CN108120954B - 一种高精度toa变化率定位方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供了一种高精度TOA变化率定位方法，其特征在于，包括以下步骤：采用无偏估计和有偏估计方法分别估计TOA变化率；根据无偏估计得到的TOA变化率进行定位得到包含定位偏差的粗定位结果；根据有偏估计方法计算定位偏差；从粗定位结果中减去位置偏差得到目标位置的精估计。

Description

一种高精度TOA变化率定位方法
技术领域
本发明涉及一种无源定位技术，特别时一种高精度TOA变化率定位方法。
背景技术
所谓TOA定位就是测量出两个(或多个)基站与移动台之间的信号传播时间，从而得到两个(或多个)基站到移动台距离的估计值，以基站为圆心，到移动台的距离为半径画圆，多个圆的交点就是移动台的估计位置。当出现多个圆不交于同一点时，可以采用一定的方法消除奇异解而得到一个准确的估计位置。
发明内容
本发明的目的在于提供一种高精度TOA变化率定位方法，包括以下步骤：
步骤1，采用无偏估计和有偏估计方法分别估计TOA变化率；
步骤2，根据无偏估计得到的TOA变化率进行定位得到包含定位偏差的粗定位结果；
步骤3，根据有偏估计方法计算定位偏差；
步骤4，从粗定位结果中减去位置偏差得到目标位置的精估计。
本发明在TOA获取定位时，采用无偏估计方法获得的定位误差更小。
下面结合说明书附图对本发明作进一步描述。
附图说明
图1为TOA变化率定位原理图。
图2为等效速度估计误差与相对径向加速度的关系示意图。
图3为等效速度估计误差与观测站速度的关系示意图。
图4为基于有偏估计的随机定位误差分布示意图。
图5为基于有偏估计的定位偏差分布示意图。
图6为基于有偏估计的定位总误差分布示意图。
图7为基于有偏估计的修正后定位总误差分布示意图。
图8为观测站速度对定位的影响示意图。
图9为观测站加速度对定位的影响示意图。
图10为不同方法定位误差对比示意图。
图11为本发明的方法流程示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做更详细的描述：
1 TOA变化率估计
1.1TOA观测模型
如图1所示，假设静止目标以恒定的重复周期辐射脉冲信号，观测站采用单个通道接收目标信号并估计出脉冲TOA序列。一段时间内，观测站沿一定的航迹运动，由于多普勒效应，在A、B、C等不同时刻，观测站接收到的脉冲间隔不等于脉冲发出的间隔，而是与观测站的速度和观测站与目标的相对位置有关，表现为当观测站接近目标时，脉冲间隔小于脉冲发出的重复周期，反之则大于脉冲发出的重复周期。因而脉冲的间隔包含了相对位置信息，如果持续观测目标信号，尽管单个脉冲无法确定脉冲的位置，但通过观测不同时刻脉冲间隔的变化，也可以实现定位。考虑一般的情形，即不知道信号的重复周期，对二维定位问题建立TOA和目标与观测站相对位置关系的方程，则理论上至少需要在三个不同位置观测即可确定目标位置和信号重复周期。
由于切向速度分量不影响TOA的变化，因此只考虑径向速度分量的影响。记未知的脉冲重复周期(pulse repetitioninterval,PRI)为Tr，以第一个脉冲的发出时刻为时间零点，收到第n个脉冲时观测站与目标的距离记为rn，电磁波传播速度记为c，则收到第n个脉冲的时刻tn为
Figure GDA0002887705930000021
记第一个脉冲的发出时刻观测站与目标的距离、相对径向速度、相对径向加速度分别为r0、
Figure GDA0002887705930000022
在较短的观测时间内，认为径向加速度不变。
Figure GDA0002887705930000023
分别满足
Figure GDA0002887705930000024
Figure GDA0002887705930000025
式中，v、a分别为观测站的速度和加速度矢量。r＝P-T，r＝||P-T||分别为观测站相对目标的位置矢量和距离，P为观测站的位置。同时考虑到观测站无法获知脉冲发出的时间零点，即观测站与目标存在时钟偏差，记为t，由式(4)～(6)可得到
Figure GDA0002887705930000031
Figure GDA0002887705930000032
Figure GDA0002887705930000033
式中，
Figure GDA0002887705930000034
t0为与时间无关的未知常量。可以发现，观测站存在加速度时，TOA呈二次变化的规律，二次变化率记为
Figure GDA0002887705930000035
一次变化率随时间变化，初始值记为
Figure GDA0002887705930000036
如果不存在相对径向加速度，可以得到
Figure GDA0002887705930000037
此时有
Figure GDA0002887705930000038
称式(8)所示的模型为一次模型。由式(7)、式(8)所示的TOA观测模型可以知道，TOA变化率包含相对径向速度信息，通过估计TOA序列的一次变化率可以建立目标和观测站的相对位置关系式，从而实现对目标的定位。
1.2 TOA变化率无偏估计及误差分析
由上一节分析可以知道，TOA观测模型可以写作
Figure GDA0002887705930000039
式中，N为连续观测的TOA个数，根据最小二乘准则，可估计得到
Figure GDA0002887705930000041
式中，
Figure GDA0002887705930000042
如果各次观测独立同零均值高斯分布，记TOA估计方差为σt 2，则可推知TOA变化率估计误差为
Figure GDA0002887705930000043
类似的，不存在相对径向加速度时可估计得到
Figure GDA0002887705930000044
式中，
Figure GDA0002887705930000045
TOA变化率估计误差为
Figure GDA0002887705930000046
对式(2)微分求得
Figure GDA0002887705930000047
可以把TOA变化率估计误差
Figure GDA0002887705930000048
等效为相对径向速度估计误差
Figure GDA0002887705930000049
(下面简称“等效速度估计误差”)。结合
Figure GDA00028877059300000410
的表达式可以知道，在N较大时，
Figure GDA00028877059300000411
因此：1)等效速度估计误差与TOA估计误差成正比；2)相对径向速度
Figure GDA00028877059300000412
越大，等效速度估计误差越小，但由于
Figure GDA00028877059300000413
远小于光速，径向速度大小的影响较小；3)在观测时间TrN一定的前提下，Tr越小、N越大，等效速度估计误差越小。
1.3 TOA变化率有偏估计及误差分析
对比存在和不存在相对径向速度时TOA变化率估计的误差表达式可以发现，二次模型估计误差约为一次模型的4倍。也就是说，相对径向加速度的存在使得TOA变化率的估计误差变大了，直观上看，这是因为此时TOA序列包含的信息还被用于估计TOA二次变化率，而一次模型下TOA序列包含的信息仅用于估计TOA变化率。
为了降低估计误差，在存在相对径向加速度时，采用有偏估计的方法，直接看成一次模型进行估计，可以得到存在但不考虑相对径向加速度时TOA变化率估计的期望
Figure GDA0002887705930000051
此时，估计值的期望不等于真实值，存在估计偏差
Figure GDA0002887705930000052
结合随机估计误差可以得到总的均方估计误差(MSE,mean-square-error)为
Figure GDA0002887705930000053
因而有偏估计均方误差小于无偏估计均方估计误差的条件为
Figure GDA0002887705930000054
即
Figure GDA0002887705930000055
近似为
Figure GDA0002887705930000056
从式(16)可以看出，有偏估计能否获得更小的均方估计误差与相对径向加速度
Figure GDA0002887705930000057
TOA估计精度、N有关：TOA估计误差越大、N越小、相对径向加速度越小，越适合采用有偏估计方法。结合相对径向速度表达式可以得出，观测站不存在加速度或速度较小时，相对径向加速度较小，此时采用有偏估计方法可得到均方误差更小的估计值。
2 TOA变化率定位模型和误差分析
建立如式(17)所示的关于TOA变化率、信号重复周期和目标位置的方程
Figure GDA0002887705930000061
式中，Pm、vm分别为第m次观测时观测站的位置和速度；
Figure GDA0002887705930000062
为第m次估计得到的TOA变化率；T为目标位置；||·||表示向量的长度。每次观测时由接收到的若干个脉冲估计得到一个TOA变化率。经过M次观测，整理为如式(18)所示的定位模型
Figure GDA0002887705930000063
经过上一节的分析可发现，一定条件下有偏估计可以获得更小的均方误差，进一步需要研究有偏估计对定位的影响。
目前，定位误差的分析主要针对随机估计误差，一般采用概率密度函数法或微分法，在要求分析观测站位置和速度误差时，微分法一般比概率密度函数法更为简便；针对估计偏差对定位误差的影响的研究相对较少。本发明直接采用微分法推导同时存在估计偏差和随机误差时的均方定位误差。
如果考虑观测量的估计偏差，则定位方程为
Figure GDA0002887705930000064
式中，
Figure GDA0002887705930000065
为包含估计偏差
Figure GDA0002887705930000066
的估计，
Figure GDA0002887705930000067
记
Figure GDA0002887705930000068
对式(19)两边微分可得
Figure GDA0002887705930000069
式中，d()为微分算子。由于
Figure GDA00028877059300000610
为估计偏差，
Figure GDA00028877059300000611
对式进一步化简整理得到
Figure GDA0002887705930000071
式中，
Figure GDA0002887705930000072
Figure GDA0002887705930000073
积累M次观测，写成向量形式为
Figure GDA0002887705930000074
式中，
Figure GDA0002887705930000075
Figure GDA0002887705930000076
J3,m＝[0 … j3,m T … 0]T，
Figure GDA0002887705930000077
J2,m、J3,m、J4,m均为M行、除第m行之外各行元素全为0的向量。由式可求得
Figure GDA0002887705930000078
其中，
Figure GDA0002887705930000079
表示伪逆。对式求期望得到
Figure GDA00028877059300000710
假设各次观测及对应的观测站位置和速度误差分别独立同分布，一阶矩为0，二阶矩分别为
Figure GDA00028877059300000711
σPσP T、σvσv T，对式两边分别共轭相乘求期望得到均方误差矩阵为
Figure GDA0002887705930000081
式中，
Figure GDA0002887705930000082
表示以
Figure GDA0002887705930000083
……、
Figure GDA0002887705930000084
为第1～M个对角元素、非对角元素均为0的矩阵，其余两项与之类似。由式得到定位误差的几何分布(geometricdilution of precision，GDOP)为
Figure GDA0002887705930000085
由式可以知道，定位误差由两部分构成，分别是定位偏差和随机定位误差；J1与真实的TOA变化率有关，与估计偏差无关，因而利用随机误差更小的有偏估计进行定位时可获得更小的随机定位误差。
3基于偏差修正的TOA变化率定位方法
3.1无偏TOA变化率定位算法
式(18)所示的方程组非线性程度较高，本文采用牛顿迭代方法求解，对位置T和Tr同时进行迭代搜索。令y＝[y1 … yM]T，
Figure GDA0002887705930000086
记α＝[TT,Tr]T，F(T)＝yTy，根据牛顿法有
Figure GDA0002887705930000087
式中，α0＝[T0 T,Tr0]T，T0为迭代初始位置，Tr0为迭代初始信号重复周期；
Figure GDA0002887705930000088
为初始位置α0处的Jacobian矩阵和Hessian矩阵。Jacobian矩阵为
Figure GDA0002887705930000089
其中，
Figure GDA00028877059300000810
Figure GDA00028877059300000811
Hessian矩阵为
Figure GDA00028877059300000812
其中，
Figure GDA00028877059300000813
表示Kronecher积，I3×3为3×3的单位矩阵，
Figure GDA0002887705930000091
Figure GDA0002887705930000092
vec()表示将矩阵按列取为向量，02×1＝[0 0]T，
Figure GDA0002887705930000093
采用上述牛顿法，经过若干次迭代可得到目标位置的估计。
3.2基于有偏估计与偏差修正的定位方法
根据3.1节的定位算法，可以得到目标位置的粗估计，包含位置偏差和随机定位误差。位置偏差与TOA变化率及其估计偏差，以及目标与观测站的相对位置、相对速度关系有关，因而可以利用有偏TOA变化率的粗定位结果计算出位置偏差的近似值。从粗定位结果中减去该近似的位置偏差，即可降低TOA变化率估计的有偏性带来的影响，得到主要包含随机误差的定位结果。
3.3位置偏差可修正性分析
上一节给出了TOA变化率定位偏差修正方法，由于粗定位结果误差相对较大，因而需要分析利用粗定位结果进行偏差修正的可行性。粗定位精度影响相对径向加速度计算误差，从而影响TOA二次变化率的计算，以及对TOA变化率估计偏差的计算。为了简化分析，将粗定位误差看成是随机误差进行分析。结合式(3)可以得到
Figure GDA0002887705930000094
式中，σr、σv、σa分别为粗定位误差矢量、观测站速度误差矢量、观测站加速度误差矢量。
定位偏差可修正的条件为
Figure GDA0002887705930000101
即根据粗定位结果计算TOA变化率估计偏差的误差远小于估计偏差本身，则可以有效地消除估计偏差，修正后的残差将远小于估计偏差，从而能够提高定位精度。
4仿真分析
4.1 TOA变化率估计误差分析
根据的1.2节的分析，可采用等效速度估计误差更直观地表示TOA变化率估计误差，图2仿真了等效速度估计误差与相对径向加速度的关系。仿真条件为：相对径向速度为150m/s，PRI为1ms，TOA估计误差为10ns，加速度范围为1～20m/s2，利用500个脉冲估计TOA变化率，经过500次蒙特卡洛仿真。
由图2可以看出：1)无偏估计误差以及有偏估计随机估计误差与相对径向加速度大小无关，有偏估计偏差正比于相对径向加速度，因而有偏估计总误差随着相对径向加速度的增大而增大，相对径向加速度超过一定大小(图中约为2.5m/s2)时，估计偏差为主要的误差因素；2)在相对径向加速度小于14.4m/s2时，无偏估计误差大于有偏估计，而当相对径向加速度大于14.4m/s2时，有偏估计误差大于无偏估计，有偏估计产生了较大的估计偏差，与图2仿真结果一致。
相对径向加速度不仅与观测站加速度有关，还与观测站速度有关，图3仿真了等效速度估计误差与观测站速度的关系。仿真条件为：目标位于坐标原点，观测站位置为[-100,100]km，观测站沿+X方向运动，速度范围为500～1700m/s，观测站加速度为零，其余仿真条件与图2相同。
由图3可以看出：1)观测站速度对有偏估计和无偏估计随机估计误差没有影响，观测站速度越大，有偏估计偏差越大；2)观测站运动速度小于一定值(图中约为700m/s)时，有偏估计误差主要为估计偏差，当速度变大时，估计偏差逐渐大于随机估计误差；3)观测站运动速度大于一定值时，有偏估计误差小于无偏估计，计算该速度值约为1447m/s，与图3一致；而当观测站运动速度大于1447m/s时，相对目标的径向加速度变大，有偏估计误差大于无偏估计，采用有偏估计产生较大的估计误差。
结合图2、图3可以看出，当观测站速度很大或加速度很大时，相对径向加速度较大，采用有偏估计将产生较大的估计偏差，在定位时需要考虑估计偏差的影响。
4.2定位误差组成与分布分析
根据理论分析及4.1节的仿真，相对径向速度、相对径向加速度大小对等效速度随机估计误差几乎没有影响，相对径向加速度大小对等效速度随机估计偏差有影响，因此为了简化分析，仿真中假定目标位于不同位置时，等效速度估计的随机误差相同，一次模型等效速度估计误差存在的估偏差根据式计算。
图6～图7仿真了有偏估计的TOA变化率定位的误差分布。仿真条件为：观测站初始位置为坐标零点，初始速度为[800，0]m/s，加速度为[5，0]m/s2，连续观测60s，信号重复周期为5ms，TOA估计误差为30ns，利用500个脉冲估计TOA变化率，观测站各个方向上的位置误差均为5m，观测站各个方向上的速度误差均为0.5m/s。有偏估计的随机定位误差、定位偏差、总定位误差以及修正后的总定位误差分别如图4～图7所示。
此外，由于无偏估计的随机定位误差为无偏估计的随机定位误差的4倍，因此可以根据图4看出基于有偏估计的定位误差分布，限于篇幅，这里没有画出其分布图。由图6～图7可以看出：1)在此条件下，即使不经过偏差修正有偏估计定位误差也小于无偏估计定位误差；2)在此条件下，随机定位误差为主要因素，同时存在不可忽略的定位偏差；3)可以得出此时满足可修正条件，同时从图6可以看出，在定位误差相对较高的区域，如[100,100]km处定位误差小于3km，而从图5可以看出，在[100,100]km附近3km范围内，定位偏差的变化远小于3km，因而也可以直观判定偏差修正的可行性；4)图7所示的有偏估计的修正后总定位误差近似等于随机定位误差，从而验证了偏差修正的有效性。
4.3定位误差的影响因素分析
定位误差的影响因素包括TOA估计误差、PRI、观测站速度、观测站加速度以及导航参数误差。其中，TOA估计误差和PRI对定位的影响可以通过分析其对TOA变化率估计的影响得到，在4.1节中已经得到了分析。观测站速度、观测站加速度不仅影响TOA变化率估计精度，还影响相对位置几何关系，因而需要综合分析其定位的影响。
图8仿真了观测站速度对定位的影响。仿真条件为：目标位置为[100，150]km，观测站初始位置为坐标零点，沿+X方向运动，初始速度范围为100～3000m/s，加速度为[5，0]m/s2，连续观测60s，信号重复周期为1ms，TOA估计误差为30ns，利用500个脉冲估计TOA变化率。图9仿真了观测站加速度对定位的影响。仿真条件为：观测站初始速度为[800，0]m/s，存在+X方向上的加速度，加速度范围为1～20m/s2，其余同图8对应的仿真条件。
由图8可以看出，1)观测站速度越大，基于无偏估计的定位误差越小，有偏估计的随机定位误差越小，而基于有偏估计的定位偏差越大，这是因为相对径向加速度变大；2)在此仿真条件下，修正后的定位误差大于基于无偏估计的定位误差。由图9可以看出，基于有偏估计的定位偏差可以得到有效修正，修正后定位误差小于无偏模型定位误差。
4.4定位算法仿真
图10仿真了基于无偏模型估计的TOA变化率定位、未经修正的基于有偏估计的TOA变化率定位、基于有偏估计的TOA变化率定位及修正等三种方法的理论及算法仿真误差与TOA估计误差的关系。仿真条件为：观测站初始速度为[800，0]m/s，加速度为[5，0]m/s2，目标位置为[50,150]km，信号重复周期为5ms，TOA估计误差范围为5～50ns，利用500个脉冲估计TOA变化率，连续观测60s，进行500次蒙特卡洛仿真。观测站各个方向上的定址误差均为5m，观测站各个方向上的速度误差均为0.5m/s，观测站各个方向上的加速度误差均为0.05m/s2。由图10可以看出，1)在此仿真条件下，本文提出的牛顿迭代算法可以达到理论定位精度；2)经过修正，定位精度可以逼近理论值，同时也验证了理论误差分析的正确性。

Claims (3)

1.一种高精度TOA变化率定位方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，采用无偏估计和有偏估计方法分别估计TOA变化率；
步骤2，根据无偏估计得到的TOA变化率进行定位得到包含定位偏差的粗定位结果；
步骤3，根据有偏估计方法计算定位偏差；
步骤4，从粗定位结果中减去定位偏差得到目标位置的精估计；
步骤1所述的采用无偏估计方法估计TOA变化率包括一次变化率
Figure FDA0002942268230000011
和二次变化率
Figure FDA0002942268230000012
Figure FDA0002942268230000013
Figure FDA0002942268230000014
采用有偏估计方法估计TOA变化率为不存在相对径向加速度
Figure FDA0002942268230000015
下的TOA变化率
Figure FDA0002942268230000016
其中，Tr为脉冲重复周期，c为电磁波传播速度，
Figure FDA0002942268230000017
为第一个脉冲的发出时刻观测站与目标的相对径向速度，
Figure FDA0002942268230000018
为第一个脉冲的发出时刻观测站与目标的相对径向加速度，r0为第一个脉冲的发出时刻观测站与目标的距离。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤2的具体过程为：
步骤2.1，根据无偏估计得到的TOA变化率得到定位方程
Figure FDA0002942268230000019
其中，
Figure FDA00029422682300000110
为第m次估计得到的TOA变化率，Pm、vm分别为第m次观测时观测站的位置和速度，T为目标位置，Tr为脉冲重复周期，||·||表示向量的长度；
步骤2.2，采用牛顿迭代法求解定位方程，对位置T和Tr同时进行迭代搜索，具体为：
令y＝[y1 … yM]T，
Figure FDA0002942268230000021
α＝[TT,Tr]T，
F(T)＝yTy，
m∈[1,M]，M为观测总数，
根据牛顿迭代法有
Figure FDA0002942268230000022
式中，α0＝[T0 T,Tr0]T，T0为迭代初始位置，Tr0为迭代初始信号重复周期；
▽F(α0)、▽2F(α0)为初始位置α0处的Jacobian矩阵和Hessian矩阵；
Jacobian矩阵为
Figure FDA0002942268230000023
其中，
Figure FDA0002942268230000024
Figure FDA0002942268230000025
Hessian矩阵为
Figure FDA0002942268230000026
其中，
Figure FDA0002942268230000027
表示Kronecher积，I3×3为3×3的单位矩阵；
Figure FDA0002942268230000028
Figure FDA0002942268230000031
vec(·)表示将矩阵按列取为向量，02×1＝[00]T，
Figure FDA0002942268230000032
采用上述牛顿迭代法，经过若干次迭代可得到目标位置的粗估计。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤3的具体过程为：
步骤3.1，根据有偏估计得到的TOA变化率得到定位方程
Figure FDA0002942268230000033
其中，
Figure FDA0002942268230000034
为第m次估计得到的TOA变化率，
Figure FDA0002942268230000035
Figure FDA0002942268230000036
为
Figure FDA0002942268230000037
的导数，Pm、vm分别为第m次观测时观测站的位置和速度，T为目标位置，Tr为脉冲重复周期，||·||表示向量的长度；
步骤3.2，记
Figure FDA0002942268230000038
对式(5)两边微分得
Figure FDA0002942268230000039
d(·)为微分算子，由于
Figure FDA00029422682300000310
为估计偏差，
Figure FDA00029422682300000311
步骤3.3，对式(6)整理的得
Figure FDA00029422682300000312
式中，
Figure FDA00029422682300000313
Figure FDA00029422682300000314
步骤3.4，积累M次观测，写成向量形式为
Figure FDA0002942268230000041
式中
Figure FDA0002942268230000042
Figure FDA0002942268230000043
Figure FDA0002942268230000044
J3,m＝[0 … j3,m T … 0]T，
Figure FDA0002942268230000045
J2,m、J3,m、J4,m均为M行、除第m行之外各行元素全为0的向量；
步骤3.5，由式(8)得
Figure FDA0002942268230000046
其中，
Figure FDA0002942268230000047
表示伪逆，对式(9)求期望得到
Figure FDA0002942268230000048
假设各次观测及对应的观测站位置和速度误差分别独立同分布，一阶矩为0，二阶矩分别为
Figure FDA0002942268230000049
σPσP T、σvσv T，对式(10)两边分别共轭相乘求期望得到均方误差矩阵为
Figure FDA00029422682300000410
式(11)中，
Figure FDA0002942268230000051
表示以
Figure FDA0002942268230000052
为第1～M个对角元素、非对角元素均为0的矩阵，diag[j3,mσPσP Tj3,m T]表示以j3,1σPσP Tj3,1 T、…、j3,MσPσP Tj3,M T为第1～M个对角元素、非对角元素均为0的矩阵，
Figure FDA0002942268230000053
表示以
Figure FDA0002942268230000054
Figure FDA0002942268230000055
为第1～M个对角元素、非对角元素均为0的矩阵。
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