CN107944149A - 一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法，属于机械机加工技术领域。所述方法包括：建立加工坐标系，对于选定的普通立铣刀，在不同加工参数的组合下进行不少于5组槽铣实验，分别记录下每组槽铣实验得到的三向平均铣削力，将实验数据带入给定算式求解出六项切削力系数的表达式，从而完成整个系数辨识过程。本发明采用以局部半径为变量的多项式来构建切削力系数表达式，准确描述铣刀圆弧段切削力系数随轴向高度不断变化的特性，对于实现铣削力预测和加工仿真具有重要意义。本发明适用于球头铣刀、圆鼻铣刀圆弧段的切削力系数辨识。

Description

一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法

技术领域

本发明涉及一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法，特别适用于球头铣刀、圆鼻铣刀圆弧段的切削力系数辨识，对实现铣削力预测和加工仿真具有重要意义，本发明属于机械机加工技术领域。

背景技术

构建铣削力预测模型是实现加工仿真的基础，而铣削力计算的准确性主要依赖于切削力系数的辨识精度。对于带有圆弧段的普通立铣刀，包括球头铣刀和圆鼻铣刀，随着轴向高度不同，刀具的局部半径会发生改变，由此导致刀具圆弧段的切削力系数出现随轴向高度不断变化的特性，工程实践中常用三次多项式来表示这种变化，此时，多项式变量的选取以及系数辨识方法的构建显得尤为重要。

文献1“Huang T,Zhang X,Ding H.Decoupled chip thickness calculationmodel for cutting force prediction in five-axis ball-end milling[J].International Journal ofAdvanced Manufacturing Technology,2013,69(5-8):1203-1217.”公开了一种球头铣刀切削力系数的辨识方法，其主要通过构建以轴向浸润角为变量的多项式来描述切削力系数随轴向高度的变化，并通过仿真铣削力与实测铣削力的对比，验证了该方法的有效性。然而，该方法仅对球头铣刀有效，无法应用于圆鼻铣刀的切削力系数辨识当中。

文献2“Ge G,Wu B,Zhang D,et al.Mechanistic identification ofcuttingforce coefficients in bull-nose milling process[J].Chinese JournalofAeronautics,2013,26(3):823-830.”公开了一种圆鼻铣刀切削力系数的辨识方法，该方法以轴向高度为变量的多项式来构建系数表达式。然而，该方法只在实验切深范围内有效，并不能得到整个刀具圆弧段的切削力系数。

发明内容

为了准确描述铣刀圆弧段切削力系数随轴向高度不断变化的特性，提高铣削力模型的预测精度，本发明提供了一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法。

本发明是通过如下技术方案实现的。

一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法，其特征在于该方法包括如下步骤：

1)选定普通立铣刀的刀具半径R₀、圆角半径r、刀齿数N_f和螺旋角β，确定工件材料，设定加工坐标系O-XYZ，其中原点O位于刀尖点，X轴对应刀具进给方向，Z轴沿着刀轴矢量竖直向上，Y轴根据右手定则确定，在不同主轴转速n、轴向切削深度a_p、每齿进给量f_t的加工参数组合下进行M组槽铣实验，并且M≥5，记录每组槽铣实验得到的沿三个坐标轴方向的平均铣削力和其中m＝1,2,…,M；

其中，槽铣实验的实施步骤为：将长方体工件固定在三向测力仪上，并将三向测力仪固定在机床的工作台上；按照对应的加工参数使刀具沿直线从工件的一侧运动到另一侧，完成一次走刀；用三向测力仪记录走刀过程中产生的X、Y、Z三个方向的瞬时铣削力，分别求和取平均，得到X、Y、Z三个方向的平均铣削力和

2)根据下式计算出15个过渡参数K₁,K₂,…,K₁₅：

将此方程简写为其中，[a]是一个常数矩阵，i＝0,1,2,3；

然后，利用计算出的15个过渡参数，得到六个切削力系数的表达式：

其中，K_tc、K_rc、K_ac为三个剪切力系数，K_te、K_re、K_ae为三个犁切力系数，R(z)为刀具圆弧段沿Z轴方向高度为z时的局部半径，表示为：

上述技术方案中，步骤2)所述常数矩阵的各元素由下式计算得到：

a_3m-2,3i+1＝C₃A_1if_t/φ_p；a_3m-2,3i+2＝(C₂-C₁)A_2if_t/φ_p；a_3m-2,3i+3＝(C₂-C₁)A_3if_t/φ_p；

a_3m-2,13＝-C₄B₁/φ_p；a_3m-2,14＝C₅B₂/φ_p；a_3m-2,15＝C₅B₃/φ_p；

a_3m-1,3i+1＝(C₁-C₂)A_1if_t/φ_p；a_3m-1,3i+2＝C₃A_2if_t/φ_p；a_3m-1,3i+3＝C₃A_3if_t/φ_p；

a_3m-1,13＝-C₅B₁/φ_p；a_3m-1,14＝-C₄B₂/φ_p；a_3m-1,15＝-C₄B₃/φ_p；

a_3m,3i+1＝0；a_3m,3i+2＝-C₅A_3if_t/φ_p；a_3m,3i+3＝C₅A_2if_t/φ_p；

a_3m,13＝0；a_3m,14＝2C₁B₃/φ_p；a_3m,15＝-2C₁B₂/φ_p；

其中，φ_p为刀具的齿距角，表示为：φ_p＝2π/N_f；A_1i、A_2i、A_3i、B₁、B₂、B₃、C₁、C₂、C₃、C₄、C₅由下式计算得到：

C₁＝(φ_ex-φ_st)/2；C₂＝(sin2φ_ex-sin2φ_st)/4；C₃＝(cos2φ_ex-cos2φ_st)/4；

C₄＝sinφ_ex-sinφ_st；C₅＝cosφ_ex-cosφ_st；

其中，κ(z)为轴向浸润角，表示为：κ(z)＝arccos(1-z/r)；R′(z)表示R(z)对z求一阶导数；φ_st和φ_ex分别为刀具的切入角和切出角，在槽铣实验中φ_st＝0且φ_ex＝π。

本发明与现有技术相比，具有以下优点及突出性技术效果：本发明充分考虑了普通立铣刀圆弧段切削力系数随轴向高度变化的特性，通过以局部半径为变量的三次多项式构建系数表达式，计算结果与现有技术相比更为准确，特别适用于球头铣刀、圆鼻铣刀圆弧段的切削力系数辨识，具有广阔的应用前景。同时，对于铣削力预测和加工仿真具有重要意义。

附图说明

图1是带有圆弧段的普通立铣刀几何特征示意图。

图2是球头铣刀切削力仿真与实测结果对比图。

图3是圆鼻铣刀切削力仿真与实测结果对比图。

附图标记：1—球头铣刀；2—圆鼻铣刀。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步的说明。

图1为带有圆弧段的普通立铣刀几何特征示意图，P为刀具圆弧段切削刃上的任意一点，P点的轴向高度为z，则其对应的轴向浸润角和局部半径分别为R(z)和κ(z)。通过对比刀具半径R₀和圆角半径r的大小，对普通立铣刀的刀具类型进行区分，当r＝R₀时为球头铣刀；当0<r<R₀时为圆鼻铣刀。本发明提供的一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法首先建立加工坐标系；然后，对于选定的普通立铣刀，在不同加工参数的组合下进行不少于5组槽铣实验，分别记录下每组槽铣实验得到的三向平均铣削力；最后，将实验数据带入给定算式求解出六项切削力系数的表达式，进而完成整个系数辨识过程。本发明充分考虑了普通立铣刀圆弧段切削力系数随轴向高度变化的特性，通过以局部半径为变量的三次多项式构建系数表达式，计算结果与现有技术相比更为准确，特别适用于球头铣刀、圆鼻铣刀圆弧段的切削力系数辨识，具有广阔的应用前景。同时，对于铣削力预测和加工仿真具有重要意义。其具体实施步骤如下：

1)选定普通立铣刀的刀具半径R₀、圆角半径r、刀齿数N_f和螺旋角β，确定工件材料，设定加工坐标系O-XYZ，其中原点O位于刀尖点，X轴对应刀具进给方向，Z轴沿着刀轴矢量竖直向上，Y轴根据右手定则确定，在不同主轴转速n、轴向切削深度a_p、每齿进给量f_t的加工参数组合下进行M组槽铣实验，并且M≥5，记录每组槽铣实验得到的沿三个坐标轴方向的平均铣削力和其中m＝1,2,…,M；

其中，槽铣实验的实施步骤为：将长方体工件固定在三向测力仪上，并将三向测力仪固定在机床的工作台上；按照对应的加工参数使刀具沿直线从工件的一侧运动到另一侧，完成一次走刀；用三向测力仪记录走刀过程中产生的X、Y、Z三个方向的瞬时铣削力，分别求和取平均，得到X、Y、Z三个方向的平均铣削力和

2)根据下式计算出15个过渡参数K₁,K₂,…,K₁₅：

将此方程简写为其中，[a]是一个常数矩阵，i＝0,1,2,3；

然后，利用计算出的15个过渡参数，得到六个切削力系数的表达式：

其中，K_tc、K_rc、K_ac为三个剪切力系数，K_te、K_re、K_ae为三个犁切力系数，R(z)为刀具圆弧段沿Z轴方向高度为z时的局部半径，表示为：

上述技术方案中，步骤2)所述常数矩阵中的各元素由下式计算得到：

a_3m-2,3i+1＝C₃A_1if_t/φ_p；a_3m-2,3i+2＝(C₂-C₁)A_2if_t/φ_p；a_3m-2,3i+3＝(C₂-C₁)A_3if_t/φ_p；

a_3m-2,13＝-C₄B₁/φ_p；a_3m-2,14＝C₅B₂/φ_p；a_3m-2,15＝C₅B₃/φ_p；

a_3m-1,3i+1＝(C₁-C₂)A_1if_t/φ_p；a_3m-1,3i+2＝C₃A_2if_t/φ_p；a_3m-1,3i+3＝C₃A_3if_t/φ_p；

a_3m-1,13＝-C₅B₁/φ_p；a_3m-1,14＝-C₄B₂/φ_p；a_3m-1,15＝-C₄B₃/φ_p；

a_3m,3i+1＝0；a_3m,3i+2＝-C₅A_3if_t/φ_p；a_3m,3i+3＝C₅A_2if_t/φ_p；

a_3m,13＝0；a_3m,14＝2C₁B₃/φ_p；a_3m,15＝-2C₁B₂/φ_p；

其中，φ_p为刀具的齿距角，表示为：φ_p＝2π/N_f；A_1i、A_2i、A_3i、B₁、B₂、B₃、C₁、C₂、C₃、C₄、C₅由下式计算得到：

C₁＝(φ_ex-φ_st)/2；C₂＝(sin2φ_ex-sin2φ_st)/4；C₃＝(cos2φ_ex-cos2φ_st)/4；

C₄＝sinφ_ex-sinφ_st；C₅＝cosφ_ex-cosφ_st；

其中，κ(z)为轴向浸润角，表示为：κ(z)＝arccos(1-z/r)；R′(z)表示R(z)对z求一阶导数；φ_st和φ_ex分别为刀具的切入角和切出角，在槽铣实验中φ_st＝0且φ_ex＝π。

实施例1：球头铣刀的圆弧段切削力系数辨识

1)选定刀具半径R₀＝6mm、圆角半径r＝6mm、刀齿数N_f＝2、螺旋角β＝45°的硬质合金球头铣刀，工件材料为7075铝合金，设定加工坐标系O-XYZ，其中原点O位于刀尖点，X轴对应刀具进给方向，Z轴沿着刀轴矢量竖直向上，Y轴根据右手定则确定，主轴转速n＝3000r/min，在轴向切削深度a_p＝1.2mm、1.4mm、1.6mm、1.8mm、2.0mm和每齿进给量f_t＝0.12mm/z、0.14mm/z、0.16mm/z、0.18mm/z、0.20mm/z的加工参数组合下进行25组槽铣实验，记录每组槽铣实验得到的沿三个坐标轴方向的平均铣削力和其中m＝1,2…25；

2)根据下式计算出15个过渡参数K₁,K₂,…,K₁₅：

将此方程简写为其中，[a]是一个常数矩阵，i＝0,1,2,3，各元素由下式计算得到：

a_3m-2,3i+1＝0；a_3m-2,3i+2＝-A_2if_t/2；a_3m-2,3i+3＝-A_3if_t/2；

a_3m-2,13＝0；a_3m-2,14＝-2B₂/π；a_3m-2,15＝-2B₃/π；

a_3m-1,3i+1＝A_1if_t/2；a_3m-1,3i+2＝0；a_3m-1,3i+3＝0；

a_3m-1,13＝2B₁/π；a_3m-1,14＝0；a_3m-1,15＝0；

a_3m,3i+1＝0；a_3m,3i+2＝2A_3if_t/π；a_3m,3i+3＝-2A_2if_t/π；

a_3m,13＝0；a_3m,14＝B₃；a_3m,15＝-B₂；

其中，A_1i、A_2i、A_3i、B₁、B₂、B₃由下式计算得到：

其中，κ(z)为轴向浸润角，表示为：κ(z)＝arccos(1-z/6)；R(z)为刀具圆弧段沿Z轴方向高度为z时的局部半径，表示为：R′(z)表示R(z)对z求一阶导数；

由此，15个过渡参数的计算结果为：K₁＝2001.7,K₂＝-671.8,K₃＝169.7,K₄＝-14.7,K₅＝-341.6,K₆＝919.6,K₇＝-239.6,K₈＝14.9,K₉＝792.9,K₁₀＝-946.2,K₁₁＝327.2,K₁₂＝-33.1,K₁₃＝11.4,K₁₄＝16.4,K₁₅＝1.6；

然后，利用计算出的15个过渡参数，得到六个切削力系数的表达式：

其中，K_tc、K_rc、K_ac为三个剪切力系数，K_te、K_re、K_ae为三个犁切力系数；

3)实验验证：

为了验证切削力辨识结果的准确性，在轴向切削深度a_p＝2.5mm和每齿进给量f_t＝0.18mm/z的加工参数组合下额外进行了一组槽铣实验，并将仿真计算得到的Y向铣削力与实测数据作对比，如图2所示。从图中看到，仿真与实测结果吻合度较好，从而证明了本方法的可行性。

实施例2：圆鼻铣刀的圆弧段切削力系数辨识

1)选定刀具半径R₀＝6mm、圆角半径r＝3mm、刀齿数N_f＝2、螺旋角β＝45°硬质合金圆鼻铣刀，工件材料为7075铝合金，设定加工坐标系O-XYZ，其中原点O位于刀尖点，X轴对应刀具进给方向，Z轴沿着刀轴矢量竖直向上，Y轴根据右手定则确定，主轴转速n＝3000r/min，在轴向切削深度a_p＝1.2mm、1.4mm、1.6mm、1.8mm、2.0mm和每齿进给量f_t＝0.12mm/z、0.14mm/z、0.16mm/z、0.18mm/z、0.20mm/z的加工参数组合下进行25组槽铣实验，记录每组槽铣实验得到的沿三个坐标轴方向的平均铣削力和其中m＝1,2…25；

2)根据下式计算出15个过渡参数K₁,K₂,…,K₁₅：

将此方程简写为其中，[a]是一个常数矩阵，i＝0,1,2,3，各元素由下式计算得到：

a_3m-2,3i+1＝0；a_3m-2,3i+2＝-A_2if_t/2；a_3m-2,3i+3＝-A_3if_t/2；

a_3m-2,13＝0；a_3m-2,14＝-2B₂/π；a_3m-2,15＝-2B₃/π；

a_3m-1,3i+1＝A_1if_t/2；a_3m-1,3i+2＝0；a_3m-1,3i+3＝0；

a_3m-1,13＝2B₁/π；a_3m-1,14＝0；a_3m-1,15＝0；

a_3m,3i+1＝0；a_3m,3i+2＝2A_3if_t/π；a_3m,3i+3＝-2A_2if_t/π；

a_3m,13＝0；a_3m,14＝B₃；a_3m,15＝-B₂；

其中，A_1i、A_2i、A_3i、B₁、B₂、B₃由下式计算得到：

其中，κ(z)为轴向浸润角，表示为：κ(z)＝arccos(1-z/6)；R(z)为刀具圆弧段沿Z轴方向高度为z时的局部半径，表示为：R′(z)表示R(z)对z求一阶导数；

由此，15个过渡参数的计算结果为：K₁＝-267747,K₂＝166162.7,K₃＝-33831.4,K₄＝2272.1,K₅＝-573404.4,K₆＝355273.5,K₇＝-72467.8,K₈＝4877.9,K₉＝176971.3,K₁₀＝-112184,K₁₁＝23261.7,K₁₂＝-1583,K₁₃＝22.8,K₁₄＝20.3,K₁₅＝1.6；

然后，利用计算出的15个过渡参数，得到六个切削力系数的表达式：

其中，K_tc、K_rc、K_ac为三个剪切力系数，K_te、K_re、K_ae为三个犁切力系数；

3)实验验证：

为了验证切削力辨识结果的准确性，在轴向切削深度a_p＝2.5mm和每齿进给量f_t＝0.18mm/z的加工参数组合下额外进行了一组槽铣实验，并将仿真计算得到的Y向铣削力与实测数据作对比，如图3所示。从图中看到，仿真与实测结果吻合度较好，从而证明了本方法的可行性。

Claims (3)

1.一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法，其特征在于该方法包括如下步骤：

1)选定普通立铣刀的刀具半径R₀、圆角半径r、刀齿数N_f和螺旋角β，确定工件材料，设定加工坐标系O-XYZ，其中原点O位于刀尖点，X轴对应刀具进给方向，Z轴沿着刀轴矢量竖直向上，Y轴根据右手定则确定，在不同主轴转速n、轴向切削深度a_p、每齿进给量f_t的加工参数组合下进行M组槽铣实验，并且M≥5，记录每组槽铣实验得到的沿三个坐标轴方向的平均铣削力和其中m＝1,2,…,M；

2)根据下式计算出15个过渡参数K₁,K₂,…,K₁₅：

将此方程简写为其中，[a]是一个常数矩阵，i＝0,1,2,3；

然后，利用计算出的15个过渡参数，得到六个切削力系数的表达式：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>4</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>6</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>7</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>8</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>9</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>10</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>12</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>13</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>14</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mn>15</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，K_tc、K_rc、K_ac为三个剪切力系数，K_te、K_re、K_ae为三个犁切力系数，R(z)为刀具圆弧段沿Z轴方向高度为z时的局部半径，表示为：

<mrow> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>.</mo> </mrow>

2.根据权利要求1所述的一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法，其特征在于，所述步骤1)中的槽铣实验包括如下步骤：

1)将长方体工件固定在三向测力仪上，并将三向测力仪固定在机床的工作台上；

2)按照对应的加工参数使刀具沿直线从工件的一侧运动到另一侧，完成一次走刀；

3)三向测力仪记录走刀过程中产生的X、Y、Z三个方向的瞬时铣削力，分别求和取平均，得到X、Y、Z三个方向的平均铣削力。

3.根据权利要求1所述的一种普通立铣刀圆弧段切削力系数辨识方法，其特征在于，所述步骤2)中常数矩阵的各元素由下式计算得到：

a_3m-2,3i+1＝C₃A_1if_t/φ_p；a_3m-2,3i+2＝(C₂-C₁)A_2if_t/φ_p；a_3m-2,3i+3＝(C₂-C₁)A_3if_t/φ_p；

a_3m-2,13＝-C₄B₁/φ_p；a_3m-2,14＝C₅B₂/φ_p；a_3m-2,15＝C₅B₃/φ_p；

a_3m-1,3i+1＝(C₁-C₂)A_1if_t/φ_p；a_3m-1,3i+2＝C₃A_2if_t/φ_p；a_3m-1,3i+3＝C₃A_3if_t/φ_p；

a_3m-1,13＝-C₅B₁/φ_p；a_3m-1,14＝-C₄B₂/φ_p；a_3m-1,15＝-C₄B₃/φ_p；

a_3m,3i+1＝0；a_3m,3i+2＝-C₅A_3if_t/φ_p；a_3m,3i+3＝C₅A_2if_t/φ_p；

a_3m,13＝0；a_3m,14＝2C₁B₃/φ_p；a_3m,15＝-2C₁B₂/φ_p；

其中，φ_p为刀具的齿距角，表示为：φ_p＝2π/N_f；A_1i、A_2i、A_3i、B₁、B₂、B₃、C₁、C₂、C₃、C₄、C₅由下式计算得到：

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C₁＝(φ_ex-φ_st)/2；C₂＝(sin2φ_ex-sin2φ_st)/4；C₃＝(cos2φ_ex-cos2φ_st)/4；

C₄＝sinφ_ex-sinφ_st；C₅＝cosφ_ex-cosφ_st；

其中，κ(z)为轴向浸润角，表示为：κ(z)＝arccos(1-z/r)；R′(z)表示R(z)对z求一阶导数；φ_st和φ_ex分别为刀具的切入角和切出角，在槽铣实验中φ_st＝0且φ_ex＝π。