CN108376124B - 一种用于电学成像的多导体体系导纳矩阵快速计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明设计一种用于电学成像的多导体体系导纳矩阵快速计算方法，属于电学层析成像领域。通过建立电阻抗层析成像传感器有限元模型，确定被测场域分布和电极阵列分布，将被测场域划分网格点，组装刚度矩阵；将电极上的网格点加浮动电位约束，即设置相同电极上的网格点等电势；由所推导的公式计算出被测场域的导纳信息。本发明给出的阻抗矩阵的计算方法计算速度快，能够有效节省计算时间。

Description

一种用于电学成像的多导体体系导纳矩阵快速计算方法

技术领域

本发明涉及电学成像领域，尤其涉及一种用于电学成像的多导体体系导纳矩阵快速计算方法。

背景技术

电学层析成像(Electrical Tomography，ET)技术是20世纪80年代发展起来的一种基于电磁场敏感机理的层析成像技术，具有无辐射、非侵入性、便携性、响应速度快、价格低廉等优势，在工业和医学领域具有重要的应用前景。电学层析成像系统采用特殊设计的敏感空间阵列电极，以非接触或非侵入式方式获取被测敏感场信息，利用特定的重建算法重建被测对象内部电特性参数的分布，从而得到物体内部的分布情况。目前，电学层析成像技术主要有以下几类：电阻层析成像技术(Electrical Resistance Tomography,ERT)、电容层析成像技术(Electrical Capacitance Tomography,ECT)和电磁层析成像技术(Electromagnetic Tomography,EMT)，其研究对象涵盖了电导率σ、电容率ε、磁导率μ等主要参数(王化祥.电学层析成像技术[J].自动化仪表,2017,38(5):1-6.)。

求解电学成像系统的导纳矩阵是求解电学成像系统正问题的重要组成部分。求解电学成像系统正问题的方法主要有解析法和数值计算法。解析法需建立准确的场模型，从而进行理论推导，求取场域内电势分布的解析表达式，这种方法推导过程复杂，仅适用于场域的几何形状和介质非常均匀的情况，对于一些均匀场及复杂的三维场难以求解，Kleinermann等在2002年于《生理测量》(Physiological Measurement)第23期第1卷，第141页发表的名为《三维椭圆圆柱正问题的解析解》(Analytical solution to the three-dimensional electrical forward problem for an elliptical cylinder)的文章中，采用解析方法分析了工业EIT应用中的柱状模型。数值计算法主要包括有限差分法(FDM)、有限单元法(FEM)、边界元法(BEM)及无网格法(EFGM)等。有限差分法直接从微分方程出发，将求解区域划分为网格，近似地用差分、差商代替微分、微商，于是无限度的问题化成有限自由度的问题。这种方法在解决规则边界的问题时极为方便，但是正是由于这种限制而增加了它的局限性，即对于非规则边界的问题适用性较差，Mirkowski,Jacek等于2008年在《仪器与测量期刊》(IEEE Transactions on Instrumentation&Measurement)第57卷，第5期，第973-980页发表的名为《一种基于电容-网格模型的电容层析成像正问题求解方法》(ANew Forward-Problem Solver Based on a Capacitor-Mesh Model for ElectricalCapacitance Tomography)的文章中指出，有限差分法更适用于方形或矩形的传感器。边界元法是发展较晚的一种数值计算方法，它将边界积分法与有限元法的离散方程组合起来，把描述场的微分方程通过加权余量法归结为边界上的积分方程，然后将此积分方程进行边界分割与插值，从而求得微分方程的近似解。边界元法具有未知单元数少，数据准备简单等优点，但是边界元法解非线性问题时，将遇到与非线性相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，给求解带来较大困难，Robert G.Aykroyd等于2007年在《科学与工程中的逆问题》(Inverse Problems in Science and Engineering)第15卷第5期，第441-461页发表的名为《利用仿真和实验数据提出的一种基于边界元法的EIT全电极模型》(Aboundary-element approach for the complete-electrode model of EIT illustratedusing simulated and real data)的文章中比较详细地阐述了全电极模型下的边界元建模与求解过程。无网格法的理论基础是移动最小二乘法，其基本思想是将计算场域离散成若干点，由移动最小二乘法拟合函数，从而摆脱单元的限制，其优点有：只需节点，无需单元，适合处理复杂边界条件；场函数的近似解连续可导；计算精度高，收敛速度快。无网格法在数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，即可方便地模拟各种复杂形状的流场，王化祥等于2006年在《天津大学学报(自然科学与工程技术版)》第39卷第11期，第1379-1383页发表的名为《采用无网格伽辽金法求解电容层析成像正问题》的文章中，实现了利用无网格伽辽金法求解电容层析成像正问题，获得正问题的弱变分形式，并用拉格朗日乘子法施加边界条件，从而得到数值解。有限单元法是基于变分原理，将连续场分为很多小区域(单元或元素)，用这些单元的集合体代表原来的场，然后对每个单元进行分析，建立单元方程，再组合起来构成整体方程，对其求解便得到连续场的离散解。该方法适合求解非线性场及分层介质中的电磁场求解，且不受场域边界形状的限制，是目前ET系统正问题最常用的方法。Gong Lian等人于1997年在《电磁学期刊》(IEEE Transactions on Magnetics)第32卷第2期，第2120-2122页发表的名为《三维各向异性电阻抗成像》(3-D anisotropic electrical impedance imaging)的文章中建立了三维EIT传感器有限元模型并进行求解；Pursiainen等人于2005年在《皮尔斯在线》(PiersOnline)第2卷第3期，第260-264页发表的名为《一种用于电阻抗层析成像的高阶有限元方法》(A High-Order Finite Element Method for Electrical Impedance Tomography)的文章中，对传统的有限元方法进行了改进，建立了EIT传感器高阶有限元模型并进行求解；Zhang,Xueying等人于2014年在《电磁学期刊》(IEEE Transactions on Magnetics)第50卷第2期，第1045-1048页发表的名为《基于广义有限元法的电阻抗层析成像的数值计算问题模型》(A Numerical Computation Forward Problem Model of Electrical ImpedanceTomography Based on Generalized Finite Element Method)的文章中提出了一种广义有限元方法，减少了计算所需的节点和网格。

有限单元法计算导纳矩阵通常有两种方法：一种是通过导体表面电荷计算，对电压法向向量进行积分，Laroussi等于1993年在《电磁兼容性期刊》(IEEE Transactions onElectromagnetic Compatibility)第35卷第2期，第178-184页发表的名为《有限单元法应用于电磁兼容问题》(Finite-element method applied to EMC problems)的文章中计算了电容矩阵，利用该方法计算得到的导纳矩阵精度不高。另一种是通过电压或能量计算，Chou,Tai Yu等人于1994年在《计算机辅助电路设计与系统》(IEEE Trans Computer-AidedDesign of Integrated Circuits and Systems)第13卷第9期，第1159-1166页发表的名为《利用有限单元法和对称平面计算集成电路的电容》(Capacitance calculation of ICpackages using the finite element method and planes of symmetry)的文章中利用此种方法进行了求解，该方法计算导纳矩阵精度较高。对于N个电极的传感器，其有效的独立测量值数目为

常见的激励测量模式有相邻激励测量模式、相对激励测量模式等，若利用相邻激励测量模式进行激励测量得到

个独立测量数，需进行(N-1)次有限元计算，利用此种方法计算出的电学成像导纳矩阵能够给出其直接物理意义，专利“一种基于相邻激励测量模式的电压-电流映射构造方法”(专利号：ZL201310042266.8)介绍了利用此种方法构造电学成像系统导纳矩阵的方法，但其计算量大，计算速度慢。专利“一种由电流-电压映射构造电压-电流映射的方法”(专利号：ZL201710187323.X)介绍了由阻抗矩阵推导导纳矩阵的方法，但此种方法需求解电学成像系统阻抗矩阵，仍需进行(N-1)次有限元计算。

对于一给定的电网络，若传感器结构已知，敏感场内介质的电特性参数分布确定，该被测场域的导纳矩阵是唯一确定的，被测场域的导纳矩阵只与场域性质有关，与是否施加激励、施加激励大小和方式均无关。因此，利用有限元网络模型计算导纳矩阵是一种更为直接且更有效率的方法，对于N个电极的传感器，只需进行1次有限元计算，能够极大地提高计算速度，节省计算时间。然而目前还没有基于利用有限元网络模型的导纳矩阵直接构造方法。

发明内容

本发明的目的在于提出一种用于电学成像的多导体体系导纳矩阵快速计算方法，所述方法计算速度快，能够有效节省计算时间。

本发明的技术方案是：

步骤一、对如图1所示的电阻抗层析成像传感器建立有限元分析模型，确定被测场域内物质分布及电极阵列分布情况。

步骤二、划分有限元网格，组装刚度矩阵A，即该电网络的基尔霍夫矩阵A。找出电极上的网格点。

步骤三、电阻抗层析成像系统中，同一电极上的点满足等电势。因此，需对电极进行浮动电位约束，即将同一电极上的网格点设置为等电势。

对于具有b个节点的电网络，我们有：

若第a个节点和第(a+1)个节点等电势，对于基尔霍夫矩阵A

满足电压与电流的关系：

对于N个电极的电阻抗层析成像传感器，求解相应基尔霍夫矩阵A，有：

其中K表示划分网格节点数。

若第1个电极上有i个网格点，对公式(4)所求的刚度矩阵进行行列式变换，将i个网格点所在的行、列变换为1到i行，1到i列，即：

根据等电势节点电压电流关系，将第1个电极上的点设置为等电势，那么有：

以此类推，对于第p个电极，若该电极上有q个网格点，通过行列式变换将q个网格点所在的行和列变换到第p到(p+q-1)行及第p到(p+q-1)列，进行叠加计算，可将第p个电极上的网格点设置为等电势。对于N个电极的传感器，对1～N个电极依次进行设置，那么有：

其中N个电极上共有j个网格节点。

步骤四、对于任一电网络，根据节点电压关系，可以得到：

AU＝I (8)

若U_b，I_b分别表示边界电压和边界电流，U_i，I_i分别表示内部电压和内部电流，即

那么有：

对于电阻抗层析成像传感器，激励均在边界，内部无激励，所以I_i＝0，即：

化简公式(10)得到：

所以，电阻抗层析成像传感器的导纳矩阵可记为：

附图说明

图1是电阻抗层析成像传感器示意图。

图2是实施流程图。

图3是具体实施方式等效图。

具体实施方式

参见图2，一种用于电学成像的多导体体系导纳矩阵快速计算方法实施流程图。以图3所示的电阻网络为例，说明本方法的具体实施方式，其中各电阻阻值相同。

步骤一、该电阻网络的电压-电流关系，有：

其中

步骤二、对节点[1,2,3]、[4,8,12]、[14,15,16]、[5,9,13]分别加浮动电位约束，即分别满足等电势。

对(14)的系数矩阵进行行列式变换，将节点1,2,3所在的行和列变换到第1-3行，第1-3列，那么有：

根据等电势节点电压电流关系(6)，将节点1,2,3设置为等电势，那么有：

类似的，对节点[4,8,12]、[14,15,16]、[5,9,13]依次进行设置，那么有：

对(17)所得矩阵进行分块，那么有

利用(12)可以计算出具有浮点电位约束的电阻网络边界导纳矩阵为：

所述的一种用于电学成像的多导体导纳矩阵快速计算方法，给出了被测场域边界电压与电流关系的一种计算方法，该方法计算速度快，极大的节省了计算时间。

以上对本发明及其实施方式的描述，并不局限于此，附图中所示仅是本发明的实施方式之一。在不脱离本发明创造宗旨的情况下，不经创造地设计出与该技术方案类似的结构或实施例，均属于本发明保护范围。

Claims (1)

1.一种用于电学成像的多导体体系导纳矩阵快速计算方法，其特征在于，该方法主要包括下述步骤：

步骤一、建立电阻抗层析成像传感器有限元分析模型，确定被测场域内物质分布及电极阵列分布情况；

步骤二、划分有限元网格，组装刚度矩阵A，即基尔霍夫矩阵A；

步骤三、电阻抗层析成像系统中，同一电极上的点满足等电势；因此，需对电极进行浮动电位约束，即将同一电极上的网格点设置为等电势；

对于具有b个节点的电网络，则 有：

若第a个节点和第(a+1)个节点等电势，对于基尔霍夫矩阵A

满足电压与电流的关系：

对于N个电极的电阻抗层析成像传感器，求解相应基尔霍夫矩阵A，有：

其中K表示划分网格节点数；

若第1个电极上有i个网格点，对公式(4)所求的基尔霍夫矩阵进行行列式变换，将i个网格点所在的行、列变换为1到i行，1到i列，即：

根据等电势节点电压电流关系，将第1个电极上的点设置为等电势，那么有：

以此类推，对于第p个电极，若该电极上有q个网格点，通过行列式变换将q个网格点所在的行和列变换到第p到(p+q-1)行及第p到(p+q-1)列，进行叠加计算，可将第p个电极上的网格点设置为等电势；对于N个电极的传感器，对1～N个电极依次进行设置，那么有：

其中N个电极上共有j个网格节点；

步骤四、对于任一电网络，根据节点电压关系，可以得到：

AU＝I (8)

若U_b，I_b分别表示边界电压和边界电流，U_i，I_i分别表示内部电压和内部电流，即

那么有：

对于电阻抗层析成像传感器，激励均在边界，内部无激励，所以I_i＝0，即：

化简公式(10)得到：

所以，电阻抗层析成像传感器的导纳矩阵可记为：

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