CN108427131A - 一种基线长约束下的整周模糊度快速搜索算法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基线长约束下的整周模糊度快速搜索算法，属于卫星导航定位技术领域，该算法引入了缩放因子的概念，对当前搜索空间大小进行自适应地缩小和放大，能够大大降低CLAMBDA中模糊度搜索过程的耗时，在模糊度解算具有较高成功率的同时保证了其具有较高的解算效率，是对现有基线长约束下整周模糊度搜索算法的改进，进一步完善了CLAMBDA理论解算体系，确保获得较高的解算成功率，同时可以显著提高模糊度的解算效率，进而提高了卫星导航定位的精度，以满足实时、快速高精度相对定位的需求。

Description

一种基线长约束下的整周模糊度快速搜索算法

技术领域

本发明属于卫星导航定位技术领域，具体涉及一种基线长约束下的整周模 糊度快速搜索算法。

背景技术

在姿态测量中，GNSS天线之间的基线长度可以事先精确量取，常被用作 先验信息参与基线处理和模糊度解算，以提高模糊度解算的成功率，进而提高 卫星导航定位的精度。

根据基线长信息的使用方式，常用的有以下三类方法：判别条件法(李征 航等,2007)、观测方程联解法(刘根有等,2003)以及二次型约束的整数最小二 乘法(Park&Teunissen,2003)。其中二次型约束的整数最小二乘法具有最高的 理论成功率(Teunissen,2006)，它是把基线长信息加入到模糊度搜索及基线固 定过程，通过扩大模糊度二次型的搜索范围，寻找满足混合二次型最小的模糊 度向量。由于该方法是建立在标准LAMBDA算法基础上，因此又被称作附有 基线长约束的LAMBDA(Constrained LAMBDA，CLAMBDA)方法。

尽管CLAMBDA方法有解算成功率较高的优点，但由于基线分量具有先验 信息，导致模糊度搜索空间不具有超椭球的性质，因此其搜索过程不同于常规 的LAMBDA方法，需对CLAMBDA中的模糊度搜索算法进行进一步研究。

目前CLAMBDA方法中存在的主要问题有：1)解算模糊度的目标函数为 模糊度和基线分量的混合二次型，可能导致搜索空间过大，大大增加了搜索耗 时，难以快速有效的获取整数模糊度向量；2)现有方法大多是对基线长度信息 进行加权约束，采用非线性最小二乘方法进行基线解算，而强约束模型下基线 解算的具体求解过程与加权约束模型存在差异，其理论需要进一步丰富和完善。

发明内容

为了克服上述现有技术存在的不足，本发明提供了一种基线长约束下的整 周模糊度快速搜索算法。

为了实现上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种基线长约束下的整周模糊度快速搜索算法，包括以下步骤：

步骤1：采用Bootstrapping估计或ILS在地面接收机接收到的数据中获取 初始模糊度a₀，求取对应的混合二次型F(a₀)作为初始空间大小并设置模糊 度候选个数统计指标i＝0、收缩空间次数指标k＝0；

步骤2：基于FP算法搜索出模糊度向量a，并计算对应的F₂(a)，更新i＝i+1；

其中λ_max为模糊度方差协方差矩阵的逆阵的最大特征值，b(a)为基线向量，l为基线长度；

步骤3：如果i>loopmax，则缩小的数值，缩小后的返回 步骤2，并重新设置i＝0和k＝0，μ₁为缩小因子；

如果i＜loopmax，判断是否成立，如果成立则进行空间收缩，更新后 的空间大小为并重新设置i＝0和更新k＝k+1，返回步骤2；否则，继续 搜索模糊度向量，如果搜索出模糊度向量直接返回步骤2，否则进入步骤4；

步骤4：判断k＝0是否成立，如果成立则进行空间放大，放大后的返回步骤2，并重新设置i＝0；否则进入步骤5；

步骤5：当F₂(a)获得的最终收缩空间为时，在的空间中基于FP算 法枚举出所有的模糊度向量；

其中λ_min为模糊度方差协方差矩阵的逆阵的最小特征值；

步骤6：求取各个模糊度向量对应的F(a)，输出满足F(a)最小的模糊度向 量a_min，利用模糊度向量a_min进行模糊度搜索，获取基线长约束下的基线分量固定 解，得到最终的定位结果。

优选地，步骤3和步骤4中对搜索空间大小乘以一个缩放因子μ，自适应 地对搜索空间大小进行缩小和放大：

式(1)中，μ₁为缩小因子，设置为0.1；μ₂为放大因子，设置为2；i为在χ²下，基于FP算法枚举的模糊度向量个数；loopmax为搜索空间χ²内最大允许的枚 举个数，设置为200；k代表在χ²下，F₂(a)更新搜索空间的次数；

式(1)表示在搜索空间χ²中，如果基于FP算法枚举的候选向量个数已经 超过最大的限值，说明初始空间相对较大，则采用缩小因子降低χ²的数值；反 之，如果在χ²内枚举出全部的候选整数向量个数没有超过限值，但是所有整数 向量的F₂(a)值都大于χ²，未能更新搜索空间，说明搜索空间χ²相对过小，无法 有效地确认空间内是否包含满足二次型F(a)最小的模糊度最优解，则采用放大 因子增大χ²的数值。

为避免空间的放大和缩小过程陷入反复循环，必须保证：

μ₁×μ₂≠1。 (2)

优选地，步骤6中所述强约束模型下计算F(a)的过程为：

采用强约束模型时，基线长度l当作一个已知固定常数，加入基线长约束后 GNSS解算的数学模型为：

式中，a为模糊度参数，b为基线分量参数；

对式(3)采用最小二乘平差准则，并对真误差二次型Δ^TPΔ进行正交分解：

式中， 是一个常数；

令：

则式(4)等价于混合二次型F(a)最小；若要求取F(a)，则需先求解出整数 模糊度a及其对应的基线向量b(a)，其中：

式(6)实质上是一个附有二次型约束的间接平差问题，其解算模型为：

式中，①式为目标函数；②式为误差方程；③式为基线约束方程，其中， u为拉格朗日乘数。；

为使目标函数F达到最小，对其求一阶导数并令导数为0，则：

式中，I_3*3为3×3的单位矩阵；

把式(8)代入式(7)中的第三式，可得：

f(u)＝||[B^TPB+uI_3*3]^-1B^TPl_b||²-l²＝0 (9)

令b(u)＝[B^TPB+uI_3*3]^-1B^TPl_b，则式(9)可以进一步写为：

f(u)＝||b(u)||²-l²＝0 (10)

式(10)是一个非线性方程，因而可以采用二分法，切割法和牛顿法等； 下面采用牛顿法进行求解，则经过n+1次迭代后的u值为：

其中：

令A(u)＝B^TPB+uI_3*3(I_3*3为三维单位矩阵)，则

b(u)＝A(u)^-1B^TPl_b (13)

因此，式(12)的求导等价于：

根据：

把式(15)代入式(14)：

把式(16)代入式(11)得：

经过多次迭代收敛后的uⁿ⁺¹代入式(8)即可获得基线分量向量b；

以上为二次型约束的间接平差的参数解算过程；对于模糊度基线长强约束 下的基线分量解算，误差方程为：

因此，式(8)解得的基线分量向量b为：

其中，

本发明提供的基线长约束下的整周模糊度快速搜索算法具有以下有益效 果：

一方面，本发明对现有CLAMBDA中的模糊度搜索算法进行了改进，引入 了缩放因子的概念，对搜索空间大小进行自适应地缩小和放大，能够大大降低 CLAMBDA中模糊度搜索过程的耗时，在模糊度解算具有较高成功率的同时保 证了其具有较高的解算效率。另一方面，强约束模型下的基线解算过程不同于 传统的加权约束模型，其采用的是附有基线长约束的间接平差方法，本发明推 导出了强约束模型下的基线解算公式，进一步完善了CLAMBDA理论解算体 系，确保获得较高的解算成功率，同时可以显著提高模糊度的解算效率，进而 提高了卫星导航定位的精度，以满足实时、快速高精度相对定位的需求。

附图说明

图1是本发明实施例的流程图；

图2是LAMBDA和强约束模型下CLAMBDA的基线分量偏差序列图；

图3是BFS算法及改进的ASS算法的搜索耗时对比图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的具体实施方式作进一步描述。以下实施例仅用 于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

实施例1

本发明提供了一种基线长约束下的整周模糊度快速搜索算法，具体如图1 所示，包括以下步骤：

步骤1：采用Bootstrapping估计或ILS在地面接收机接收到的数据中获取 初始模糊度a₀，求取对应的混合二次型F(a₀)作为初始空间大小并设置模糊 度候选个数统计指标i＝0、收缩空间次数指标k＝0；

本步骤属于现有技术，在实际实施时直接采用LAMBDA方法求解初始模 糊度a₀并求取F(a₀)。本发明的创新在于自适应地缩放搜索空间，本步骤中“设置 模糊度候选个数统计指标i＝0”即是为改进算法做的准备；

步骤2：基于FP算法搜索出模糊度向量a，并计算对应的F₂(a)，更新i＝i+1；

本步骤中，假定λ_min和λ_max分别为模糊度方差协方差矩阵的逆阵的最小 和最大特征值，根据Rayleigh商的性质，强约束模型下基线二次型存在下面不 等式：

因此，式(19)可以进一步写为：

根据式(20)的不等关系，F(a)可以表示为下面一个不等式：

当搜索空间大小为χ²时，各自对应的模糊度候选整数向量空间：

式(24)表示在相同搜索空间内F₁(a)包含的模糊度向量个数依次大于F(a)和 F₂(a)，整数向量空间关系为：

其中，λ_max为的最大特征值，b(a)为基线向量，l为基线长度；

步骤3：如果i>loopmax，则缩小的数值，缩小后的返回步骤2， 并重新设置i＝0和k＝0，μ₁为缩小因子；

本步骤是基于自适应缩放因子的搜索算法的核心所在，当搜索过程中枚举 的候选向量个数超过最大的限值时，说明初始空间相对较大，采用缩小因子对 搜索空间进行缩放，能够大大提高搜索的效率；

如果i＜loopmax，判断是否成立，如果成立则进行空间收缩，更新后 的空间大小为并重新设置i＝0和更新k＝k+1，返回步骤2；否则，继续 搜索模糊度向量，如果搜索出模糊度向量直接返回步骤2，否则进入步骤4；

本步骤属于现有技术，不同的是增加了“重新设置i＝0”这一过程用于改进算 法；

步骤4：判断k＝0是否成立，如果成立则进行空间放大，放大后的返回步骤2，并重新设置i＝0；否则进入步骤5；

本步骤也是改进算法的关键，是对步骤3的补充完善。若步骤3中收缩后 的搜索空间过小以至于不能搜索到模糊度向量，则需对搜索空间进行适当的放 大；

步骤5：当F₂(a)获得的最终收缩空间为时，在的空间中基于FP算 法枚举出所有的模糊度向量；

其中λ_min为模糊度方差协方差矩阵的逆阵的最小特征值；

本步骤属于现有技术，在空间中枚举模糊度向量是因为F₁(a)相比于 F(a)可以包含更多的整数模糊度向量；

步骤6：求取各个模糊度向量对应的F(a)，输出满足F(a)最小的模糊度向 量a_min，利用模糊度向量a_min进行模糊度搜索，获取基线长约束下的基线分量固定 解，得到最终的定位结果。

本步骤中求取F(a)并非采用常规的加权约束模型，而是采用本发明推导出 的强约束模型，具体求取过程不再赘述。

上述中，步骤3和步骤4中对搜索空间大小乘以一个缩放因子μ，自适应 地对搜索空间大小进行缩小和放大：

式(1)中，μ₁为缩小因子，设置为0.1；μ₂为放大因子，设置为2；i为在χ²下，基于FP算法枚举的模糊度向量个数；loopmax为搜索空间χ²内最大允许的枚 举个数，设置为200；k代表在χ²下，F₂(a)更新搜索空间的次数；

为避免空间的放大和缩小过程陷入反复循环，必须保证：

μ₁×μ₂≠1。 (2)

进一步地，步骤6中所述强约束模型下计算F(a)的过程为：

采用强约束模型时，基线长度l当作一个已知固定常数，加入基线长约束后 GNSS解算的数学模型为：

式中，a为模糊度参数，b为基线分量参数；

对式(3)采用最小二乘平差准则，并对真误差二次型Δ^TPΔ进行正交分解：

式中，是一个常数；

令：

则式(4)等价于混合二次型F(a)最小；若要求取F(a)，则需先求解出整数 模糊度a及其对应的基线向量b(a)，其中：

式(6)实质上是一个附有二次型约束的间接平差问题，其解算模型为：

式中，①式为目标函数；②式为误差方程；③式为基线约束方程，其中， u为拉格朗日乘数。

为使目标函数F达到最小，对其求一阶导数并令导数为0，则：

式中，I_3*3为3×3的单位矩阵；

把式(8)代入式(7)中的第三式，可得：

f(u)＝||[B^TPB+uI_3*3]^-1B^TPl_b||²-l²＝0 (9)

令b(u)＝[B^TPB+uI_3*3]^-1B^TPl_b，则式(9)可以进一步写为：

f(u)＝||b(u)||²-l²＝0 (10)

式(10)是一个非线性方程，因而可以采用二分法，切割法和牛顿法等； 下面采用牛顿法进行求解，则经过n+1次迭代后的u值为：

其中：

令A(u)＝B^TPB+uI_3*3(I_3*3为三维单位矩阵)，则

b(u)＝A(u)^-1B^TPl_b (13)

因此，式(12)的求导等价于：

根据：

把式(15)代入式(14)：

把式(16)代入式(11)得：

经过多次迭代收敛后的uⁿ⁺¹代入式(8)即可获得基线分量向量b；

以上为二次型约束的间接平差的参数解算过程；对于模糊度基线长强约束 下的基线分量解算，误差方程为：

因此，式(8)解得的基线分量向量b为：

其中，

下面结合对比试验进一步说明本发明的有益效果：

为验证本发明推导的强约束模型的正确性以及提出的基于自适应缩放因子 的搜索算法相比于传统CLAMBDA搜索算法(Teunissen,2008)的效果，采用 一组静态实验、两组动态(车载和船载)实验进行对比分析。其中，强约束模 型通过与加权约束模型下的解算结果对比；本发明提出的基于自适应缩放因子 的整周模糊度搜索算法性能通过与基于边界函数的收缩搜索空间算法(Search and shrink strategy using Bounding Functions，简称BFS)的解算耗时对比。为方 便起见，本发明提出的基于自适应空间大小的收缩搜索算法命名为ASS(BFS using Adaptive Space)，具体实验数据信息请见表1。

表1.实验数据信息

首先验证本发明推导的强约束模型的正确性，分别采用强约束模型和加权 约束模型(基线长给定不同量取误差)对以上三组实验数据进行解算，并比较 模糊度固定成功率(静态实验的固定基线解与高精度事后处理软件Bernese5.2 的结果进行比较，基线分量E/N/U偏差小于2cm/2cm/4cm即认为模糊度固定正 确；动态实验的固定基线解与高精度动态处理软件GrafMov8.6的结果进行比 较，基线坐标分量E/N/U偏差小于3cm/3cm/6cm即认为模糊度固定正确)，若 强约束模型下的模糊度固定成功率与加权约束模型相当，则说明强约束模型的 推导过程无误。

同时为说明CLAMBDA相比于LAMBDA在模糊度解算成功率上的提升，也采 用LAMBDA方法对实验数据进行解算来一同参与对比，并给出LAMBDA和 强约束模型下CLAMBDA的基线分量偏差序列图(参见

图2)，图中(a)为静态基线坐标分量(E/N/U)解算结果，(b)车载基 线坐标分量(E/N/U)解算结果，(c)船载基线坐标分量(E/N/U)解算结果， 每个图的左侧为LAM，从依次为静态实验、车载动态实验和船载动态实验)， 模糊度固定成功率对比结果如表2所示：

表2.基线长给定不同量取误差时的模糊度解算固定成功率

继续验证提出的ASS算法相比于传统BFS算法的效果，分别采用ASS及 BFS算法对以上三组实验数据进行解算(采用强约束模型)，逐历元输出两种 搜索算法的耗时大小，如图3所示，图中(a)为静态实验解算时间、(b)车 载动态实验解算时间和(c)船载动态实验解算时间；分别统计两种搜索算法的 平均及最大耗时，如表3所示：

表3.强约束模型下BFS及ASS搜索耗时比较

结果表明ASS算法的搜索耗时明显小于BFS算法，提出的算法极大地提 高了基线长约束下整周模糊度的搜索效率。

以上所述实施例仅为本发明较佳的具体实施方式，本发明的保护范围不限 于此，任何熟悉本领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可显而易见地 得到的技术方案的简单变化或等效替换，均属于本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种基线长约束下的整周模糊度快速搜索算法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：采用Bootstrapping估计或ILS在地面接收机接收到的数据中获取初始模糊度a₀，求取对应的混合二次型F(a₀)作为初始空间大小并设置模糊度候选个数统计指标i＝0、收缩空间次数指标k＝0；

步骤2：基于FP算法搜索出模糊度向量a，并计算对应的F₂(a)，更新i＝i+1；

其中λ_max为模糊度方差协方差矩阵的逆阵的最大特征值，b(a)为基线向量，l为基线长度；

步骤3：如果i>loopmax，则缩小的数值，缩小后的返回步骤2，并重新设置i＝0和k＝0，μ₁为缩小因子；

如果i＜loopmax，判断是否成立，如果成立则进行空间收缩，更新后的空间大小为并重新设置i＝0和更新k＝k+1，返回步骤2；否则，继续搜索模糊度向量，如果搜索出模糊度向量直接返回步骤2，否则进入步骤4；

步骤4：判断k＝0是否成立，如果成立则进行空间放大，放大后的返回步骤2，并重新设置i＝0；否则进入步骤5；

步骤5：当F₂(a)获得的最终收缩空间为时，在的空间中基于FP算法枚举出所有的模糊度向量；

其中λ_min为模糊度方差协方差矩阵的逆阵的最小特征值；

步骤6：求取各个模糊度向量对应的F(a)，输出满足F(a)最小的模糊度向量a_min，利用模糊度向量a_min进行模糊度搜索，获取基线长约束下的基线分量固定解，得到最终的定位结果。

2.根据权利要求1所述的一种基线长约束下的整周模糊度快速搜索算法，其特征在于，步骤3和步骤4中对搜索空间大小乘以一个缩放因子μ，自适应地对搜索空间大小进行缩小和放大：

式(1)中，μ₁为缩小因子，设置为0.1；μ₂为放大因子，设置为2；i为在χ²下，基于FP算法枚举的模糊度向量个数；loopma_x为搜索空间χ²内最大允许的枚举个数，设置为200；k代表在χ²下，F₂(a)更新搜索空间的次数；

为避免空间的放大和缩小过程陷入反复循环，必须保证：

μ₁×μ₂≠1。 (2)

3.根据权利要求1所述的一种基线长约束下的整周模糊度快速搜索算法，其特征在于，步骤6中所述强约束模型下计算F(a)的过程为：

采用强约束模型时，基线长度l当作一个已知固定常数，加入基线长约束后GNSS解算的数学模型为：

式中，a为模糊度参数，b为基线分量参数；

对式(3)采用最小二乘平差准则，并对真误差二次型Δ^TPΔ进行正交分解：

式中，是一个常数；

令：

则式(4)等价于混合二次型F(a)最小；若要求取F(a)，则需先求解出整数模糊度a及其对应的基线向量b(a)，其中：

式(6)实质上是一个附有二次型约束的间接平差问题，其解算模型为：

式中，①式为目标函数；②式为误差方程；③式为基线约束方程，其中，u为拉格朗日乘数；

为使目标函数F达到最小，对其求一阶导数并令导数为0，则：

式中，I₃*₃为3×3的单位矩阵；

把式(8)代入式(7)中的第三式，可得：

f(u)＝||[B^TPB+uI_3*3]^-1BTPl_b||²-l²＝0 (9)

令b(u)＝[B^TPB+uI_3*3]^-1B^TPl_b，则式(9)可以进一步写为：

f(u)＝||b(u)||²-l²＝0 (10)

式(10)是一个非线性方程，采用牛顿法进行求解，则经过n+1次迭代后的u值为：

其中：

令A(u)＝B^TPB+uI_3*3(I_3*3为三维单位矩阵)，则

b(u)＝A(u)^-1B^TPl_b (13)

因此，式(12)的求导等价于：

根据：

把式(15)代入式(14)：

把式(16)代入式(11)得：

经过多次迭代收敛后的uⁿ⁺¹代入式(8)即可获得基线分量向量b；

以上为二次型约束的间接平差的参数解算过程；对于模糊度基线长强约束下的基线分量解算，误差方程为：

因此，式(8)解得的基线分量向量b为：

其中，A(u)＝P+uI_3*3。