CN102879196A - 利用矩阵小波变换的行星齿轮箱复合故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种利用矩阵小波变换的行星齿轮箱复合故障诊断方法，矩阵小波变换首先使用重复采样的前处理方式，将采集到的行星齿轮箱一维振动信号变换为多维输入信号；其次采用提升方法构造最优矩阵小波函数，利用所构造的最优矩阵小波函数对多维信号进行自适应分解，将多个故障特征分解到不同分支的信号中；然后采用包络谱方法提取和识别出各频带信号中表征的行星齿轮箱故障，结合故障机理分析，实现行星齿轮箱复合故障特征的一次性分离和诊断。该方法结果可靠，实时性好，简单易行，适用于卫通天线、风力发电机、重载起重机等设备传动机构的行星齿轮箱复合故障诊断。

Description

利用矩阵小波变换的行星齿轮箱复合故障诊断方法

技术领域

本发明涉及机械设备故障诊断技术，具体涉及一种行星齿轮箱复合故障诊断方法。

背景技术

工程实践表明，行星齿轮箱的故障通常并不单一，往往表现为齿轮及轴承的点蚀、剥落、磨损、胶合、裂纹、断裂、偏心、调制等复合故障。所谓复合故障是指同时发生两个或多个互相关联、交叉影响的故障。这些复合故障同时或级联出现，其振动信号常表现为故障特征的相互耦合。复合故障的产生给故障确诊带来更大的困难。目前，行星齿轮箱故障诊断中广泛应用的方法是小波变换、二代小波变换和经验模式分解，而对复合故障诊断缺少行之有效的信号处理方法。因此，研究开发先进的信号处理技术和方法，实现振动信号中耦合特征分离与故障特征识别，已成为行星齿轮箱故障诊断需要解决的关键问题和难点问题。

行星齿轮箱为典型的周转轮系，其行星齿轮的复合运动包括自转和公转，因此行星齿轮箱振动响应比定轴传动齿轮箱更复杂。其复杂性具体表现为：多模式混淆和振动传输路径复杂导致故障响应微弱；载荷大范围瞬时波动引起振动强烈的非平稳性；多对齿轮啮合的振动相互耦合造成振动明显的非线性；低频特征频率成分噪声污染严重；动态响应信号频谱分布及特征频率的复杂。现有的定轴齿轮箱故障诊断理论和技术难以解决行星齿轮箱的故障诊断难题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种行星齿轮箱复合故障诊断的方法，该方法采用矩阵小波变换将多个故障特征分解到不同分支的信号中进行提取与识别，实现行星齿轮箱齿轮及轴承的点蚀、剥落、磨损、胶合、裂纹、断裂、偏心、调制等复合故障特征的一次性分离和诊断。

为达到以上目的，本发明是采取如下技术方案予以实现的：

一种利用矩阵小波变换的行星齿轮箱复合故障诊断方法，其特征在于，包括下述步骤：

（1）矩阵小波变换由多个尺度函数生成向量小波函数，该多个尺度函数和所述向量小波函数共同构成矩阵小波函数，其中，矩阵小波函数由如下多分辨分析生成，设函数Φ=[φ₁(t),φ₂(t),…,φ_r(t)]^T∈L²(R)^r，r∈N，其中φ₁(t),φ₂(t),…,φ_r(t)为多个尺度函数，对j∈Z，定义：

V_j=clos{2^j/2φ_i(2^jt-k):1≤i≤r,k∈Z}

式中，尺度函数空间V_j由闭包函数clos{ }张成，分辨率为2^j；

小波函数空间W_j=clos{2^j/2ψ_i(2^jt-k):1≤i≤r,k∈Z}，是尺度函数空间V_j在V_j+1中的补空间，向量小波函数Ψ=[ψ₁(t),ψ₂(t),…,ψ_r(t)]^T∈L²(R)^r的伸缩和平移张成了W_j空间

矩阵小波函数的两尺度方程为：

$\mathrm{\Φ}\left(t\right)=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{H}_k\mathrm{\Φ}(2t-k),k\∈Z$

$\mathrm{\Ψ}\left(t\right)=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{G}_k\mathrm{\Φ}(2t-k),k\∈Z$

式中，H_k，G_k分别表示矩阵小波变换的低通与高通滤波器，Ψ(t)是由尺度函数Φ(t)生成的向量小波函数；

（2）将下述提升方法引入步骤（1）矩阵小波函数构造中，通过设计不同的提升算子改变原有矩阵小波函数滤波器的特性，得到不同性质的矩阵小波函数，所述提升方法为：

给定一个初始矩阵小波滤波器组

其中H(z)为低通滤波器，

为对偶低通滤波器，G(z)为高通滤波器，为对偶高通滤波器；构造的新矩阵小波滤波器组为：

H_new(z)=H(z)

G_new(z)=T(z²)(G(z)+S(z²)H(z))

${\tilde{H}}_{\mathrm{new}}\left(z\right)=\tilde{H}\left(z\right)-S^{*}\left(z^2\right)\tilde{G}\left(z\right)$

${\tilde{G}}_{\mathrm{new}}\left(z\right)={\left(T^{*}\left(z^2\right)\right)}^{-1}\tilde{G}\left(z\right)$

其中H_new(z)为新的低通滤波器，

为新的对偶低通滤波器，G_new(z)为新的高通滤波器，

为新的对偶高通滤波器；提升矩阵S(z)和T(z)均为有限阶，T(z)的行列式为单项式；

（3）根据齿轮和轴承出现损伤将引起振动冲击以及故障状态确定的物理属性，利用信号处理的峭度最大和熵最小作为优化目标，在构造的矩阵小波函数库中选择具有优良性质的最优矩阵小波函数；

（4）使用所构造的最优矩阵小波函数对振动信号进行自适应分解，将多个故障特征分解到不同分支的信号中进行提取与识别，实现行星齿轮箱复合故障特征的一次性分离和诊断。

上述方案中，最优矩阵小波函数具体选择方法为：峭度指标K_P对早期振动冲击型故障敏感，其定义为：

$K_P=\frac{\∫x^{4}p\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\left({\∫x}^{2}p\left(x\right)\mathrm{dx}\right)}^2}$

其中，p(x)表示信号x的幅值概率密度；

对于一不确定性系统X，其包含元素x_i,i＝1,…,n,记为X={x_n}，其信息熵S(X)表示为：

峭度-包络谱熵指标KE：

$\mathrm{KE}=\frac{K_p}{S\left(X\right)}$

借助峭度-包络谱熵指标选择最优矩阵小波函数，实现正常和故障状态的分离；

所述步骤（4）的具体方法为：包括如下步骤：

1)采集到的行星齿轮箱振动信号为f_k，以2维矩阵小波变换为例，重复采样的前处理方法具体表达如下式：

$c_{o,k}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\α}& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_k\\ f_k\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{c}{f}_k\\ f_k\end{array}\right]$

其中， $Q=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\α}& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 称为前处理算子；

利用所构造的最优矩阵小波函数对前处理后的多维振动信号进行多层自适应分解，获得包含不同特征信息的2个信号分支；矩阵小波的分解过程如下：

$s_{j-1,n}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{H}_{k-2n}{s}_{j,k}$ $d_{j-1,n}=\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{G}_{k-2n}{s}_{j,k}$

式中，s_j-1,n是r维低频分量，d_j-1,n是r维高频分量，*是共轭转置算子。

2)采用Hilbert包络解调方法提取出不同信号分支中表征的行星齿轮箱故障，结合故障机理分析，实现行星齿轮箱复合故障特征的一次性分离和诊断。

与现有技术相比，本发明的优点是：

1)不同于由单个尺度函数生成标量小波函数的经典小波变换，它由多个尺度函数生成向量小波函数，多个尺度函数和向量小波函数共同构成矩阵小波函数，实现矩阵小波变换；

2)使用所构造的最优矩阵小波函数对振动信号进行自适应分解，经最优矩阵小波分解后，行星齿轮箱复合故障的多个特征分别清晰地呈现在不同分支的分解信号中。

3)传统的矩阵小波变换对分解后的多分支信号进行后处理，得到一维输出信号。本发明采用Hilbert包络解调方法处理得到的多分支信号，获取解调后的故障特征信息，实现行星齿轮箱复合故障的一次性分离和诊断。

本发明结果可靠，实时性好，简单易行，适用于卫通天线、风力发电机、重载起重机等设备传动机构的行星齿轮箱复合故障诊断。

附图说明

下面结合附图及具体实施方式对本发明作进一步的详细说明。

图1为行星齿轮箱振动信号及传统的FFT分析结果。图中：(a)为时域波形；(b)为传统的FFT频谱；(c)为频谱放大图。

图2为本发明自适应构造的最优矩阵小波函数波形图。图中：(a)为矩阵小波函数φ₁；(b)为矩阵小波函数φ₂；

图3为本发明最优矩阵小波3层分解第1分支信号。其中，A3为低频逼近信号，D3、D2和D1为高频细节信号。

图4为图3中第1分支信号的低频逼近信号A3，高频细节信号D3、D2和D1的包络谱。

图5为图3中第1分支信号的低频逼近信号A3，高频细节信号D3、D2和D1的包络谱放大图。

图6为本发明最优矩阵小波3层分解第2分支信号。其中A3为低频逼近信号，D3、D2和D1为高频细节信号。

图7为图6中第2分支信号的低频逼近信号A3，高频细节信号D3、D2和D1的包络谱。

图8为图6中第2分支信号的低频逼近信号A3，高频细节信号D3、D2和D1的包络谱放大图。

图9为行星齿轮箱复合故障照片。其中，(a)为第一级太阳轮轻微点蚀损伤；(b)为第一级行星轮齿面轻微划伤。

具体实施方式

本发明具体方法包含以下内容：

矩阵小波变换由多个尺度函数生成向量小波函数，该多个尺度函数和所述向量小波函数共同构成矩阵小波函数，其中，矩阵小波函数由如下多分辨分析(MRA)生成，设函数Φ=[φ₁(t),φ₂(t),…,φ_r(t)]^T∈L²(R)^r，r∈N，其中φ₁(t),φ₂(t),…,φ_r(t)为多个尺度函数。对j∈Z，定义：

V_j=clos{2^j/2φ_i(2^jt-k):1≤i≤r,k∈Z}

式中，尺度函数空间V_j由闭包函数clos{ }张成，分辨率为2^j且V_j满足以下条件：

①一致单调性： $\·\·\·\⋐V_0\⋐V_1\⋐V_2\⋐\·\·\·$

④平移不变性： $f\left(x\right)\∈V_j\⇔f\left({t-2}^{-n}k\right)\∈V_j,j\∈Z$

⑤稳定框架：

构成V₀空间的Riesz基。

其中，条件⑤意味着对于任意的f∈V₀在L²(R)上有唯一的

存在与f无关的正常数A,B，且0<A≤B<+∞，有

$A\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{{\left|\right|f_k|}_2}^2\&le;{\left|\right|f\left(x\right)\left|\right|}_2^2\&le;B\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{{\left|\right|f_k\left|\right|}_2}^2.$

小波函数空间W_j是尺度函数空间V_j在V_j+1中的补空间，向量函数Ψ=[ψ₁(t),ψ₂(t),…,ψ_r(t)]^T∈L²(R)^r的伸缩和平移构造了W_j空间的一个Riesz基，

W_j=clos{2^j/2ψ_i(2^jt-k):1≤i≤r,k∈Z}

矩阵小波函数的两尺度方程为

$\mathrm{\&Phi;}\left(t\right)=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{H}_k\mathrm{\&Phi;}(2t-k),k\&Element;Z$

$\mathrm{\&Psi;}\left(t\right)=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{G}_k\mathrm{\&Phi;}(2t-k),k\&Element;Z$

式中，H_k，G_k分别表示矩阵小波变换的低通与高通滤波器，Ψ(t)是由尺度函数Φ(t)生成的向量小波函数。

给定一个初始矩阵小波滤波器组其中H(z)为低通滤波器，

为对偶低通滤波器，G(z)为高通滤波器，

为对偶高通滤波器。使用提升方法构造的新矩阵小波滤波器组

为：

H_new(z)=H(z)

G_new(z)=T(z²)(G(z)+S(z²)H(z))

${\tilde{H}}_{\mathrm{new}}\left(z\right)=\tilde{H}\left(z\right)-S^{*}\left(z^2\right)\tilde{G}\left(z\right)$

${\tilde{G}}_{\mathrm{new}}\left(z\right)={\left(T^{*}\left(z^2\right)\right)}^{-1}\tilde{G}\left(z\right)$

其中H_new(z)为新的低通滤波器，为新的对偶低通滤波器，G_new(z)为新的高通滤波器，

为新的对偶高通滤波器；提升矩阵S(z)和T(z)均为有限阶，T(z)的行列式为单项式。矩阵小波的提升框架与标量小波类似，不同之处在于这里的滤波器均为矩阵形式，并且在G_new(z)的表达式中包含T(z²)，提升方法实现的关键是提升矩阵S(z)和T(z)的设计。

根据机械故障诊断的内积变换原理，矩阵小波变换的关键在于构造和选择与故障特征波形相匹配的矩阵小波函数。根据齿轮和轴承出现损伤将引起振动冲击以及故障状态确定的物理属性，利用信号处理的峭度最大和熵最小作为优化目标，在构造的矩阵小波函数库中选择具有优良性质的最优矩阵小波函数。峭度指标K_P对早期振动冲击型故障敏感，其定义为：

$K_P=\frac{\&Integral;x^{4}p\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\left({\&Integral;x}^{2}p\left(x\right)\mathrm{dx}\right)}^2}$

其中，p(x)表示信号x的幅值概率密度。

对于一不确定性系统X，其包含元素x_i,i＝1,…,n,记为X={x_n}，其信息熵S(X)表示为：

和评估随机信号的复杂性。根据这一理论，如果系统仅有1个状态，即状态完全确定，其概率为1，则该系统的熵为0；反之，如果系统具有n个状态，当此n个状态为等概率时，则系统最不确定，它的熵最大。针对机械故障诊断的具体问题，故障发生时振动信号常表现为周期性的冲击特征。在早期故障出现时冲击较少，峭度值K_P较大；而当冲击变多时，峭度值K_P反而变小。包络谱熵S(X)表征了冲击特征包络谱的明确程度，其值越小，表明冲击特征的周期性越突出。综合两个指标的优点，弥补各自不足，提出峭度-包络谱熵指标KE：

$\mathrm{KE}=\frac{K_p}{S\left(X\right)}$

当行星齿轮箱的齿轮或轴承出现早期故障或复合故障时，冲击特征导致峭度-包络谱熵指标KE的分子变大，确定的故障状态导致KE的分母变小，最终使得KE值快速增大。因此，借助峭度-包络谱熵指标选择最优矩阵小波函数，实现行星齿轮箱正常和故障状态的分离。

使用提升方法得到的2×2维最优矩阵小波函数，根据峭度-包络谱熵指标

选择最优矩阵小波函数φ₁和φ₂，如图2(a)和2(b)所示。所构造的矩阵小波函数具有不同的时频特征，并且与齿轮出现故障时产生的冲击波形最接近，可以用来准确提取行星齿轮箱中存在的故障。

采集到的行星齿轮箱振动信号为f_k，以2维矩阵小波变换为例，重复采样的前处理方法具体表达如下式

$c_{o,k}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;}& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_k\\ f_k\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{c}{f}_k\\ f_k\end{array}\right]$

其中， $Q=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;}& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 称为前处理算子。

行星齿轮箱复合故障的动态信号往往表征为多故障特征（点蚀、剥落、磨损、胶合、裂纹、断裂、偏心、调制等）的相互耦合。矩阵小波包含多个具有时频差异的小波函数，可以用来匹配复合故障的不同响应波形。利用所构造的最优矩阵小波函数对前处理后的多维振动信号进行分解，获得包含不同特征信息的多个信号分支；矩阵小波的分解过程如下：

$s_{j-1,n}=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{H}_{k-2n}{s}_{j,k}$ $d_{j-1,n}=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{G}_{k-2n}{s}_{j,k}$

式中，s_j-1，n是r维低频分量，d_j-1，n是r维高频分量，*是共轭转置算子。

使用所构造的最优矩阵小波函数对前处理后的多维信号进行3层自适应分解，得到第1分支信号和第2分支信号，如图3和图6所示。

经最优矩阵小波分解后，行星齿轮箱复合故障的多个特征分别清晰地呈现在不同分支的分解信号中。传统的矩阵小波变换对分解后的多分支信号进行后处理，得到一维输出信号。本方法去除矩阵小波变换的后处理过程，采用Hilbert包络解调方法(程乾生.信号数字处理的数学原理.北京：石油工业出版社，1993.11)处理得到的多分支信号，获取解调后的故障特征信息。第1分支信号的低频逼近信号A3，高频细节信号D3、D2和D1的包络谱如图4所示，第1分支信号的低频逼近信号A3，高频细节信号D3、D2和D1的包络谱放大图如图5所示。第2分支信号的低频逼近信号A3，高频细节信号D3、D2和D1的包络谱如图7所示，第2分支信号的低频逼近信号A3，高频细节信号D3、D2和D1的包络谱放大图如图8所示。

为了验证本发明所述方法的正确性，给出一具体实例进一步说明。

行星齿轮箱加速疲劳实验台由直流驱动电机、行星齿轮箱、直流加载电机、直流调速控制系统四部分构成。行星齿轮箱型号为PLS142-32，它包含两级行星传动，第一级行星架(系杆)作为第二级行星传动的输入，总减速比为32。实验中，行星齿轮箱第一级太阳轮上多个齿面出现均匀点蚀损伤，如图9(a)中椭圆所示。行星齿轮箱第一级行星轮上存在早期划伤，如图9(b)中椭圆所示。驱动电机转速为1800r/min，在行星齿轮箱的输入端、输出端的水平和垂直方向均布置加速度传感器，获取振动信号，采样频率为12.8kHz。当行星齿轮箱中齿轮出现齿面损伤时，齿轮每转一周，损伤轮齿的啮合在振动信号中产生一组冲击波形，冲击波形的周期和齿轮的旋转周期一致；在频谱分析中可以提取到齿轮的转频成分。当多个齿面出现损伤时，齿轮旋转一周，不同位置的损伤在振动信号中先后产生多组冲击波形，冲击波形的周期保持不变，和齿轮旋转周期一致；不同时刻出现的冲击波形，在频谱分析中引起齿轮转频处的相位发生变化，并且多个冲击波形的幅值叠加使得齿轮转频处的峰值增大。因此，可以通过提取频谱分析中太阳轮转频30Hz和行星轮自转频率8.5Hz作为故障特征频率，判断太阳轮和行星轮是否出现损伤。

表1 行星齿轮箱结构参数

根据转化机构法，给行星齿轮箱一反向速度，大小为行星轮系杆输出轴转速N_c。计算得到行星齿轮箱的啮合频率：

f_m=(N_s-N_c)*Z_s/60

式中，f_m表示行星齿轮箱的啮合频率，N_s表示太阳轮输入轴转速，N_c表示行星轮系杆转速，Z_s表示中心轮齿数。根据上述参数，计算出来第一级行星传动的啮合频率为太阳轮转频的10.5倍。

当行星轮出现损伤时，在运行过程中行星轮损伤分别与太阳轮和内齿圈啮合，故障特征频率为行星轮自转频率，即f_s＝N_p/60。行星轮的自转转速和公转转速(即系杆转速)相互独立，可以计算行星轮的自转转速为：

$N_p=\frac{f_m}{Z_p}$

其中，Z_p表示行星轮的齿数。

振动信号时域波形如图1(a)所示，使用传统的FFT方法得到信号的频谱图1(b)，并且得到0-1000Hz的频谱放大图图1(c)。信号时域波形具有很强的随机性，这是由振动信号自带的噪声造成的。在图1(c)的频谱放大图中，未发现行星轮自转频率8.5Hz和太阳轮转频30Hz；频谱图中较突出的频率成分为119.9Hz、344.9Hz、659.8Hz和914.8Hz；其中，119.9Hz对应于行星齿轮箱的某阶固有频率，344.9Hz、659.8Hz和914.8Hz，分别接近于第一级行星传动的啮合频率315Hz及其倍频成分630Hz和945Hz，但存在约为30Hz的频率误差。

使用提升方法得到2×2维矩阵小波函数，根据峭度-包络谱熵指标

选择最优矩阵小波函数φ₁和φ₂，如图2(a)和2(b)所示。使用所构造的矩阵小波函数对前处理后的多维信号进行3层自适应分解。如图3所示，第1分支逼近信号A3的峰峰值约为2g，细节信号D3的峰峰值约为0.4g，D2的峰峰值约为0.2g，D1的峰峰值约为1g。计算第1分支信号的包络谱，如图4所示。逼近信号A3和细节信号D3的包络谱中太阳轮转频30Hz和啮合频率314.8Hz成分突出；细节信号D2的包络谱中314.8Hz成分突出；细节信号D1的包络谱中太阳轮转频30Hz，啮合频率314.8Hz及其2~4倍频成分均比较突出。选择图4中[0,100]Hz的频带得到包络谱放大图，如图5所示。在逼近信号A3和细节信号D3、D2和D1的包络谱中，30Hz及其2倍频60Hz成分突出，对应于第一级太阳轮转频；包络谱中未出现第一级行星轮自转频率8.5Hz。包络谱放大图中突出的太阳轮转频成分表征第一级太阳轮存在损伤。

如图6所示，第2分支逼近信号A3的峰峰值约为2g，细节信号D3的峰峰值约为1g，D2的峰峰值约为0.2g，D1的峰峰值约为0.4g。计算第2分支信号的包络谱，如图7所示。逼近信号A3，细节信号D3，D2和D1的包络谱中均存在太阳轮转频成分，啮合频率及其倍频成分。选择图7中[0,100]Hz的频带得到包络谱放大图，如图8所示。在细节信号D3、D2和D1的包络谱中，8.9Hz频率成分突出，接近于行星轮自转频率8.5Hz；包络谱中太阳轮转频30Hz及其2倍频60Hz不如第1分支信号突出。包络谱放大图中突出的行星轮自转频率表征第一级行星轮存在损伤。

本发明采用提升方法构造和选择了2×2维最优矩阵小波函数。如图5和图8所示，使用所构造的最优矩阵小波函数将前处理后的多维振动信号分解到2个分支中，在第1分支信号的包络谱中准确识别出行星齿轮箱第一级太阳轮出现损伤时的故障特征频率30Hz，在第2分支信号的包络谱中准确识别出第一级行星轮出现损伤时的故障特征频率8.5Hz，实现了行星齿轮箱复合故障的一次性分离和诊断。如图5和图8所示，2个分支信号的包络谱中都准确提取出第一级行星传动的啮合频率315Hz及其2倍频成分630Hz，比图1中传统的FFT分析精度高。

Claims (3)

1.一种利用矩阵小波变换的行星齿轮箱复合故障诊断方法，其特征在于，包括下述步骤：

(1)矩阵小波变换由多个尺度函数生成向量小波函数，该多个尺度函数和所述向量小波函数共同构成矩阵小波函数，其中，矩阵小波函数由如下多分辨分析生成，设函数Φ＝[φ₁(t)，φ₂(t)，…，φ_r(t)]^T∈L²(R)^r，r∈N，其中φ₁(t)，φ₂(t)，…，φ_r(t)为多个尺度函数，对j∈Z，定义：

V_j＝clos{2^j/2φ_i(2^jt-k)：1≤i≤r，k∈Z}

式中，尺度函数空间V_j由闭包函数clos{ }张成，分辨率为2^j；

小波函数空间W_j＝clos{2^j/2ψ_i(2^jt-k)：1≤i≤r，k∈Z}，是尺度函数空间V_j在V_j+1中的补空间，向量小波函数Ψ＝[ψ₁(t)，ψ₂(t)，…，ψ_r(t)]^T∈L²(R)^r的伸缩和平移张成了W_j空间

矩阵小波函数的两尺度方程为：

$\mathrm{\&Phi;}\left(t\right)=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{H}_k\mathrm{\&Phi;}(2t-k),k\&Element;Z$

$\mathrm{\&Psi;}\left(t\right)=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{G}_k\mathrm{\&Phi;}(2t-k),k\&Element;Z$

式中，H_k，G_k分别表示矩阵小波变换的低通与高通滤波器，Ψ(t)是由尺度函数Φ(t)生成的向量小波函数；

(2)将下述提升方法引入步骤(1)矩阵小波函数构造中，通过设计不同的提升算子改变原有矩阵小波函数滤波器的特性，得到不同性质的矩阵小波函数，所述提升方法为：

给定一个初始矩阵小波滤波器组其中H(z)为低通滤波器，

为对偶低通滤波器，G(z)为高通滤波器，

为对偶高通滤波器；构造的新矩阵小波滤波器组为：

H_new(z)＝H(z)

G_new(z)＝T(z²)(G(z)+S(z²)H(z))

${\tilde{H}}_{\mathrm{new}}\left(z\right)=\tilde{H}\left(z\right)-S^{*}\left(z^2\right)\tilde{G}\left(z\right)$

${\tilde{G}}_{\mathrm{new}}\left(z\right)={\left(T^{*}\left(z^2\right)\right)}^{-1}\tilde{G}\left(z\right)$

其中H_new(z)为新的低通滤波器，

为新的对偶低通滤波器，G_new(z)为新的高通滤波器，

为新的对偶高通滤波器；提升矩阵S(z)和T(z)均为有限阶，T(z)的行列式为单项式；

(3)根据齿轮和轴承出现损伤将引起振动冲击以及故障状态确定的物理属性，利用信号处理的峭度最大和熵最小作为优化目标，在构造的矩阵小波函数库中选择具有优良性质的最优矩阵小波函数；

（4）使用所构造的最优矩阵小波函数对振动信号进行自适应分解，将多个故障特征分解到不同分支的信号中进行提取与识别，实现行星齿轮箱复合故障特征的一次性分离和诊断。

2.如权利要求1所述的利用矩阵小波变换的行星齿轮箱复合故障诊断方法，其特征在于，所述最优矩阵小波函数选择方法为：峭度指标K_P对早期振动冲击型故障敏感，其定义为：

$K_P=\frac{\&Integral;x^{4}p\left(x\right)\mathrm{dx}}{{\left({\&Integral;x}^{2}p\left(x\right)\mathrm{dx}\right)}^2}$

其中，p(x)表示信号x的幅值概率密度；

对于一不确定性系统X，其包含元素x_i,i＝1,…,n,记为X={x_n}，其信息熵S(X)表示为：

峭度-包络谱熵指标KE：

$\mathrm{KE}=\frac{K_p}{S\left(X\right)}$

借助峭度-包络谱熵指标选择最优矩阵小波函数，实现正常和故障状态的分离。

3.如权利要求1所述的利用矩阵小波变换的行星齿轮箱复合故障诊断方法，其特征在于，所述步骤（4）的具体方法为：包括如下步骤：

1)采集到的行星齿轮箱振动信号为f_k，以2维矩阵小波变换为例，重复采样的前处理方法具体表达如下式：

$c_{o,k}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;}& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_k\\ f_k\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{c}{f}_k\\ f_k\end{array}\right]$

其中， $Q=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&alpha;}& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 称为前处理算子；

利用所构造的最优矩阵小波函数对前处理后的多维振动信号进行多层自适应分解，获得包含不同特征信息的两个信号分支；矩阵小波的分解过程如下：

$s_{j-1,n}=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{H}_{k-2n}{s}_{j,k}$ $d_{j-1,n}=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{G}_{k-2n}{s}_{j,k}$

式中，s_j-1,n是r维低频分量，d_j-1,n是r维高频分量，*是共轭转置算子；

2)采用Hilbert包络解调方法提取出不同信号分支中表征的行星齿轮箱故障，结合故障机理分析，实现行星齿轮箱复合故障特征的一次性分离和诊断。

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