CN107704825A

CN107704825A - 基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法

Info

Publication number: CN107704825A
Application number: CN201710916993.0A
Authority: CN
Inventors: 何水龙; 李慧; 王衍学; 蒋占四
Original assignee: Guilin University of Electronic Technology
Current assignee: Guilin University of Electronic Technology
Priority date: 2017-09-30
Filing date: 2017-09-30
Publication date: 2018-02-16

Abstract

本发明公开一种基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法，结合了两尺度相似变换和提升框架的优势，使得多小波多尺度函数的逼近阶提高，正则性得到增强，信号在频域上的能量更为集中；同时，多小波函数的消失矩提升，使得局部化能力和光滑性也得到改善，从而能更精确的描述和表达更高阶的复杂信号。通过设计构造过程中的自由参数和选择特定的基函数评价与优选准则，结合遗传算法等优化方法最优选择构造过程中的自由参数，进而实现针对待分析信号的自适应多小波基函数构造，以实现微弱故障特征的提取。

Description

基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法

技术领域

本发明涉及装备故障监测技术领域，具体涉及一种基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法。

背景技术

大型机械设备部件繁多，信号传输路径复杂，传感器采集到的信号是各部件响应的综合反映，当它的零部件发生早期故障时，故障特征非常微弱，同时它受到设备本身的噪声、非平稳的运行状态和信号采集过程中的干扰等影响，使得故障特征提取成为一大难点。针对非平稳信号的处理出现了一系列新的信号分析理论和技术，其中，运用最广泛、最活跃的动态信号分析方法是小波分析理论和技术。小波变换具有时频局部化特性、丰富的基函数，为动态信号的非平稳性描述和机械零部件故障信息的提取提供了有力的工具。

根据对小波理论的研究可知，小波基函数的正交性、对称性、紧支性、高阶消失矩是信号处理中十分重要的性质。然而Daubechies已经证明单小波(除Haar小波外)不能同时具有这些性质，从而影响了小波的工程应用效果和限制了它的实际应用范围。多小波作为小波理论的进一步发展，它兼备了信号处理中非常重要的正交性、紧支性、对称性和高阶消失矩等优良特性，克服了单小波存在的缺陷和不足，同时具有多个时频结构有所差异的尺度函数和小波函数，为机械故障特征提取的准确性、可靠性和全面性提供前提，使得多小波在早期故障和复合故障诊断中颇具优势。

多小波进行故障特征提取的本质就是探求信号中包含与“基函数”最相似或最相关的分量，而不同类型的故障在设备运行过程中引发的动态响应信号具有的特征波形不同。因此，采用某一固定的小波基函数进行匹配时将很难实现对故障特征信号的最佳提取。如果采用了不恰当、不合适的的基函数进行分解会冲淡故障特征信息，反而给故障特征提取与诊断造成困难，为了更好的进行故障特征提取，必须要实现基函数的按需构造，使多小波基函数拥有与动态信号相适应的能力。

发明内容

本发明所要解决的是现有采用某一固定的小波基函数进行匹配时将很难实现对故障特征信号的最佳提取的问题，提供一种基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法，具体包括步骤如下：

步骤1、通过振动传感器采集机械设备运行过程中的振动信号；

步骤2、选定初始多小波，并对初始多小波进行两尺度相似变换，提升多小波尺度函数的逼近阶，得到中间多小波；

步骤3、对中间多小波进行提升框架变换，改变中间多小波基函数的滤波器特性，得到集成多小波；

步骤4、以振动信号经过多小波分解后的峭度指标为目标函数，利用遗传算法求解使目标函数最大的多小波自由参数，完成集成多小波的自适应构造，得到最优自适应匹配信号特征的集成多小波基函数；

步骤5、对集成多小波基函数进行冗余分解后，再对分解后的低频分支进行希尔伯特包络解调，以实现微弱故障特征的提取。

上述步骤2的具体子步骤如下：

步骤2.1、选定初始多小波，该初始多小波的低通滤波器为H_G(ω)和高通滤波器为G_G(ω)；

步骤2.2、构造给定的两尺度相似变换矩阵必须满足的条件，构造出两尺度相似变换矩阵M(ω)；

步骤2.3、利用两尺度相似变换矩阵M(ω)对初始多小波进行两尺度相似变换，得到中间多小波，该中间多小波的低通滤波器为H_p(ω)和高通滤波器为G_p(ω)，

G_p(ω)＝G_G(ω)M^-1(ω)

式中，a，b为非零参数。

上述步骤3的具体子步骤如下：

步骤3.1、设计提升矩阵T(ω)和S(ω)；

步骤3.2、利用所设计的提升矩阵T(ω)和S(ω)，改变中间多小波基函数的滤波器特性，得到集成多小波，该集成多小波的低通滤波器为H_e(ω)和高通滤波器为G_e(ω)，

上述步骤4中，目标函数K_P为：

式中，x为振动信号；p(x)为振动信号幅值的概率密度。

本发明基于分析多小波基函数构造方法中的两尺度相似变换和提升框架理论提出参数调控的集成多小波构造方法，采用适用旋转机械早期故障的评价准则如峭度指标，通过智能优化算法如遗传算法，分析传感器采集到的振动信号，获得与故障特征相匹配的性质优良的自适应集成多小波基函数，从而实现微弱故障特征提取。

本发明针对不同故障类型的故障特征波形不同，而固定的小波基函数无法与故障特征波形实现最佳匹配，不利于故障特征的最佳提取，采用集成多小波构造方法构造大差异化的参数调控集成多小波基函数具备下列显著优势：

1)本发明构造了具有单边振荡衰减波形的集成多小波基函数，而轴承、齿轮故障一般为该种类型波形，因此，在进行轴承、齿轮类故障特征提取中具有显著优势；

2)本发明采用峭度指标作为优选准则，而峭度指标对早期故障冲击特征具有显著优势，因此，在早期故障的自适应匹配过程中具有相应的优势；3)本发明通过两尺度相似变换和提升框架，能够根据实际需要将逼近阶和消失矩提升到任意阶次，极大改善集成多小波基函数性质，为微弱故障特征提取提供可能；

3)本发明可用于基于振动监测的大型机电装备的故障特征提取和故障诊断，避免突发性事故发生，减小经济损失。

附图说明

图1本构造方法实施流程图；

图2故障轴承原始信号波形图；

图3故障轴承包络谱低频段局部图；

图4自适应集成多小波构造后的多小波基函数；(a)多小波小波函数ψ₁；(b)多小波小波函数ψ₂；

图5自适应集成多小波构造冗余分解包络谱；(a)第一分支对应的包络谱；(b)第二分支对应的包络谱。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。

多小波是机械故障微弱特征提取的有力工具，其物理本质是探求信号中包含与“基函数”最相似或最相关的分量，但是不同的故障类型和传递路径使得故障特征波形不固定，而采用固定的多小波基函数显然不能实现与机械故障微弱特征的最佳匹配，限制了多小波在机械故障特征提取应用中的能力。工程实践表明，轴承、齿轮类型的故障波形基本上成单边衰减波形，本发明专利在深入研究两尺度相似变换和提升框架的基础上，提出自适应集成多小波基函数构造方法，提高了多尺度函数的逼近阶和多小波基函数的消失矩，改善了原始多小波的性能，构造出与动态信号相适应的自适应多小波基函数，并保持了初始多小波的紧支性等优良特性，为机械设备的微弱故障特征提取提供了一种新方法。

本发明基于多小波的两尺度相似变换和提升框架提出一种具有单边衰减性质的机械故障微弱特征提取方法，即自适应集成多小波构造方法。首先，通过振动加速度传感器采集机械设备运行过程中的振动信号；然后，对初始多小波进行两尺度相似变换，提升多小波尺度函数的逼近阶；接着，设计满足条件的多小波提升矩阵，改变原有多小波基函数的滤波器特性，提升多小波基函数的消失矩，得到不同性质的新多小波；研究两尺度相似变换和提升框架有机集成算法，设计满足约束条件的多参数两尺度相似变换调控矩阵和多小波提升矩阵，实现集成多小波构造方法；继而，通过遗传算法对自由参数按照指定目标进行优化，获得与所采集到的故障特征相匹配的自适应集成多小波基函数，为微弱故障特征提取提供条件，最后利用最优自适应集成多小波基函数进行冗余分解，对分解后的低频分支进行希尔伯特包络解调，以实现微弱故障特征的提取。本发明解决了实际监测诊断应用中微弱故障特征提取过程中的动态匹配瓶颈，提出了一种新的多自由度自适应信号处理方法。

具有来说，基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法，主要包括如下步骤：

第一步：针对机械系统中轴承、齿轮和轴等关键部件，采用振动传感器采集机械装备的振动信号。

第二步：对初始多小波进行两尺度相似变换。

令H(ω)和G(ω)为多小波多尺度函数的低通和高通滤波器符号，Hⁿ(ω)逼近阶为n，Gⁿ(ω)消失阶为n，且谱半径ρ(Hⁿ(0))<N，N为大于1的正整数。设Hⁿ(0)具有特征值1，对应右特征向量r_n，使得Hⁿ(0)r_n＝r_n。

(1)选择满足条件的两尺度矩阵M(ω)；

(2)构造和G^(n-1)(ω)＝G⁽ⁿ⁾(ω)M^-1(ω)；

(3)找到一个合适的r_n+1对应于H⁽ⁿ⁺¹⁾(0)的特征值为1；

(4)重复前三步，直到得到所需逼近阶的H(ω)。

在上述算法中，只需要选取起始的H⁽ⁿ⁾(ω)和每次循环的M(ω)。在每次循环后，H⁽ⁿ⁾(ω)所对应的多尺度函数逼近阶和正则性均提高一阶，但遗憾的是G⁽ⁿ⁾(ω)所对应的多小波基函数的消失矩降低一阶。若M(ω)满足对于ω≠0时|M(ω)|≠0，D|M(ω)|≠0，且M(0)r_n＝0条件的一个三角多项式，同时|M(ω)|在z＝e^-iω处为线性，则该算法构造的H⁽ⁿ⁺¹⁾(ω)为三角多项式，且保持多尺度函数的紧支性。

将经上述TST变换后的多小波称为中间多小波{Φ_p,Ψ_p}，其所对应的低通和高通滤波器符号分别为H_p(ω)和G_p(ω)，相对原始多小波该中间多小波的逼近阶得到提高，它的正则性也得到了增强，多尺度函数的性质也得到了改善。然而，它却以降低多小波基函数Ψ_p的消失矩为代价，消弱了多小波函数的光滑性和局部定位能力，对信号处理过程产生了不利影响。

第三步：对中间多小波进行提升框架变换。

前面阐述了通过多小波提升框架可以在不改变多尺度函数的逼近阶的前提下，提高多小波基函数的消失矩，改善多小波的性质。因此，这里通过对中间多小波{Φ_p,Ψ_p}进行提升变换来全面提升初始多小波的性质。提升框架的核心是对提升矩阵T(ω)和S(ω)的设计。而在多小波提升框架中矩阵T(ω)对多尺度函数及其对偶以及多小波基函数的消失矩影响不大。因此，在接下来的提升过程中令T(ω)＝I，借助多小波的离散矩和矩阵奇异值分解完成了对提升矩阵S(ω)进行设计和计算。S(ω)具体计算过程如下：

令整数n≥1,k₀任意整数，构造一个长度为n且起始下标为k₀的三角多项式矩阵作为提升矩阵，使得经提升框架变换后的多小波函数具有阶消失矩，也就是其对偶多尺度函数具有阶逼近阶。

(1)计算离散矩：

多尺度函数的离散矩

多小波函数的离散矩

(2)计算向量：

(3)构造矩阵：

则提升矩阵可有如下等价方程求解：

SAY＝-Z

(4)奇异值分解：

AY＝UΛV^*

此处U大小为nr×nr，Λ是阵，V大小为设s为矩阵Λ的秩，则Λ₁₁是s×s的非奇异阵。

(5)将式AY＝UΛV^*带入等价方程SAY＝-Z中，右边乘以V

(SU)₁Λ₁₁＝-(ZV)₁

0＝(ZV)₂或者[]＝(ZV)₂(符号[]表示为空矩阵)

(6)若(ZV)₂≠0或(ZV)₂≠[]，则方程无解。重新返回步骤(1)，并增加n的长度。否则，方程的解为和(SU)₂任意。

最后，方程的通解为：S＝[(SU)₁,(SU)₂]U^*。

上式算法中矩阵(SU)₂为自由参数，其大小为r(nr-s)。当(ZV)₂＝0和(ZV)₂＝[]时方程有解。通过上述算法可以得到提升框架中最为关键的提升矩阵S。

得到提升矩阵T(ω)和S(ω)后，将其带入下式完成集成多小波构造：

H_e(ω)＝H_p(ω)

G_e(ω)＝T(ω²)(G_p(ω)+S(ω²)H_p(ω))

式中：H_e为集成多小波构造后的低通滤波器符号；G_e为集成多小波构造后的高通滤波器符号；Φ_e为集成多小波构造后的多小波多尺度函数；Ψ_e为集成多小波构造后的多小波小波函数。

第四步：在两尺度相似变换矩阵M(ω)和提升矩阵S(ω)中含有调控参数。而这些非零调控自由参数是集成多小波实现自适应的关键。以细节信号的峭度指标为目标函数，求解使目标函数K_P最大的多小波自由参数，以优选与给定信号相匹配的自适应多小波基函数。

目标函数K_P定义：

式中：x为细节信号；p(x)为信号幅值的概率密度。

鉴于遗传算法具有很强的鲁棒性以及全局、并行搜索特点，并且不需要目标函数与变量之间的数学表达。采用遗传算法，以目标函数K_P为适应度函数，构造自适应匹配信号特征的多小波基函数，完成集成多小波的最优构造。

第五步：利用最优自适应集成多小波基函数进行冗余分解，对分解后的低频分支进行希尔伯特包络解调，以实现微弱故障特征的提取。

下面通过以滚动轴承故障检测为例，对本发明进行进一步详细说明：

滚动轴承是机械装备中的重要零部件，然而滚动轴承在运行过程中可能会由于各种原因引起损坏，如润滑不良、水分和异物侵入、装配不当、腐蚀和过载等都可能会导致滚动轴承过早损坏。即使在安装和使用维护都正常的情况下，经过一段时间运行，滚动轴承也会出现疲劳剥落、点蚀、磨损等故障影响机械设备的正常运行。本实施例以GHM为初始多小波，进行自适应集成多小波构造对机械装备中的轴承监测振动信号进行分析，提取滚动轴承中滚子的故障特征。

本轴承基于振动信号特征提取的集成多小波构造方法与冗余分解实施例主要包括如下步骤：

第一步：采用振动加速度传感器采集轴承振动信号，为后续通过优化方法进行调控参数的选择提供信息源。

采集系统包括江苏联能电子技术有限公司YE6267动态数据采集器和CA-YD-117型压电式加速度传感器。该加速度传感器的性能指标如表1所示。该采集器基于USB2.0接口实现16位A/D并行数据采集。

表1 CA-YD-117型压电式加速度传感器特性参数表

所用轴承型号为32007X圆锥滚子轴承，安装位置位于与行星减速器输出轴连接的齿轮箱输入轴的处，动力传动链为电机——行星齿轮箱——齿轮箱。轴承结构参数表2，由于滚动体既有自转又有公转，同时既有滚动又存在滑动，故障损伤点距离传感器位置忽远忽近，导致故障特征信号的忽强忽弱，所以滚动体故障是轴承故障诊断的难点之一。本实例采用滚动体故障验证该方法的有效性，测试中滚动体损伤尺寸为2*1mm的擦伤。

表2 3007X轴承结构参数表

滚动体故障特征频率可用下式计算：

式中：f_r为转频/Hz；d为滚动体直径/mm；D为轴承的外径/mm；α为接触角/°。

测试时，振动加速度传感器安装于行星减速器输出轴的轴承座处，电机转速为1200r/min，行星减速器的减速比为32，采样频率为5kHz，采样长度为25000点，根据上述结构参数与运行参数以及轴承滚动体故障公式得到滚动体故障特征频率3.04Hz。

图2所示轴承为滚动体故障时装备的振动时域信号，图3为故障轴承信号希尔伯特包络谱的低频段局部图，从上述时域和频域图中都难以发现明显故障特征。

第二步：基于两尺度相似变换理论设计满足特定条件(如大差异、可逆等)的参数化矩阵，获得更大自由度多小波基函数库，提升逼近阶改善多小波性质。

GHM是最常见的也是工程上最广泛应用的二重多小波基函数之一，它具有紧支性、正交性、对称性及二阶逼近阶和消失矩。这里采用GHM多小波作为初始多小波。GHM多小波多尺度函数与多小波基函数的对称点或反对称点为1/2或1，同时，H(0)拥有特征向量相应于特征值1。

因此，根据构造两尺度相似变换矩阵必须满足的条件，结合GHM多小波的特点，构造出基于GHM多小波的两尺度相似变换矩阵M(ω)如下所示：

式中：a，b为非零参数。

令H_G(ω)和G_G(ω)为GHM多小波尺度函数的低通和高通滤波器符号，根据两尺度相似变换则有：

G_p(ω)＝G_G(ω)M^-1(ω)

经上述变换，得到一个新的中间函数{Φ_p,Ψ_p}，多尺度函数Φ_p具有3阶逼近阶，而多小波基函数Ψ_p的消失矩则降为1阶，消弱了多小波函数的光滑性和局部定位能力。

第三步：基于提升框架，设计满足条件的多小波多参化提升矩阵，改变原有多小波基函数的滤波器特性，得到不同性质的新多小波。通过两尺度相似变换和提升框架有机集成算法实现集成多小波构造方法，获得具有大自由度、大时频差异性、性质优良的多参数调控柔性集成多小波基函数。

以中间多小波{Φ_p,Ψ_p}为基础，将消失矩提升到5阶，令两尺度相似变换矩阵参数a＝1和b＝1，由于T(ω)对消失矩的影响小，这里设T(ω)＝I，借助多小波的离散矩和矩阵的奇异值分解完成了对提升矩阵S(ω)的计算，结果如下：

从矩阵S可知，该过程引入了自由参数c和d。得到提升矩阵T和S后，根据下面的提升算法得到集成构造后新的多小波：

H_e(ω)＝H_p(ω)

G_e(ω)＝T(ω²)(G_p(ω)+S(ω²)H_p(ω))

经过提升框架得到集成构造后的多小波{Φ_e,Ψ_e}具有3阶逼近阶和5阶消失矩。

第四步：基于遗传优化算法和峭度最大化优选准则完成集成多小波的自适应构造。

在前面的构造过程中，S中引入了四个自由参数a，b，c和d，它们将对多小波基函数的波形产生影响。而峭度指标对早期局部故障所引起的冲击响应特征非常敏感，因此，上述集成多小波的自适应构造过程以细节信号的峭度指标为目标函数，求解使目标函数K_P最大的多小波自由参数，以优选与给定信号相匹配的自适应多小波基函数。

目标函数：

式中：x为细节信号；p(x)为信号幅值的概率密度。

从目标函数K_P的定义式可以看出，峭度最大化原则与4个自由参数之间没有直接联系，且它们之间关系非常复杂，常见的优化算法往往需要完整的关系表达式，在这里很难实现。鉴于遗传算法具有很强的鲁棒性以及全局、并行搜索特点，并且不需要目标函数与变量之间的数学表达。本节采用遗传算法，以目标函数K_P为适应度函数，构造自适应匹配信号特征的多小波，遗传算法中4个自由参数的范围均选为[-50,0)U(0,50]，选用算术交叉算子和非均匀变异算子，种群规模为100，始种群个数分别设置为50，交叉概率设定为0.6，变异概率设定为0.05。

经过上述过程的优化，得到自由参数为a，b，c，d的优化值为[6.762，4.553，-7.795，-1.076]，自适应多小波集成构造后的多小波基函数如图4所示。

完成集成多小波自适应构造后，对信号进行多小波冗余分解，实现分解结果的平移不变性，具体实现过程如下：

冗余多小波变换的分解过程是后面分解层的低通和高通滤波器对它前一分解层进行矩阵插值补零的结果，而矩阵插值补零是指插入的是大小为r×r的零矩阵。令T表示插值补零算子，则对于任意的整数i有，

(Tx)_2i＝x_i,(Tx)_2i+1＝0

则冗余多小波变换过程中分解层为l时低通和高通滤波器系数{H,G}通过下面等式计算得到：

(1)当k不为2^l的整数倍时，

(2)其它情况时，

采用冗余多小波变换有益于分解的平移不变、改善特征提取的准确性以及分解结果的谱精度，进而实现更准确的机械设备故障特征提取与故断。

利用集成构造后的最优集成多小波基函数进行振动信号的冗余分解，对分解后的两个低频分支进行Hilbert包络解调变换得到的包络谱低频段放大。如图5所示，从图5中可以看出，滚动体故障特征频率3Hz在两个分支的包络谱图中非常明显，谱线突出，从而可以看到该方法在增强微弱故障特征上具有很明显的效果，能从强背景噪声中提取出轴承滚动体故障特征。

本发明结合了两尺度相似变换和提升框架的优势，使得多小波多尺度函数的逼近阶提高，正则性得到增强，信号在频域上的能量更为集中；同时，多小波函数的消失矩提升，使得局部化能力和光滑性也得到改善，从而能更精确的描述和表达更高阶的复杂信号。通过设计构造过程中的自由参数和选择特定的基函数评价与优选准则，结合遗传算法等优化方法最优选择构造过程中的自由参数，进而实现针对待分析信号的自适应多小波基函数构造，以实现微弱故障特征的提取。

需要说明的是，尽管以上本发明所述的实施例是说明性的，但这并非是对本发明的限制，因此本发明并不局限于上述具体实施方式中。在不脱离本发明原理的情况下，凡是本领域技术人员在本发明的启示下获得的其它实施方式，均视为在本发明的保护之内。

Claims

1.基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法，其特征是，具体包括步骤如下：

2.根据权利要求1所述基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法，其特征是，步骤2的具体子步骤如下：

<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>p</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>G</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

G_p(ω)＝G_G(ω)M^-1(ω)

式中，a，b为非零参数。

3.根据权利要求1所述基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法，其特征是，步骤3的具体子步骤如下：

步骤3.1、设计提升矩阵T(ω)和S(ω)；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>p</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>S</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>&omega;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&omega;</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>.</mo> </mrow>

4.根据权利要求1所述基于自适应集成多小波的机械设备故障特征提取方法，其特征是，步骤4中，目标函数K_P为：

<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&Integral;</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&Integral;</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> </mrow>

式中，x为振动信号；p(x)为振动信号幅值的概率密度。