期组合指数式、组合修正对数式、分数阶抗压强度模型拟合曲线图；

图6为本发明实施例二中，裸露养护下各龄期组合指数式、组合修正对数式、分数阶抗压强度模型拟合曲线图；

图7为本发明实施例二中，不同养护条件下各龄期组合指数式抗压强度模型拟合相对误差图；

图8为本发明实施例二中，不同养护条件下各龄期组合修正对数式抗压强度模型拟合相对误差图；

图9为本发明实施例二中，不同养护条件下各龄期分数阶抗压强度模型拟合相对误差图；

图10为本发明实施例二中，不同养护条件下组合指数式、组合修正对数式、分数阶抗压强度模型拟合平均相对误差图；

图11为本发明实施例二中，不同养护条件下组合指数式、组合修正对数式、分数阶抗压强度模型拟合平均残差平方和图。

具体实施方式

实施例一

一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型，

根据Riemann-Liouville型分数阶微积分算子理论，建立基于分数阶微积分的抗压强度模型表达式为

式中：θ(τ)为混凝土抗压强度，MPa；τ为混凝土养护龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数，且0≤β≤1；n代表级数的展开项数，且为整数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

在考虑混凝土龄期的情况下，结合式(1)得到考虑温湿度耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型的表达式为

式中：θ(τ_e)为混凝土抗压强度，MPa；τ_e为混凝土等效龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数，且0≤β≤1；n代表级数的展开项数，且为整数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

考虑温湿度耦合影响的情况下，结合式(1)得到考虑温湿度耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型的步骤如下：

步骤1：定义等效龄期：为了考虑温湿度耦合作用下的等效龄期，定义相同配合比的混凝土在不同的温度、湿度-时间历程下达到相同的水化度时参考温度的养护时间；

步骤2：建立等效龄期表达式：基于混凝土水化度的发展不仅与龄期相关，还受温度和湿度的共同作用的影响，为此建立了考虑温湿度耦合作用的等效龄期

式中：τ_e为等效龄期，τ为龄期，β_T为依赖混凝土温度的系数，β_h为依赖混凝土内部湿度的系数，T为混凝土温度，h为混凝土湿度；dξ为微分增量。

步骤3：建立β_T和β_h表达式，即计算混凝土的温度因子和湿度因子：

采用水化热法来描述水化度，基于Arrhenius方程提出的水化反应速率常数β_T与温度的关系式为

式中：U_h为水化活动能；R为气体常数，为8.315J/K；T为混凝土实际温度；T₀为参考温度，通常取293K，即20℃。当混凝土温度在0～100℃，U_h/R大约在2700K左右；exp[]为以底数为e的指数函数。

对于β_h的计算，朱伯芳给出表达式为

β_h＝[1+(3.5-3.5h)⁴]^-1 (5)

式中：β_h为依赖混凝土内部湿度的系数，h为混凝土内部湿度；

对于式(7)的湿度h的计算，引入下列假设

h＝ah₁+(1-a)h₂ (6)

式中：a为环境湿度影响因子，即权重，0≤a≤1；h₁，h₂分别为环境湿度和混凝土中心位置处的湿度，为了简化模型，同时考虑混凝土内部湿度受外界环境等因素影响，a取为0.5；

步骤4：计算混凝土的等效龄期：由于环境温湿度随着时间变化，采用式(3)计算等效龄期时，根据定积分的性质，分N个时间段进行积分，即

式中：τ_e为混凝土的等效龄期，d；β_T为依赖混凝土温度的系数，β_h为依赖混凝土内部湿度的系数；dξ为微分增量；i为整数，N为积分时间段的数量。

步骤5：建立考虑温湿耦合作用的分数阶抗压强度模型：根据上述步骤(1)-(4)建立了基于水化度的考虑温度和湿度影响的等效龄期，将等效龄期代入到权利要求1中的式(1)，即可得到考虑温湿耦合作用的分数阶抗压强度模型

式中：θ(τ_e)为混凝土抗压强度，MPa；τ_e为考虑温湿度耦合作用的等效龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数，且0≤β≤1；n代表级数的展开项数，且为整数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对混凝土抗压强度进行拟合，式(2)中未知参数有3个，分别为θ₀、m、β,将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃]^T,并且有约束条件：0≤x₃≤1，x_i≥0(i＝1～3)，则有

用抗压强度试验值和计算值的残差平方和最小，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分抗压强度表达式的3参数，即

式中：θ(τ_e)为抗压强度计算值，θ′(τ_e)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数。

采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对混凝土抗压强度进行拟合，求得各待定参数的方法为

步骤1：确定变量个数为3个，复合形顶点数目k取4个，精度取值为1e-6；

步骤2：产生初始复合形，在约束范围中产生k个随机点，构成初始复合形；

步骤3：对式(1)进行如下处理，得到式(10)：

采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对抗压强度进行拟合，式(1)中未知参数有3个，分别为θ₀、m、β，将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃]^T,并且有约束条件：0<x₃≤1，x_i≥0(i＝1～3)，则有

用抗压强度试验值和计算值的残差平方和最小，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分抗压强度表达式的3参数，即

式中：θ(τ)为抗压强度计算值，θ′(τ)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数；τ为混凝土养护龄期。

同理，运用上述考虑温湿耦合作用的等效龄期，将τ_e代替τ，结合式(11)可以得到考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型参数反演的目标函数，即

式中：θ(τ_e)为抗压强度计算值，θ′(τ_e)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数；τ_e为混凝土等效龄期。

步骤4：对式(10)和(8)进行收敛性分析，根据无穷级数的收敛性，结合具体算例确定n的取值；

步骤5：基于MATLAB平台，利用复合形法优选抗压强度参数，采用各顶点与好点的目标函数值之差的均方根值小于误差限作为终止迭代条件，利用复合形各顶点函数值大小的关系，判断目标函数值的下降方向，不断替换最坏点，使复合形不断向最优点收缩，直到满足收敛精度为止。

实施例二

上述实施例一的模型实例分析如下:

1抗压强度试验

1.1试验原材料和配合比

混凝土抗压强度试验选用的原材料的基本物理力学性能如表3所示，C30二级配混凝土的配合比如表4所示。其中，水胶比0.5，砂率34％，粉煤灰掺量35％，小石：中石＝40:60。

表3原材料的基本物理力学性质

表4抗压强度试验混凝土配合比 Kg/m³

1.2试验仪器

设计了标准、包裹、裸露3种不同养护条件，每种养护条件下设计3d、7d、14d、21d、28d 5种龄期的混凝土抗压强度试验。轴心抗压强度试验在YE-W微机屏显式液压压力试验机上进行。液压压力试验机的技术参数和主要性能指标如表5所示。为了监测获得自然环境下试验室内的环境温湿度和混凝土内部相对湿度试验，在养护期间采用温湿度传感器记录试验室中温度和湿度，温湿度传感器采用大连北方测控公司生产的DB485型传感器，其主要技术指标如表6所示。

表5液压压力试验机技术参数和主要性能指标

表6温湿度传感器主要技术指标

1.3试验方案

设计了三种不同养护条件下(标准、包裹、裸露)抗压强度对比试验，具体抗压强度试验方案如表7所示，一组试验试件在标准养护室养护(即标准养护)，另外两组试验试件在同一自然环境状态下的试验室养护(即包裹养护和裸露养护)，包裹养护方案采用双层锡箔纸进行6面包裹。

表7混凝土抗压强度试验方案

2模型参数反演计算

2.1等效龄期计算

由上述等效理论可知，混凝土的等效龄期受温度和湿度共同作用的影响。对于标准养护试件，其温度为20℃，湿度可认为不损失，因此标准养护的等效龄期就是养护龄期；对于包裹养护试件，可认为其湿度不损失，此时等效龄期仅受温度作用的影响；对于裸露养护试件，虽然混凝土试件内部的湿度不损失，但是其表面及表面附近湿度损失较大，由于湿度的损失，将影响水化反应，从而影响混凝土强度，因此其等效龄期受湿度和温度的双重影响。

根据权利要求2中的步骤(1)至步骤(4)所述，计算不同养护条件下的混凝土抗压强度等效龄期，等效龄期的具体计算如表8所示。

表8不同养护条件下混凝土抗压强度等效龄期

2.2参数优化计算

为了验证本专利的实用性及准确性，开展了不同养护条件(标准、包裹、裸露)3d、7d、14d、21d、28d 5种龄期的混凝土抗压强度试验(具体不同养护条件下各龄期抗压强度试验值如表9以及图3所示)，在养护期间，采用温湿度传感器记录试验室中温度和湿度(具体试验室温湿度历程如图2所示)，并对不同温度和湿度历程下的养护环境获得的抗压强度试验值进行拟合。

表9不同养护条件下各龄期的抗压强度试验值

根据权利要求4所述的复合形法原理和计算步骤，基于MATLAB平台，采用复合形法优选抗压强度参数，结合不用养护条件下抗压强度试验数据，对分数阶抗压强度表达式进行参数反演。在计算时，本专利对不同养护条件下3d、7d、14d、21d、28d 5种龄期的混凝土抗压强度试验数据进行拟合。为了验证本专利模型预测的实用性及准确性，与传统组合式抗压强度模型(例如组合指数式以及组合修正对数式)进行比较分析。

通过对分数阶模型表达式进行收敛性分析，当n取值大于40时，此模型表达式基本处于收敛，为此本专利在编写程序时，对初始复合形进行调试，最终取n＝42。具体分数阶模型参数反演结果如表10所示。对初始复合形进行调试，计算获得的标准养护、包裹养护、裸露养护条件下考虑温度和湿度影响的分数阶抗压强度模型残差平方和F(X)分别为3.38、6.46、1.20，其分数阶抗压强度模型参数以及计算值如表10和表11所示；计算获得的标准养护、包裹养护、裸露养护条件下考虑温度和湿度影响的组合指数式抗压强度模型残差平方和F(X)分别为4.02、10.13、1.56，其组合指数式抗压强度模型参数以及计算值如表10和表12所示；计算获得的标准养护、包裹养护、裸露养护条件下考虑温度和湿度影响的组合修正对数式抗压强度模型残差平方和F(X)分别为5.24、6.99、4.06，其组合修正对数式抗压强度模型参数以及计算值如表10和表13所示。

表10不同养护条件下模型参数

根据表10参数反演结果，可以得到不同养护条件下的考虑温度和湿度影响的分数阶抗压强度模型表达式为

表11不同养护条件下各龄期下的分数阶抗压强度计算值

同理可得，根据表10参数反演结果，可以得到不同养护条件下的考虑温度和湿度影响的组合指数式和组合修正对数式表达式分别为

θ(τ_e)＝4.31*ln(τ_e ^0.62+1)+12.76*ln(τ_e ^0.62+1) (16)

表12不同养护条件下各龄期下的组合指数式抗压强度计算值

表13不同养护条件下各龄期下的组合修正对数式抗压强度计算值

2.3模型误差分析计算

为了进一步分析验证本专利模型的实用性及准确性，与传统的运用较多组合式抗压强度模型进行对比分析，并从误差分析的角度对抗压强度预测模型进行评价，具体模型预测效果如表14～表16所示。

表14不同养护条件下各抗压强度模型拟合相对误差

表15不同养护条件下各抗压强度模型拟合残差平方和

表16不同养护条件下各抗压强度模型拟合平均误差

附图中的图4-图6描述了不同养护条件下各龄期组合指数式、组合修正对数式、分数阶抗压强度模型拟合曲线，反映了不同养护条件下抗压强度与等效龄期的关系；通过对图4-图6进一步分析可知：不同养护条件下混凝土抗压强度随等效龄期的增长而增大，其前期增长较快，后期增长逐渐放缓。附图中的图7-图9描述了不同养护条件下各龄期组合指数式、组合修正对数式、分数阶抗压强度模型拟合相对误差，反映了不同养护条件下各抗压强度模型的拟合效果；通过对图7-图9数据进一步分析计算，可以得到不同养护条件下组合指数式、组合修正对数式、分数阶抗压强度模型拟合平均相对误差以及残差平方和柱状图(图10和图11)，通过柱状图分析可知：不同养护条件下分数阶抗压强度预测模型拟合平均相对误差以及残差平方和均小于其它模型，从与试验数据拟合效果来看，分数阶计算模型优于其它计算模型。

通过对表14-16中数据分析可知：从与试验数据拟合效果来看，不同养护条件下分数阶抗压强度预测模型拟合平均相对误差以及残差平方和均小于其它模型，即分数阶抗压强度预测模型计算值与试验值的离散程度更小，拟合预测效果更好，因而，分数阶计算模型优于其它计算模型。

上述的实施例仅为本发明的优选技术方案，而不应视为对于本发明的限制，本申请中的实施例及实施例中的特征在不冲突的情况下，可以相互任意组合。本发明的保护范围应以权利要求记载的技术方案，包括权利要求记载的技术方案中技术特征的等同替换方案为保护范围。即在此范围内的等同替换改进，也在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型，其特征在于：

根据Riemann-Liouville型分数阶微积分算子理论，建立基于分数阶微积分的抗压强度模型表达式为

式中：θ(τ)为混凝土抗压强度，MPa；τ为混凝土养护龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数，且0≤β≤1；n为整数，级数展开项数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

在考虑混凝土龄期的情况下，结合式(1)得到考虑温湿度耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型的表达式为

式中：θ(τ_e)为混凝土抗压强度，MPa；τ_e为混凝土等效龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数，且0≤β≤1；n为整数，级数展开项数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

2.根据权利要求1所述的一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型，其特征在于考虑温湿度耦合影响的情况下，结合式(1)得到考虑温湿度耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型的步骤如下：

步骤1：定义等效龄期：为了考虑温湿度耦合作用下的等效龄期，定义相同配合比的混凝土在不同的温度、湿度-时间历程下达到相同的水化度时参考温度的养护时间；

步骤2：建立等效龄期表达式：基于混凝土水化度的发展不仅与龄期相关，还受温度和湿度的共同作用的影响，为此建立了考虑温湿度耦合作用的等效龄期

式中：τ_e为等效龄期，τ为龄期，β_T为依赖混凝土温度的系数，β_h为依赖混凝土内部湿度的系数，T为混凝土温度，h为混凝土湿度；dξ为微分增量；

步骤3：建立β_T和β_h表达式，即计算混凝土的温度因子和湿度因子：

采用水化热法来描述水化度，基于Arrhenius方程提出的水化反应速率常数β_T与温度的关系式为

式中：U_h为水化活动能；R为气体常数，为8.315J/K；T为混凝土实际温度；T₀为参考温度，通常取293K，即20℃。当混凝土温度在0～100℃，U_h/R大约在2700K左右；exp[]为以底数为e的指数函数。

对于β_h的计算，朱伯芳给出表达式为

β_h＝[1+(3.5-3.5h)⁴]^-1 (5)

式中：β_h为依赖混凝土内部湿度的系数，h为混凝土内部湿度；

对于式(7)的湿度h的计算，引入下列假设

h＝ah₁+(1-a)h₂ (6)

式中：a为环境湿度影响因子，即权重，0≤a≤1；h₁，h₂分别为环境湿度和混凝土中心位置处的湿度，为了简化模型，同时考虑混凝土内部湿度受外界环境等因素影响，a取为0.5；

步骤4：计算混凝土的等效龄期：由于环境温湿度随着时间变化，采用式(3)计算等效龄期时，根据定积分的性质，分N个时间段进行积分，即

式中：τ_e为混凝土的等效龄期，d；β_T为依赖混凝土温度的系数，β_h为依赖混凝土内部湿度的系数；dξ为微分增量；i为整数，N为积分时间段的数量。

步骤5：建立考虑温湿耦合作用的分数阶抗压强度模型：根据上述步骤(1)-(4)建立了基于水化度的考虑温度和湿度影响的等效龄期，将等效龄期代入到权利要求1中的式(1)，即可得到考虑温湿耦合作用的分数阶抗压强度模型

式中：θ(τ_e)为混凝土抗压强度，MPa；τ_e为考虑温湿度耦合作用的等效龄期，d；θ₀、m、β为待确定参数，且0≤β≤1；n为整数，级数展开项数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和。

3.根据权利要求2所述的一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型，其特征在于：采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对混凝土抗压强度进行拟合，式(2)中未知参数有3个，分别为θ₀、m、β,将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃]^T,并且有约束条件：0≤x₃≤1，x_i≥0(i＝1～3)，则有

θ(τ_e)为混凝土抗压强度，MPa；x₁,x₂,x₃为待求参数；τ_e为混凝土等效龄期；n为整数，级数展开项数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；∑为级数求和。

用抗压强度试验值和计算值的残差平方和最小，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分抗压强度表达式的3参数，即

式中：θ(τ_e)为抗压强度计算值，θ′(τ_e)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数；τ_e为混凝土等效龄期。

4.根据权利要求3所述的一种考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型，其特征在于：采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对混凝土抗压强度进行拟合，求得各待定参数的方法为

步骤1：确定变量个数为3个，复合形顶点数目k取4个，精度取值为1e-6；

步骤2：产生初始复合形，在约束范围中产生k个随机点，构成初始复合形；

步骤3：对式(1)进行如下处理，得到式(10)：

采用分数阶微积分的混凝土抗压强度模型对抗压强度进行拟合，式(1)中未知参数有3个，分别为θ₀、m、β，将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃]^T,并且有约束条件：0<x₃≤1，x_i≥0(i＝1～3)，则有

θ(τ)为混凝土抗压强度，MPa；x₁,x₂,x₃为待求参数；τ为混凝土养护龄期；n为整数，级数展开项数；∞为无穷大；Γ[]为伽马函数；Σ为级数求和；

用抗压强度试验值和计算值的残差平方和最小，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分抗压强度表达式的3参数，即

式中：θ(τ)为抗压强度计算值，θ′(τ)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数；τ为混凝土养护龄期；

同理，运用上述考虑温湿耦合作用的等效龄期，将τ_e代替τ，结合式(11)可以得到考虑温湿耦合作用的混凝土分数阶抗压强度模型参数反演的目标函数，即

式中：θ(τ_e)为抗压强度计算值，θ′(τ_e)为抗压强度试验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数；τ_e为混凝土等效龄期；

步骤4：对式(10)和(8)进行收敛性分析，根据无穷级数的收敛性，结合具体算例确定n的取值；

步骤5：基于MATLAB平台，利用复合形法优选抗压强度参数，采用各顶点与好点的目标函数值之差的均方根值小于误差限作为终止迭代条件，利用复合形各顶点函数值大小的关系，判断目标函数值的下降方向，不断替换最坏点，使复合形不断向最优点收缩，直到满足收敛精度为止。