CN108875157A - 饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及饱和土‑群桩‑上部结构体系的动力响应分析方法，属于桩基力学分析技术领域。其de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，针对桩‑土‑上部结构动力相互作用的研究局限于单相土情况，涉及饱和土的很少。由于液相的存在，饱和土和单相土中能量和波的传播和耗散不同，在地震荷载作用下土层对地震波的过滤和放大效应对结构地震响应特性的影响将存在着差异，具有重大的实际意义。

Description

饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法

技术领域

本发明涉及饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法，尤其涉及饱和土-群桩-上部结构体系在基岩竖向运动作用下的动力响应分析方法，属于桩基力学分析技术领域。

背景技术

目前，在实际工程中，桩基多以桩群的形式出现，在这种情况下必然要考虑“群桩效应”的影响。而群桩往往用于支承上部结构，因此饱和土、群桩、上部结构构成了富有研究意义的相互作用系统。并且，其所受到的荷载除了常见的直接施加荷载外，某些情况下也将受到地面运动的影响。根据检索可知，关于饱和土-桩动力相互作用的研究大多是基于Biot饱和土介质模型开展，尽管Biot理论已成功应用于诸多工程领域中，但研究表明其理论模型存在一定的局限性和不足。比如最显著的是其与材料客观性原理以及热动力学第二定律不一致，存在争议。相较而言，de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。此外，针对桩-土-上部结构动力相互作用的研究局限于单相土情况，涉及饱和土的很少。由于液相的存在，饱和土和单相土中能量和波的传播和耗散不同，在地震荷载作用下土层对地震波的过滤和放大效应对结构地震响应特性的影响将存在着差异；同时，饱和土地基的刚度和阻尼对桩基和上部结构的承载和变形性态的影响与单相土的情况也不一样。所以，对于开展饱和土-群桩-上部结构的研究尚需进一步研究。

基于饱和土-群桩-上部结构体系在基岩竖向运动作用下的动力响应分析方法尚属首次运用到桩基振动研究领域。在本次检索到的国内外公开发表的专利及非专利文献中，未见有与本项目整体研发内容相同的报道。

发明内容

本发明的目的在于设计了饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法，通过该方法实现对于桩基力学分析。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法，该方法的实现步骤如下：

1.1力学模型与基本假设

一i×j型群桩和一上部结构由刚性承台连接，和桩周饱和土一起构成饱和土-群桩-上部结构相互作用系统。此外，桩和饱和土的底部与刚性基岩紧密连接，该基岩以的形式进行竖向运动，且ω为圆频率。饱和土和结构的材料参数如表1所示。

表1土和结构材料参数

1.2饱和土运动方程及求解

采用Boer多孔介质理论描述饱和土的动力学行为，则其运动方程为

式中S_v＝n^fρ^fg/k^f为土体的液固耦合系数；u_s和u_f分别表示土骨架和孔隙流体的位移向量，符号上方的点表示其对时间t求导数；p^f为孔隙流体压力；▽表示梯度算符。

为得到饱和土在所规定边界条件下的定解，方便的做法是基于叠加原理，将所考虑问题的解分解为分别对应于惯性相互作用和运动相互作用的解的和。对应于惯性相互作用的解具体为基岩固定，结构运动时土体的解，而运动相互作用对应的解具体为在基岩竖向运动作用下饱和土自由场的解，二者将分别在下面步骤1.3和步骤1.4中求得。证明这样的解仍然满足饱和土的运动方程和总边界条件。1.3惯性力作用下饱和土的位移求解

通过对饱和土位移进行Helmhotz势函数分解得

式中φ_s，φ_f分别表示土骨架和孔隙流体的标量势函数；分别表示土骨架和孔隙流体的矢量势函数。

将式(1.4)代入式(1.1)～(1.3)中整理得

考虑所研究问题的轴对称条件，将饱和土位移以分量形式写为

式中u_s，u_f分别表示土骨架和孔隙流体的径向位移；w_s，w_f分别表示土骨架和孔隙流体的竖向位移；分别为矢量势函数的径向分量。

在柱坐标系下，式(1.8)、(1.9)可展开为

式中表示Laplacian算子。

在谐和振动状态下任一场变量f均满足关系使用上述关系，则式(1.5)、(1.6)、(1.7)、(1.11)、(1.12)可被表示为

引入无量纲变量及参数： 其中ρ＝ρ^s+ρ^f。

将无量纲量代入式(1.13)～(1.17)中可得

其中

对式(1.18)左右两边同时施加算符然后联系式(1.19)、(1.20)后可得

式中

联立式(1.21)、(1.22)后得

式中

对于式(1.24)，采用分离变量法令则有

式中

而式(1.27)、(1.28)的解分别为

式中A₁，A₂，B₁，B₂为待定系数。

则

令

其中

式中c₁为待定系数。

令由式(1.33)得

式中

而式(1.35)、(1.36)的解分别为

式中A₃，A₄，B₃，B₄为待定系数。则

将式(1.34)代入式(1.31)中可得

则

由式(1.20)可得

令

其中

式中c₂为待定系数。

令并由式(1.44)可得

式中

而式(1.46)、(1.47)的解分别为

式中A₅，A₆，B₅，B₆为待定系数。则

将式(1.45)代入式(1.42)中可得

则有

令由式(1.26)可得

式中

式(1.53)、(1.54)的解分别为

式中A₇，A₈，B₇，B₈为待定系数。

则

由式(1.25)得

由式(1.10)得

由式(1.23)可得

式中

在轴对称条件下，应力、位移之间的关系表示为

则

此时饱和土满足如下无量纲边界条件：

在径向无穷远处，位移、应力衰减为零，即

饱和土层表面自由，即

在基岩位置处饱和土竖向位移为零，即

在桩土接触面处饱和土径向位移为零，即

由边界条件式(1.68)可得

A₂＝A₄＝A₆＝A₈＝0 (1.72)

由边界条件式(1.70)可得

B₂＝B₄＝B₆＝B₇＝0 (1.73)

由边界条件式(1.69)可得

则有

β₃＝β₅＝b_n，A₃＝A₅，B₃＝B₅ (1.75)

由边界条件式(1.71)可得

E_1nb_nK₁(b_n)+E_2nc₁β_1nK₁(β_1n)+E_3nb_nK₁(β_7n)＝0 (1.76)

式中E_1n＝A₃B₃，E_2n＝A₁B₁，E_3n＝A₇B₈，β_1n＝β₁，β_7n＝β₇。

则由式(1.76)、(1.77)可求得

E_1n＝C_1nE_3n (1.78)

E_2n＝C_2nE_3n (1.79)

式中

则土骨架位移可表示为级数形式

1.4基岩竖向运动作用下饱和土自由场的位移求解

对于下卧基岩的饱和土自由场，当基岩以的形式做竖向谐和运动时，饱和土自由场可视为平面应变情况，即有 则此时饱和土的运动方程可简化为

此刻满足如下无量纲边界条件：

在该土层底部

在该土层顶部

根据上述边界条件设的表达式为

式中a_n为待定系数。

由式(1.84)得

将式(1.88)代入式(1.85)中得

则有

将式(1.87)、(1.90)代入式(1.82)、(1.83)中联立可得

式中

考虑三角函数系列sin(b_nz)的正交性质有

采用式(1.92)的性质对式(1.91)进行正交化运算后可得

至此，两种状态下的饱和土位移均已求得，取二者之和便可得最终状态下的饱和土骨架位移为

式(1.95)可被重写为

式中

联立式(1.94)、(1.95)、(1.65)可得

式中1.5群桩运动方程及求解

考虑一“i×j”型群桩，任意一根桩将会受到其它桩的影响。根据Nogami的建议，在土-群桩系统中，任意一点处土体的响应近似等于由每一单桩单独引起的相同位置处土体响应的和。由此采用相同的假设，则对于第“i”号桩，其桩周土竖向位移及剪切应力表示为

式中S_ij为桩i和桩j的间距，且j≠i。n₀为桩基数量。

式中

将桩视为Rayleigh-Love杆，建立桩i的振动方程为

以及桩轴力为

将式(1.100)、(1.101)进行无量纲化为

式中且Real(λ)＞0。

式中时间项e^iωt此处已被省略。

式(1.102)的齐次方程的解为

设式(1.102)的特解为

将式(1.105)代入式(1.102)中得

则式(1.102)的解为

在桩土接触面处，位移保持连续，则由式(1.98)、(1.107)得

考虑到函数系的正交性，对式(1.108)进行正交化得

式中

将式(1.109)代入式(1.107)中整理得

由于桩顶为刚性承台连接，则桩“i”满足如下无量纲边界条件：

在桩底

在桩顶

式中为承台无量纲竖向位移。

则将式(1.110)代入式(1.111)、(1.112)中得

式中

则桩“i”顶的轴力为

式中

1.6上部结构运动方程及求解

将上部结构视为Rayleigh-Love杆处理，其与桩群之间由刚性承台连接，则上部结构的振动方程被建立为

以及轴力为

将式(1.115)、(1.116)无量纲化为

式中 且Real(λ_b)＞0。

时间项e^iωt此处已被省略。

式(1.117)的解为

上部结构满足如下无量纲边界条件：

在结构顶

式中表示结构顶部受到的无量纲荷载幅值。

在结构底

将式(1.119)代入式(1.120)、(1.121)中可得

则结构底部的轴力可表示为

式中

建立刚性承台的平衡方程为

式中为承台的无量纲质量。

联立式(1.114)、(1.124)、(1.125)得

由式(1.119)可得上部结构顶端的位移为

至此，前述所有的解均已确定。而为有效揭示基岩运动对所考虑系统的影响，可定义承台位移地震放大系数为

以及上部结构位移地震放大系数为

进一步的，基于所获得的结构位移地震放大系数，探讨相关桩土参数对该系统地震响应的影响规律。

基于饱和土-群桩-上部结构体系在基岩竖向运动作用下的动力响应分析方法，其de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，针对桩-土-上部结构动力相互作用的研究局限于单相土情况，涉及饱和土的很少。由于液相的存在，饱和土和单相土中能量和波的传播和耗散不同，在地震荷载作用下土层对地震波的过滤和放大效应对结构地震响应特性的影响将存在着差异；同时，饱和土地基的刚度和阻尼对桩基和上部结构的承载和变形性态的影响与单相土的情况也不一样。所以，开展饱和土-群桩-上部结构的研究对建筑结构的抗震设计具有重大的实际意义。

附图说明

图1是计算模型的结构示意图。

具体实施方式

1.1力学模型与基本假设

计算模型如图1所示柱坐标系统，一i×j型群桩和一上部结构由刚性承台连接，和桩周饱和土一起构成饱和土-群桩-上部结构相互作用系统。此外，桩和饱和土的底部与刚性基岩紧密连接，该基岩以的形式进行竖向运动(且ω为圆频率)。饱和土和结构的材料参数如表1所示。

表1土和结构材料参数

1.2饱和土运动方程及求解

采用Boer多孔介质理论描述饱和土的动力学行为，则其运动方程为

式中S_v＝n^fρ^fg/k^f为土体的液固耦合系数；u_s和u_f分别表示土骨架和孔隙流体的位移向量，符号上方的点表示其对时间t求导数；p^f为孔隙流体压力；▽表示梯度算符。

为得到图1所示饱和土在所规定边界条件下的定解，方便的做法是基于叠加原理，将所考虑问题的解分解为分别对应于惯性相互作用和运动相互作用的解的和。对应于惯性相互作用的解具体为基岩固定，结构运动时土体的解，而运动相互作用对应的解具体为在基岩竖向运动作用下饱和土自由场的解，二者将分别在下面节1.3和1.4中求得。可以证明这样的解仍然满足饱和土的运动方程和总边界条件。

1.3惯性力作用下饱和土的位移求解

通过对饱和土位移进行Helmhotz势函数分解可得

式中φ_s，φ_f分别表示土骨架和孔隙流体的标量势函数；分别表示土骨架和孔隙流体的矢量势函数。

将式(1.4)代入式(1.1)～(1.3)中整理可得

考虑所研究问题的轴对称条件，将饱和土位移以分量形式写为

式中u_s，u_f分别表示土骨架和孔隙流体的径向位移；w_s，w_f分别表示土骨架和孔隙流体的竖向位移；分别为矢量势函数的径向分量。

在柱坐标系下，式(1.8)、(1.9)可展开为

式中表示Laplacian算子。

在谐和振动状态下任一场变量f均满足关系使用上述关系，则式(1.5)、(1.6)、(1.7)、(1.11)、(1.12)可被表示为

引入无量纲变量及参数：

其中ρ＝ρ^s+ρ^f。

将上述无量纲量代入式(1.13)～(1.17)中可得

其中

对式(1.18)左右两边同时施加算符然后联系式(1.19)、(1.20)后可得

式中

联立式(1.21)、(1.22)后可得

式中

对于式(1.24)，采用分离变量法令则有

式中

而式(1.27)、(1.28)的解分别为

式中A₁，A₂，B₁，B₂为待定系数。

则

令

其中

式中c₁为待定系数。

令由式(1.33)可得

式中

而式(1.35)、(1.36)的解分别为

式中A₃，A₄，B₃，B₄为待定系数。则

将式(1.34)代入式(1.31)中可得

则

由式(1.20)可得

令

其中

式中c₂为待定系数。

令并由式(1.44)可得

式中

而式(1.46)、(1.47)的解分别为

式中A₅，A₆，B₅，B₆为待定系数。则

将式(1.45)代入式(1.42)中可得

则有

令由式(1.26)可得

式中

式(1.53)、(1.54)的解分别为

式中A₇，A₈，B₇，B₈为待定系数。则

由式(1.25)可得

由式(1.10)可得

由式(1.23)可得

式中

在轴对称条件下，应力、位移之间的关系可表示为

则

此时饱和土满足如下无量纲边界条件：

在径向无穷远处，位移、应力衰减为零，即

饱和土层表面自由，即

在基岩位置处饱和土竖向位移为零，即

在桩土接触面处饱和土径向位移为零，即

由边界条件式(1.68)可得

A₂＝A₄＝A₆＝A₈＝0 (1.72)

由边界条件式(1.70)可得

B₂＝B₄＝B₆＝B₇＝0 (1.73)

由边界条件式(1.69)可得

则有

β₃＝β₅＝b_n，A₃＝A₅，B₃＝B₅ (1.75)

由边界条件式(1.71)可得

E_1nb_nK₁(b_n)+E_2nc₁β_1nK₁(β_1n)+E_3nb_nK₁(β_7n)＝0 (1.76)

式中E_1n＝A₃B₃，E_2n＝A₁B₁，E_3n＝A₇B₈，β_1n＝β₁，β_7n＝β₇。

则由式(1.76)、(1.77)可求得

E_1n＝C_1nE_3n (1.78)

E_2n＝C_2nE_3n (1.79)

式中

则土骨架位移可表示为级数形式

1.4基岩竖向运动作用下饱和土自由场的位移求解

对于下卧基岩的饱和土自由场，当基岩以的形式做竖向谐和运动时，饱和土自由场可视为平面应变情况，即有 则此时饱和土的运动方程可简化为

此刻满足如下无量纲边界条件：

在该土层底部

在该土层顶部

根据上述边界条件可设的表达式为

式中a_n为待定系数。

由式(1.84)可得

将式(1.88)代入式(1.85)中可得

则有

将式(1.87)、(1.90)代入式(1.82)、(1.83)中联立可得

式中

考虑三角函数系列的正交性质有

采用式(1.92)的性质对式(1.91)进行正交化运算后可得

至此，前述两种状态下的饱和土位移均已求得，取二者之和便可得最终状态下的饱和土骨架位移为

式(1.95)可被重写为

式中

联立式(1.94)、(1.95)、(1.65)可得

式中

1.5群桩运动方程及求解

考虑一“i×j”型群桩，任意一根桩将会受到其它桩的影响。根据Nogami的建议，在土-群桩系统中，任意一点处土体的响应近似等于由每一单桩单独引起的相同位置处土体响应的和。由此采用相同的假设，则对于第“i”号桩，其桩周土竖向位移及剪切应力可表示为

式中S_ij为桩i和桩j的间距，且j≠i。n₀为桩基数量。

式中

将桩视为Rayleigh-Love杆，建立桩i的振动方程为

以及桩轴力为

将式(1.100)、(1.101)进行无量纲化为

式中且Real(λ)＞0。

式中时间项e^iωt此处已被省略。

式(1.102)的齐次方程的解为

设式(1.102)的特解为

将式(1.105)代入式(1.102)中可得

则式(1.102)的解为

在桩土接触面处，位移保持连续，则由式(1.98)、(1.107)可得

考虑到函数系的正交性，对式(1.108)进行正交化可得

式中

将式(1.109)代入式(1.107)中整理可得

由于桩顶为刚性承台连接，则桩“i”满足如下无量纲边界条件：

在桩底

在桩顶

式中为承台无量纲竖向位移。

则将式(1.110)代入式(1.111)、(1.112)中可得

式中

则桩“i”顶的轴力为

式中

1.6上部结构运动方程及求解

将上部结构视为Rayleigh-Love杆处理，其与桩群之间由刚性承台连接，则上部结构的振动方程可被建立为

以及轴力为

将式(1.115)、(1.116)无量纲化为

式中 且Real(λ_b)＞0。

时间项e^iωt此处已被省略。

式(1.117)的解为

上部结构满足如下无量纲边界条件：

在结构顶

式中表示结构顶部受到的无量纲荷载幅值。

在结构底

将式(1.119)代入式(1.120)、(1.121)中可得

则结构底部的轴力可表示为

式中

建立刚性承台的平衡方程为

式中为承台的无量纲质量。

联立式(1.114)、(1.124)、(1.125)可得

由式(1.119)可得上部结构顶端的位移为

至此，前述所有的解均已确定。而为有效揭示基岩运动对所考虑系统的影响，可定义承台位移地震放大系数为

以及上部结构位移地震放大系数为

进一步的，基于所获得的结构位移地震放大系数，探讨相关桩土参数对该系统地震响应的影响规律。

基于饱和土-群桩-上部结构体系在基岩竖向运动作用下的动力响应分析方法，其de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，针对桩-土-上部结构动力相互作用的研究局限于单相土情况，涉及饱和土的很少。由于液相的存在，饱和土和单相土中能量和波的传播和耗散不同，在地震荷载作用下土层对地震波的过滤和放大效应对结构地震响应特性的影响将存在着差异；同时，饱和土地基的刚度和阻尼对桩基和上部结构的承载和变形性态的影响与单相土的情况也不一样。所以，开展饱和土-群桩-上部结构的研究对建筑结构的抗震设计具有重大的实际意义。

Claims (1)

1.饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法，其特征在于：该方法的实现步骤如下，

1.1力学模型与基本假设

一i×j型群桩和一上部结构由刚性承台连接，和桩周饱和土一起构成饱和土-群桩-上部结构相互作用系统；此外，桩和饱和土的底部与刚性基岩紧密连接，该基岩以的形式进行竖向运动，且ω为圆频率；饱和土和结构的材料参数如表1所示；

表1 土和结构材料参数

1.2饱和土运动方程及求解

采用Boer多孔介质理论描述饱和土的动力学行为，则其运动方程为

式中S_v＝n^fρ^fg/k^f为土体的液固耦合系数；u_s和u_f分别表示土骨架和孔隙流体的位移向量，符号上方的点表示其对时间t求导数；p^f为孔隙流体压力；▽表示梯度算符；

为得到饱和土在所规定边界条件下的定解，方便的做法是基于叠加原理，将所考虑问题的解分解为分别对应于惯性相互作用和运动相互作用的解的和；对应于惯性相互作用的解具体为基岩固定，结构运动时土体的解，而运动相互作用对应的解具体为在基岩竖向运动作用下饱和土自由场的解，二者将分别在下面步骤1.3和步骤1.4中求得；证明这样的解仍然满足饱和土的运动方程和总边界条件；

1.3惯性力作用下饱和土的位移求解

通过对饱和土位移进行Helmhotz势函数分解得

式中φ_s，φ_f分别表示土骨架和孔隙流体的标量势函数；分别表示土骨架和孔隙流体的矢量势函数；

将式(1.4)代入式(1.1)～(1.3)中整理得

考虑所研究问题的轴对称条件，将饱和土位移以分量形式写为

式中u_s，u_f分别表示土骨架和孔隙流体的径向位移；w_s，w_f分别表示土骨架和孔隙流体的竖向位移；分别为矢量势函数的径向分量；

在柱坐标系下，式(1.8)、(1.9)可展开为

式中表示Laplacian算子；

在谐和振动状态下任一场变量f均满足关系使用上述关系，则式(1.5)、(1.6)、(1.7)、(1.11)、(1.12)可被表示为

引入无量纲变量及参数： 其中ρ＝ρ^s+ρ^f；

将无量纲量代入式(1.13)～(1.17)中可得

其中

对式(1.18)左右两边同时施加算符然后联系式(1.19)、(1.20)后可得

式中

联立式(1.21)、(1.22)后得

式中

对于式(1.24)，采用分离变量法令则有

式中

而式(1.27)、(1.28)的解分别为

式中A₁，A₂，B₁，B₂为待定系数；

则

令

其中

式中c₁为待定系数；

令由式(1.33)得

式中

而式(1.35)、(1.36)的解分别为

式中A₃，A₄，B₃，B₄为待定系数；

则

将式(1.34)代入式(1.31)中可得

则

由式(1.20)可得

令

其中

式中c₂为待定系数；

令并由式(1.44)可得

式中

而式(1.46)、(1.47)的解分别为

式中A₅，A₆，B₅，B₆为待定系数；

则

将式(1.45)代入式(1.42)中可得

则有

令由式(1.26)可得

式中

式(1.53)、(1.54)的解分别为

式中A₇，A₈，B₇，B₈为待定系数；

则

由式(1.25)得

由式(1.10)得

由式(1.23)可得

式中

在轴对称条件下，应力、位移之间的关系表示为

则

此时饱和土满足如下无量纲边界条件：

在径向无穷远处，位移、应力衰减为零，即

饱和土层表面自由，即

在基岩位置处饱和土竖向位移为零，即

在桩土接触面处饱和土径向位移为零，即

由边界条件式(1.68)可得

A₂＝A₄＝A₆＝A₈＝0 (1.72)

由边界条件式(1.70)可得

B₂＝B₄＝B₆＝B₇＝0 (1.73)

由边界条件式(1.69)可得

则有

β₃＝β₅＝b_n，A₃＝A₅，B₃＝B₅ (1.75)

由边界条件式(1.71)可得

E_1nb_nK₁(b_n)+E_2nc₁β_1nK₁(β_1n)+E_3nb_nK₁(β_7n)＝0 (1.76)

式中E_1n＝A₃B₃，E_2n＝A₁B₁，E_3n＝A₇B₈，β_1n＝β₁，β_7n＝β₇；

则由式(1.76)、(1.77)可求得

E_1n＝C_1nE_3n (1.78)

E_2n＝C_2nE_3n (1.79)

式中

则土骨架位移可表示为级数形式

1.4基岩竖向运动作用下饱和土自由场的位移求解

对于下卧基岩的饱和土自由场，当基岩以的形式做竖向谐和运动时，饱和土自由场可视为平面应变情况，即有 则此时饱和土的运动方程可简化为

此刻满足如下无量纲边界条件：

在该土层底部

在该土层顶部

根据上述边界条件设的表达式为

式中a_n为待定系数；

由式(1.84)得

将式(1.88)代入式(1.85)中得

则有

将式(1.87)、(1.90)代入式(1.82)、(1.83)中联立可得

式中

考虑三角函数系列的正交性质有

采用式(1.92)的性质对式(1.91)进行正交化运算后可得

至此，两种状态下的饱和土位移均已求得，取二者之和便可得最终状态下的饱和土骨架位移为

式(1.95)可被重写为

式中

联立式(1.94)、(1.95)、(1.65)可得

式中

1.5群桩运动方程及求解

考虑一“i×j”型群桩，任意一根桩将会受到其它桩的影响；根据Nogami的建议，在土-群桩系统中，任意一点处土体的响应近似等于由每一单桩单独引起的相同位置处土体响应的和；由此采用相同的假设，则对于第“i”号桩，其桩周土竖向位移及剪切应力表示为

式中S_ij为桩i和桩j的间距，且j≠i；n₀为桩基数量；

式中j≠i；

将桩视为Rayleigh-Love杆，建立桩i的振动方程为

以及桩轴力为

将式(1.100)、(1.101)进行无量纲化为

式中且Real(λ)＞0；

式中时间项e^iωt此处已被省略；

式(1.102)的齐次方程的解为

设式(1.102)的特解为

将式(1.105)代入式(1.102)中得

则式(1.102)的解为

在桩土接触面处，位移保持连续，则由式(1.98)、(1.107)得

考虑到函数系的正交性，对式(1.108)进行正交化得

式中

将式(1.109)代入式(1.107)中整理得

由于桩顶为刚性承台连接，则桩“i”满足如下无量纲边界条件：

在桩底

在桩顶

式中为承台无量纲竖向位移；

则将式(1.110)代入式(1.111)、(1.112)中得

式中

则桩“i”顶的轴力为

式中

1.6上部结构运动方程及求解

将上部结构视为Rayleigh-Love杆处理，其与桩群之间由刚性承台连接，则上部结构的振动方程被建立为

以及轴力为

将式(1.115)、(1.116)无量纲化为

式中 且Real(λ_b)＞0；

时间项e^iωt此处已被省略；

式(1.117)的解为

上部结构满足如下无量纲边界条件：

在结构顶

式中表示结构顶部受到的无量纲荷载幅值；

在结构底

将式(1.119)代入式(1.120)、(1.121)中可得

则结构底部的轴力可表示为

式中

建立刚性承台的平衡方程为

式中为承台的无量纲质量；

联立式(1.114)、(1.124)、(1.125)得

由式(1.119)可得上部结构顶端的位移为

至此，前述所有的解均已确定；而为有效揭示基岩运动对所考虑系统的影响，可定义承台位移地震放大系数为

以及上部结构位移地震放大系数为

基于所获得的结构位移地震放大系数，探讨相关桩土参数对该系统地震响应的影响规律。