CN116908547A - 一种非接触式硅片电阻率在线测量方法及系统 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种非接触式硅片电阻率在线测量方法及系统，属于电阻率测量技术领域，方法包括：将待测硅片放置于电极阵列中，向电极阵列通入激励电流以形成敏感场域；测量待测硅片的边缘处的各个电极的电压值，作为敏感场域的边界条件；以已知待测硅片的内部电阻率分布以及敏感场域的边界条件为前提，构建正问题模型；结合有限元法以及边界元法求解正问题模型；以已知敏感场域内的电压分布以及敏感场域的边界条件为前提，构建逆问题模型；求解逆问题模型，推导出待测硅片的内部电阻率分布；根据待测硅片的内部每个点位的电阻率，构建电阻率灰度图。可以提升整个硅片的电阻率测量精度，减少计算量，提升了硅片电阻率的测量效率。
Description
技术领域
本发明属于电阻率测量处理技术领域，具体涉及一种非接触式硅片电阻率在线测量方法及系统。
背景技术
科学技术的快速发展促进了集成电路的大规模生产，也导致了芯片尺寸的不断缩小。硅片是集成电路中芯片的衬底材料，在要求硅片直径不断增大的同时，也需要其具备良好的微区特性，因此为了满足集成电路的性能要求，对硅片微区电阻率的测量具有非常重要的意义。
硅片电阻率最常见的测试方法为四探针法，基于四探针法的研究已有很多。但四探针法存在测试时间长、硅片易损坏的弊端。因此能够不污染硅片并且能够快速测试的非接触式测试方式应运而生。
当前常见的非接触式硅片电阻率主要是电阻抗成像技术，在电阻抗成像技术中，主要的求解方式是有限元方法，有限元方法的主要原理是离散连续的目标区域，得到一系列连接在一起的小单元。有限元法可以选择任意形状的网格分割计算区域，依据场内位函数的具体变化情况分布节点，可以很好的适应区域的形状和解决非线性问题。然而，对于有限元方法来说，一方面，待测硅片的电阻率分布越复杂，需要划分的单元数越多，同样计算量会急剧增大，导致硅片电阻率的测量效率低，另一方面，提升有限元方法的精度，需要增加测量边界电压值，而边界电压的测量值受到边界电极数量的影响，硅片的尺寸限制了可以放置的电极数量，导致有限元方法的精度有上限，到了一定阶段之后，电阻率的测量精度难以满足测试需求。
发明内容
为了解决在电阻抗成像技术中，现有的有限元方法存在的计算量大，导致硅片电阻率的测量效率低，硅片的尺寸限制了可以放置的电极数量，导致有限元方法的精度有上限，到了一定阶段之后，电阻率的测量精度难以满足测试需求的技术问题，本发明提供一种非接触式硅片电阻率在线测量方法及系统。
第一方面
本发明提供了一种非接触式硅片电阻率在线测量方法，包括：
S101：在测试台上设置电极阵列，将待测硅片放置于所述电极阵列中，向所述电极阵列通入激励电流以形成敏感场域，所述电极阵列中的各个电极围绕所述待测硅片的边缘设置；
S102：测量所述待测硅片的边缘处的各个电极的电压值，作为所述敏感场域的边界条件；
S103：以已知所述待测硅片的内部电阻率分布以及所述敏感场域的边界条件为前提，构建正问题模型；
S104：结合有限元法以及边界元法求解所述正问题模型，以所述敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围内，采用有限元法计算所述敏感场域内的电压分布，在以所述敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围以外的边缘圆环区域，采用边界元法计算所述敏感场域内的电压分布；
S105：以已知所述敏感场域内的电压分布以及所述敏感场域的边界条件为前提，构建逆问题模型；
S106：向所述逆问题模型中输入测量得到的所述电极阵列中各个电极的电压值以及求解所述正问题模型得到的所述敏感场域内的电压分布，求解所述逆问题模型，推导出所述待测硅片的内部电阻率分布；
S107：根据所述待测硅片的内部每个点位的电阻率，构建电阻率灰度图。
第二方面
本发明提供了一种非接触式硅片电阻率在线测量系统，用于执行第一方面中的非接触式硅片电阻率在线测量方法。
与现有技术相比，本发明至少具有以下有益技术效果：
（1）在本发明中，对模型进行求解时，舍弃了完全采用有限元方法进行求解的方式，而是先通过边界元法求取边缘圆环区域内的电压分布，进而利用边缘圆环区域边界上节点的电压值作为采用有限元法求取圆形区域中电压分布时的边缘电压，摆脱硅片尺寸对于放置的电极数量的限制，提升有限元法的测量精度，进而提升整个硅片的电阻率测量精度。
（2）在本发明中，对模型进行求解时，仅仅在中心的圆形区域内采用计算量较大的有限元法，而在边缘圆环区域则采用计算量较小的边界元法，减少了计算量，提升了硅片电阻率的测量效率。
附图说明
下面将以明确易懂的方式，结合附图说明优选实施方式，对本发明的上述特性、技术特征、优点及其实现方式予以进一步说明。
图1是本发明提供的一种非接触式硅片电阻率在线测量方法的流程示意图。
图2是本发明提供的一种正问题模型求解方法的示意图。
具体实施方式
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对照附图说明本发明的具体实施方式。显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图，并获得其他的实施方式。
为使图面简洁，各图中只示意性地表示出了与发明相关的部分，它们并不代表其作为产品的实际结构。另外，以使图面简洁便于理解，在有些图中具有相同结构或功能的部件，仅示意性地绘示了其中的一个，或仅标出了其中的一个。在本文中，“一个”不仅表示“仅此一个”，也可以表示“多于一个”的情形。
还应当进一步理解，在本发明说明书和所附权利要求书中使用的术语“和/或”是指相关联列出的项中的一个或多个的任何组合以及所有可能组合，并且包括这些组合。
在本文中，需要说明的是，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接。可以是机械连接，也可以是电连接。可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。
另外，在本发明的描述中，术语“第一”、“第二”等仅用于区分描述，而不能理解为指示或暗示相对重要性。
实施例1
在一个实施例中，参考说明书附图1，示出了本发明提供的非接触式硅片电阻率在线测量方法的流程示意图。
本发明提供的一种非接触式硅片电阻率在线测量方法，包括：
S101：在测试台上设置电极阵列，将待测硅片放置于电极阵列中，向电极阵列通入激励电流以形成敏感场域，电极阵列中的各个电极围绕待测硅片的边缘设置。
其中，在电极阵列中，各个电极围绕待测的硅片的边缘设置，这意味着电极布置成环绕硅片边缘的形状，使得电极的排列可以更好地覆盖硅片的边缘区域，以确保敏感场域覆盖整个待测硅片。
S102：测量待测硅片的边缘处的各个电极的电压值，作为敏感场域的边界条件。
其中，待测硅片的边缘处的各个电极的电压值也可称为边缘电压值。
其中，边界条件是指在数学模型或物理问题中规定系统边界上或特定位置上的条件，用于限定问题的解。在待测硅片电阻率测量的情境中，边界条件起到了关键作用，确定了敏感场域的边界特性，使得电阻率测量问题得以合理求解。
S103：以已知待测硅片的内部电阻率分布以及敏感场域的边界条件为前提，构建正问题模型。
需要说明的是，通过通入激励电流和测量电极上的电压值，可以得到硅片内部电导率（或电阻率）的信息。激励电流在硅片内部引起电场和电流分布，而电压测量可以用于推断敏感场域的边界条件，即硅片边缘处各个电极的电压值。利用已知的电压值和敏感场域内的电场分布，可以构建正问题模型，计算场域内的电压分布。
在一种可能的实施方式中，本发明给出了一种构建正问题模型的具体实施方式，S103具体包括子步骤S1031和S1032：
S1031：确定敏感场域中各个点位的电阻率与电压之间的关系：
其中，表示矢量微分算子，/>表示电场强度，/>表示电通量密度，/>表示磁场强度，/>表示磁感应强度，/>表示电流密度，q表示电荷密度。
其中，在各项通行的静态场中，还存在如下关系：
其中，ε表示介电常数，μ表示磁导率，σ表示电阻率，其中，，ρ表示电阻率。
其中，在似稳场假设和无涡流效应的敏感场域假设的基础上，只考虑电场分布，可得：
其中，表示敏感场域内的电压分布。
S1032：构建敏感场域中各个点位满足边界条件的Laplace方程：
其中，J n 表示敏感场域的边界上加入的激励电流的电流密度，表示敏感场域的边界电压，n表示敏感场域内的法向量。
其中，Laplace方程表明在敏感场域内任意点位处，电势场的梯度为零，即电势场的变化率在空间中没有奇点或源头。在满足边界条件的情况下求解Laplace方程，可以得到敏感场域内的电压分布。
在本发明中，创造性地使用Laplace方程来构建正问题模型，Laplace方程是偏微分方程中的一种，具有良好的数学性质，其解在物理上具有唯一性和稳定性。通过采用Laplace方程作为正问题模型，可以利用数学方法对模型进行求解，得到确切的电压分布结果。进而，提供先验信息用于优化后续的逆问题求解，并简化问题的复杂性，在电阻率测量中起到重要作用。
参考说明书附图2，示出了本发明提供的一种正问题模型求解方法的示意图。
S104：结合有限元法以及边界元法求解正问题模型，以敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围内，采用有限元法计算敏感场域内的电压分布，在以敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围以外的边缘圆环区域，采用边界元法计算敏感场域内的电压分布。
其中，本领域技术人员可以根据实际情况设置预设半径的大小，本发明不做限定。
需要说明的是，边界元法计算出的边缘圆环区域的电压分布，是有限元法计算出圆形范围内的电压分布的基础，为有限元法提供准确的边缘电压分布，从而提高整个敏感场域内电压分布的精度。
进一步地，对正问题模型进行求解时，舍弃了完全采用有限元方法进行求解的方式，而是创造性地先通过边界元法求取边缘圆环区域内的电压分布，进而利用边缘圆环区域边界上节点的电压值作为采用有限元法求取圆形区域中电压分布时的边缘电压，摆脱硅片尺寸对于放置的电极数量的限制，提升有限元法的测量精度，进而提升整个硅片的电阻率测量精度。
在本发明中，结合有限元法和边界元法进行正问题模型求解可以显著提高计算效率，更灵活地处理边界问题，提高模型精度，同时解决了电极放置限制，从而在电阻率测量中具有重要的优势和应用价值。
在一种可能的实施方式中，本发明给出了一种创新性的使用边界元法求解正问题模型的具体实施方式，S104具体包括子步骤S104A至S104D：
S104A：将以敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围以外的边缘圆环区域的边界划分为n个边界单元，选取每个边界单元的中点作为节点，则对于节点的积分方程可离散为：
其中，表示边界单元/>上的节点，/>表示节点/>的电压值，/>表示边界单元上的节点，n表示节点数量，u j 表示边界单元/>的电压分布，/>表示电流密度函数的法向导数，/>表示节点/>所在的边界单元，q j 表示边界单元/>的法向导数分布，表示电压函数。
需要说明的是，通过将边缘圆环区域划分为边界单元，并选取每个边界单元的中点作为节点，可以将原本复杂的积分方程简化成矩阵形式。这样做可以降低计算的复杂性，提高计算效率，尤其是对于大规模的问题。
S104B：令，则对于节点的积分方程可简化为：
S104C：令，当/>时，/>，其余条件下/>，则对于节点的积分方程进一步简化为：
以矩阵的形式，可表式为：
其中，H、G表示系数矩阵，U表示边界单元节点的电压函数值的列向量，Q表示电流密度函数法向导数值的列向量。
需要说明的是，通过将积分方程转换为矩阵形式，可以将节点的电压值和电流密度函数的法向导数值存储在矩阵中，从而减少内存消耗。这对于大规模问题特别重要，因为原始的积分方程可能需要存储大量的中间变量和计算结果。矩阵形式的积分方程通常更容易进行数值计算和求解。
其中，系数矩阵H的各项元素的计算方式为：
其中，H ii 表示系数矩阵H中第i行第i列元素的取值，H ij 表示系数矩阵H中第i行第j列元素的取值，r ij 表示节点到节点/>的距离，h ij 表示节点/>到边界单元/>的垂直距离，l i 表示边界单元/>的长度。
其中，系数矩阵G的各项元素的计算方式为：
。
其中，G ii 表示系数矩阵G中第i行第i列元素的取值，H ij 表示系数矩阵G中第i行第j列元素的取值。
S104D：对矩阵方程进行求解，得到以敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围以外的边缘圆环区域的电压分布u。
需要说明的是，采用矩阵形式可以利用数值计算的稳定性和精度优势，从而提高整个求解过程的数值稳定性。
需要说明的是，边界元法在求解边缘圆环区域时，只需要对边界进行离散化，而无需对整个区域进行网格剖分。相比之下，有限元法需要对整个区域进行网格剖分，这在边缘圆环区域的情况下可能导致网格数量较多，增加计算复杂度和存储需求。因此，在求解边缘圆环区域的内部电压分布时，使用边界元法相较于有限元法具有减少计算复杂度和降低存储需求的优势。
在本发明中，将边缘圆环区域划分为边界单元，创造性地采用矩阵形式进行积分方程离散化之后对边缘圆环区域的电压分布进行求解，减少内存消耗，提高数值稳定性，并增加灵活性和可扩展性，从而在电阻率测量中具有重要的优势和应用价值。
在一种可能的实施方式中，本发明给出了一种创新性的使用有限元法求解正问题模型的具体实施方式，S104具体包括子步骤S1041至S10410：
S1041：对以敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围内的各个点位所满足的Laplace方程，应用变分原理，得到电压分布泛函数：
其中，(x,y)表示各个点位的坐标，x表示点位横坐标，y表示点位纵坐标，表示敏感场域内的电压分布，σ表示电阻率，/>表示矢量微分算子，/>表示以敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围。
S1042：按照有限元网格的剖分要求，选择网格的数量、密度以及分布状况，将敏感场域划分为多个三角形单元，并对单元、节点进行标记，得到M个单元和N个节点。
需要说明的是，有限元法能够将复杂的敏感场域准确地划分成多个小单元，这些单元可以更好地描述敏感场域的几何形状和边界条件。通过细致的网格划分，可以更准确地描述电压分布。进一步地，有限元法的网格划分是灵活的，可以根据具体问题的需求选择网格的数量、密度和分布状况。这使得有限元法适用于不同尺度和复杂度的问题。
S1043：每个三角形单元都存在子泛函数，所有三角形单元的子泛函数积分之和构成整个场域内的泛函数，则泛函数可表示为：
其中，表示第e个三角形单元的场域，F e (φ)表示第e个三角形单元的子泛函数，M表示三角形单元的总数。
S1044：通过插值函数，近似表示每个单元内的电压分布函数：
其中，表示点位(x,y)处的电压值，a、b、c表示待求解系数。
以逆时针的方式对三角形单元的3个节点进行编号，分别表示为I(x 1,y 1)，J(x 2,y 2)，K(x 3,y 3)，并将I(x 1,y 1)，J(x 2,y 2)，K(x 3,y 3)代入到电压分布函数中，得到：
其中，表示插值函数矩阵，/>表示电压分布矩阵，/>表示插值函数项。
S1045：求解电压分布函数的偏导数，计算得到：
其中，表示第e个三角形单元的系数矩阵，/>表示第e个三角形单元的电压分布矩阵。
S1046：根据电压分布函数的偏导数，计算表示第e个三角形单元的子泛函数F e (φ)：
其中，表示矩阵转置。
S1047：计算每个三角形单元中电流密度的泛函数：
其中，表示第e个三角形单元的电流密度的泛函数，/>表示敏感场域内的电压分布，Q e 表示第e个三角形单元的电流密度。
S1048：对各个三角形单元的子泛函数F e (φ)以及电流密度的泛函数进行累积，得到整个敏感场域的泛函数：
其中，表示第e个三角形单元的电流密度矩阵，/>表示矩阵转置，M表示总系数矩阵，Q表示总电流密度矩阵。
需要说明的是，通过累积各个三角形单元的子泛函数和电流密度的泛函数，可以得到整个敏感场域的泛函数。这样做保证了整个场域内电压分布和电流密度的一致性，从而避免了局部误差的累积。
S1049：对整个敏感场域的泛函数取极值，得到有限元方程组：
需要说明的是，通过对泛函数取极值，可以得到稳定的数值解。取极值的过程相当于寻找泛函数的极小值或极大值点，这通常是求解偏微分方程问题中的优化过程，可以有效避免数值不稳定性和震荡现象。对泛函数取极值等效于对敏感场域内电压分布进行优化求解。通过寻找泛函数的极值点，可以得到在给定边界条件下最优的电压分布，从而获得敏感场域中电压分布的最优解。
S10410：利用高斯列主元素消元法求解有限元方程组，得到以敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围内的电压分布。
在本发明中，将敏感场域划分为多个三角形单元，创新性的采用计算敏感场域的泛函数，并对泛函数取极值的方式进行优化求解，可以保证全局一致性和数值稳定性，实现最优化求解，可以精确建模复杂几何形状、提高计算精度和效率，适用于不同尺度和复杂度的问题，同时辅助边界元法提供更多、更准确的边缘电压，使得整个电阻率测量系统更加灵活、精确和高效。
S105：以已知敏感场域内的电压分布以及敏感场域的边界条件为前提，构建逆问题模型。
在一种可能的实施方式中，S105具体包括：
构建逆问题模型中电阻率计算的目标函数：
其中，待测硅片内部共有M个单元，ρ表示M维电阻率分布矢量，ρ中的元素对应各个单元的电阻率，V(ρ)表示电阻率分布为ρ时的边界电压值，U表示测量的边界电压值，表示矩阵的模运算。
需要说明的是，目标函数用于评估待测硅片内部电阻率分布为ρ时的边界电压值V(ρ)与测量的边界电压值U之间的差异。通过评估待测硅片内部电阻率分布为ρ时的边界电压值V(ρ)与测量的边界电压值U之间的差异，来衡量待测硅片内部电阻率分布ρ的准确程度。因此，优化目标是找到一个电阻率分布ρ，使得目标函数最小，即计算得到的边界电压值与实际测量值最接近，从而得到最符合实际测量的电阻率分布。
在本发明中，构建逆问题模型中的电阻率计算的目标函数是一种有效的数学建模方法，通过优化目标函数，可以获得更准确的电阻率分布，提高测量精度，并实现对硅片内部电阻率的非侵入式测量。
进一步地，发明人在研究过程中发现，逆问题模型求解中，存在病态性，问题的输出（解）对于输入（数据或参数）的微小变化非常敏感，即使输入数据有轻微的扰动，输出结果也会产生很大的变化。在病态问题中，输入数据的微小误差可能导致输出结果的巨大误差，从而使得问题的求解变得不稳定和不可靠。为了改善逆问题模型求解的病态性，创新性地在目标函数构造过程中，引入正则化方法，在一种可能的实施方式中，S105具体包括：
引入正则化参数，构建逆问题模型中电阻率计算的目标函数：
其中，待测硅片内部共有M个单元，ρ表示M维电阻率分布矢量，ρ中的元素对应各个单元的电阻率值，V(ρ)表示电阻率分布为ρ时的边界电压值，U表示测量的边界电压值，表示矩阵的模运算，/>表示正则化因子，L表示正则化矩阵，ρ 0表示初始的电阻率值。
需要说明的是，正则化参数中的正则化矩阵L通常用于约束解的平滑性。在电阻率计算中，电阻率分布通常在空间上具有一定的平滑性。通过正则化参数，可以使解在空间上更加平滑，避免出现过度振荡或不合理的局部变化。
在本发明中，正则化参数可以在目标函数中引入一些额外的约束条件，例如平滑性、稀疏性等，从而限制解的空间，减少问题的不稳定性。通过控制正则化参数的大小，可以调节约束的程度，平衡数据拟合和模型约束之间的关系，使得求解更加稳定和可靠，从而改善病态问题。
S106：向逆问题模型中输入测量得到的电极阵列中各个电极的电压值以及求解正问题模型得到的敏感场域内的电压分布，求解逆问题模型，推导出待测硅片的内部电阻率分布。
在一种可能的实施方式中，为了求解以为目标函数的逆问题模型，S106具体包括子步骤S1061至S1065：
S1061：对电阻率计算的目标函数进行求导，并令导数值为0，则有：
其中，表示雅克比矩阵，可表示为/>。
S1062：对导数进行泰勒展开，只保留泰勒展开的线性项，则有：
其中，表示第k次迭代的电阻率分布。
S1063：根据泰勒展开结果，得到第k次迭代时的增量：
其中，表示第k次迭代的雅克比矩阵，/>表示电阻率分布为/>时的边界电压值。
S1064：判断第k个迭代时，是否满足收敛条件：
其中，e表示误差值，U表示测量的边界电压值，表示矩阵的二范数，ε表示预设误差值。
其中，本领域技术人员可以根据实际情况设置预设误差值ε的大小，本发明不做限定。
需要说明的是，引入了收敛条件的判断，即通过比较当前电压分布与测量边界电压值之间的误差来判断是否满足收敛条件。这样可以控制误差，确保迭代过程在误差允许范围内进行，防止无限循环和过度迭代。
具体的，通过引入预设误差值ε，可以在迭代过程中灵活地调整收敛条件。当误差值达到预设范围时，即满足收敛条件，可以终止迭代并输出最终的电阻率分布。这样可以根据具体问题和数据情况调整预设误差值，从而更好地控制迭代过程。
S1065：当满足收敛条件时，结束迭代，输出第k次迭代的电阻率分布。当不满足收敛条件时，/>，继续进行下一次迭代，直至满足收敛条件。
需要说明的是，通过迭代求解的方式，可以逐步逼近最优解。在每次迭代中，通过计算目标函数的导数和增量，可以找到当前电阻率分布的优化方向，使得目标函数逐渐减小。这样可以加快收敛速度，尤其是在目标函数复杂、非线性程度高的情况下，通过迭代逐步优化可以更快地接近最优解。
在本发明中，引入迭代求解的方式可以提高逆问题求解的效率和稳定性，确保得到较为准确的电阻率分布。迭代求解方法常用于解决逆问题，尤其是在非线性问题中，通过逐步调整参数和优化解，可以更好地逼近最优解并提高求解的成功率和精度。
进一步地，在一种可能的实施方式中，为了求解以为目标函数的逆问题模型，S106具体包括子步骤S106A至S106C：
S106A：对电阻率计算的目标函数进行求导以及泰勒展开，得到第k次迭代时的增量：
其中，表示第k次迭代的电阻率分布，/>表示第k次迭代的雅克比矩阵，表示电阻率分布为/>时的边界电压值，U表示测量的边界电压值，/>表示正则化因子，L表示正则化矩阵，ρ 0表示初始的电阻率值，/>表示矩阵转置。
需要说明的是，首先对电阻率计算的目标函数进行求导，并使用泰勒展开来得到第k次迭代时的电阻率分布增量。引入正则化参数λ和正则化矩阵L，正则化的目的是为了防止解决逆问题时出现病态性，即使得问题的条件数过大或导致解的不稳定性。正则化项在目标函数中起到控制电阻率分布变化幅度的作用，使得迭代求解更加稳定。
选取，I表示单位矩阵，/>，则增量/>可简化为：
S106B：判断第k个迭代时，是否满足收敛条件：
其中，e表示误差值，U表示测量的边界电压值，表示矩阵的二范数，ε表示预设误差值。
S106C：当满足收敛条件时，结束迭代，输出第k次迭代的电阻率分布。当不满足收敛条件时，/>，继续进行下一次迭代，直至满足收敛条件。
在本发明中，通过求解引入正则化参数后的目标函数，可以在目标函数中引入一些额外的约束条件，例如平滑性、稀疏性等，从而限制解的空间，减少问题的不稳定性，从而改善病态问题。引入迭代求解的方式通过逐步调整参数和优化解，可以更好地逼近最优解并提高求解的成功率和精度，提高逆问题求解的效率和稳定。
S107：根据待测硅片的内部每个点位的电阻率，构建电阻率灰度图。
其中，构建电阻率灰度图是将待测硅片内部每个点位的电阻率值以图像的形式展示出来，其中不同电阻率值对应不同的灰度级别，形成灰度图像。
需要说明的是，电阻率灰度图提供了一种直观的可视化方式，使得人们可以直接观察和理解硅片内部电阻率的空间分布。通过色彩变化或灰度级别的不同，可以直观地识别不同区域的电阻率高低，帮助人们快速理解材料的特性和结构。进一步地，电阻率灰度图对于优化硅片或其他材料的设计也具有帮助。通过观察电阻率分布的变化，可以发现不同区域的电阻率特征，进而指导材料结构或器件设计的改进，以满足特定的要求或优化性能。
进一步地，发明人在研究过程中发现，现有的灰度图显示方法用实际的测量位置相对应的灰度值表示电阻率的大小，但是灰度值只能反映不同位置的电阻率大小相对于其他位置的关系，而不能准确地表达电阻率的绝对数值，很可能会由于人为因素导致灰度图的显示结果与电阻率的分布情况有所差异，从而使用户对硅片的质量产生错误的判断。为了解决这个问题，本发明提供了一种新型的灰度图构建方法。
在一种可能的实施方式中，S107具体包括子步骤S1071至S1079：
S1071：根据待测硅片的内部电阻率分布，获取待测硅片内部各个单元的电阻率。
S1072：获取各个单元的电阻率中的众数R mode、最小值R min和最大值R max。
S1073：计算负最大电阻变化率C min：
S1074：当负最大电阻变化率的绝对值时，使用白色/>代表电阻率R min，其中，R、G、B分别表示R通道色值、G通道色值、B通道色值，使用颜色代表电阻率R mode。
S1075：计算负最大电阻变化率C max：
S1076：当负最大电阻变化率的绝对值时，使用黑色代表电阻率R max，使用颜色/>代表电阻率R mode。
需要说明的是，通过获取电阻率的众数R mode、最小值R min和最大值R max，电阻率灰度图将有明确的参考基准。这些极值和众数将在灰度图中使用特定颜色进行标记，使得用户可以直观地了解哪些区域是电阻率的极值或典型值。
S1077：根据当前单元的电阻率，计算当前单元的电阻变化率：
其中，R表示当前单元的电阻率，C表示当前单元的电阻变化率。
S1078：根据当前单元的电阻变化率C，通过查找灰度值与电阻变化率映射表，确定当前单元的灰度值。
需要说明的是，通过计算电阻率的变化率C，即单元电阻率相对于众数的变化程度，进一步反映了电阻率的绝对数值差异。根据变化率C，通过查找灰度值与电阻率变化率映射表，确定当前单元的灰度值。这样可以更准确地将电阻率的绝对数值信息融入灰度图中。
S1079：根据待测硅片内部各个单元的的灰度值，构建电阻率灰度图。
在本发明中，通过引入电阻率的众数、极值和变化率，以及灰度值与电阻率变化率的映射表，这种实施方式可以解决现有灰度图显示方法中存在的电阻率值对应关系不确定、灰度图结果受人为因素影响的问题。这样构建的电阻率灰度图更具有客观性和准确性，能够帮助用户更好地理解电阻率分布情况，从而避免因灰度图不准确而导致的错误判断问题。
与现有技术相比，本发明至少具有以下有益技术效果：
（1）在本发明中，对模型进行求解时，舍弃了完全采用有限元方法进行求解的方式，而是先通过边界元法求取边缘圆环区域内的电压分布，进而利用边缘圆环区域边界上节点的电压值作为采用有限元法求取圆形区域中电压分布时的边缘电压，摆脱硅片尺寸对于放置的电极数量的限制，提升有限元法的测量精度，进而提升整个硅片的电阻率测量精度。
（2）在本发明中，对模型进行求解时，仅仅在中心的圆形区域内采用计算量较大的有限元法，而在边缘圆环区域则采用计算量较小的边界元法，减少了计算量，提升了硅片电阻率的测量效率。
实施例2
在一个实施例中，本发明提供的一种非接触式硅片电阻率在线测量系统，用于执行实施例1中的非接触式硅片电阻率在线测量方法。
本发明提供的一种非接触式硅片电阻率在线测量系统可以实现上述实施例1中的非接触式硅片电阻率在线测量方法的步骤和效果，为避免重复，本发明不再赘述。
与现有技术相比，本发明至少具有以下有益技术效果：
（1）在本发明中，对模型进行求解时，舍弃了完全采用有限元方法进行求解的方式，而是先通过边界元法求取边缘圆环区域内的电压分布，进而利用边缘圆环区域边界上节点的电压值作为采用有限元法求取圆形区域中电压分布时的边缘电压，摆脱硅片尺寸对于放置的电极数量的限制，提升有限元法的测量精度，进而提升整个硅片的电阻率测量精度。
（2）在本发明中，对模型进行求解时，仅仅在中心的圆形区域内采用计算量较大的有限元法，而在边缘圆环区域则采用计算量较小的边界元法，减少了计算量，提升了硅片电阻率的测量效率。
以上实施例的各技术特征可以进行任意的组合，为使描述简洁，未对上述实施例中的各个技术特征所有可能的组合都进行描述，然而，只要这些技术特征的组合不存在矛盾，都应当认为是本说明书记载的范围。
以上实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。
Claims (10)
1.一种非接触式硅片电阻率在线测量方法，其特征在于，包括：
S101：在测试台上设置电极阵列，将待测硅片放置于所述电极阵列中，向所述电极阵列通入激励电流以形成敏感场域，所述电极阵列中的各个电极围绕所述待测硅片的边缘设置；
S102：测量所述待测硅片的边缘处的各个电极的电压值，作为所述敏感场域的边界条件；
S103：以已知所述待测硅片的内部电阻率分布以及所述敏感场域的边界条件为前提，构建正问题模型；
S104：结合有限元法以及边界元法求解所述正问题模型，以所述敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围内，采用有限元法计算所述敏感场域内的电压分布，在以所述敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围以外的边缘圆环区域，采用边界元法计算所述敏感场域内的电压分布；
S105：以已知所述敏感场域内的电压分布以及所述敏感场域的边界条件为前提，构建逆问题模型；
S106：向所述逆问题模型中输入测量得到的所述电极阵列中各个电极的电压值以及求解所述正问题模型得到的所述敏感场域内的电压分布，求解所述逆问题模型，推导出所述待测硅片的内部电阻率分布；
S107：根据所述待测硅片的内部每个点位的电阻率，构建电阻率灰度图。
2.根据权利要求1所述的非接触式硅片电阻率在线测量方法，其特征在于，所述S103具体包括：
S1031：确定所述敏感场域中各个点位的电阻率与电压之间的关系：
其中，表示矢量微分算子，/>表示电场强度，/>表示电通量密度，/>表示磁场强度，/>表示磁感应强度，/>表示电流密度，q表示电荷密度；
其中，在各项通行的静态场中，还存在如下关系：
其中，ε表示介电常数，μ表示磁导率，σ表示电阻率，其中，，ρ表示电阻率；
其中，在似稳场假设和无涡流效应的敏感场域假设的基础上，只考虑电场分布，可得：
其中，表示所述敏感场域内的电压分布；
S1032：构建所述敏感场域中各个点位满足边界条件的Laplace方程：
其中，J n 表示所述敏感场域的边界上加入的激励电流的电流密度，表示所述敏感场域的边界电压，n表示所述敏感场域内的法向量。
3.根据权利要求2所述的非接触式硅片电阻率在线测量方法，其特征在于，所述S104具体包括：
S104A：将以所述敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围以外的边缘圆环区域的边界划分为n个边界单元，选取每个边界单元的中点作为节点，则对于节点的积分方程可离散为：
其中，表示边界单元/>上的节点，/>表示节点/>的电压值，/>表示边界单元/>上的节点，n表示节点数量，u j 表示边界单元/>的电压分布，/>表示电流密度函数的法向导数，/>表示节点/>所在的边界单元，q j 表示边界单元/>的法向导数分布，表示电压函数；
S104B：令，则对于节点的积分方程可简化为：
S104C：令，当/>时，/>，其余条件下/>，则对于节点的积分方程进一步简化为：
以矩阵的形式，可表式为：
其中，H、G表示系数矩阵，U表示边界单元节点的电压函数值的列向量，Q表示电流密度函数法向导数值的列向量；
其中，系数矩阵H的各项元素的计算方式为：
其中，H ii 表示系数矩阵H中第i行第i列元素的取值，H ij 表示系数矩阵H中第i行第j列元素的取值，r ij 表示节点到节点/>的距离，h ij 表示节点/>到边界单元/>的垂直距离，l i 表示边界单元/>的长度；
其中，系数矩阵G的各项元素的计算方式为：
；
其中，G ii 表示系数矩阵G中第i行第i列元素的取值，H ij 表示系数矩阵G中第i行第j列元素的取值；
S104D：对矩阵方程进行求解，得到以所述敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围以外的边缘圆环区域的电压分布u。
4.根据权利要求3所述的非接触式硅片电阻率在线测量方法，其特征在于，所述S104具体包括：
S1041：对以所述敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围内的各个点位所满足的Laplace方程，应用变分原理，得到电压分布泛函数：
其中，(x, y)表示各个点位的坐标，x表示点位横坐标，y表示点位纵坐标，表示所述敏感场域内的电压分布，σ表示电阻率，/>表示矢量微分算子，/>表示以所述敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围；
S1042：按照有限元网格的剖分要求，选择网格的数量、密度以及分布状况，将所述敏感场域划分为多个三角形单元，并对单元、节点进行标记，得到M个单元和N个节点；
S1043：每个三角形单元都存在子泛函数，所有三角形单元的子泛函数积分之和构成整个场域内的泛函数，则泛函数可表示为：
其中，表示第e个三角形单元的场域，F e (φ)表示第e个三角形单元的子泛函数，M表示三角形单元的总数；
S1044：通过插值函数，近似表示每个单元内的电压分布函数：
其中，表示点位(x, y)处的电压值，a、b、c表示待求解系数；
以逆时针的方式对三角形单元的3个节点进行编号，分别表示为 I(x 1,y 1)，J(x 2,y 2)，K(x 3,y 3)，并将I(x 1,y 1)，J(x 2,y 2)，K(x 3,y 3)代入到电压分布函数中，得到：
其中，表示插值函数矩阵，/>表示电压分布矩阵，/>表示插值函数项；
S1045：求解电压分布函数的偏导数，计算得到：
其中，表示第e个三角形单元的系数矩阵，/>表示第e个三角形单元的电压分布矩阵；
S1046：根据电压分布函数的偏导数，计算表示第e个三角形单元的子泛函数F e (φ)：
其中，表示矩阵转置；
S1047：计算每个三角形单元中电流密度的泛函数：
其中，表示第e个三角形单元的电流密度的泛函数，/>表示所述敏感场域内的电压分布，Q e 表示第e个三角形单元的电流密度；
S1048：对各个三角形单元的子泛函数F e (φ)以及电流密度的泛函数进行累积，得到整个敏感场域的泛函数：
其中，表示第e个三角形单元的电流密度矩阵，/>表示矩阵转置，M表示总系数矩阵，Q表示总电流密度矩阵；
S1049：对整个敏感场域的泛函数取极值，得到有限元方程组：
S10410：利用高斯列主元素消元法求解有限元方程组，得到以所述敏感场域的中心为圆心、预设半径为半径的圆形范围内的电压分布。
5.根据权利要求1所述的非接触式硅片电阻率在线测量方法，其特征在于，所述S105具体包括：
构建所述逆问题模型中电阻率计算的目标函数：
其中，所述待测硅片内部共有M个单元，ρ表示M维电阻率分布矢量，ρ中的元素对应各个单元的电阻率，V(ρ)表示电阻率分布为ρ时的边界电压值，U表示测量的边界电压值，表示矩阵的模运算。
6.根据权利要求5所述的非接触式硅片电阻率在线测量方法，其特征在于，所述S106具体包括：
S1061：对电阻率计算的目标函数进行求导，并令导数值为0，则有：
其中，表示雅克比矩阵，可表示为/>；
S1062：对导数进行泰勒展开，只保留泰勒展开的线性项，则有：
其中，表示第k次迭代的电阻率分布；
S1063：根据泰勒展开结果，得到第k次迭代时的增量：
其中，表示第k次迭代的雅克比矩阵，/>表示电阻率分布为/>时的边界电压值；
S1064：判断第k个迭代时，是否满足收敛条件：
其中，e表示误差值，U表示测量的边界电压值，表示矩阵的二范数，ε表示预设误差值；
S1065：当满足所述收敛条件时，结束迭代，输出第k次迭代的电阻率分布；当不满足所述收敛条件时，/>，继续进行下一次迭代，直至满足所述收敛条件。
7.根据权利要求1所述的非接触式硅片电阻率在线测量方法，所述S105具体包括：
引入正则化参数，构建所述逆问题模型中电阻率计算的目标函数：
其中，所述待测硅片内部共有M个单元，ρ表示M维电阻率分布矢量，ρ中的元素对应各个单元的电阻率值，V(ρ)表示电阻率分布为ρ时的边界电压值，U表示测量的边界电压值，表示矩阵的模运算，/>表示正则化因子，L表示正则化矩阵，ρ 0表示初始的电阻率值。
8.根据权利要求7所述的非接触式硅片电阻率在线测量方法，所述S106具体包括：
S106A：对电阻率计算的目标函数进行求导以及泰勒展开，得到第k次迭代时的增量：
其中，表示第k次迭代的电阻率分布，/>表示第k次迭代的雅克比矩阵，/>表示电阻率分布为/>时的边界电压值，U表示测量的边界电压值，/>表示正则化因子，L表示正则化矩阵，ρ 0表示初始的电阻率值，/>表示矩阵转置；
选取，I表示单位矩阵，/>，则增量/>可简化为：
S106B：判断第k个迭代时，是否满足收敛条件：
其中，e表示误差值，U表示测量的边界电压值，表示矩阵的二范数，ε表示预设误差值；
S106C：当满足所述收敛条件时，结束迭代，输出第k次迭代的电阻率分布；当不满足所述收敛条件时，/>，继续进行下一次迭代，直至满足所述收敛条件。
9.根据权利要求1所述的非接触式硅片电阻率在线测量方法，所述S107具体包括：
S1071：根据所述待测硅片的内部电阻率分布，获取所述待测硅片内部各个单元的电阻率；
S1072：获取各个单元的电阻率中的众数 R mode、最小值 R min和最大值 R max；
S1073：计算负最大电阻变化率C min：
S1074：当所述负最大电阻变化率的绝对值时，使用白色/>代表电阻率R min，其中，R、G、B分别表示R通道色值、G通道色值、B通道色值，使用颜色代表电阻率R mode；
S1075：计算负最大电阻变化率C max：
S1076：当所述负最大电阻变化率的绝对值时，使用黑色/>代表电阻率R max，使用颜色/>代表电阻率R mode；
S1077：根据当前单元的电阻率，计算当前单元的电阻变化率：
其中，R表示当前单元的电阻率，C表示当前单元的电阻变化率；
S1078：根据当前单元的电阻变化率C，通过查找灰度值与电阻变化率映射表，确定当前单元的灰度值；
S1079：根据所述待测硅片内部各个单元的的灰度值，构建电阻率灰度图。
10.一种非接触式硅片电阻率在线测量系统，其特征在于，用于执行权利要求1至9任一项所述的非接触式硅片电阻率在线测量方法。
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Legal Events
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| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| RJ01 | Rejection of invention patent application after publication | ||
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Application publication date: 20231020 |