CN108363827B - 一种基于相似理论的混联机床静刚度分析方法 - Google Patents

Abstract

一种基于相似理论的混联机床静刚度分析方法，属于机械制造技术领域。该方法首先将混联机床划分为梁单元和转动副单元的组合体，根据两种单元刚度矩阵的表达式确定与混联机床静刚度有关的物理量；之后根据物理量推导与混联机床静刚度有关的相似准则，并结合客观约束条件，对相似准则进行放宽，推导各物理量相似比之间的关系；为使其轴向与径向刚度满足相似准则，对转动副进行等效设计，确定转动副刚度的相似比，并在此基础上确定其他物理量的相似比；根据长度相似比制作模型机床，进行试验，并根据混联机床静刚度相似比反推原型机床静刚度。本方法通过模型试验测量机床刚度，降低了试验难度，并且具有较高的精度。

Description

一种基于相似理论的混联机床静刚度分析方法

技术领域

本发明属于机械制造领域，特别涉及用模型试验法测量混联机床的静刚度。

背景技术

联机床是机械制造业中的重要装备。与传统的串联机床相比，混联机床具有刚度-重量比大、动态特性好的优势，同时，混联机床克服了纯并联机床工作空间过小的缺点，因此理论上混联机床具有更好的加工性能。但是由于结构复杂，目前对混联机床的研究仍然不够成熟，设计方法有待创新和完善，只有少数的混联机床投入到工业应用中。在阻碍混联机床实用化的众多因素里，混联机床静刚度分析方法不完善是一个重要原因。

对混联机床静刚度的分析方法可以分为理论分析和试验测量两类。其中，理论分析主要包括有限元分析和刚度解析分析。有限元分析是指通过Ansys等软件对虚拟机床进行仿真，得到机床在负载作用下的应力应变，从而得到混联机床的静刚度特性。这种方法的分析结果与模型的精确程度关系很大，容易受到建模误差的影响，此外分析位姿对静刚度的影响时需要不断修改模型，因而这种方法效率较低，只适用于特定位姿下的机床静刚度分析。刚度解析分析则是指通过力学关系的推导，得到机床变形与负载之间数学关系式的一种方法。由于并联机构中各杆件的刚度会相互影响，同时各杆件的受力会随动平台位姿的改变而发生变化，因此对混联机床静刚度的理论计算十分复杂，同时，混联机床相比于串联机床具有更多的转动副，因此转动副非线性的刚度特性对混联机床的影响更为明显，在分析时不能将其忽略，这进一步增加了理论计算的复杂性。目前的刚度解析方法大都对模型进行简化，以降低计算的复杂程度，这导致理论分析的误差较大，无法满足高精度机床的设计要求。

目前，对于混联机床静刚度的理论分析仍然存在局限性，理论分析还有待发展和完善，因此，提出一种针对混联机床整机刚度的试验方法具有重要的意义。

发明内容

本发明的目的是为了避免理论分析所产生的较大误差，提出一种准确获得混联机床整机静刚度的模型试验方法。

本发明的技术方案如下：

1)将混联机床整体看作由梁单元与转动副单元组成的框架结构，建立梁单元与转动副单元的单元刚度矩阵，其中，梁单元采用结构矩阵法的两结点梁单元刚度矩阵，转动副单元的单元刚度矩阵为：

k_{rot_r}、

2)基于梁单元与转动副单元的单元刚度矩阵，得到与混联机床静刚度有关的物理量，物理量包括：弹性模量E、切变模量G、杆件横截面积A、杆件长度l、惯性矩Iy和Iz、极惯性矩Ip、轴承跨距b、轴承径向刚度kr、转动副径向刚度krot_r和转动副轴向刚度krot_a；

3)利用步骤2)中得到的物理量，推导与混联机床静刚度有关的π_1～π_9九个相似准则，分别为：

本发明建立了机床模型与机床原型之间的定量关系；与传统的理论解析方法与有限元方法相比，本方法对机床没有过多的简化，能够更为准确地得到机床整机静刚度；此外，与原型机床试验相比，本方法基于相似理论对模型机床进行试验，降低了试验的难度和成本。

附图说明

图1为方法流程图。

图2为一种5自由度龙门式混联机床。

图3为二维并联机构简化示意图。

图4为转动副等效设计结构图。

图中：1-第一连杆；2-第二连杆；3-第三连杆；4为第四连杆；5为第一滑块；6为第二滑块；7为动平台；8为圆锥滚子轴承；9为碟簧；10为推力球轴承。

具体实施方法

以下以具体实施例对本发明作进一步详细说明：

首先，将混联机床看作由梁单元和转动副单元组成的框架结构，对混联机床进行单元划分，并推导梁单元和转动副单元的单元刚度矩阵；其次，跟据梁单元与转动副单元的刚度矩阵，找到所有与混联机床静刚度有关的物理量；根据相似准则量纲为1的特点，结合前述物理量，推导与混联机床静刚度有关的相似准则；分析机床结构中存在的客观约束条件，对与机床转动副尺寸有关的相似准则进行放宽；根据放宽之后的相似准则，推导各物理量的相似比之间的关系；改变模型机床转动副的结构，对模型机床转动副进行等效设计，并依据新的结构确定转动副刚度的相似比，结合物理量相似比之间的关系，推导机床尺寸以及整机刚度的相似比；根据原型机床的尺寸以及机床尺寸的相似比，计算模型机床的尺寸，并据此制作模型机床的实物；对模型机床进行试验，测量模型机床的整机静刚度值，并根据整机静刚度的相似比推导原型机床的整机静刚度。具体方法步骤如下：

1)将混联机床看作框架结构，用梁单元和转动副单元对其进行划分，梁单元和转动副单元均采用三维两节点单元。其中梁单元采用结构矩阵法的两结点梁单元刚度矩阵，其具体表达式如下：

其中E是材料的弹性模量，G是切变模量，A是杆件的横截面积，l是杆件长度，I_p为杆件极惯性矩，I_y、I_z为杆件惯性矩。

转动副单元的刚度矩阵用转动副径向刚度k_{rot_r}、转动副轴向刚度k_{rot_a}、轴承径向刚度k_r和轴承跨距b四个物理量表示；针对每个转动副只含有两个轴承的情况，转动副单元刚度矩阵具体表达式如下：

其中k_{rot_r}、k_{rot_a}、k_r与轴承的内外径大小、内外圈宽度、滚子大小等尺寸参数有关；

2)根据梁单元与转动副单元的刚度矩阵，可以找到与混联机床静刚度有关的所有物理量如下

表1与混联机床静刚度有关的物理量

表格中的数字代表某一导出量纲对应三个基本量纲的指数；

3)根据相似准则量纲为1这一特点，将各个物理量进行组合，得到与混联机床静刚度有关的π₁～π₉9个相似准则，分别为：

4)结合轴承尺寸不能任意选择这一客观约束条件，对与转动副尺寸有关的相似准则进行放宽，即在“模型机床与原型机床中相似准则π₁、π₂大小相等”的前提下，任意选择与转动副尺寸有关的参数，参数包括轴承内径、轴承外径、轴承宽度和滚子大小；

5)令步骤3)中的相似准则在模型机床和原型机床中大小相等，并且规定模型机床与原型机床采用相同的材料制造，得到与机床静刚度有关的上述物理量相似比之间的关系，以长度相似比为基本相似比时，相似比的关系为：

A^*＝l^*2、b^*＝l^*、

E^*＝1、G^*＝1

其中，

为轴承径向刚度相似比、

为转动副轴向刚度相似比、

为转动副径向刚度相似比、A^*为面积相似比、b^*为轴承跨距相似比、

和

为惯性矩相似比、

为极惯性矩相似比、E^*为弹性模量相似比、G^*为切变模量相似比；

6)对模型机床转动副进行等效设计，设计方法是，在模型转动副中增设一对推力球轴承，并在推力球轴承的轴圈侧安装一对碟形弹簧，推力球轴承与碟形弹簧在刚度上是串联关系。在等效设计的转动副中，轴向载荷只由推力球轴承和碟形弹簧的组合体承受，径向载荷只由原轴承承受；

7)在等效设计的转动副中，选定模型机床转动副中的原轴承型号，以转动副径向刚度的相似比为基础确定其他刚度的相似比，并通过迭代法确定原轴承的轴向预紧力。计算转动副径向刚度值，并据此确定转动副径向刚度的相似比；

8)根据步骤7)中所述转动副径向刚度相似比，推导转动副轴向刚度值，据此确定推力球轴承以及碟形弹簧型号，并通过改变轴向预紧力微调转动副轴向刚度。推力球轴承轴向力的计算公式如下：

其中F_a为轴向力(N)，δ_a为轴向变形(μm)，Z为滚子个数，D_w为滚子直径(mm)，α为轴承接触角，此处取为90度。碟形弹簧轴向力的计算公式如下：

其中F_a为轴向力(N)，δ_a为轴向变形(μm)，E表示材料的弹性模量，此处取206GPa，μ为泊松比，此处取为0.3，t(mm)为碟簧厚度，D(mm)为碟簧外径，h₀(mm)为碟簧压平时的变形量，K₁是计算系数，其计算公式为：

9)结合步骤5)中得到的相似比的关系，推导长度的相似比以及混联机床静刚度相似比；

10)基于步骤9)中长度的相似比以及原型机床的尺寸，得到模型机床的尺寸，并制作模型机床实物；

11)对模型机床开展试验，得到模型机床的静刚度参数。结合步骤10)中得到的整机刚度相似比，推导原型机床的静刚度。

实施例

将所提出的一种基于相似理论的混联机床静刚度分析方法应用于一台5自由度龙门式混联机床。该机床如图2所示，龙门式混联机床的主体是一个二维机构，该机构简化模型如图3所示。其中第一杆件、第二杆件、第三杆件和第四杆件为四根等长度的连杆，这四根连杆组成两个平行四边形机构，四根杆件的上端分别于第一滑块和第二滑块铰链，下端与动平台相连。由于平行四边形机构的特点，动平台只能发生平动，无法发生转动。滑块在丝杠带动下做独立的竖直运动，共同决定动平台在平面中的位置，使机床具备了两个自由度。动平台上安装转台与刀具，转台有两个相互垂直的转轴，使机床具备了另外两个自由度。结合机床底部的直线导轨，整个机床为一个5自由度机床。针对本实施例进行混联机床静刚度的模型测试步骤如下：

1)将混联机床看作框架结构，用梁单元和转动副单元对其进行划分。梁单元和转动副单元均采用三维两节点单元。梁单元的刚度矩阵如式(1)所示。转动副单元的刚度矩阵用转动副径向刚度k_{rot_r}、转动副轴向刚度k_{rot_a}、轴承径向刚度k_r和轴承跨距b四个物理量表示，转动副的刚度矩阵如式(2)所示；

2)根据梁单元与转动副单元的刚度矩阵，可以找到与混联机床静刚度有关的所有物理量如表1所示。在这里暂时不将轴承的尺寸参数考虑在内；

3)根据相似准则量纲为1这一特点，将各个物理量进行组合，得到与混联机床静刚度有关的π₁～π₉9个相似准则，分别为：

4)原型机床的转动副使用的是32212圆锥滚子轴承。分析客观条件对轴承尺寸的约束可以发现，由于轴承为标准件，轴承尺寸只能取特定的值，因此对与转动副尺寸有关的相似准则进行放宽，即在“模型机床与原型机床中相似准则π₁、π₂大小相等”的前提下，任意选择与转动副尺寸有关的参数，参数包括轴承内径、轴承外径、轴承宽度和滚子大小；

5)放宽相似准则后，令步骤3)中的相似准则在模型机床和原型机床中大小相等，并且规定模型机床与原型机床采用相同的材料制造，以长度相似比为基本相似比，相似比的关系为：

A^*＝l^*2、b^*＝l^*、

E^*＝1、G^*＝1

其中，

为轴承径向刚度相似比、

为转动副轴向刚度相似比、

为转动副径向刚度相似比、A^*为面积相似比、b^*为轴承跨距相似比、

和

为惯性矩相似比、

为极惯性矩相似比、E^*为弹性模量相似比、G^*为切变模量相似比；

6)对模型机床转动副进行等效设计，设计方法是，在模型转动副中增设一对推力球轴承，并在推力球轴承的轴圈侧安装一对碟形弹簧，推力球轴承与碟形弹簧在刚度上是串联关系。在等效设计的转动副中，轴向载荷只由推力球轴承和碟形弹簧的组合体承受，径向载荷只由圆锥滚子轴承承受。等效设计的转动副如图4所示；

7)在等效设计的转动副中，选定模型机床转动副中的圆锥滚子轴承型号为32203，圆锥滚子轴承的径向变形由滚子沿径向的弹性变形δ_r1、轴承内圈与轴径配合表面接触变形δ_r2以及轴承外圈与箱体孔配合表面接触变形δ_r3三部分组成，计算公式如下

其中F_r为径向载荷，l为滚子有效长度，α为轴承接触角，δ_a为预紧力作用下产生的轴向变形，ψ为滚子之间间隔的角度，ψ₀为第一个滚子偏离纵向轴线的角度，b₂、b₃为轴承内外套圈的宽度，d₂、d₃为轴承内外径大小，H₂为系数，此处应取为0.25。预紧力导致的轴向初始变形计算公式如下

其中F_a为轴向预紧力，Z为滚子个数。通过迭代法确定模型圆锥滚子轴承的预紧力为100N，计算此时模型转动副径向刚度为1.97×10⁸N/m，原型转动副径向刚度为9.92×10⁸N/m，并据此确定转动副径向刚度的相似比5.04；

8)原型机床转动副的轴向刚度为6.67×10⁸N/m，根据步骤7)中所述转动副径向刚度相似比，模型机床转动副轴向刚度应为1.32×10⁸N/m。根据公式(3)～(5)，确定推力球轴承型号为51201，碟形弹簧为A系列外径25mm型，组合体轴向预紧力为600N；

9)结合步骤5)中得到的相似比的关系，得到长度的相似比以及混联机床静刚度相似比均为5.04；

10)基于步骤9)中长度的相似比以及原型机床的尺寸，得到模型机床的尺寸，并制作模型机床实物；

11)对模型机床开展试验，得到模型机床的静刚度参数。结合步骤10)中得到的混联机床静刚度相似比，推导原型机床的静刚度。

Claims (3)

1.一种基于相似理论的混联机床静刚度分析方法，其特征在于该方法包括如下步骤：

1)将混联机床整体看作由梁单元与转动副单元组成的框架结构，建立梁单元与转动副单元的单元刚度矩阵，其中，梁单元采用结构矩阵法的两结点梁单元刚度矩阵，转动副单元的单元刚度矩阵为：

其中k_{rot_r}、k_{rot_a}、k_r、b分别为转动副径向刚度、转动副轴向刚度、轴承径向刚度和轴承跨距；

2)基于梁单元与转动副单元的单元刚度矩阵，得到与混联机床静刚度有关的物理量，物理量包括：弹性模量E、切变模量G、杆件横截面积A、杆件长度l、惯性矩I_y和I_z、极惯性矩I_p、轴承跨距b、轴承径向刚度k_r、转动副径向刚度k_{rot_r}和转动副轴向刚度k_{rot_a}；

3)利用步骤2)中得到的物理量，推导与混联机床静刚度有关的π₁～π₉九个相似准则，分别为：

4)结合轴承尺寸不能任意选择这一客观约束条件，对与转动副尺寸有关的相似准则进行放宽，即在“模型机床与原型机床中相似准则π₁、π₂大小相等”的前提下，任意选择与转动副尺寸有关的参数，参数包括轴承内径、轴承外径、轴承宽度和滚子大小；

5)令步骤3)中的相似准则在模型机床和原型机床中大小相等，并且规定模型机床与原型机床采用相同的材料制造，得到与机床静刚度有关的上述物理量相似比之间的关系，以长度相似比为基本相似比时，相似比的关系为：

A^*＝l^*2、b^*＝l^*、

E^*＝1、G^*＝1

其中，

为轴承径向刚度相似比、

为转动副轴向刚度相似比、

为转动副径向刚度相似比、A^*为面积相似比、b^*为轴承跨距相似比、

和

为惯性矩相似比、

为极惯性矩相似比、E^*为弹性模量相似比、G^*为切变模量相似比；

6)对模型机床的转动副进行等效设计，根据相关标准确定机床模型所用轴承型号，计算模型机床转动副的刚度；根据模型机床与原型机床转动副刚度，得到转动副刚度的相似比

和

结合步骤5)中得到的相似比的关系，得到长度的相似比l^*；根据“量纲相同的物理量相似比相同”这一原理，得到混联机床静刚度的相似比k^*等于轴承径向刚度相似比

7)基于步骤6)中长度的相似比l^*与原型机床尺寸，得到模型机床的尺寸，若模型机床尺寸满足试验条件的要求，制作模型机床实物；否则重复步骤6)直到模型机床尺寸满足要求；

8)对模型机床开展试验，得到模型机床的静刚度参数；基于混联机床静刚度的相似比k^*，得到原型机床的静刚度。

2.根据权利要求1所述的一种基于相似理论的混联机床静刚度分析方法，其特征在于，步骤6)所述的转动副等效设计方法为，在模型转动副中增设一对推力球轴承，并在推力球轴承的轴圈侧安装一对碟形弹簧，推力球轴承与碟形弹簧在刚度上是串联关系；在等效设计的转动副中，轴向载荷只由推力球轴承和碟形弹簧的组合体承受，径向载荷只由圆锥滚子轴承承受。

3.根据权利要求1所述的一种基于相似理论的混联机床静刚度分析方法，其特征在于，步骤6)所述确定转动副刚度相似比的方法包括如下步骤：

1)选定模型机床转动副中的圆锥滚子轴承，并通过迭代法确定圆锥滚子轴承的轴向预紧力，计算转动副径向刚度值，并据此确定转动副径向刚度的相似比；

2)根据1)中所述转动副径向刚度相似比，推导转动副轴向刚度值，据此确定推力球轴承以及碟形弹簧型号，并通过改变轴向预紧力微调转动副轴向刚度。

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