CN108875157B - 饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法 - Google Patents

饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法 Download PDF

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CN108875157B CN201810536215.3A CN201810536215A CN108875157B CN 108875157 B CN108875157 B CN 108875157B CN 201810536215 A CN201810536215 A CN 201810536215A CN 108875157 B CN108875157 B CN 108875157B
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Abstract

本发明涉及饱和土‑群桩‑上部结构体系的动力响应分析方法，属于桩基力学分析技术领域。其de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，针对桩‑土‑上部结构动力相互作用的研究局限于单相土情况，涉及饱和土的很少。由于液相的存在，饱和土和单相土中能量和波的传播和耗散不同，在地震荷载作用下土层对地震波的过滤和放大效应对结构地震响应特性的影响将存在着差异，具有重大的实际意义。

Description

饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法
技术领域
本发明涉及饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法，尤其涉及饱和土-群桩-上部结构体系在基岩竖向运动作用下的动力响应分析方法，属于桩基力学分析技术领域。
背景技术
目前，在实际工程中，桩基多以桩群的形式出现，在这种情况下必然要考虑“群桩效应”的影响。而群桩往往用于支承上部结构，因此饱和土、群桩、上部结构构成了富有研究意义的相互作用系统。并且，其所受到的荷载除了常见的直接施加荷载外，某些情况下也将受到地面运动的影响。根据检索可知，关于饱和土-桩动力相互作用的研究大多是基于Biot饱和土介质模型开展，尽管Biot理论已成功应用于诸多工程领域中，但研究表明其理论模型存在一定的局限性和不足。比如最显著的是其与材料客观性原理以及热动力学第二定律不一致，存在争议。相较而言，de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。此外，针对桩-土-上部结构动力相互作用的研究局限于单相土情况，涉及饱和土的很少。由于液相的存在，饱和土和单相土中能量和波的传播和耗散不同，在地震荷载作用下土层对地震波的过滤和放大效应对结构地震响应特性的影响将存在着差异；同时，饱和土地基的刚度和阻尼对桩基和上部结构的承载和变形性态的影响与单相土的情况也不一样。所以，对于开展饱和土-群桩-上部结构的研究尚需进一步研究。
基于饱和土-群桩-上部结构体系在基岩竖向运动作用下的动力响应分析方法尚属首次运用到桩基振动研究领域。在本次检索到的国内外公开发表的专利及非专利文献中，未见有与本项目整体研发内容相同的报道。
发明内容
本发明的目的在于设计了饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法，通过该方法实现对于桩基力学分析。
为实现上述目的，本发明采用的技术方案为饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法，该方法的实现步骤如下：
1.1力学模型与基本假设
一i×j型群桩和一上部结构由刚性承台连接，和桩周饱和土一起构成饱和土-群桩-上部结构相互作用系统。此外，桩和饱和土的底部与刚性基岩紧密连接，该基岩以
Figure BDA0001677864240000011
的形式进行竖向运动，
Figure BDA0001677864240000012
且ω为圆频率。饱和土和结构的材料参数如表1所示。
表1土和结构材料参数
Figure BDA0001677864240000013
Figure BDA0001677864240000021
1.2饱和土运动方程及求解
采用Boer多孔介质理论描述饱和土的动力学行为，则其运动方程为
Figure BDA0001677864240000022
Figure BDA0001677864240000023
Figure BDA0001677864240000024
式中Sv＝nfρfg/kf为土体的液固耦合系数；us和uf分别表示土骨架和孔隙流体的位移向量，符号上方的点表示其对时间t求导数；pf为孔隙流体压力；▽表示梯度算符。
为得到饱和土在所规定边界条件下的定解，方便的做法是基于叠加原理，将所考虑问题的解分解为分别对应于惯性相互作用和运动相互作用的解的和。对应于惯性相互作用的解具体为基岩固定，结构运动时土体的解，而运动相互作用对应的解具体为在基岩竖向运动作用下饱和土自由场的解，二者将分别在下面步骤1.3和步骤1.4中求得。证明这样的解仍然满足饱和土的运动方程和总边界条件。1.3惯性力作用下饱和土的位移求解
通过对饱和土位移进行Helmhotz势函数分解得
Figure BDA0001677864240000025
式中φs，φf分别表示土骨架和孔隙流体的标量势函数；
Figure BDA0001677864240000026
分别表示土骨架和孔隙流体的矢量势函数。
将式(1.4)代入式(1.1)～(1.3)中整理得
Figure BDA0001677864240000027
Figure BDA0001677864240000028
Figure BDA0001677864240000029
Figure BDA00016778642400000210
Figure BDA00016778642400000211
考虑所研究问题的轴对称条件，将饱和土位移以分量形式写为
Figure BDA0001677864240000031
式中us，uf分别表示土骨架和孔隙流体的径向位移；ws，wf分别表示土骨架和孔隙流体的竖向位移；
Figure BDA0001677864240000032
分别为矢量势函数
Figure BDA0001677864240000033
的径向分量。
在柱坐标系下，式(1.8)、(1.9)可展开为
Figure BDA0001677864240000034
Figure BDA0001677864240000035
式中
Figure BDA0001677864240000036
表示Laplacian算子。
在谐和振动状态下任一场变量f均满足关系
Figure BDA0001677864240000037
使用上述关系，则式(1.5)、(1.6)、(1.7)、(1.11)、(1.12)可被表示为
Figure BDA0001677864240000038
Figure BDA0001677864240000039
Figure BDA00016778642400000310
Figure BDA00016778642400000311
Figure BDA00016778642400000312
引入无量纲变量及参数：
Figure BDA00016778642400000313
Figure BDA00016778642400000314
Figure BDA00016778642400000315
其中ρ＝ρs+ρf。
将无量纲量代入式(1.13)～(1.17)中可得
Figure BDA00016778642400000316
Figure BDA00016778642400000317
Figure BDA00016778642400000318
Figure BDA00016778642400000319
Figure BDA00016778642400000320
其中
Figure BDA00016778642400000321
对式(1.18)左右两边同时施加算符
Figure BDA00016778642400000322
然后联系式(1.19)、(1.20)后可得
Figure BDA0001677864240000041
Figure BDA0001677864240000042
式中
Figure BDA0001677864240000043
联立式(1.21)、(1.22)后得
Figure BDA0001677864240000044
Figure BDA0001677864240000045
式中
Figure BDA0001677864240000046
对于式(1.24)，采用分离变量法令
Figure BDA0001677864240000047
则有
Figure BDA0001677864240000048
Figure BDA0001677864240000049
式中
Figure BDA00016778642400000410
而式(1.27)、(1.28)的解分别为
Figure BDA00016778642400000411
Figure BDA00016778642400000412
式中A1，A2，B1，B2为待定系数。
则
Figure BDA00016778642400000413
令
Figure BDA00016778642400000414
其中
Figure BDA00016778642400000415
Figure BDA00016778642400000416
式中c1为待定系数。
令
Figure BDA00016778642400000417
由式(1.33)得
Figure BDA00016778642400000418
Figure BDA00016778642400000419
式中
Figure BDA00016778642400000420
而式(1.35)、(1.36)的解分别为
Figure BDA00016778642400000421
Figure BDA0001677864240000051
式中A3，A4，B3，B4为待定系数。则
Figure BDA0001677864240000052
将式(1.34)代入式(1.31)中可得
Figure BDA0001677864240000053
则
Figure BDA0001677864240000054
由式(1.20)可得
Figure BDA0001677864240000055
令
Figure BDA0001677864240000056
其中
Figure BDA0001677864240000057
Figure BDA0001677864240000058
式中c2为待定系数。
令
Figure BDA0001677864240000059
并由式(1.44)可得
Figure BDA00016778642400000510
Figure BDA00016778642400000511
式中
Figure BDA00016778642400000512
而式(1.46)、(1.47)的解分别为
Figure BDA00016778642400000513
Figure BDA00016778642400000514
式中A5，A6，B5，B6为待定系数。则
Figure BDA00016778642400000515
将式(1.45)代入式(1.42)中可得
Figure BDA00016778642400000516
则有
Figure BDA00016778642400000517
令
Figure BDA00016778642400000518
由式(1.26)可得
Figure BDA0001677864240000061
Figure BDA0001677864240000062
式中
Figure BDA0001677864240000063
式(1.53)、(1.54)的解分别为
Figure BDA0001677864240000064
Figure BDA0001677864240000065
式中A7，A8，B7，B8为待定系数。
则
Figure BDA0001677864240000066
由式(1.25)得
Figure BDA0001677864240000067
由式(1.10)得
Figure BDA0001677864240000068
Figure BDA0001677864240000069
Figure BDA00016778642400000610
Figure BDA00016778642400000611
由式(1.23)可得
Figure BDA00016778642400000612
式中
Figure BDA00016778642400000613
在轴对称条件下，应力、位移之间的关系表示为
Figure BDA0001677864240000071
Figure BDA0001677864240000072
则
Figure BDA0001677864240000073
Figure BDA0001677864240000074
此时饱和土满足如下无量纲边界条件：
在径向无穷远处，位移、应力衰减为零，即
Figure BDA0001677864240000075
Figure BDA0001677864240000076
饱和土层表面自由，即
Figure BDA0001677864240000077
在基岩位置处饱和土竖向位移为零，即
Figure BDA0001677864240000078
在桩土接触面处饱和土径向位移为零，即
Figure BDA0001677864240000079
由边界条件式(1.68)可得
A2＝A4＝A6＝A8＝0 (1.72)
由边界条件式(1.70)可得
B2＝B4＝B6＝B7＝0 (1.73)
由边界条件式(1.69)可得
Figure BDA00016778642400000710
则有
β3＝β5＝bn，A3＝A5，B3＝B5 (1.75)
由边界条件式(1.71)可得
E1nbnK1(bn)+E2nc1β1nK1(β1n)+E3nbnK1(β7n)＝0 (1.76)
Figure BDA0001677864240000081
式中E1n＝A3B3，E2n＝A1B1，E3n＝A7B8，β1n＝β1，β7n＝β7。
则由式(1.76)、(1.77)可求得
E1n＝C1nE3n (1.78)
E2n＝C2nE3n (1.79)
式中
Figure BDA0001677864240000082
Figure BDA0001677864240000083
则土骨架位移可表示为级数形式
Figure BDA0001677864240000084
Figure BDA0001677864240000085
1.4基岩竖向运动作用下饱和土自由场的位移求解
对于下卧基岩的饱和土自由场，当基岩以
Figure BDA0001677864240000086
的形式做竖向谐和运动时，饱和土自由场可视为平面应变情况，即有
Figure BDA0001677864240000087
Figure BDA0001677864240000088
则此时饱和土的运动方程可简化为
Figure BDA0001677864240000089
Figure BDA00016778642400000810
Figure BDA00016778642400000811
此刻满足如下无量纲边界条件：
在该土层底部
Figure BDA00016778642400000812
Figure BDA00016778642400000813
在该土层顶部
Figure BDA00016778642400000814
Figure BDA00016778642400000815
根据上述边界条件设
Figure BDA00016778642400000816
的表达式为
Figure BDA00016778642400000817
式中an为待定系数。
由式(1.84)得
Figure BDA00016778642400000818
将式(1.88)代入式(1.85)中得
Figure BDA0001677864240000091
则有
Figure BDA0001677864240000092
将式(1.87)、(1.90)代入式(1.82)、(1.83)中联立可得
Figure BDA0001677864240000093
式中
Figure BDA0001677864240000094
考虑三角函数系列sin(bnz)的正交性质有
Figure BDA0001677864240000095
采用式(1.92)的性质对式(1.91)进行正交化运算后可得
Figure BDA0001677864240000096
至此，两种状态下的饱和土位移均已求得，取二者之和便可得最终状态下的饱和土骨架位移为
Figure BDA0001677864240000097
Figure BDA0001677864240000098
式(1.95)可被重写为
Figure BDA0001677864240000099
式中
Figure BDA00016778642400000910
联立式(1.94)、(1.95)、(1.65)可得
Figure BDA00016778642400000911
式中
Figure BDA00016778642400000912
1.5群桩运动方程及求解
考虑一“i×j”型群桩，任意一根桩将会受到其它桩的影响。根据Nogami的建议，在土-群桩系统中，任意一点处土体的响应近似等于由每一单桩单独引起的相同位置处土体响应的和。由此采用相同的假设，则对于第“i”号桩，其桩周土竖向位移及剪切应力表示为
Figure BDA00016778642400000913
式中
Figure BDA0001677864240000101
Sij为桩i和桩j的间距，且j≠i。n0为桩基数量。
Figure BDA0001677864240000102
式中
Figure BDA0001677864240000103
将桩视为Rayleigh-Love杆，建立桩i的振动方程为
Figure BDA0001677864240000104
以及桩轴力为
Figure BDA0001677864240000105
将式(1.100)、(1.101)进行无量纲化为
Figure BDA0001677864240000106
式中
Figure BDA0001677864240000107
且Real(λ)＞0。
Figure BDA0001677864240000108
式中
Figure BDA0001677864240000109
时间项eiωt此处已被省略。
式(1.102)的齐次方程的解为
Figure BDA00016778642400001010
设式(1.102)的特解为
Figure BDA00016778642400001011
将式(1.105)代入式(1.102)中得
Figure BDA00016778642400001012
则式(1.102)的解为
Figure BDA00016778642400001013
在桩土接触面处，位移保持连续，则由式(1.98)、(1.107)得
Figure BDA00016778642400001014
考虑到函数系
Figure BDA0001677864240000111
的正交性，对式(1.108)进行正交化得
Figure BDA0001677864240000112
式中
Figure BDA0001677864240000113
Figure BDA0001677864240000114
将式(1.109)代入式(1.107)中整理得
Figure BDA0001677864240000115
由于桩顶为刚性承台连接，则桩“i”满足如下无量纲边界条件：
在桩底
Figure BDA0001677864240000116
Figure BDA0001677864240000117
在桩顶
Figure BDA0001677864240000118
Figure BDA0001677864240000119
式中
Figure BDA00016778642400001110
为承台无量纲竖向位移。
则将式(1.110)代入式(1.111)、(1.112)中得
Figure BDA00016778642400001111
式中
Figure BDA00016778642400001112
Figure BDA00016778642400001113
则桩“i”顶的轴力为
Figure BDA00016778642400001114
式中
Figure BDA00016778642400001115
1.6上部结构运动方程及求解
将上部结构视为Rayleigh-Love杆处理，其与桩群之间由刚性承台连接，则上部结构的振动方程被建立为
Figure BDA00016778642400001116
以及轴力为
Figure BDA0001677864240000121
将式(1.115)、(1.116)无量纲化为
Figure BDA0001677864240000122
式中
Figure BDA0001677864240000123
Figure BDA0001677864240000124
且Real(λb)＞0。
Figure BDA0001677864240000125
时间项eiωt此处已被省略。
式(1.117)的解为
Figure BDA0001677864240000126
上部结构满足如下无量纲边界条件：
在结构顶
Figure BDA0001677864240000127
Figure BDA0001677864240000128
式中
Figure BDA0001677864240000129
表示结构顶部受到的无量纲荷载幅值。
在结构底
Figure BDA00016778642400001210
Figure BDA00016778642400001211
将式(1.119)代入式(1.120)、(1.121)中可得
Figure BDA00016778642400001212
Figure BDA00016778642400001213
则结构底部的轴力可表示为
Figure BDA00016778642400001214
式中
Figure BDA00016778642400001215
建立刚性承台的平衡方程为
Figure BDA00016778642400001216
式中
Figure BDA00016778642400001217
为承台的无量纲质量。
联立式(1.114)、(1.124)、(1.125)得
Figure BDA0001677864240000131
由式(1.119)可得上部结构顶端的位移为
Figure BDA0001677864240000132
至此，前述所有的解均已确定。而为有效揭示基岩运动对所考虑系统的影响，可定义承台位移地震放大系数为
Figure BDA0001677864240000133
以及上部结构位移地震放大系数为
Figure BDA0001677864240000134
进一步的，基于所获得的结构位移地震放大系数，探讨相关桩土参数对该系统地震响应的影响规律。
基于饱和土-群桩-上部结构体系在基岩竖向运动作用下的动力响应分析方法，其de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，针对桩-土-上部结构动力相互作用的研究局限于单相土情况，涉及饱和土的很少。由于液相的存在，饱和土和单相土中能量和波的传播和耗散不同，在地震荷载作用下土层对地震波的过滤和放大效应对结构地震响应特性的影响将存在着差异；同时，饱和土地基的刚度和阻尼对桩基和上部结构的承载和变形性态的影响与单相土的情况也不一样。所以，开展饱和土-群桩-上部结构的研究对建筑结构的抗震设计具有重大的实际意义。
附图说明
图1是计算模型的结构示意图。
具体实施方式
1.1力学模型与基本假设
计算模型如图1所示柱坐标系统，一i×j型群桩和一上部结构由刚性承台连接，和桩周饱和土一起构成饱和土-群桩-上部结构相互作用系统。此外，桩和饱和土的底部与刚性基岩紧密连接，该基岩以
Figure BDA0001677864240000135
的形式进行竖向运动(
Figure BDA0001677864240000136
且ω为圆频率)。饱和土和结构的材料参数如表1所示。
表1土和结构材料参数
Figure BDA0001677864240000137
Figure BDA0001677864240000141
1.2饱和土运动方程及求解
采用Boer多孔介质理论描述饱和土的动力学行为，则其运动方程为
Figure BDA0001677864240000142
Figure BDA0001677864240000143
Figure BDA0001677864240000144
式中Sv＝nfρfg/kf为土体的液固耦合系数；us和uf分别表示土骨架和孔隙流体的位移向量，符号上方的点表示其对时间t求导数；pf为孔隙流体压力；▽表示梯度算符。
为得到图1所示饱和土在所规定边界条件下的定解，方便的做法是基于叠加原理，将所考虑问题的解分解为分别对应于惯性相互作用和运动相互作用的解的和。对应于惯性相互作用的解具体为基岩固定，结构运动时土体的解，而运动相互作用对应的解具体为在基岩竖向运动作用下饱和土自由场的解，二者将分别在下面节1.3和1.4中求得。可以证明这样的解仍然满足饱和土的运动方程和总边界条件。
1.3惯性力作用下饱和土的位移求解
通过对饱和土位移进行Helmhotz势函数分解可得
Figure BDA0001677864240000145
式中φs，φf分别表示土骨架和孔隙流体的标量势函数；
Figure BDA0001677864240000146
分别表示土骨架和孔隙流体的矢量势函数。
将式(1.4)代入式(1.1)～(1.3)中整理可得
Figure BDA0001677864240000147
Figure BDA0001677864240000148
Figure BDA0001677864240000151
Figure BDA0001677864240000152
Figure BDA0001677864240000153
考虑所研究问题的轴对称条件，将饱和土位移以分量形式写为
Figure BDA0001677864240000154
式中us，uf分别表示土骨架和孔隙流体的径向位移；ws，wf分别表示土骨架和孔隙流体的竖向位移；
Figure BDA0001677864240000155
分别为矢量势函数
Figure BDA0001677864240000156
的径向分量。
在柱坐标系下，式(1.8)、(1.9)可展开为
Figure BDA0001677864240000157
Figure BDA0001677864240000158
式中
Figure BDA0001677864240000159
表示Laplacian算子。
在谐和振动状态下任一场变量f均满足关系
Figure BDA00016778642400001510
使用上述关系，则式(1.5)、(1.6)、(1.7)、(1.11)、(1.12)可被表示为
Figure BDA00016778642400001511
Figure BDA00016778642400001512
Figure BDA00016778642400001513
Figure BDA00016778642400001514
Figure BDA00016778642400001515
引入无量纲变量及参数：
Figure BDA00016778642400001516
Figure BDA00016778642400001517
Figure BDA00016778642400001518
其中ρ＝ρs+ρf。
将上述无量纲量代入式(1.13)～(1.17)中可得
Figure BDA00016778642400001519
Figure BDA00016778642400001520
Figure BDA00016778642400001521
Figure BDA0001677864240000161
Figure BDA0001677864240000162
其中
Figure BDA0001677864240000163
对式(1.18)左右两边同时施加算符
Figure BDA0001677864240000164
然后联系式(1.19)、(1.20)后可得
Figure BDA0001677864240000165
Figure BDA0001677864240000166
式中
Figure BDA0001677864240000167
联立式(1.21)、(1.22)后可得
Figure BDA0001677864240000168
Figure BDA0001677864240000169
式中
Figure BDA00016778642400001610
对于式(1.24)，采用分离变量法令
Figure BDA00016778642400001611
则有
Figure BDA00016778642400001612
Figure BDA00016778642400001613
式中
Figure BDA00016778642400001614
而式(1.27)、(1.28)的解分别为
Figure BDA00016778642400001615
Figure BDA00016778642400001616
式中A1，A2，B1，B2为待定系数。
则
Figure BDA00016778642400001617
令
Figure BDA00016778642400001618
其中
Figure BDA00016778642400001619
Figure BDA00016778642400001620
式中c1为待定系数。
令
Figure BDA00016778642400001621
由式(1.33)可得
Figure BDA0001677864240000171
Figure BDA0001677864240000172
式中
Figure BDA0001677864240000173
而式(1.35)、(1.36)的解分别为
Figure BDA0001677864240000174
Figure BDA0001677864240000175
式中A3，A4，B3，B4为待定系数。则
Figure BDA0001677864240000176
将式(1.34)代入式(1.31)中可得
Figure BDA0001677864240000177
则
Figure BDA0001677864240000178
由式(1.20)可得
Figure BDA0001677864240000179
令
Figure BDA00016778642400001710
其中
Figure BDA00016778642400001711
Figure BDA00016778642400001712
式中c2为待定系数。
令
Figure BDA00016778642400001713
并由式(1.44)可得
Figure BDA00016778642400001714
Figure BDA00016778642400001715
式中
Figure BDA00016778642400001716
而式(1.46)、(1.47)的解分别为
Figure BDA00016778642400001717
Figure BDA00016778642400001718
式中A5，A6，B5，B6为待定系数。则
Figure BDA00016778642400001719
将式(1.45)代入式(1.42)中可得
Figure BDA0001677864240000181
则有
Figure BDA0001677864240000182
令
Figure BDA0001677864240000183
由式(1.26)可得
Figure BDA0001677864240000184
Figure BDA0001677864240000185
式中
Figure BDA0001677864240000186
式(1.53)、(1.54)的解分别为
Figure BDA0001677864240000187
Figure BDA0001677864240000188
式中A7，A8，B7，B8为待定系数。则
Figure BDA0001677864240000189
由式(1.25)可得
Figure BDA00016778642400001810
由式(1.10)可得
Figure BDA00016778642400001811
Figure BDA00016778642400001812
Figure BDA00016778642400001813
Figure BDA00016778642400001814
由式(1.23)可得
Figure BDA0001677864240000191
式中
Figure BDA0001677864240000192
在轴对称条件下，应力、位移之间的关系可表示为
Figure BDA0001677864240000193
Figure BDA0001677864240000194
则
Figure BDA0001677864240000195
Figure BDA0001677864240000196
此时饱和土满足如下无量纲边界条件：
在径向无穷远处，位移、应力衰减为零，即
Figure BDA0001677864240000197
Figure BDA0001677864240000198
饱和土层表面自由，即
Figure BDA0001677864240000199
在基岩位置处饱和土竖向位移为零，即
Figure BDA00016778642400001910
在桩土接触面处饱和土径向位移为零，即
Figure BDA00016778642400001911
由边界条件式(1.68)可得
A2＝A4＝A6＝A8＝0 (1.72)
由边界条件式(1.70)可得
B2＝B4＝B6＝B7＝0 (1.73)
由边界条件式(1.69)可得
Figure BDA0001677864240000201
则有
β3＝β5＝bn，A3＝A5，B3＝B5 (1.75)
由边界条件式(1.71)可得
E1nbnK1(bn)+E2nc1β1nK1(β1n)+E3nbnK1(β7n)＝0 (1.76)
Figure BDA0001677864240000202
式中E1n＝A3B3，E2n＝A1B1，E3n＝A7B8，β1n＝β1，β7n＝β7。
则由式(1.76)、(1.77)可求得
E1n＝C1nE3n (1.78)
E2n＝C2nE3n (1.79)
式中
Figure BDA0001677864240000203
Figure BDA0001677864240000204
则土骨架位移可表示为级数形式
Figure BDA0001677864240000205
Figure BDA0001677864240000206
1.4基岩竖向运动作用下饱和土自由场的位移求解
对于下卧基岩的饱和土自由场，当基岩以
Figure BDA0001677864240000207
的形式做竖向谐和运动时，饱和土自由场可视为平面应变情况，即有
Figure BDA0001677864240000208
Figure BDA0001677864240000209
则此时饱和土的运动方程可简化为
Figure BDA00016778642400002010
Figure BDA00016778642400002011
Figure BDA00016778642400002012
此刻满足如下无量纲边界条件：
在该土层底部
Figure BDA00016778642400002013
Figure BDA00016778642400002014
在该土层顶部
Figure BDA00016778642400002015
Figure BDA00016778642400002016
根据上述边界条件可设
Figure BDA0001677864240000211
的表达式为
Figure BDA0001677864240000212
式中an为待定系数。
由式(1.84)可得
Figure BDA0001677864240000213
将式(1.88)代入式(1.85)中可得
Figure BDA0001677864240000214
则有
Figure BDA0001677864240000215
将式(1.87)、(1.90)代入式(1.82)、(1.83)中联立可得
Figure BDA0001677864240000216
式中
Figure BDA0001677864240000217
考虑三角函数系列
Figure BDA0001677864240000218
的正交性质有
Figure BDA0001677864240000219
采用式(1.92)的性质对式(1.91)进行正交化运算后可得
Figure BDA00016778642400002110
至此，前述两种状态下的饱和土位移均已求得，取二者之和便可得最终状态下的饱和土骨架位移为
Figure BDA00016778642400002111
Figure BDA00016778642400002112
式(1.95)可被重写为
Figure BDA00016778642400002113
式中
Figure BDA00016778642400002114
联立式(1.94)、(1.95)、(1.65)可得
Figure BDA00016778642400002115
式中
Figure BDA00016778642400002116
1.5群桩运动方程及求解
考虑一“i×j”型群桩，任意一根桩将会受到其它桩的影响。根据Nogami的建议，在土-群桩系统中，任意一点处土体的响应近似等于由每一单桩单独引起的相同位置处土体响应的和。由此采用相同的假设，则对于第“i”号桩，其桩周土竖向位移及剪切应力可表示为
Figure BDA0001677864240000221
式中
Figure BDA0001677864240000222
Sij为桩i和桩j的间距，且j≠i。n0为桩基数量。
Figure BDA0001677864240000223
式中
Figure BDA0001677864240000224
将桩视为Rayleigh-Love杆，建立桩i的振动方程为
Figure BDA0001677864240000225
以及桩轴力为
Figure BDA0001677864240000226
将式(1.100)、(1.101)进行无量纲化为
Figure BDA0001677864240000227
式中
Figure BDA0001677864240000228
且Real(λ)＞0。
Figure BDA0001677864240000229
式中
Figure BDA00016778642400002210
时间项eiωt此处已被省略。
式(1.102)的齐次方程的解为
Figure BDA00016778642400002211
设式(1.102)的特解为
Figure BDA00016778642400002212
将式(1.105)代入式(1.102)中可得
Figure BDA00016778642400002213
则式(1.102)的解为
Figure BDA0001677864240000231
在桩土接触面处，位移保持连续，则由式(1.98)、(1.107)可得
Figure BDA0001677864240000232
考虑到函数系
Figure BDA0001677864240000233
的正交性，对式(1.108)进行正交化可得
Figure BDA0001677864240000234
式中
Figure BDA0001677864240000235
Figure BDA0001677864240000236
将式(1.109)代入式(1.107)中整理可得
Figure BDA0001677864240000237
由于桩顶为刚性承台连接，则桩“i”满足如下无量纲边界条件：
在桩底
Figure BDA0001677864240000238
Figure BDA0001677864240000239
在桩顶
Figure BDA00016778642400002310
Figure BDA00016778642400002311
式中
Figure BDA00016778642400002312
为承台无量纲竖向位移。
则将式(1.110)代入式(1.111)、(1.112)中可得
Figure BDA00016778642400002313
式中
Figure BDA00016778642400002314
Figure BDA00016778642400002315
则桩“i”顶的轴力为
Figure BDA00016778642400002316
式中
Figure BDA00016778642400002317
1.6上部结构运动方程及求解
将上部结构视为Rayleigh-Love杆处理，其与桩群之间由刚性承台连接，则上部结构的振动方程可被建立为
Figure BDA0001677864240000241
以及轴力为
Figure BDA0001677864240000242
将式(1.115)、(1.116)无量纲化为
Figure BDA0001677864240000243
式中
Figure BDA0001677864240000244
Figure BDA0001677864240000245
且Real(λb)＞0。
Figure BDA0001677864240000246
时间项eiωt此处已被省略。
式(1.117)的解为
Figure BDA0001677864240000247
上部结构满足如下无量纲边界条件：
在结构顶
Figure BDA0001677864240000248
Figure BDA0001677864240000249
式中
Figure BDA00016778642400002410
表示结构顶部受到的无量纲荷载幅值。
在结构底
Figure BDA00016778642400002411
Figure BDA00016778642400002412
将式(1.119)代入式(1.120)、(1.121)中可得
Figure BDA00016778642400002413
Figure BDA00016778642400002414
则结构底部的轴力可表示为
Figure BDA00016778642400002415
式中
Figure BDA00016778642400002416
建立刚性承台的平衡方程为
Figure BDA00016778642400002417
式中
Figure BDA0001677864240000251
为承台的无量纲质量。
联立式(1.114)、(1.124)、(1.125)可得
Figure BDA0001677864240000252
由式(1.119)可得上部结构顶端的位移为
Figure BDA0001677864240000253
至此，前述所有的解均已确定。而为有效揭示基岩运动对所考虑系统的影响，可定义承台位移地震放大系数为
Figure BDA0001677864240000254
以及上部结构位移地震放大系数为
Figure BDA0001677864240000255
进一步的，基于所获得的结构位移地震放大系数，探讨相关桩土参数对该系统地震响应的影响规律。
基于饱和土-群桩-上部结构体系在基岩竖向运动作用下的动力响应分析方法，其de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，针对桩-土-上部结构动力相互作用的研究局限于单相土情况，涉及饱和土的很少。由于液相的存在，饱和土和单相土中能量和波的传播和耗散不同，在地震荷载作用下土层对地震波的过滤和放大效应对结构地震响应特性的影响将存在着差异；同时，饱和土地基的刚度和阻尼对桩基和上部结构的承载和变形性态的影响与单相土的情况也不一样。所以，开展饱和土-群桩-上部结构的研究对建筑结构的抗震设计具有重大的实际意义。

Claims (1)

1.饱和土-群桩-上部结构体系的动力响应分析方法，其特征在于：该方法的实现步骤如下，
1.1力学模型与基本假设
一i×j型群桩和一上部结构由刚性承台连接，和桩周饱和土一起构成饱和土-群桩-上部结构相互作用系统；此外，桩和饱和土的底部与刚性基岩紧密连接，该基岩以
Figure FDA0001677864230000011
的形式进行竖向运动，
Figure FDA0001677864230000012
且ω为圆频率；饱和土和结构的材料参数如表1所示；
表1 土和结构材料参数
Figure FDA0001677864230000013
1.2饱和土运动方程及求解
采用Boer多孔介质理论描述饱和土的动力学行为，则其运动方程为
Figure FDA0001677864230000014
Figure FDA0001677864230000015
Figure FDA0001677864230000016
式中Sv＝nfρfg/kf为土体的液固耦合系数；us和uf分别表示土骨架和孔隙流体的位移向量，符号上方的点表示其对时间t求导数；pf为孔隙流体压力；▽表示梯度算符；
为得到饱和土在所规定边界条件下的定解，方便的做法是基于叠加原理，将所考虑问题的解分解为分别对应于惯性相互作用和运动相互作用的解的和；对应于惯性相互作用的解具体为基岩固定，结构运动时土体的解，而运动相互作用对应的解具体为在基岩竖向运动作用下饱和土自由场的解，二者将分别在下面步骤1.3和步骤1.4中求得；证明这样的解仍然满足饱和土的运动方程和总边界条件；
1.3惯性力作用下饱和土的位移求解
通过对饱和土位移进行Helmhotz势函数分解得
Figure FDA0001677864230000017
式中φs，φf分别表示土骨架和孔隙流体的标量势函数；
Figure FDA0001677864230000018
分别表示土骨架和孔隙流体的矢量势函数；
将式(1.4)代入式(1.1)～(1.3)中整理得
Figure FDA0001677864230000021
Figure FDA0001677864230000022
Figure FDA0001677864230000023
Figure FDA0001677864230000024
Figure FDA0001677864230000025
考虑所研究问题的轴对称条件，将饱和土位移以分量形式写为
Figure FDA0001677864230000026
式中us，uf分别表示土骨架和孔隙流体的径向位移；ws，wf分别表示土骨架和孔隙流体的竖向位移；
Figure FDA00016778642300000219
分别为矢量势函数
Figure FDA00016778642300000220
的径向分量；
在柱坐标系下，式(1.8)、(1.9)可展开为
Figure FDA0001677864230000027
Figure FDA0001677864230000028
式中
Figure FDA0001677864230000029
表示Laplacian算子；
在谐和振动状态下任一场变量f均满足关系
Figure FDA00016778642300000210
使用上述关系，则式(1.5)、(1.6)、(1.7)、(1.11)、(1.12)可被表示为
Figure FDA00016778642300000211
Figure FDA00016778642300000212
Figure FDA00016778642300000213
Figure FDA00016778642300000214
Figure FDA00016778642300000215
引入无量纲变量及参数：
Figure FDA00016778642300000216
Figure FDA00016778642300000217
Figure FDA00016778642300000218
其中ρ＝ρs+ρf；
将无量纲量代入式(1.13)～(1.17)中可得
Figure FDA0001677864230000031
Figure FDA0001677864230000032
Figure FDA0001677864230000033
Figure FDA0001677864230000034
Figure FDA0001677864230000035
其中
Figure FDA0001677864230000036
对式(1.18)左右两边同时施加算符
Figure FDA0001677864230000037
然后联系式(1.19)、(1.20)后可得
Figure FDA0001677864230000038
Figure FDA0001677864230000039
式中
Figure FDA00016778642300000310
联立式(1.21)、(1.22)后得
Figure FDA00016778642300000311
Figure FDA00016778642300000312
式中
Figure FDA00016778642300000313
对于式(1.24)，采用分离变量法令
Figure FDA00016778642300000314
则有
Figure FDA00016778642300000315
Figure FDA00016778642300000316
式中
Figure FDA00016778642300000317
而式(1.27)、(1.28)的解分别为
Figure FDA00016778642300000318
Figure FDA00016778642300000319
式中A1，A2，B1，B2为待定系数；
则
Figure FDA00016778642300000320
令
Figure FDA00016778642300000321
其中
Figure FDA0001677864230000041
Figure FDA0001677864230000042
式中c1为待定系数；
令
Figure FDA0001677864230000043
由式(1.33)得
Figure FDA0001677864230000044
Figure FDA0001677864230000045
式中
Figure FDA0001677864230000046
而式(1.35)、(1.36)的解分别为
Figure FDA0001677864230000047
Figure FDA0001677864230000048
式中A3，A4，B3，B4为待定系数；
则
Figure FDA0001677864230000049
将式(1.34)代入式(1.31)中可得
Figure FDA00016778642300000410
则
Figure FDA00016778642300000411
由式(1.20)可得
Figure FDA00016778642300000412
令
Figure FDA00016778642300000413
其中
Figure FDA00016778642300000414
Figure FDA00016778642300000415
式中c2为待定系数；
令
Figure FDA00016778642300000416
并由式(1.44)可得
Figure FDA00016778642300000417
Figure FDA00016778642300000418
式中
Figure FDA00016778642300000419
而式(1.46)、(1.47)的解分别为
Figure FDA00016778642300000420
Figure FDA0001677864230000051
式中A5，A6，B5，B6为待定系数；
则
Figure FDA0001677864230000052
将式(1.45)代入式(1.42)中可得
Figure FDA0001677864230000053
则有
Figure FDA0001677864230000054
令
Figure FDA0001677864230000055
由式(1.26)可得
Figure FDA0001677864230000056
Figure FDA0001677864230000057
式中
Figure FDA0001677864230000058
式(1.53)、(1.54)的解分别为
Figure FDA0001677864230000059
Figure FDA00016778642300000510
式中A7，A8，B7，B8为待定系数；
则
Figure FDA00016778642300000511
由式(1.25)得
Figure FDA00016778642300000512
由式(1.10)得
Figure FDA00016778642300000513
Figure FDA00016778642300000514
Figure FDA00016778642300000515
Figure FDA0001677864230000061
由式(1.23)可得
Figure FDA0001677864230000062
式中
Figure FDA0001677864230000063
在轴对称条件下，应力、位移之间的关系表示为
Figure FDA0001677864230000064
Figure FDA0001677864230000065
则
Figure FDA0001677864230000066
Figure FDA0001677864230000067
此时饱和土满足如下无量纲边界条件：
在径向无穷远处，位移、应力衰减为零，即
Figure FDA0001677864230000068
Figure FDA00016778642300000611
饱和土层表面自由，即
Figure FDA0001677864230000069
在基岩位置处饱和土竖向位移为零，即
Figure FDA00016778642300000610
在桩土接触面处饱和土径向位移为零，即
Figure FDA0001677864230000071
由边界条件式(1.68)可得
A2＝A4＝A6＝A8＝0 (1.72)
由边界条件式(1.70)可得
B2＝B4＝B6＝B7＝0 (1.73)
由边界条件式(1.69)可得
Figure FDA0001677864230000072
则有
β3＝β5＝bn，A3＝A5，B3＝B5 (1.75)
由边界条件式(1.71)可得
E1nbnK1(bn)+E2nc1β1nK1(β1n)+E3nbnK1(β7n)＝0 (1.76)
Figure FDA0001677864230000073
式中E1n＝A3B3，E2n＝A1B1，E3n＝A7B8，β1n＝β1，β7n＝β7；
则由式(1.76)、(1.77)可求得
E1n＝C1nE3n (1.78)
E2n＝C2nE3n (1.79)
式中
Figure FDA0001677864230000074
Figure FDA0001677864230000075
则土骨架位移可表示为级数形式
Figure FDA0001677864230000076
Figure FDA0001677864230000077
1.4基岩竖向运动作用下饱和土自由场的位移求解
对于下卧基岩的饱和土自由场，当基岩以
Figure FDA0001677864230000078
的形式做竖向谐和运动时，饱和土自由场可视为平面应变情况，即有
Figure FDA0001677864230000079
Figure FDA00016778642300000710
则此时饱和土的运动方程可简化为
Figure FDA00016778642300000711
Figure FDA00016778642300000712
Figure FDA00016778642300000713
此刻满足如下无量纲边界条件：
在该土层底部
Figure FDA0001677864230000081
Figure FDA0001677864230000082
在该土层顶部
Figure FDA0001677864230000083
Figure FDA0001677864230000084
根据上述边界条件设
Figure FDA0001677864230000085
的表达式为
Figure FDA0001677864230000086
式中an为待定系数；
由式(1.84)得
Figure FDA0001677864230000087
将式(1.88)代入式(1.85)中得
Figure FDA0001677864230000088
则有
Figure FDA0001677864230000089
将式(1.87)、(1.90)代入式(1.82)、(1.83)中联立可得
Figure FDA00016778642300000810
式中
Figure FDA00016778642300000811
考虑三角函数系列
Figure FDA00016778642300000812
的正交性质有
Figure FDA00016778642300000813
采用式(1.92)的性质对式(1.91)进行正交化运算后可得
Figure FDA00016778642300000814
至此，两种状态下的饱和土位移均已求得，取二者之和便可得最终状态下的饱和土骨架位移为
Figure FDA00016778642300000815
Figure FDA00016778642300000816
式(1.95)可被重写为
Figure FDA00016778642300000817
式中
Figure FDA0001677864230000091
联立式(1.94)、(1.95)、(1.65)可得
Figure FDA0001677864230000092
式中
Figure FDA0001677864230000093
1.5群桩运动方程及求解
考虑一“i×j”型群桩，任意一根桩将会受到其它桩的影响；根据Nogami的建议，在土-群桩系统中，任意一点处土体的响应近似等于由每一单桩单独引起的相同位置处土体响应的和；由此采用相同的假设，则对于第“i”号桩，其桩周土竖向位移及剪切应力表示为
Figure FDA0001677864230000094
式中
Figure FDA0001677864230000095
Sij为桩i和桩j的间距，且j≠i；n0为桩基数量；
Figure FDA0001677864230000096
式中
Figure FDA0001677864230000097
j≠i；
将桩视为Rayleigh-Love杆，建立桩i的振动方程为
Figure FDA0001677864230000098
以及桩轴力为
Figure FDA0001677864230000099
将式(1.100)、(1.101)进行无量纲化为
Figure FDA00016778642300000910
式中
Figure FDA00016778642300000911
且Real(λ)＞0；
Figure FDA00016778642300000912
式中
Figure FDA00016778642300000913
时间项eiωt此处已被省略；
式(1.102)的齐次方程的解为
Figure FDA00016778642300000914
设式(1.102)的特解为
Figure FDA0001677864230000101
将式(1.105)代入式(1.102)中得
Figure FDA0001677864230000102
则式(1.102)的解为
Figure FDA0001677864230000103
在桩土接触面处，位移保持连续，则由式(1.98)、(1.107)得
Figure FDA0001677864230000104
考虑到函数系
Figure FDA0001677864230000105
的正交性，对式(1.108)进行正交化得
Figure FDA0001677864230000106
式中
Figure FDA0001677864230000107
Figure FDA0001677864230000108
将式(1.109)代入式(1.107)中整理得
Figure FDA0001677864230000109
由于桩顶为刚性承台连接，则桩“i”满足如下无量纲边界条件：
在桩底
Figure FDA00016778642300001010
Figure FDA00016778642300001011
在桩顶
Figure FDA00016778642300001012
Figure FDA00016778642300001013
式中
Figure FDA00016778642300001014
为承台无量纲竖向位移；
则将式(1.110)代入式(1.111)、(1.112)中得
Figure FDA00016778642300001015
式中
Figure FDA00016778642300001016
Figure FDA0001677864230000111
则桩“i”顶的轴力为
Figure FDA0001677864230000112
式中
Figure FDA0001677864230000113
1.6上部结构运动方程及求解
将上部结构视为Rayleigh-Love杆处理，其与桩群之间由刚性承台连接，则上部结构的振动方程被建立为
Figure FDA0001677864230000114
以及轴力为
Figure FDA0001677864230000115
将式(1.115)、(1.116)无量纲化为
Figure FDA0001677864230000116
式中
Figure FDA0001677864230000117
Figure FDA0001677864230000118
且Real(λb)＞0；
Figure FDA0001677864230000119
时间项eiωt此处已被省略；
式(1.117)的解为
Figure FDA00016778642300001110
上部结构满足如下无量纲边界条件：
在结构顶
Figure FDA00016778642300001111
Figure FDA00016778642300001112
式中
Figure FDA00016778642300001113
表示结构顶部受到的无量纲荷载幅值；
在结构底
Figure FDA00016778642300001114
Figure FDA00016778642300001115
将式(1.119)代入式(1.120)、(1.121)中可得
Figure FDA00016778642300001116
Figure FDA0001677864230000121
则结构底部的轴力可表示为
Figure FDA0001677864230000122
式中
Figure FDA0001677864230000123
建立刚性承台的平衡方程为
Figure FDA0001677864230000124
式中
Figure FDA0001677864230000125
为承台的无量纲质量；
联立式(1.114)、(1.124)、(1.125)得
Figure FDA0001677864230000126
由式(1.119)可得上部结构顶端的位移为
Figure FDA0001677864230000127
至此，前述所有的解均已确定；而为有效揭示基岩运动对所考虑系统的影响，可定义承台位移地震放大系数为
Figure FDA0001677864230000128
以及上部结构位移地震放大系数为
Figure FDA0001677864230000129
基于所获得的结构位移地震放大系数，探讨相关桩土参数对该系统地震响应的影响规律。
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CN107506564A (zh) * 2017-10-13 2017-12-22 北京工业大学 考虑竖向波动效应径向非均质土中桩纵向振动分析方法

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