CN108897944B - 基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法 - Google Patents

基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法 Download PDF

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CN108897944B CN201810669769.0A CN201810669769A CN108897944B CN 108897944 B CN108897944 B CN 108897944B CN 201810669769 A CN201810669769 A CN 201810669769A CN 108897944 B CN108897944 B CN 108897944B
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Abstract

本发明提供一种基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，包括步骤S1：建立膜片弹簧优化数学模型，所述膜片弹簧优化数学模型包括目标函数、设计变量和约束条件；S2：使用考虑拥挤距离的分级动态惩罚函数的粒子群算法对膜片弹簧进行优化；本发明解决了采用传统方法优化设计膜片弹簧存在的惯性权重容易早熟导致陷入局部极值和非线性约束条件的处理困难的问题，提高粒子群算法全局搜索能力和对非线性约束的求解能力，提高了膜片弹簧的优化效果和优化效果，具有较好的压稳性和操纵轻便性。

Description

基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法
技术领域
本发明涉及离合器膜片弹簧优化设计方法，具体涉及一种基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法。
背景技术
在道路拥堵的城市工况，机械变速器需要进行连续的档位切换，所以离合器需要频繁的结合与分离。机械式离合器使用过程中存在分离不彻底挂档困难、起步抖动、离合器打滑等问题，造成以上的故障，通常是由于该装置的运行压力、踏板深度等诸多指标的设计不够完善，而膜片弹簧则是其中的核心组件，因此对其进行优化设计具有重要工程实际意义。
离合器膜片弹簧优化实际上是一个多目标优化问题。传统的离合器膜片弹簧优化采用两种方法对膜片弹簧进行优化设计：方法一，将多目标转化为单目标，采用罚函数和GA算法进行优化设计，这种方法的缺点是目标函数需要根据决策者决定加权系数，在很大程度上收到了决策者的主观影响。另外一种方法是采用NSGA-II和粒子群算法对多目标优化，但是基本粒子群算法是处理无约束优化的问题，而工程实际中很多优化问题是非线性约束的，而离合器膜片弹簧优化设计就是非线性优化问题，这种方法不适用于离合器膜片弹簧优化设计。
因此，需要提出一种新的离合器膜片弹簧优化设计方法。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的是提供一种基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，解决了采用传统方法优化设计膜片弹簧存在的惯性权重容易早熟导致陷入局部极值和非线性约束条件的处理困难的问题，提高粒子群算法全局搜索能力和对非线性约束的求解能力，提高了膜片弹簧的优化效果和优化效果，具有较好的压稳性和操纵轻便性。
本发明提供一种基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，包括步骤
S1：建立膜片弹簧优化数学模型，所述膜片弹簧优化数学模型包括目标函数、设计变量和约束条件；
S2：使用考虑拥挤度的分级惩罚函数的粒子群算法对膜片弹簧进行优化，具体地：
S2.1：初始化粒子群和种群中所有粒子的速度和位置；
S2.2：建立分级惩罚函数模型，根据分级惩罚函数对粒子种群进行评价，更新目标函数的非劣解集；
S2.3：更新粒子的局部优化指导；
S2.4：更新粒子的全局优化指导；
S2.5：对粒子进行拥挤度和快速非支配排序的确定，将非劣解集中粒子依次进行两两拥挤度的优劣比较，淘汰并删除拥挤度为劣的粒子，得到更新后的非劣解集；
S2.6：对粒子的速度和位置进行迭代；
S2.7：判断新种群中的粒子是否满足约束条件，不满足约束条件的粒子取上一次迭代位置；
S2.8：重复步骤S2.2至S2.7，直到满足停止迭代的条件。
进一步，所述步骤S1包括步骤：
S1.1：确定目标函数：
本方法以减小摩擦片磨损前后弹簧压紧力的变化范围和减小离合器分离时的分离力为优化目标，本方法包括两个目标函数，以摩擦片磨损前后弹簧压紧力的变化范围最小为第一目标函数，第一目标函数为
F1＝min|Fa-Fb| (1)
以离合器分离时的分离力最小为第二目标函数，第二目标函数为
Figure GDA0003460889890000031
其中，a点为膜片弹簧离合器摩擦片磨损前的工作点，b点为膜片弹簧离合器摩擦片磨损后的工作点；
Fa表示a点的膜片弹簧压紧力，Fa的计算公式为
Figure GDA0003460889890000032
Fb表示b点的膜片弹簧压紧力，Fb的计算公式为
Figure GDA0003460889890000033
E表示材料弹性模量，h表示膜片弹簧外半径，λb表示优化后的离合器b点大端加载时所对应变形量，R表示膜片弹簧外半径，r表示碟簧部分内半径，μ表示泊松比，R1表示膜片弹簧大端的支撑半径R1，r1表示内支撑半径，rf表示小端加载半径，H表示內锥高度，λa表示优化后的离合器a点大端加载时所对应变形量，h表示膜片弹簧板厚度；
S1.2：确定设计变量；
S1.3：确定约束条件。
进一步，所述步骤S1.2包括：选取膜片弹簧中的內锥高度尺寸H、碟簧板厚度h、膜片弹簧外半径R、碟簧部分内半径r、膜片弹簧大端的支撑半径R1、内支撑半径r1以及离合器a点大端加载时所对应变形量λa这7个参数为本方法的设计变量，设计变量的表达式如下：
X＝[x1,x2,x3，x4,x5,x6,x7]T＝[H,h,R,r,R1,r1,λa]T (5)
进一步，所述步骤S1.3中约束条件包括：膜片弹簧结构的约束条件、膜片弹簧传动性能的约束条件、和膜片弹簧强度的约束条件；
S1.3.1：膜片弹簧结构的约束条件包括：
Figure GDA0003460889890000041
Figure GDA0003460889890000042
Figure GDA0003460889890000043
Figure GDA0003460889890000044
1≤g5(x)≤7，g5(x)＝R-R1(10)
0≤g6(x)≤6，g6(x)＝r-r1(11)
Figure GDA0003460889890000045
其中，D为摩擦片的外半径，d表示摩擦片的内半径。
S1.3.2：膜片弹簧传动性能的约束条件包括：
g10(x)≤0，g10(x)＝Fmax-Fa (13)
其中，Fa表示a点的膜片弹簧压紧力，Fmax表示发动机最大转矩所要求的压紧力；
S1.3.3：膜片弹簧强度的约束条件包括：
σ≤[σ] (14)
其中，σ表示膜片弹簧危险位置的当量应力，[σ]表示膜片弹簧危险位置的许用最大当量应力。
进一步，所述步骤S2.2中的建立分级惩罚函数模型包括
采用分级惩罚函数对粒子群算法的进行约束优化，惩罚函数的因子和级数随约束函数值的取值范围而动态修正，具体如下：
所述分级惩罚函数模型为
Figure GDA0003460889890000051
其中，f(x)是约束优化问题的初始目标函数，h(k)惩罚函数的因子，k是粒子群算法的迭代次数，H(x)是多级分配惩罚函数；Rn表示n阶实数集，x表示第x个粒子；
所述多级分配惩罚函数H(x)的计算公式为
Figure GDA0003460889890000052
其中，qi(x)是相应的违反约束函数；qi(x)＝max{0,gi(x)},i＝1,...,m；m是约束条件的个数；gi(x)是约束函数；θ(qi(x))是多级分配函数；γ(qi(x))是惩罚函数的级数。
其中，qi(x)、θ(qi(x))和γ(qi(x))依赖于约束优化问题，惩罚规则如下：
如果qi(x)<1，则级数γ(qi(x))＝1；
如果qi(x)≥1，则级数γ(qi(x))＝2；
如果qi(x)<0.001，则θ(qi(x))＝10；
如果0.001<qi(x)<0.1，则θ(qi(x))＝20；
如果0.1<qi(x)<1，则θ(qi(x))＝100；(6)如果qi(x)≥1，θ(qi(x))＝300；
其中h(k)取
Figure GDA0003460889890000053
进一步，所述步骤S2.5中拥挤度的确定包括步骤：
S2.5.1：设定nd＝0,n＝1,2,3,...,N，其中，nd表示拥挤度
S2.5.2：分别对两个目标函数进行如下处理：
a.基于该目标函数对种群进行排序；
b.令边界的两个个体为无穷，即令ld＝Nd＝无穷；其中，ld表示第一个粒子；Nd最后一个粒子的拥挤度；
c.计算拥挤度，所述拥挤度的计算公式为
Figure GDA0003460889890000062
其中，
Figure GDA0003460889890000063
表示步骤2.2得到的非劣解集中第n个粒子的拥挤度；nd1n表示步骤2.2得到的非劣解集中第n个粒子的第一目标函数的的拥挤度；nd2n表示步骤2.2得到的非劣解集中第n个粒子的第二目标函数的的拥挤度，N表示步骤2.2得到的非劣解集中粒子的总个数；
S2.5.3：设定拥挤度比较算子为≥n，依据拥挤度比较依据对个体β和个体τ进行优劣比较；
所述拥挤度比较依据为：当且仅当βrank＜τrank或βrank＝τrank且βd＞τd，则β≥τ，即个体β优于τ；其中，βrank表示粒子β的适应度，τrank表示另外一个粒子τ的适应度，βd表示βrank的拥挤度，τd表示τrank的粒子拥挤度。
进一步，
nd1＝fitness1(n+1)-fitness1(n-1) (18)
nd2＝fitness2(n+1)-fitness2(n-1) (19)
其中，fitness1表示第一目标函数的适应度值，fitness2表示第二目标函数的适应度值。
进一步，所述粒子群算法的惯性权重为动态惯性权重。
进一步，所述动态惯性权重的计算公式为：
Figure GDA0003460889890000061
其中，ωmax为初始的惯性权重，ωmin为迭代至最高代数时的惯性权重，i为当前的迭代代数，Tmax为最高的迭代代数。
本发明的有益效果：本发明解决了采用传统粒子群方法优化设计膜片弹簧存在的惯性权重容易早熟导致陷入局部极值和非线性约束条件的处理困难的问题，以及采用罚函数和GA算法由决策者决定加权系数，受到决策者的主观影响导致优化结果的精度低、实用性差的问题，提高粒子群算法全局搜索能力和对非线性约束的求解能力，提高了膜片弹簧的优化效果和优化效果，具有较好的压稳性和操纵轻便性。
附图说明
下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述：
图1为本发明的方法流程图；
图2为利用罚函数法优化设计的膜片弹簧特性图；
图3为利用遗传算法优化设计的膜片弹簧特性图；
图4为利用动态权值PSO算法和标准PSO算法的第一目标函数值对比图；
图5为利用动态权值PSO算法和标准PSO算法的第二目标函数值对比图；
图6为利用动态权值PSO算法优化设计的膜片弹簧特性图；
图7为利用分级罚函数PSO算法和未利用分级罚函数PSO优化设计的膜片弹簧特性对比图；
图8为利用标准PSO算法优化设计膜片弹簧的最终非劣解集；
图9为利用考虑拥挤度分级惩罚函数的PSO算法优化设计膜片弹簧的非劣解集；
图10为各个算法优化后的膜片弹簧弹性特性曲线对比图。
具体实施方式
如图1所示，本发明提供的一种基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，包括步骤
S1：建立膜片弹簧优化数学模型，所述膜片弹簧优化数学模型包括目标函数、设计变量和约束条件；
S2：使用考虑拥挤度的分级惩罚函数的粒子群算法对膜片弹簧进行优化，具体地：
S2.1：初始化粒子群和种群中所有粒子的速度和位置；
S2.2：建立分级惩罚函数模型，根据分级惩罚函数对粒子种群进行评价，更新目标函数的非劣解集；
S2.3：更新粒子的局部优化指导；
S2.4：更新粒子的全局优化指导；
S2.5：对粒子进行拥挤度和快速非支配排序的确定，将非劣解集中粒子依次进行两两拥挤度的优劣比较，淘汰并删除拥挤度为劣的粒子，得到更新后的非劣解集；
S2.6：对粒子的速度和位置进行迭代；
S2.7：判断新种群中的粒子是否满足约束条件，不满足约束条件的粒子取上一次迭代位置；
S2.8：重复步骤S2.2至S2.7，直到满足停止迭代的条件。通过上述方法，解决了采用传统粒子群方法优化设计膜片弹簧存在的惯性权重容易早熟导致陷入局部极值和非线性约束条件的处理困难的问题，以及采用罚函数和GA算法由决策者决定加权系数，受到决策者的主观影响导致优化结果的精度低、实用性差的问题，提高粒子群算法全局搜索能力和对非线性约束的求解能力，提高了膜片弹簧的优化效果和优化效果，具有较好的压稳性和操纵轻便性。
本实施例中，所述步骤S1包括步骤：
S1.1：确定目标函数：
本方法以减小摩擦片磨损前后弹簧压紧力的变化范围和减小离合器分离时的分离力为优化目标，本方法包括两个目标函数，以摩擦片磨损前后弹簧压紧力的变化范围最小为第一目标函数，第一目标函数为
F1＝min|Fa-Fb| (1)
以离合器分离时的分离力最小为第二目标函数，第二目标函数为
Figure GDA0003460889890000091
其中，a点为膜片弹簧离合器摩擦片磨损前的工作点，b点为膜片弹簧离合器摩擦片磨损后的工作点；
Fa表示a点的膜片弹簧压紧力，Fa的计算公式为
Figure GDA0003460889890000092
Fb表示b点的膜片弹簧压紧力，Fb的计算公式为
Figure GDA0003460889890000093
E表示材料弹性模量，h表示膜片弹簧外半径，λb表示优化后的离合器b点大端加载时所对应变形量，R表示膜片弹簧外半径，r表示碟簧部分内半径，μ表示泊松比，R1表示膜片弹簧大端的支撑半径R1，r1表示内支撑半径，rf表示小端加载半径，H表示內锥高度，λa表示优化后的离合器a点大端加载时所对应变形量，h表示膜片弹簧板厚度；
S1.2：确定设计变量；
S1.3：确定约束条件。本实施例中，离合器膜片弹簧优化设计的目标函数为双目标函数，且未对其进行归一化处理转换成单目标函数，避免了单目标函数的加权系数受决策者的主观影响，导致优化设计的膜片弹簧的实用性差、优化精度低。
所述步骤S1.2包括：选取膜片弹簧中的內锥高度尺寸H、碟簧板厚度h、膜片弹簧外半径R、碟簧部分内半径r、膜片弹簧大端的支撑半径R1、内支撑半径r1以及离合器a点大端加载时所对应变形量λa这7个参数为本方法的设计变量，设计变量的表达式如下：
X＝[x1,x2,x3，x4,x5,x6,x7]T＝[H,h,R,r,R1,r1,λa]T (5)
本实施例中，考虑到膜片弹簧中的內锥高度尺寸H、碟簧板厚度h、膜片弹簧外半径R、碟簧部分内半径r、膜片弹簧大端的支撑半径R1、内支撑半径r1以及离合器a点大端加载时所对应变形量λa这7个参数对目标函数有直接影响，故将这7个参数作为本方法的设计变量。
所述步骤S1.3中约束条件包括：膜片弹簧结构的约束条件、膜片弹簧传动性能的约束条件、和膜片弹簧强度的约束条件；
S1.3.1：膜片弹簧结构的约束条件包括：
(1)膜片弹簧的高厚度比
Figure GDA0003460889890000101
的约束条件
膜片弹簧的高厚度比
Figure GDA0003460889890000102
对膜片弹簧弾性特性曲线影响非常大。不同的高厚度比
Figure GDA0003460889890000103
值将使弾性特性曲线发生很大的变化，只有当它被控制在一定的范围之内，弹性特性曲线才具有负刚度。所述负刚度为在变形量增大的过程中，膜片弹簧的弹簧力先增大后减小的性质。根据工程经验，确定膜片弹簧的高厚度比
Figure GDA0003460889890000104
的约束条件为：
Figure GDA0003460889890000105
(2)膜片弹簧的内、外径比
Figure GDA0003460889890000106
的约束条件
由于膜片弹簧的内、外径比
Figure GDA0003460889890000107
对于弾性特性曲线影响比较大，必须控制在一定的范围内，根据工程经验，确定膜片弹簧的内、外径比
Figure GDA0003460889890000108
的约束条件为：
Figure GDA0003460889890000111
(3)
Figure GDA0003460889890000112
结构的约束条件
为了保证膜片弹簧的使用性能，对
Figure GDA0003460889890000113
结构也有要求，根据工程经验确定
Figure GDA0003460889890000114
结构的约束条件为
Figure GDA0003460889890000115
(4)膜片弹簧大端的支撑半径R1的约束条件
为了使摩擦片上的压紧力均匀分布，膜片弹簧大端的支撑半径R1应该位于平均半径与外径之间，膜片弹簧大端的支撑半径R1的约束条件为
Figure GDA0003460889890000116
(5)膜片弹簧外半径R与膜片弹簧大端的支撑半径R1的约束条件
根据膜片弹簧的结构布置要求和工程经验，确定膜片弹簧外半径R与膜片弹簧大端的支撑半径R1的约束条件为
1≤g5(x)≤7，g5(x)＝R-R1 (10)
(6)内支撑半径r1与碟簧部分内半径r的约束条件
根据膜片弹簧的结构布置要求和工程经验，确定内支撑半径r1与碟簧部分内半径r的约束条件为
0≤g6(x)≤6，g6(x)＝r-r1 (11)
(6)膜片弹簧的初始锥角的约束条件
为满足离合器使用时的性能要求，膜片弹簧的初始锥角
Figure GDA0003460889890000117
应该在一定的范围内，根据工程经验确定膜片弹簧的初始锥角的约束条件为
Figure GDA0003460889890000118
其中，D为摩擦片的外半径，d表示摩擦片的内半径。
本实施例中，膜片弹簧结构的约束条件均为线性约束条件。
S1.3.2：膜片弹簧传动性能的约束条件包括：
对于离合器来说更重要的是离合器本身传递动力的性能。其中要保证所使用的弹簧工作压紧力要不小于发动机最大转矩所要求的压紧力，由此确定膜片弹簧传动性能的约束条件为
g10(x)≤0，g10(x)＝Fmax-Fa (13)
其中，Fa表示a点的膜片弹簧压紧力，Fmax表示发动机最大转矩所要求的压紧力；
所述Fmax通过下式推导得到：
Tc＝zfFmaxRm (21)
其中，z为摩擦面数，f为摩擦因数，Rm为摩擦片平均摩擦半径，Tc为摩擦力矩。
其中，Rm的计算公式可以通过如下的推导过程得到：
设F0是整个离合器摩擦盘压紧力在摩擦盘单位面积上的单位压力，可以表示为
Figure GDA0003460889890000121
则微元压力F0在微元面积ds上所产生的微元摩擦力是
Figure GDA0003460889890000122
则该微元摩擦力dN对摩擦盘中心的微元为
Figure GDA0003460889890000123
当所有微元摩擦力矩在内外半径分别为a、b时，此时整个摩擦盘上所产生的合力矩为：
Figure GDA0003460889890000131
将式(23)带入式(22)计算之后，可以得到z个摩擦面所产生的合力矩的最终表达式为
Figure GDA0003460889890000132
将式(23)与(24)进行对比，可以得到摩擦片平均摩擦半径Rm的最终表达式为
Figure GDA0003460889890000133
其中，Ra为所有微元摩擦力矩内半径、Rb为所有微元摩擦力矩外半径，d为摩擦片的内半径，α为膜片弹簧自由状态的圆锥底角，ρ为微元到摩擦盘中心的距离。本实施例中，膜片弹簧传动性能的约束条件为线性约束条件。
S1.3.3：膜片弹簧强度的约束条件包括：
σ≤[σ] (14)
其中，σ表示膜片弹簧危险位置的当量应力，[σ]表示膜片弹簧危险位置的许用最大当量应力。
本实施例中，选用60Si2MnA材料制造的膜片弹簧，通过查阅资料，得到60Si2MnA材料制造的膜片弹簧危险位置的许用最大当量应力[σ]＝1400～1600MPa。所述膜片弹簧危险位置为分离指窗口底部、近似中间位置的下表面角点处。疲劳破坏是膜片弹簧失效的主要原因。根据以往的实验研究结果的对比，发现分离指窗口底部、近似中间位置的下表面角点处是产生疲劳破坏的最危险位置，因此对该处的应力进行校核约束，得到(14)式。
所述σ的计算公式为
Figure GDA0003460889890000134
其中，σt为膜片弹簧危险位置的切向应力，σr为膜片弹簧危险位置所承受的弯曲应力。所述σt和σr的计算公式为
Figure GDA0003460889890000141
Figure GDA0003460889890000142
其中，e为膜片弹簧中性点半径，α为膜片弹簧自由状态的圆锥底角，且
Figure GDA0003460889890000143
n为膜片弹簧分离指数目，b'为膜片弹簧分离指根部宽度；μ表示泊松比，E表示材料弹性模量，r表示碟簧部分内半径，h表示膜片弹簧外半径，rf表示小端加载半径，Fc表示可以得到分离轴承推力。本实施例中，膜片弹簧强度的约束条件为非线性约束条件。运用本方法对离合器膜片弹簧进行优化设计，第一可以解决传统算法只能处理无约束优化的问题，第二可以处理非线性约束优化设计需求，本方法实用性强、具有较强的工程实践意义。
所述步骤S2.2中的建立分级惩罚函数模型包括
采用分级惩罚函数对粒子群算法的进行约束优化，惩罚函数的因子和级数随约束函数值的取值范围而动态修正，具体如下：
所述分级惩罚函数模型为
Figure GDA0003460889890000144
其中，f(x)是约束优化问题的初始目标函数，h(k)惩罚函数的因子，k是粒子群算法的迭代次数，H(x)是多级分配惩罚函数；Rn表示n阶实数集，x表示第x个粒子；
所述多级分配惩罚函数H(x)的计算公式为
Figure GDA0003460889890000145
其中，qi(x)是相应的违反约束函数；qi(x)＝max{0,gi(x)},i＝1,...,m；m是约束条件的个数；gi(x)是约束函数；θ(qi(x))是多级分配函数；γ(qi(x))是惩罚函数的级数。
其中，qi(x)、θ(qi(x))和γ(qi(x))依赖于约束优化问题，惩罚规则如下：
如果qi(x)<1，则级数γ(qi(x))＝1；
如果qi(x)≥1，则级数γ(qi(x))＝2；
如果qi(x)<0.001，则θ(qi(x))＝10；
如果0.001<qi(x)<0.1，则θ(qi(x))＝20；
如果0.1<qi(x)<1，则θ(qi(x))＝100；(6)如果qi(x)≥1，θ(qi(x))＝300；
其中h(k)取
Figure GDA0003460889890000151
本实施例中，h(k)的值越大，惩罚的力度就越大，会导致全局搜索能力变差，局部搜索能力变强。通过上述方法，使得本方法的优化求解过程不依赖于目标函数的解析性质，同时又能以较大的概率收敛于全局优化解，适用范围广、实用性强。
所述步骤S2.5中拥挤度的确定包括步骤：
S2.5.1：设定nd＝0,n＝1,2,3,...,N，其中，nd表示拥挤度
S2.5.2：分别对两个目标函数进行如下处理：
a.基于该目标函数对种群进行排序；
b.令边界的两个个体为无穷，即令ld＝Nd＝无穷；其中，ld表示第一个粒子；Nd最后一个粒子的拥挤度；
c.计算拥挤度，所述拥挤度的计算公式为
Figure GDA0003460889890000152
其中，
Figure GDA0003460889890000153
表示步骤2.2得到的非劣解集中第n个粒子的拥挤度；nd1n表示步骤2.2得到的非劣解集中第n个粒子的第一目标函数的的拥挤度；nd2n表示步骤2.2得到的非劣解集中第n个粒子的第二目标函数的的拥挤度，N表示步骤2.2得到的非劣解集中粒子的总个数；
S2.5.3：设定拥挤度比较算子为≥n，依据拥挤度比较依据对个体β和个体τ进行优劣比较；
所述拥挤度比较依据为：当且仅当βrank＜τrank或βrank＝τrank且βd＞τd，则β≥τ，即个体β优于τ；其中，βrank表示粒子β的适应度，τrank表示另外一个粒子τ的适应度，βd表示βrank的拥挤度，τd表示τrank的粒子拥挤度。通过上述方法，极大地减少了非劣解的个数，为后续最优解的筛选提供提供了条件。
nd1＝fitness1(n+1)-fitness1(n-1) (18)
nd2＝fitness2(n+1)-fitness2(n-1) (19)
其中，fitness1表示第一目标函数的适应度值，fitness2表示第二目标函数的适应度值。本实施例中，并未对(18)式和(19)式取加权系数进行归一化以获取每个粒子的拥挤度，是因为一、加权系数的选取对优化结果影响较大，若加权系数偏小，非劣解过多或局部拥挤的问题不能解决，若加权系数大，就会弱化目标函数的作用，使得优化结果不理想，在实际操作中选取合理的加权系数存在一定困难，需要耗费大量时间进行验证，操作性差，开销大；二、每次计算适应度值都会增加步骤，极大的增加的算法的运算量，降低了算法效率。本实施例中，考虑到两个目标函数的函数值是同一量级的值，因此采用取最小值的方式确定最终拥挤度的值，其优点是一、计算量小，算法效率高；二、筛选方式稳定可靠，可设定最终需要的粒子数进行筛选，得到的粒子分布均匀且数量可控。
所述粒子群算法的惯性权重为动态惯性权重。
所述动态惯性权重的计算公式为：
Figure GDA0003460889890000171
其中，ωmax为初始的惯性权重，ωmin为迭代至最高代数时的惯性权重，i为当前的迭代代数，Tmax为最高的迭代代数。
惯性权重w体现的是粒子继承先前的粒子的能力，惯性权重w越大，粒子的全局搜索能力越强，反之，惯性权重w越小，粒子的局部搜索能力越强。(15)式采用成线性递减的惯性权重w，来平衡全局搜索能力和局部搜索能力。本实施例中，惯性权重w在等于0.9到0.4时，算法的性能最好，随着迭代的进行，惯性权重从0.9线性递减到0.4，在迭代的初期保证算法有较强的全局搜索能力，而到了迭代后期，惯性权重变小，算法拥有更好的局部搜索能力，采用传统粒子群方法优化设计膜片弹簧存在的惯性权重容易早熟导致陷入局部极值和非线性约束条件的处理困难的问题。
本实施例中，引入动态权值之后，在粒子群算法迭代初期，需要快速的全局搜索最优解，设置较大的权重，保证粒子群算法有优秀的全局搜索能力。随着迭代次数的增加，需要解集更加趋于稳定，和更好的局部搜索能力，因此设置较小的权重，在兼顾了全局搜索能力和局部搜索能力的同时，使粒子群算法收敛速度快，但是在优化结果已经收敛的情况下，依然会因为初始种群的不同得到不同的解集，说明容易陷入局部最优解。
进一步，引入分级惩罚函数来改进惯性变量为动态权值的粒子群算法，从两个方面进行了优化：一是细化粒子的筛选过程，传统的粒子群算法中，不满足约束条件的粒子是一定会被淘汰掉的，改进之后筛选方式更加细化，不满足约束条件的粒子会根据不满足的程度分级进行惩罚，因此不满足约束条件的粒子也有机会存活下来，而这些粒子中可能存在目标函数值很理想的情况，减小了错过最优解的几率；二是动态的惩罚度，惩罚度直接关系到算法是否容易陷入局部最优解，惩罚度太大容易陷入局部最优解，太小搜索最优解得能力差，由于之前引入了动态权值，算法收敛性很好，那么陷入局部最优解的时候一定是收敛之前，那么就需要迭代代数小的时候惩罚度适量的小，随着迭代代数的增加再逐渐增大惩罚度，一方面降低了陷入局部最优解的几率，同时到迭代后期有利于在局部进行更精确的搜索。引入分级惩罚函数来改进惯性变量为动态权值的粒子群算法解决了局部最优解问题，搜索精度高，但是还是存在非劣解的数量太多，且大多数位置集中的问题，密集的粒子相似性高，且不利于粒子群的整体走向。
进一步，引入分级惩罚函数来改进惯性变量为动态权值的粒子群算法再引入拥挤度来解决非劣解过多的问题，既增强了算法的全局搜索能力，又可得到数量可控且分布均匀的解集。
进一步，以某轿车拉式膜片弹簧离合器优化设计为例，对本方法的效果进行评价。本实施例中，设定发动机最大转矩为1150N·m，后备系数为1.8，摩擦因子为0.3，膜片弹簧材料为60Si2MnA，其许用最大当量应力[σ]＝1400～1600MPa，泊松比为0.3，磨损极限为3.2mm，分离形成为3.5mm，膜片弹簧分离指根部宽度b'取9-12mm。
采用5组试验对本申请方法的效果进行评价，所述5组试验如表1所示。
表1.实验的目标函数和算法
目标函数 算法
f<sub>1</sub>F<sub>1</sub>(X)+f<sub>2</sub>F<sub>2</sub>(X) 罚函数法
f<sub>1</sub>F<sub>1</sub>(X)+f<sub>2</sub>F<sub>2</sub>(X) 遗传算法
F<sub>1</sub>(X),F<sub>2</sub>(X) NSGA-II算法
F<sub>1</sub>(X),F<sub>2</sub>(X) 标准PSO算法
F<sub>1</sub>(X),F<sub>2</sub>(X) 本申请方法
标准PSO算法的参数如表2所示。
表2.标准PSO算法的参数设置
参数 数值
种群个数xSize 50
迭代次数MaxIt 200
学习因子c1 1.1
学习因子c2 1.1
惯性因子w 1
本申请方法中动态权值PSO参数设置如表3所示。
表3.动态权值PSO参数设置
参数 数值
粒子维数Dim 7
种群个数xSize 50
迭代次数MaxIt 200
学习因子c1 1.1
学习因子c2 1.1
惯性因子wmax 1.2
惯性因子wmin 0.1
图2为利用罚函数法优化设计的膜片弹簧特性图，从图2可以看出当加权因子在0.6附近时，优化结果更好。但也因此可以看出罚函数法的缺点，不能找出最佳的加权因子，不能得到最佳的优化结果。
图3为利用遗传算法优化设计的膜片弹簧特性图，从图3可以看出遗传算法对于不同的加权因子所优化的结果变化不大，因此采用遗传算法来优化膜片弹簧不得体现出加权因子的重要性。不过仍然可以看出0.6的优化结果稍好。
图4为利用动态权值PSO算法和标准PSO算法的第一目标函数值对比图，图5为利用动态权值PSO算法和标准PSO算法的第二目标函数值对比图。根据图4和图5可以得出，基于动态权值的PSO与传统PSO算法优化结果的对比，PSO使用动态权值之后，膜片弹簧优化的第一、第二目标的函数值更加趋于稳定，以此证明算法的收敛性，准确度，效率提高非常明显。
基于动态权值PSO的膜片弹簧特性曲线图前后对比图如图6所示。从图6可以看出，可以看出PSO算法更加侧重于第一个目标函数的优化，是的第一个目标函数的优化结果非常明显，在磨损范围内的压紧力更加平稳，但是第二个目标函数优化不明显。与NSGA-II算法的优化结果非常相似，缺点也非常明显，对于第二目标需要进一步优化。采用的分级PSO有无分级惩罚函数前后对比图如图7所示。得到优化后的非劣解如8所示。
由7可以看出，优化结果非常理想，与NSGA-II算法相比，不仅在磨损范围内，压紧力的变化更小，且离合器分离时，分离力也有减小。优化结果更加优于NSGA-II算法。但是从8可以看出非劣解的个数过多，且分布密集，不利于进一步选取最优解。再此基础上，考虑拥挤度分级惩罚函数进行分析如图9所示。利用考虑拥挤度分级惩罚函数的PSO算法优化设计膜片弹簧的非劣解集分布如表4所示。
表4.考虑拥挤度分级惩罚函数的PSO算法优化设计后的非劣解分布图
非劣解个数 第一目标平均函数值/N 第二目标平均函数值/N
无拥挤度算子 634 49.745 970.43
有拥挤度算子 34 50.736 970.86
根据表格4可以看出，使用拥挤度算子之后，对具体的优化结果基本无影响，但是极大的减少了非劣解的个数，为后续最优解的筛选提供了条件。
从图9中，选取G点的Pareto解作为利用本申请方法优化设计膜片弹簧的结果与利用罚函数法、遗传算法、NSGA-II算法(多目标遗传算法)、标准PSO算法优化设计膜片弹簧的结果进行对比。离合器膜片弹簧结构参数的优化设计后的方案如表5所示，优化设计后的方案的性能参数如表6所示。
表5.离合器膜片弹簧结构参数的优化设计后的方案
结构参数 H/mm h/mm R/mm r/mm R<sub>1</sub>/mm r<sub>1</sub>/mm λ<sub>1</sub>/mm
原始参数 5.8 2.93 145.7 116.8 143.66 116.1 4.8
罚函数法 5.24 2.8 140 115 138.68 115 4.21
遗传算法 5.2 2.8 140.04 115.18 138.8 114 4.02
NSGA-II算法 5.21 2.81 140.35 115.48 140.66 114.5 4.01
标准PSO算法 5.1 2.68 142.7 122.07 141.25 120.6 4.2
本申请方法 5.9192 2.9248 146.19 115 145 115 4.4445
表6.优化设计后的方案的性能参数
性能参数 F<sub>b</sub>/N F<sub>a</sub>/N F<sub>c</sub>/N |F<sub>b</sub>-F<sub>a</sub>|/N |F<sub>b</sub>-F<sub>a</sub>|/|F<sub>b</sub>|/N
原始参数 5226 5925 3817 699 13.37
罚函数法 4834 5185 3709 351 7.23
遗传算法 4757 5016 3715 259 5.44
NSGA-II算法 4422 4603 3567 181 4.09
标准PSO算法 4753 4928 3300 175 3.68
本申请方法 4650 4801 3050 151 3.24
a点为膜片弹簧离合器摩擦片磨损前的工作点，b点为膜片弹簧离合器摩擦片磨损后的工作点；Fa表示a点的膜片弹簧压紧力，Fb表示b点的膜片弹簧压紧力。结合表5对表6进行分析，膜片弹簧离合器摩擦片的工作点为a点，工作压紧力为Fa，膜片弹簧工作点由a点移动到b点，其工作压紧力为Fb，所述工作压紧力即为膜片弹簧压紧力。Fa与Fb之差即为压紧力的变化量，表示当摩擦片磨损时离合器仍可继续稳定可靠地工作。对于表5中各算法优化设计后的结构参数，其对应的性能参数中|Fb-Fa|相差不大，其中，罚函数法为351N，遗传算法为259N，NSGA-II算法为181N，标准PSO算法为175N，本申请方法为151N。由此可知，本申请方法压紧力变化值最小且满足目标函数的要求，说明膜片弹簧离合器在磨损极限内仍然可以正常工作，对弹性特性曲线的优化效果最好，压紧力更稳定。标准PSO算法压紧力变化值第二小。本申请方法相对于标准PSO算法优化设计后的膜片弹簧的压紧力稳定性提高了3.24％，压紧力更平稳。
进一步，对于第二目标函数，每个方案的彻底分离点都较原方案减小，说明膜片弹簧离合器的分离行程都有所减少，驾驶员作用的分离操纵力平均值也有较大幅度减小，而本申请方法是其中最理想的方案，跟原始方案比较分离力减小了20.09％。综上述，本申请方法最优。
进一步，表5和表6中涉及到的各个算法优化后的膜片弹簧弹性特性曲线如图10所示。从图10可以看出，在5种优化算法中，本申请方法优化设计结构最为理想，在磨损范围内压紧力变化最为平缓，分离力更加小。
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (8)

1.一种基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，其特征在于：包括步骤
S1：建立膜片弹簧优化数学模型，所述膜片弹簧优化数学模型包括目标函数、设计变量和约束条件；
S2：使用考虑拥挤度的分级惩罚函数的粒子群算法对膜片弹簧进行优化，具体地：
S2.1：初始化粒子群和种群中所有粒子的速度和位置；
S2.2：建立分级惩罚函数模型，根据分级惩罚函数对粒子种群进行评价，更新目标函数的非劣解集；
S2.3：更新粒子的局部优化指导；
S2.4：更新粒子的全局优化指导；
S2.5：对粒子进行拥挤度和快速非支配排序的确定，将非劣解集中粒子依次进行两两拥挤度的优劣比较，淘汰并删除拥挤度为劣的粒子，得到更新后的非劣解集；
S2.6：对粒子的速度和位置进行迭代；
S2.7：判断新种群中的粒子是否满足约束条件，不满足约束条件的粒子取上一次迭代位置；
S2.8：重复步骤S2.2至S2.7，直到满足停止迭代的条件。
所述步骤S1包括步骤：
S1.1：确定目标函数：
本方法以减小摩擦片磨损前后弹簧压紧力的变化范围和减小离合器分离时的分离力为优化目标，本方法包括两个目标函数，以摩擦片磨损前后弹簧压紧力的变化范围最小为第一目标函数，第一目标函数为
F1＝min|Fa-Fb| (1)
以离合器分离时的分离力最小为第二目标函数，第二目标函数为
Figure FDA0003460889880000021
其中，a点为膜片弹簧离合器摩擦片磨损前的工作点，b点为膜片弹簧离合器摩擦片磨损后的工作点；
Fa表示a点的膜片弹簧压紧力，Fa的计算公式为
Figure FDA0003460889880000022
Fb表示b点的膜片弹簧压紧力，Fb的计算公式为
Figure FDA0003460889880000023
E表示材料弹性模量，h表示膜片弹簧外半径，λb表示优化后的离合器b点大端加载时所对应变形量，R表示膜片弹簧外半径，r表示碟簧部分内半径，μ表示泊松比，R1表示膜片弹簧大端的支撑半径R1，r1表示内支撑半径，rf表示小端加载半径，H表示內锥高度，λa表示优化后的离合器a点大端加载时所对应变形量，h表示膜片弹簧板厚度；
S1.2：确定设计变量；
S1.3：确定约束条件。
2.根据权利要求1所述基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，其特征在于：所述步骤S1.2包括：选取膜片弹簧中的內锥高度尺寸H、碟簧板厚度h、膜片弹簧外半径R、碟簧部分内半径r、膜片弹簧大端的支撑半径R1、内支撑半径r1以及离合器a点大端加载时所对应变形量λa这7个参数为本方法的设计变量，设计变量的表达式如下：
X＝[x1,x2,x3，x4,x5,x6,x7]T＝[H,h,R,r,R1,r1,λa]T (5)
3.根据权利要求2所述基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，其特征在于：所述步骤S1.3中约束条件包括：膜片弹簧结构的约束条件、膜片弹簧传动性能的约束条件、和膜片弹簧强度的约束条件；
S1.3.1：膜片弹簧结构的约束条件包括：
Figure FDA0003460889880000031
Figure FDA0003460889880000032
Figure FDA0003460889880000033
Figure FDA0003460889880000034
1≤g5(x)≤7，g5(x)＝R-R1 (10)
0≤g6(x)≤6，g6(x)＝r-r1 (11)
Figure FDA0003460889880000035
其中，D为摩擦片的外半径，d表示摩擦片的内半径；
S1.3.2：膜片弹簧传动性能的约束条件包括：
g10(x)≤0，g10(x)＝Fmax-Fa (13)
其中，Fa表示a点的膜片弹簧压紧力，Fmax表示发动机最大转矩所要求的压紧力；
S1.3.3：膜片弹簧强度的约束条件包括：
σ≤[σ] (14)
其中，σ表示膜片弹簧危险位置的当量应力，[σ]表示膜片弹簧危险位置的许用最大当量应力。
4.根据权利要求1所述基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，其特征在于：所述步骤S2.2中的建立分级惩罚函数模型包括
采用分级惩罚函数对粒子群算法的进行约束优化，惩罚函数的因子和级数随约束函数值的取值范围而动态修正，具体如下：
所述分级惩罚函数模型为
Figure FDA0003460889880000041
其中，f(x)是约束优化问题的初始目标函数，h(k)惩罚函数的因子，k是粒子群算法的迭代次数，H(x)是多级分配惩罚函数；Rn表示n阶实数集，x表示第x个粒子；
所述多级分配惩罚函数H(x)的计算公式为
Figure FDA0003460889880000042
其中，qi(x)是相应的违反约束函数；qi(x)＝max{0,gi(x)},i＝1,...,m；m是约束条件的个数；gi(x)是约束函数；θ(qi(x))是多级分配函数；γ(qi(x))是惩罚函数的级数；
其中，qi(x)、θ(qi(x))和γ(qi(x))依赖于约束优化问题，惩罚规则如下：
如果qi(x)<1，则级数γ(qi(x))＝1；
如果qi(x)≥1，则级数γ(qi(x))＝2；
如果qi(x)<0.001，则θ(qi(x))＝10；
如果0.001<qi(x)<0.1，则θ(qi(x))＝20；
如果0.1<qi(x)<1，则θ(qi(x))＝100；(6)如果qi(x)≥1，θ(qi(x))＝300；
其中h(k)取
Figure FDA0003460889880000043
5.根据权利要求1所述基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，其特征在于：所述步骤S2.5中拥挤度的确定包括步骤：
S2.5.1：设定nd＝0,n＝1,2,3,...,N，其中，nd表示拥挤度
S2.5.2：分别对两个目标函数进行如下处理：
a.基于该目标函数对种群进行排序；
b.令边界的两个个体为无穷，即令ld＝Nd＝无穷；其中，ld表示第一个粒子；Nd最后一个粒子的拥挤度；
c.计算拥挤度，所述拥挤度的计算公式为
Figure FDA0003460889880000051
其中，
Figure FDA0003460889880000052
表示步骤2.2得到的非劣解集中第n个粒子的拥挤度；nd1n表示步骤2.2得到的非劣解集中第n个粒子的第一目标函数的的拥挤度；nd2n表示步骤2.2得到的非劣解集中第n个粒子的第二目标函数的的拥挤度，N表示步骤2.2得到的非劣解集中粒子的总个数；
S2.5.3：设定拥挤度比较算子为≥n，依据拥挤度比较依据对个体β和个体τ进行优劣比较；
所述拥挤度比较依据为：当且仅当βrank＜τrank或βrank＝τrank且βd＞τd，则β≥τ，即个体β优于τ；其中，βrank表示粒子β的适应度，τrank表示另外一个粒子τ的适应度，βd表示βrank的拥挤度，τd表示τrank的粒子拥挤度。
6.根据权利要求5所述基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，其特征在于：
nd1＝fitness1(n+1)-fitness1(n-1) (18)
nd2＝fitness2(n+1)-fitness2(n-1) (19)
其中，fitness1表示第一目标函数的适应度值，fitness2表示第二目标函数的适应度值。
7.根据权利要求1所述基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，其特征在于：所述粒子群算法的惯性权重为动态惯性权重。
8.根据权利要求7所述基于改进粒子群算法的离合器膜片弹簧优化设计方法，其特征在于：所述动态惯性权重的计算公式为：
Figure FDA0003460889880000061
其中，ωmax为初始的惯性权重，ωmin为迭代至最高代数时的惯性权重，i为当前的迭代代数，Tmax为最高的迭代代数。
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