CN108638060B - 多自由度机器人参数标定中冗余参数分析剔除方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多自由度机器人参数标定中冗余参数分析剔除方法，采用DH模型为连杆建立连体坐标系，输入多自由度机器人运动学参数后，计算雅克比矩阵并对其列向量相关性进行分析，得到冗余参数表。将冗余参数表中的冗余参数分为三类，分别为独立参数、相关参数和不起作用参数，剔除第三类冗余参数与系数较大的第二类冗余参数，保留其余参数作为剩余参数并输出，即可完成冗余参数的剔除过程。对于任意多自由度机器人的DH参数，可以通过该法发明得到其冗余参数表，并在参数识别模型中直接剔除冗余参数，该方法简单直观，并可在后续标定中取得更好的收敛性与精确性。

Description

多自由度机器人参数标定中冗余参数分析剔除方法

技术领域

本发明涉及一种多自由度机器人参数标定方法中冗余参数分析方法，该种标定方法通过建立末端位置误差识别模型，识别DH运动学参数并进行冗余参数分析，提出了冗余参数剔除方法，增加了模型参数辨识的鲁棒性，保证了机器人参数标定的可靠性，提高了机器人的定位精度，具有较好的实用性。

背景技术

近年来，移动机械臂的研究逐渐受到重视，因其兼有机械臂的操作灵活性和移动机器人的可移动性，应用领域和前景非常广泛，如反恐排爆、废墟救援等。相较一般工业机械臂重复定位的定位方式，移动机械臂的定位方式为绝对定位，依赖于精确的运动学模型[参见：Mads Hvilshoj，Simon Bogh，et a1.Autonomous Industrial MobileManipulation(A1MM)：Past，Present and Future[J].Industrial Robot—AnInternational Journal。2012，39(2)：120—135.]。可采用标定的方法，来获得精确的运动学模型。

根据标定方法的不同，运动学标定可细分为基于运动学模型的参数标定，机器人自标定以及基于神经网络的正、逆标定。采用基于运动学D-H参数模型进行标定[参见：Dean—Leon.E，Nair.S，et a1.User Friendly Matlab—Toolbox for Symbolic RobotDynamic Modeling used for Control Design[A].Robotics and Biomimetics(ROBl0).2012of IEEE International Conference on[C].2181—2188.]，主要有以下两类。

首先是基于误差模型的方法，即推导出机械臂末端位姿误差与D-H参数误差之间的微分关系，将微分方程线性化得到线性方程组，通过解方程组得到D-H参数误差，优点是测量数据少、实时性好，缺点是公式复杂、存在收敛性问题，且依赖于机械臂关节角的准确性。

其次是基于几何分析的方法，从D-H参数的几何意义出发，测量并拟合关节旋转轴，进而构建D-H坐标系，最后解析D-H参数，优点是测量数据具有完备性、无收敛性问题。缺点是测量工作量大。

对于几何方法的改进，邓启文等人在使用激光跟踪器标定机械臂D-H参数时，提出了一种通过旋转测点和作图来建立机械臂D-H参数的方法。这种测量方法的基本原理是由一个圆上多余三个的点就可以确定圆的圆心，进而可以约定通过圆心并垂直于圆所在平面的垂线。通过该方法依次得到各关节的D-H坐标系，从而得到机械臂的DH参数。

常见的基于位姿和基于位置的机器人几何参数标定模型都涉及到测量坐标系和机器人坐标系之间的转化问题。转换过程会引入坐标系的转换误差，导致问题复杂化。对于机器人在空间中任意两个不同位置，虽然它们在测量坐标系和机器人坐标系中的坐标值是不同的，但是在两个坐标系中的距离长度是相同的。由此引入距离误差来表征机器人的精度，则在参数标定过程中就可以避免测量结果在两个坐标系间的坐标变换，使原测量系统的测量精度得到充分利用。基于距离误差概念，高文斌等人给出了一种指数积形式的机器人运动学参数标定模型。指数积形式的标定模型相较基于D-H法的标定模型具有两个方面的优点：(1)指数积模型实现了转动关节和移动关节的统一描述，具有更好的通用性；(2)当相邻关节轴线接近平行时，运动学模型相对关节运动是光滑变化的，不会出现奇异性问题[引证：高文斌，王洪光，姜勇，等。基于距离误差的机器人运动学参数标定方法[J].机器人，2013，35(5)：600—606.]。

在冗余参数的处理方面，目前常见的处理方法是在所有的参数中，随意剔除参数至能够使雅克比矩阵满秩。在蔡肖肖的研究中[引证：[12]蔡肖肖.UR5型机器人的运动学分析与标定实验研究[D].浙江理工大学,2016.]，对UR5型机器人进行冗余性分析，找到线性相关的D-H结构参数，在两组线性相关的参数中随意剔除两个参数，并未给出明确的剔除依据。在张虎的研究中[引证：[13]张虎.面向标定的工业机器人建模及参数辨识方法研究[D].哈尔滨工业大学,2015.]，对OTC工业机器人进行D-H参数的冗余性分析，将结构参数分为3大类：独立参数(表现为系数矩阵的列与其他列不相关)，相关参数(表现为系数矩阵的列与其他列成线性关系)以及不起作用的参数(即系数矩阵中为零的列，其参数对于机器人末端位置不起作用)。在参数剔除时，将不相关的参数全部剔除，对线性相关的参数保留剩余参数，使得雅可比矩阵满秩，可以进行参数标定。

发明内容

本发明针对上述技术问题，提出一种多自由度机器人参数标定方法中冗余参数分析方法，该种标定方法通过建立末端位置误差识别模型，识别DH运动学参数并进行冗余参数分析，提出了冗余参数剔除方法，增加了模型参数辨识的鲁棒性，保证了机器人参数标定的可靠性，提高了机器人的定位精度，具有较好的实用性。

为达到以上目的，通过以下技术方案实现的：

多自由度机器人参数标定中冗余参数分析剔除方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、输入多自由度机器人参数：

采用D-H模型为连杆建立连体坐标系，模拟连杆模型；

记第i号连杆L_i的连体坐标系为O_i-x_iy_iz_i，各参数定义如下：

a_i＝z_i轴、z_i+1轴沿x_i的距离；

α_i＝z_i轴、z_i+1轴绕x_i轴的夹角；

d_i＝x_i-1轴、x_i轴沿z_i轴的距离；

θ_i＝x_i-1轴、x_i轴之间绕z_i轴的夹角。

两个相邻坐标系O_i-1-x_i-1y_i-1z_i-1、O_i-x_iy_iz_i之间齐次变换矩阵为

基座和末端探测中心点的变换矩阵分别为：

因此末端探测中心点与惯性系的齐次变换矩阵为

式中：n，o，a——机器人末端执行器姿态向量；

P——机器人末端只想起位置向量；

M的第4列决定了末端探测点在惯性坐标系中的位置，末端位置记作R；

R＝F(x₀,y₀,z₀,a_i,α_i,d_i,θ_i,x_t,y_t,z_t) (4)

n个自由度机械臂共有4n个DH参数，还有基座与末端x₀,y₀,z₀,x_t,y_t,z_t6个参数，一共有4n+6个运动学参数；故对于n个自由度的机械臂，需要输入4n+6个参数；

步骤二、雅可比矩阵计算：

D-H参数的公称值与实际机器人相应的真实参数值存在着微小偏差：a_i,α_i,d_i以及x₀,y₀,z₀，x_t,y_t,z_t由于存在生产和装配工艺误差，是恒量偏差；而θ_i存在着码盘的零点偏差，也为恒量；因此末端实际位置为

R＝F(q₁+Vq₁,L,q_i+Vq_i,L,q_N+Vq_N)(5)

其中q_i为运动学模型结构参数，与需要输入的参数数量相同，设为n个；可以将式(5)线性表示为

其中R为实测值，F为理论计算值，可以将式(7)写成矩阵形式：

J·ΔQ＝ΔR (8)

根据式(6)(7)(8)可以得到空间任意位置R_j的方程，以及位置误差ΔR_j的方程：

在三维空间中，ΔR是3×1的矩阵，ΔQ是n×1的矩阵，雅克比矩阵J为3×n矩阵。

如果有N个测量点，则J为(3×N)×n的矩阵，ΔR是(3×N)×1的矩阵；可以得到式(10)：

[J^T·J]·ΔQ＝J^T·ΔR (10)

只要保证N取得足够大，就可以利用最小二乘法求得ΔQ的最佳值。

ΔQ＝(J^T·J)^-1·J^T·ΔR (11)

将计算得到的ΔQ回代到式(5)，得到一组新的运动学参数，重新求解误差，代入(10)～(11)式，直到ΔR足够小为止；

利用该步骤中(8)与(9)式得到的雅克比矩阵J将在后续步骤中进行列向量的相关性分析，从而得到各参数之间的线性关系；

步骤三、雅可比矩阵列向量线性相关性分析：

机器人末端位置误差模型的雅克比矩阵J有如下表示：

J＝[J_base,J₁,J₂,J₃,J₄,J₅,J₆,J₇,J_tool](12)

由式(7)可以得到关节i的雅克比矩阵J：

其中E₄是对M矩阵取第四列的变换矩阵。

相邻关节的雅克比矩阵J由下式表示：

令其中

可将式(15)简化后可表示为：

因为

中没有与i-1关节和i关节相关的运动学参数，因此[J_i-1,J_i]列满秩与[T_i-1·G,T_i·G]相同；

若要[J_i-1,J_i]列满秩，则必须满足下列条件：

同样，[T_i-1·G,T_i·G]列满秩也满足式(19)，将[T_i-1·G,T_i·G]代入式(19)方程组，可得到以下结论：

(1)若α_i-1≠0°，则k_i＝0(i＝1,2,3…8)，此时[J_i-1,J_i]列满秩，此时相邻关节轴线不平行，不存在冗余参数；

(2)若α_i-1＝0°，且a_i-1≠0，则k_1,3,4,5,7,8＝0且k₂＝k₆，此时

相邻两关节轴线方向只平行不共线，沿z_i-1轴平移d_i-1和沿z_i轴平移d_i对末端位置会产生相同的影响；此时Δd_i-1与Δd_i为线性相关参数；

(3)若α_i-1＝0°，且a_i-1＝0，则k_1,3,5,7＝0，且k₂＝k₆，k₄＝k₈，此时

相邻两关节轴线方向不仅平行且共线，沿z_i-1轴转动θ_i-1和沿z_i轴转动θ_i对末端位置会产生相同的影响；此时Δθ_i-1与Δθ_i为线性相关参数；

(4)仅对基座位置，分析结果如下：

d.无特殊情况,有

e.若α₀＝0°，

f.若α₀＝±90°，

(5)仅对末端位置，分析结果如下：

e.无特殊情况,有

f.若x_t＝y_t＝0，

g.若x_t＝y_t＝0，且α_N-2＝0°,α_N-1＝±90°

h.若x_t＝y_t＝0,且α_N-2＝±90°,α_N-1＝±90°

给定任一多自由度机械臂，可以根据下表得到线性相关的参数关系；

J列相关性分析

步骤四、参数分类：

DH运动学模型在进行标定参数辨识过程中，有以下缺陷：

(1)4个参数容易相互耦合，导致结构参数线性相关，不易辨识；

(2)相邻连杆轴线近似平行时，容易产生奇异问题。

说明D-H模型参数容易存在线性相关问题，误差模型存在冗余性。若误差模型存在大量的冗余参数，会导致系数矩阵的秩是亏损的，从而使方程条件数趋于无穷大，造成辨识结果偏差较大。因此有必要在参数辨识前对误差模型进行冗余参数分析，从而提高参数辨识的准确性及鲁棒性。

在进行冗余性分析时，需要对冗余参数进行取舍，将ΔQ参数分为以下三类：

1.独立参数：表现为系数矩阵的列与其他列不相关；

2.相关参数：表现为系数矩阵的列与其他列成线性关系；

3.不起作用的参数：系数矩阵中为零的列，其参数对末端位置不起作用。

其中第一类参数独立，第二类与第三类均为非独立参数，按照以上参数分类方法，利用步骤三中得到的参数的线性关系，3D模型的冗余参数分类如下表所示：

3D模型冗余参数表

步骤五、冗余参数剔除方法：

利用步骤四的参数分类结果，可以进行参数剔除，第三类冗余参数为不起作用参数，直接剔除；第二类参数需剔除部分参数，保留剩余独立参数；剔除参数和保留剩余独立参数的选取是否会对标定结果产生影响需作进一步讨论；

第二类冗余参数系数矩阵一般具有以下关系：

在参数识别模型中

将式(20)带入式(21)中

此时剩余的独立参数为Δx₂、Δx₃，剔除冗余参数为Δx₁，实际参与标定的参数值变为Δx₂′和Δx₃′

剩余独立参数中包含了剔除冗余参数的误差；当|λ₁|较大时，

均较小，Δx₁的扰动对Δx₂′和Δx₃′影响较小；若|λ₁|较小时，

Δx₁的扰动对Δx₂′和Δx₃′影响较大；

因此对于第二类冗余参数，剔除系数矩阵关系前系数|λ_i|最大的冗余参数，保留系数|λ_i|小的作为剩余独立参数；在全部参数中剔除第三类冗余参数与矩阵关系前系数|λ_i|最大的第二类冗余参数，保留剩余参数并输出，即可完成冗余参数剔除。

采用上述技术方案的本发明，优点在于：

1、在基于D-H参数的冗余参数剔除时，将冗余参数进行分类，并通过解析推导给出了明确的剔除方法。对于任意多自由度机器人的DH参数，可以通过表格得出其冗余参数表，并在参数识别模型中直接剔除冗余参数。

2、通过冗余参数分析与剔除。增加了模型参数辨识的鲁棒性，保证了机器人参数标定的可靠性，提高了机器人的定位精度，具有较好的实用性。

3、该种剔除方式简单直观，易于向工业生产中推广，并且通过此方法进行冗余性参数分析后，可以在后续标定计算中收敛性更好，标定结果更精确。

上述说明仅是本发明技术方案的概述，为了能够更清楚了解本发明的技术手段，而可依照说明书的内容予以实施，并且为了让本发明的上述和其他目的、特征和优点能够更明显易懂，以下特举较佳实施例，并配合附图，详细说明如下。

附图说明

本发明共1幅附图,其中：

图1为本发明的流程图。

具体实施方式

如图1所示的一种多自由度机器人参数标定中冗余参数分析剔除方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、输入多自由度机器人参数：

采用D-H模型为连杆建立连体坐标系，模拟连杆模型；

记第i号连杆L_i的连体坐标系为O_i-x_iy_iz_i，各参数定义如下：

a_i＝z_i轴、z_i+1轴沿x_i的距离；

α_i＝z_i轴、z_i+1轴绕x_i轴的夹角；

d_i＝x_i-1轴、x_i轴沿z_i轴的距离；

θ_i＝x_i-1轴、x_i轴之间绕z_i轴的夹角。

两个相邻坐标系O_i-1-x_i-1y_i-1z_i-1、O_i-x_iy_iz_i之间齐次变换矩阵为

基座和末端探测中心点的变换矩阵分别为：

因此末端探测中心点与惯性系的齐次变换矩阵为

式中：n，o，a——机器人末端执行器姿态向量；

P——机器人末端只想起位置向量；

M的第4列决定了末端探测点在惯性坐标系中的位置，末端位置记作R；

R＝F(x₀,y₀,z₀,a_i,α_i,d_i,θ_i,x_t,y_t,z_t) (4)

n个自由度机械臂共有4n个DH参数，还有基座与末端x₀,y₀,z₀,x_t,y_t,z_t 6个参数，一共有4n+6个运动学参数；故对于n个自由度的机械臂，需要输入4n+6个参数；

步骤二、雅可比矩阵计算：

D-H参数的公称值与实际机器人相应的真实参数值存在着微小偏差：a_i,α_i,d_i以及x₀,y₀,z₀，x_t,y_t,z_t由于存在生产和装配工艺误差，是恒量偏差；而θ_i存在着码盘的零点偏差，也为恒量；因此末端实际位置为

R＝F(q₁+Vq₁,L,q_i+Vq_i,L,q_N+Vq_N) (5)

其中q_i为运动学模型结构参数，与需要输入的参数数量相同，设为n个；可以将式(5)线性表示为

其中R为实测值，F为理论计算值，可以将式(7)写成矩阵形式：

J·ΔQ＝ΔR (8)

根据式(6)(7)(8)可以得到空间任意位置R_j的方程，以及位置误差ΔR_j的方程：

在三维空间中，ΔR是3×1的矩阵，ΔQ是n×1的矩阵，雅克比矩阵J为3×n矩阵。

如果有N个测量点，则J为(3×N)×n的矩阵，ΔR是(3×N)×1的矩阵；可以得到式(10)：

[J^T·J]·ΔQ＝J^T·ΔR (10)

只要保证N取得足够大，就可以利用最小二乘法求得ΔQ的最佳值。

ΔQ＝(J^T·J)^-1·J^T·ΔR (11)

将计算得到的ΔQ回代到式(5)，得到一组新的运动学参数，重新求解误差，代入(10)～(11)式，直到ΔR足够小为止；

利用该步骤中(8)与(9)式得到的雅克比矩阵J将在后续步骤中进行列向量的相关性分析，从而得到各参数之间的线性关系；

步骤三、雅可比矩阵列向量线性相关性分析：

机器人末端位置误差模型的雅克比矩阵J有如下表示：

J＝[J_base,J₁,J₂,J₃,J₄,J₅,J₆,J₇,J_tool] (12)

由式(7)可以得到关节i的雅克比矩阵J：

其中E₄是对M矩阵取第四列的变换矩阵。

相邻关节的雅克比矩阵J由下式表示：

令其中

可将式(15)简化后可表示为：

因为

中没有与i-1关节和i关节相关的运动学参数，因此[J_i-1,J_i]列满秩与[T_i-1·G,T_i·G]相同；

若要[J_i-1,J_i]列满秩，则必须满足下列条件：

同样，[T_i-1·G,T_i·G]列满秩也满足式(19)，将[T_i-1·G,T_i·G]代入式(19)方程组，可得到以下结论：

(1)若α_i-1≠0°，则k_i＝0(i＝1,2,3…8)，此时[J_i-1,J_i]列满秩，此时相邻关节轴线不平行，不存在冗余参数；

(2)若α_i-1＝0°，且a_i-1≠0，则k_1,3,4,5,7,8＝0且k₂＝k₆，此时

相邻两关节轴线方向只平行不共线，沿z_i-1轴平移d_i-1和沿z_i轴平移d_i对末端位置会产生相同的影响；此时Δd_i-1与Δd_i为线性相关参数；

(3)若α_i-1＝0°，且a_i-1＝0，则k_1,3,5,7＝0，且k₂＝k₆，k₄＝k₈，此时

相邻两关节轴线方向不仅平行且共线，沿z_i-1轴转动θ_i-1和沿z_i轴转动θ_i对末端位置会产生相同的影响；此时Δθ_i-1与Δθ_i为线性相关参数；

(4)仅对基座位置，分析结果如下：

g.无特殊情况,有

h.若α₀＝0°，

i.若α₀＝±90°，

(5)仅对末端位置，分析结果如下：

i.无特殊情况,有

j.若x_t＝y_t＝0，

k.若x_t＝y_t＝0，且α_N-2＝0°,α_N-1＝±90°

l.若x_t＝y_t＝0,且α_N-2＝±90°,α_N-1＝±90°

给定任一多自由度机械臂，可以根据下表得到线性相关的参数关系；

J列相关性分析

步骤四、参数分类：

在进行冗余性分析时，需要对冗余参数进行取舍，将ΔQ参数分为以下三类：

1.独立参数：表现为系数矩阵的列与其他列不相关；

2.相关参数：表现为系数矩阵的列与其他列成线性关系；

3.不起作用的参数：系数矩阵中为零的列，其参数对末端位置不起作用。

其中第一类参数独立，第二类与第三类均为非独立参数，按照以上参数分类方法，利用步骤三中得到的参数的线性关系，3D模型的冗余参数分类如下表所示：

3D模型冗余参数表

步骤五、冗余参数剔除方法：

利用步骤四的参数分类结果，可以进行参数剔除，第三类冗余参数为不起作用参数，直接剔除；第二类参数需剔除部分参数，保留剩余独立参数；剔除参数和保留剩余独立参数的选取是否会对标定结果产生影响需作进一步讨论；

第二类冗余参数系数矩阵一般具有以下关系：

在参数识别模型中

将式(20)带入式(21)中

此时剩余的独立参数为Δx₂、Δx₃，剔除冗余参数为Δx₁，实际参与标定的参数值变为Δx₂′和Δx₃′

剩余独立参数中包含了剔除冗余参数的误差；当|λ₁|较大时，

均较小，Δx₁的扰动对Δx₂′和Δx₃′影响较小；若|λ₁|较小时，

Δx₁的扰动对Δx₂′和Δx₃′影响较大；

因此对于第二类冗余参数，剔除系数矩阵关系前系数|λ_i|最大的冗余参数，保留系数|λ_i|小的作为剩余独立参数；在全部参数中剔除第三类冗余参数与矩阵关系前系数|λ_i|最大的第二类冗余参数，保留剩余参数并输出，即可完成冗余参数剔除。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所做的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.多自由度机器人参数标定中冗余参数分析剔除方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、输入多自由度机器人参数：

采用D-H模型为连杆建立连体坐标系，模拟连杆模型；

记第i号连杆L_i的连体坐标系为O_i-x_iy_iz_i，各参数定义如下：

a_i＝z_i轴、z_i+1轴沿x_i的距离；

α_i＝z_i轴、z_i+1轴绕x_i轴的夹角；

d_i＝x_i-1轴、x_i轴沿z_i轴的距离；

θ_i＝x_i-1轴、x_i轴之间绕z_i轴的夹角；

两个相邻坐标系O_i-1-x_i-1y_i-1z_i-1、O_i-x_iy_iz_i之间齐次变换矩阵为

基座和末端探测点的变换矩阵分别为：

因此末端探测点与惯性系的齐次变换矩阵为

式中：n，o，a——机器人末端执行器姿态向量；

P——机器人末端执行器位置向量；

M的第4列决定了末端探测点在惯性坐标系中的位置，末端位置记作R；

R＝F(x₀,y₀,z₀,a_i,α_i,d_i,θ_i,x_t,y_t,z_t) (4)

n个自由度机械臂共有4n个DH参数，还有基座与末端x₀,y₀,z₀,x_t,y_t,z_t6个参数，一共有4n+6个运动学参数；故对于n个自由度的机械臂，需要输入4n+6个参数；

步骤二、雅可比矩阵计算：

D-H参数的公称值与实际机器人相应的真实参数值存在着微小偏差：a_i,α_i,d_i以及x₀,y₀,z₀，x_t,y_t,z_t由于存在生产和装配工艺误差，是恒量偏差；而θ_i存在着码盘的零点偏差，也为恒量；因此末端实际位置为

其中q_i为运动学模型结构参数，与需要输入的参数数量相同，设为n个；可以将式(5)线性表示为

其中R为实测值，F为理论计算值，可以将式(7)写成矩阵形式：

J·ΔQ＝ΔR (8)

根据式(6)(7)(8)可以得到空间任意位置R_j的方程，以及位置误差ΔR_j的方程：

在三维空间中，ΔR是3×1的矩阵，ΔQ是n×1的矩阵，雅克比矩阵J为3×n矩阵；

如果有N个测量点，则J为(3×N)×n的矩阵，ΔR是(3×N)×1的矩阵；可以得到式(10)：

[J^T·J]·ΔQ＝J^T·ΔR (10)

只要保证N取得足够大，就可以利用最小二乘法求得ΔQ的最佳值；

ΔQ＝(J^T·J)^-1·J^T·ΔR (11)

将计算得到的ΔQ回代到式(5)，得到一组新的运动学参数，重新求解误差，代入(10)～(11)式，直到ΔR足够小为止；

利用该步骤中(8)与(9)式得到的雅克比矩阵J将在后续步骤中进行列向量的相关性分析，从而得到各参数之间的线性关系；

步骤三、雅可比矩阵列向量线性相关性分析：

机器人末端位置误差模型的雅克比矩阵J有如下表示：

J＝[J_base,J₁,J₂,J₃,J₄,J₅,J₆,J₇,J_tool] (12)

由式(7)可以得到关节i的雅克比矩阵J：

其中E₄是对M矩阵取第四列的变换矩阵；

相邻关节的雅克比矩阵J由下式表示：

令其中

可将式(15)简化后可表示为：

因为

中没有与i-1关节和i关节相关的运动学参数，因此[J_i-1,J_i]列满秩与[T_i-1·G,T_i·G]相同；

若要[J_i-1,J_i]列满秩，则必须满足下列条件：

同样，[T_i-1·G,T_i·G]列满秩也满足式(19)，将[T_i-1·G,T_i·G]代入式(19)方程组，可得到以下结论：

(1)若α_i-1≠0°，则k_i＝0(i＝1,2,3…8)，此时[J_i-1,J_i]列满秩，此时相邻关节轴线不平行，不存在冗余参数；

(2)若α_i-1＝0°，且a_i-1≠0，则k_1,3,4,5,7,8＝0且k₂＝k₆，此时

相邻两关节轴线方向只平行不共线，沿z_i-1轴平移d_i-1和沿z_i轴平移d_i对末端位置会产生相同的影响；此时Δd_i-1与Δd_i为线性相关参数；

(3)若α_i-1＝0°，且a_i-1＝0，则k_1,3,5,7＝0，且k₂＝k₆，k₄＝k₈，此时

相邻两关节轴线方向不仅平行且共线，沿z_i-1轴转动θ_i-1和沿z_i轴转动θ_i对末端位置会产生相同的影响；此时Δθ_i-1与Δθ_i为线性相关参数；

(4)仅对基座位置，分析结果如下：

a.无特殊情况,有

b.若α₀＝0°，

c.若α₀＝±90°，

(5)仅对末端位置，分析结果如下：

a.无特殊情况,有

b.若x_t＝y_t＝0，

c.若x_t＝y_t＝0，且α_N-2＝0°,α_N-1＝±90°

d.若x_t＝y_t＝0,且α_N-2＝±90°,α_N-1＝±90°

给定任一多自由度机械臂，可以根据下表得到线性相关的参数关系；

J列相关性分析

步骤四、参数分类：

在进行冗余性分析时，需要对冗余参数进行取舍，将ΔQ参数分为以下三类：

1.独立参数：表现为系数矩阵的列与其他列不相关；

2.相关参数：表现为系数矩阵的列与其他列成线性关系；

3.不起作用的参数：系数矩阵中为零的列，其参数对末端位置不起作用；

其中第一类参数独立，第二类与第三类均为非独立参数，按照以上参数分类方法，利用步骤三中得到的参数的线性关系，3D模型的冗余参数分类如下表所示：

3D模型冗余参数表

步骤五、冗余参数剔除方法：

利用步骤四的参数分类结果，可以进行参数剔除，第三类冗余参数为不起作用参数，直接剔除；第二类参数需剔除部分参数，保留剩余独立参数；剔除参数和保留剩余独立参数的选取是否会对标定结果产生影响需作进一步讨论；

第二类冗余参数系数矩阵一般具有以下关系：

在参数识别模型中

将式(20)带入式(21)中

此时剩余的独立参数为Δx₂、Δx₃，剔除冗余参数为Δx₁，实际参与标定的参数值变为Δx₂′和Δx₃′

剩余独立参数中包含了剔除冗余参数的误差；当|λ₁|较大时，

均较小，Δx₁的扰动对Δx₂′和Δx₃′影响较小；若|λ₁|较小时，

Δx₁的扰动对Δx₂′和Δx₃′影响较大；

因此对于第二类冗余参数，剔除系数矩阵关系前系数|λ_i|最大的冗余参数，保留系数|λ_i|小的作为剩余独立参数；在全部参数中剔除第三类冗余参数与矩阵关系前系数|λ_i|最大的第二类冗余参数，保留剩余参数并输出，即可完成冗余参数剔除。

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