CN107609305A - 基于vc的滤波器辅助设计系统 - Google Patents

基于vc的滤波器辅助设计系统 Download PDF

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CN107609305A CN201710922662.8A CN201710922662A CN107609305A CN 107609305 A CN107609305 A CN 107609305A CN 201710922662 A CN201710922662 A CN 201710922662A CN 107609305 A CN107609305 A CN 107609305A
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刘源
蒲智军
朱雅芸
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SHENZHEN YIJIAEN TECHNOLOGY CO., LTD.
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Sichuan Changhong Electric Co Ltd
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Abstract

本发明公开了一种基于VC的滤波器辅助设计系统，涉及滤波器相关的系统开发领域；系统能够使用户在界面上选择不同类型，如低通、高通、带通、带阻等；以及用不同的设计方法来进行IIR滤波器的辅助设计，包括巴特沃斯、切比雪夫I型和切比雪夫II型；本发明能够导出设计出的滤波器参数，并且能够在界面上对其零极点图和幅频响应图进行观测以验证设计的正确性；方便对设计进行验证和推广使用。

Description

基于VC的滤波器辅助设计系统
技术领域
本发明涉及滤波器系统设计领域，具体涉及一种基于VC的滤波器辅助设计系统。
背景技术
在数字信号处理过程中，如何从信号中去掉噪声对于一个信号的传输具体十分重要的意义，它确保了信号的可靠性和有效性。从含有各种噪声的信号中提取出所需要的信号成分的处理方法就被称为滤波，能够完成滤波过程的结构称为滤波器。数字滤波器应用尤为广泛，包括在通信、医疗、军事、生活、音乐等领域。
目前，在MATLAB中集成了有两个强大的滤波器图形用户工具SPtool和FDAtool。对比两者，SPTool是一种可以进行交互的图形用户工具，其能对输入信号、设计出来的滤波器响应波形以及其频谱波形进行观测，但是可供设计滤波器类型不多，并且无法将设计出来的滤波器的参数进行导出操作。而FDAtool也一个是滤波器图形用户工具，其只能够对设计滤波器响应波形进行观测，但其可供设计的滤波器类型很多，同时能够将其设计的滤波器参数进行导出。
为综合两者优点，本设计能够根据在用户界面上设定的滤波器技术参数指标，自动计算出滤波器的相关参数，即滤波器的分子分母多项式系数，并且能够导出滤波器设计参数到用户界面，同时，该系统还能够根据导出的滤波器参数，在用户界面上进行零极点图和幅频特性曲线的绘制，以验证设计滤波器的正确性和功能性。
发明内容
本发明为克服背景技术部分描述现有技术的不足，提供一种基于VC的滤波器辅助设计系统。
考虑到现有技术的上述问题，根据本发明公开的一个方面，本发明采用以下技术方案：
一种基于VC的滤波器辅助设计系统，包括设计用户界面，滤波器代码实现，零极点图和频域特性图绘制。
为了更好地实现本发明，进一步的技术方案是：
根据本发明的一个实施方案，所述滤波器辅助设计系统使用Visual Studio的MFC模式进行开发设计。
根据本发明的另一个实施方案，所述用户界面包括有响应类型、设计方法、阶数、频率、阻带以及滤波器参数导出框以及零极点图和幅频特性曲线。
根据本发明的另一个实施方案，所述响应类型包括低通、高通、带通、带阻。
根据本发明的另一个实施方案，所述设计方法包括巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫II型。
根据本发明的另一个实施方案，所述零极点图和频域特性图的绘制使用GDI对象进行绘制。
根据本发明的另一个实施方案，对于模拟低通滤波器，其技术指标包括通带截止频率Ωp及通带内最大衰减ap、阻带截止频率Ωs及阻带内最小衰减as，它们的关系为：
对于单调递减的幅频特性，若有Ω＝Ωc，并且|Ha(jΩc)|＝1/2，ap＝3dB，那么把Ωc这点对应的频率称为3dB截止频率，模拟滤波器的幅度响应使用幅度平方函数来表示为
由于滤波器冲激响应ha(t)是一个实信号，则得到
|Ha(jΩ)|2＝Ha(jΩ)Ha(-jΩ)＝Ha(s)Ha(-s)|s＝jΩ (4)；
对于数字低通滤波器的技术指标包括：通带截止频率Ωp、通带衰减αp、阻带截止频率Ωs、阻带衰减αs，从低通到高通变换需把s变换成1/s即可实现，即：
低通到带通变换：
低通到带阻的变换：
其中W＝ΩH-ΩL和其中ΩL和ΩH分别是带通或者带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率。
根据本发明的另一个实施方案，双线性变换法是将全部S平面频率压缩到±π/T之间，之后使用z＝esT再将其变换到Z平面上去，是一种非线性频率压缩的方法。实现频率压缩的变换式为：
式中，T为抽样间隔，当ω1从-π/T经过0变换到π/T时，ω则由-∞经过0变换到+∞时，则实现了S平面压缩到S1平面的转换；于是有
再通过转换到Z平面上，得到如下双线性变换：
根据本发明的另一个实施方案，巴特沃斯滤波器低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2定义如下：
其中，Ωc表示3dB截止频率，N表示滤波器的阶数，N为整数；巴特沃斯模拟滤波器技术指标有通带截止频率Ωp及通带内的最大衰减ap，阻带截止频率Ωs及阻带内最小衰减as，由(12)可得
和
从而可以得到
则
滤波器阶数N取整数。
令式(3)中jΩ＝s，可得
由式(17)可知，巴特沃斯模拟滤波器没有零点，全是极点，且一共有2N个极点，各个极点可以表示为
由(18)式可得，所有极点在s平面是对称分布在半径为Ωc的圆上的，并且任意两个极点间角度为(π/N)rad。由于不存在虚轴上的对称点，所以滤波器是稳定的，同时，当N为偶数时，所有极点都是成对出现的，且都不轴上，N为奇数时，实轴上存在极点。为了得到因果稳定的滤波器，考虑左半平面极点可以得到
由于不同技术参数对于的截止频率和滤波器幅频特性均不相同，以下将频率归一化，令p＝s/Ωc，则式(19)可以写成
当滤波器阶数N为偶数时，其极点是成对共轭出现的
pk＝pn-k+1,k＝1,2…,n/2 (21)
每一个共轭极点对能构成一个二阶系统
总的传递函数由N/2个二阶系统组成
式(23)即为归一化Butterworth低通滤波器的传递函数。
10.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于切比雪夫低通滤波器的幅度平方函数为
其中，ε为小于1的正数，用其表示通带波纹系数，Ωp是通带截止频率。令λ＝Ω/Ωp，称λ为对Ωp的归一化频率；C(N)是N阶切比雪夫多项式
可归纳推导出切比雪夫多项式递推公式为
CN+1(x)＝2xCN(x)-CN-1(x) (25)
由(25)可知切比雪夫多项式只有在|x|≤1时才会有过零点，致使的值在0到ε2内，的倒数就是幅度平方函数，则其在[0，Ωp]有等波纹变化，最大值为1，最小值为1/(1+ε2)，切比雪夫滤波器的特点是其误差值在会在指定的频率范围内等波纹地变化。切比雪夫I型滤波器通带内，其幅频特性曲线是等幅振荡的，在阻带内为单调减小，切比雪夫II型滤波器反之，滤波器的阶数等于通带或者阻带内波纹最大值最小值的个数之和，对于切比雪夫I型滤波器，根据参数ε可以按式(26)求得归一化切比雪夫I型低通模拟滤波器的极点
pk＝σk+jΩk,k＝1,2…,N
其中，ε为滤波器通带波纹系数。滤波器总的传递函数为:
其中，由于
因此，在N个复数极点中，pk和pN+1-k互为共轭。将这两个极点对应的两项合并为一项二次多项式得到
(p-pk)(p-pN+1-k)＝p2-(pk+pN+1-k)p+pkpN+1-k (28)
其中
pk+pN+1-k＝(σk+jΩk)+(σN+1-k+jΩN+1-k)＝(σk+jΩk)+(σk-jΩk)＝2σk
最终可将归一化传递函数表示为
用代码实现的流程如图5所示。对于切比雪夫II型滤波器，该函数根据参数Ωs和λ按以下各式求得归一化低通模拟滤波器的极点和零点
式中，Ωs为阻带截止频率；λ是与阻带衰减相关的参数。在Ω＝Ωs处，滤波器的幅度增益为1/λ。滤波器总的传递函数为
在N个复数零点中，zk和zN+1-k是一对共轭的纯虚零点，pk和pN+1-k是一对共轭的复数极点；将这两个零点和极点对应的两项分别合并得到
最终将归一化传递函数表示为
与现有技术相比，本发明的有益效果之一是：
本发明的一种基于VC的滤波器辅助设计系统，实现界面简洁，操作方便，同时可以导出的滤波器参数，能够在用户界面上进行零极点图和幅频特性曲线的绘制，方便对设计进行验证，便于推广使用。
附图说明
为了更清楚的说明本申请文件实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术的描述中所需要使用的附图作简单的介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅是对本申请文件中一些实施例的参考，对于本领域技术人员来讲，在不付出创造性劳动的情况下，还可以根据这些附图得到其它的附图。
图1为一种基于VC的滤波器辅助设计系统的设计流程示意图。
图2为各种理想滤波器的幅频特性示意图。
图3为双线性变换法的映射关系示意图。
图4为巴特沃斯滤波器实现流程示意图。
图5为切比雪夫I型滤波器实现流程示意图。
图6为切比雪夫II型滤波器实现流程示意图。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明作进一步地详细说明，但本发明的实施方式不限于此。
如图1所示，一种基于VC的滤波器辅助设计系统，包括设计用户界面，滤波器代码实现，零极点图和频域特性图绘制，系统运行结果的验证。用户使用时，依次选择响应类型响应类型、设计方法、阶数、频率、阻带，点击开始设计后，即可得到滤波器参数以及零极点图和幅频特性曲线，以验证设计结果的正确性。其特征在于：一种基于VC的滤波器辅助设计系统。
优选的，所述的一种基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于：所述响应类型包括低通、高通、带通、带阻。各种理想滤波器的幅频特性如图2所示，其在通带内的系统传递函数幅度是一个常数，拥有线性相移特性，同时，在阻带内其系统传递函数的幅度全为零，无相移特性特殊要求，一般通阻带之间有一个过渡带，对于理想滤波器来说，其过渡带为零。对于一个模拟低通滤波器来说，其技术指标主要包括通带截止频率Ωp及通带内最大衰减ap、阻带截止频率Ωs及阻带内最小衰减as，它们的关系为：
对于单调递减的幅频特性，若有Ω＝Ωc，并且|Ha(jΩc)|＝1/2，ap＝3dB，那么把Ωc这点对应的频率称为3dB截止频率。模拟滤波器的幅度响应使用幅度平方函数来表示为
由于滤波器冲激响应ha(t)是一个实信号，则所以可以得到
|Ha(jΩ)|2＝Ha(jΩ)Ha(-jΩ)＝Ha(s)Ha(-s)|s＝jΩ(4)
而数字低通滤波器的技术指标主要有：通带截止频率Ωp、通带衰减αp、阻带截止频率Ωs、阻带衰减αs，将其转换成对应的模拟低通滤波器的技术指标参数，其中变化的只有ωp和ωs，αp和αs保持不变，之后使用双线性变换法将其数字化。由低通滤波器的传输函数经过频率变换后就能够得到另外几种滤波器的传递函数，一般在进行滤波器设计时，都先把滤波器技术参数转换成为低通滤波器的技术指标参数，再通过相应的频率变换就可以得到所需要设计的类型的滤波器传输函数。从低通到高通变换需把s变换成1/s即可实现，即：
低通到带通变换：
低通到带阻的变换：
其中W＝ΩH-ΩL和其中ΩL和ΩH分别是带通或者带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率。
优选的，所述的一种基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于：所述双线性变换法是将全部S平面频率压缩到±π/T之间，之后使用z＝esT再将其变换到Z平面上去，是一种非线性频率压缩的方法。实现频率压缩的变换式为：
式(8)中，T为抽样间隔，当ω1从-π/T经过0变换到π/T时，ω则由-∞经过0变换到+∞时，则实现了S平面压缩到S1平面的转换。于是有
再通过转换到Z平面上，可以得到
式(10)和(11)就是双线性变换，其映射关系图如图3所示。
优选的，所述的一种基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于：所述设计方法包括巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫II型。
优选的，所述的一种基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于：所述巴特沃斯滤波器低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2定义如下：
其中，Ωc表示3dB截止频率，N表示滤波器的阶数(N为整数)。巴特沃斯模拟滤波器技术指标有通带截止频率Ωp及通带内的最大衰减ap，阻带截止频率Ωs及阻带内最小衰减as。由(12)可得
和|
从而可以得到
则
滤波器阶数N必须取整数。
令式(3)中jΩ＝s，可得
由式(17)可知，巴特沃斯模拟滤波器没有零点，全是极点，且一共有2N个极点，各个极点可以表示为
由(18)式可得，所有极点在s平面是对称分布在半径为Ωc的圆上的，并且任意两个极点间角度为(π/N)rad。由于不存在虚轴上的对称点，所以滤波器是稳定的，同时，当N为偶数时，所有极点都是成对出现的，且都不轴上，N为奇数时，实轴上存在极点。为了得到因果稳定的滤波器，考虑左半平面极点可以得到
由于不同技术参数对于的截止频率和滤波器幅频特性均不相同，以下将频率归一化，令p＝s/Ωc，则式(19)可以写成
当滤波器阶数N为偶数时，其极点是成对共轭出现的
pk＝pn-k+1,k＝1,2…,n/2 (21)
每一个共轭极点对能构成一个二阶系统
总的传递函数由N/2个二阶系统组成
式(23)即为归一化Butterworth低通滤波器的传递函数。其实现流程如图4所示。
优选的，所述的一种基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于：所述的切比雪夫低通滤波器的幅度平方函数为
其中，ε为小于1的正数，用其表示通带波纹系数，Ωp是通带截止频率。令λ＝Ω/Ωp，称λ为对Ωp的归一化频率。C(N)是N阶切比雪夫多项式
可归纳推导出切比雪夫多项式递推公式为
CN+1(x)＝2xCN(x)-CN-1(x)(25)
由(25)可知切比雪夫多项式只有在|x|≤1时才会有过零点，致使的值在0到ε2内，的倒数就是幅度平方函数，则其在[0，Ωp]有等波纹变化，最大值为1，最小值为1/(1+ε2)。切比雪夫滤波器的特点是其误差值在会在指定的频率范围内等波纹地变化。切比雪夫I型滤波器通带内，其幅频特性曲线是等幅振荡的，在阻带内为单调减小，切比雪夫II型滤波器反之，滤波器的阶数等于通带或者阻带内波纹最大值最小值的个数之和。对于切比雪夫I型滤波器，根据参数ε可以按式(26)求得归一化切比雪夫I型低通模拟滤波器的极点
pk＝σk+jΩk,k＝1,2…,N
其中，ε为滤波器通带波纹系数。滤波器总的传递函数为:
其中，由于
因此，在N个复数极点中，pk和pN+1-k互为共轭。将这两个极点对应的两项合并为一项二次多项式得到
(p-pk)(p-pN+1-k)＝p2-(pk+pN+1-k)p+pkpN+1-k (28)
其中
pk+pN+1-k＝(σk+jΩk)+(σN+1-k+jΩN+1-k)＝(σk+jΩk)+(σk-jΩk)＝2σk
最终可将归一化传递函数表示为
用代码实现的流程如图5所示。对于切比雪夫II型滤波器，该函数根据参数Ωs和λ按以下各式求得归一化低通模拟滤波器的极点和零点
式中，Ωs为阻带截止频率；λ是与阻带衰减相关的参数。在Ω＝Ωs处，滤波器的幅度增益为1/λ。滤波器总的传递函数为
容易证明，在N个复数零点中，zk和zN+1-k是一对共轭的纯虚零点，pk和pN+1-k-是一对共轭的复数极点。将这两个零点和极点对应的两项分别合并得到
最终可将归一化传递函数表示为
其实现的流程如图6所示。
优选的，所述的一种基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于：所述零极点图和频域特性图的绘制使用GDI对象进行绘制。
尽管这里参照本发明的多个解释性实施例对本发明进行了描述，但是，应该理解，本领域技术人员可以设计出很多其他的修改和实施方式，这些修改和实施方式将落在本申请公开的原则范围和精神之内。更具体地说，在本申请公开和权利要求的范围内，可以对主题组合布局的组成部件和/或布局进行多种变型和改进。除了对组成部件和/或布局进行的变型和改进外，对于本领域技术人员来说，其他的用途也将是明显的。

Claims (10)

1.一种基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于包括设计用户界面，滤波器代码实现，零极点图和频域特性图绘制。
2.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于所述滤波器辅助设计系统使用Visual Studio的MFC模式进行开发设计。
3.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于所述用户界面包括有响应类型、设计方法、阶数、频率、阻带以及滤波器参数导出框以及零极点图和幅频特性曲线。
4.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于所述响应类型包括低通、高通、带通、带阻。
5.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于所述设计方法包括巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫II型。
6.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于所述零极点图和频域特性图的绘制使用GDI对象进行绘制。
7.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于对于模拟低通滤波器，其技术指标包括通带截止频率Ωp及通带内最大衰减ap、阻带截止频率Ωs及阻带内最小衰减as，它们的关系为：
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对于单调递减的幅频特性，若有Ω＝Ωc，并且|Ha(jΩc)|＝1/2，ap＝3dB，那么把Ωc这点对应的频率称为3dB截止频率，模拟滤波器的幅度响应使用幅度平方函数来表示为
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由于滤波器冲激响应ha(t)是一个实信号，则得到
|Ha(jΩ)|2＝Ha(jΩ)Ha(-jΩ)＝Ha(s)Ha(-s)|s＝jΩ (4)；
对于数字低通滤波器的技术指标包括：通带截止频率Ωp、通带衰减αp、阻带截止频率Ωs、阻带衰减αs，从低通到高通变换需把s变换成1/s即可实现，即：
<mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;LeftArrow;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>s</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
低通到带通变换：
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其中W＝ΩH-ΩL和其中ΩL和ΩH分别是带通或者带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率。
8.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于双线性变换法是将全部S平面频率压缩到±π/T之间，之后使用z＝esT再将其变换到Z平面上去，是一种非线性频率压缩的方法。实现频率压缩的变换式为：
<mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </mfrac> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，T为抽样间隔，当ω1从-π/T经过0变换到π/T时，ω则由-∞经过0变换到+∞时，则实现了S平面压缩到S1平面的转换；于是有
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9.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于巴特沃斯滤波器低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2定义如下：
<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&amp;Omega;</mi> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Ωc表示3dB截止频率，N表示滤波器的阶数，N为整数；巴特沃斯模拟滤波器技术指标有通带截止频率Ωp及通带内的最大衰减ap，阻带截止频率Ωs及阻带内最小衰减as，由(12)可得
<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
和
从而可以得到
<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则
<mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>lg</mi> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msup> <mn>10</mn> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>p</mi> </msub> <mn>10</mn> </mfrac> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mn>10</mn> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>s</mi> </msub> <mn>10</mn> </mfrac> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mrow> <mi>lg</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>p</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
滤波器阶数N取整数。
令式(3)中jΩ＝s，可得
<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>s</mi> <mrow> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(17)可知，巴特沃斯模拟滤波器没有零点，全是极点，且一共有2N个极点，各个极点可以表示为
<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mn>2</mn> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由(18)式可得，所有极点在s平面是对称分布在半径为Ωc的圆上的，并且任意两个极点间角度为(π/N)rad。由于不存在虚轴上的对称点，所以滤波器是稳定的，同时，当N为偶数时，所有极点都是成对出现的，且都不轴上，N为奇数时，实轴上存在极点。为了得到因果稳定的滤波器，考虑左半平面极点可以得到
<mrow> <msub> <mi>s</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>c</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由于不同技术参数对于的截止频率和滤波器幅频特性均不相同，以下将频率归一化，令p＝s/Ωc，则式(19)可以写成
<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
当滤波器阶数N为偶数时，其极点是成对共轭出现的
pk＝pn-k+1,k＝1,2…,n/2 (21)
每一个共轭极点对能构成一个二阶系统
<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>p</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
总的传递函数由N/2个二阶系统组成
<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>p</mi> <mi> </mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(23)即为归一化Butterworth低通滤波器的传递函数。
10.根据权利要求1所述的基于VC的滤波器辅助设计系统，其特征在于切比雪夫低通滤波器的幅度平方函数为
<mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>H</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>&amp;Omega;</mi> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>p</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ε为小于1的正数，用其表示通带波纹系数，Ωp是通带截止频率。令λ＝Ω/Ωp，称λ为对Ωp的归一化频率；C(N)是N阶切比雪夫多项式
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mi>N</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mi> </mi> <mi>arccos</mi> <mi> </mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mi> </mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>h</mi> <mi> </mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
可归纳推导出切比雪夫多项式递推公式为
CN+1(x)＝2xCN(x)-CN-1(x) (25)
由(25)可知切比雪夫多项式只有在|x|≤1时才会有过零点，致使的值在0到ε2内，的倒数就是幅度平方函数，则其在[0，Ωp]有等波纹变化，最大值为1，最小值为1/(1+ε2)，切比雪夫滤波器的特点是其误差值在会在指定的频率范围内等波纹地变化。切比雪夫I型滤波器通带内，其幅频特性曲线是等幅振荡的，在阻带内为单调减小，切比雪夫II型滤波器反之，滤波器的阶数等于通带或者阻带内波纹最大值最小值的个数之和，对于切比雪夫I型滤波器，根据参数ε可以按式(26)求得归一化切比雪夫I型低通模拟滤波器的极点
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2...</mn> <mo>,</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> <mi>&amp;epsiv;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ε为滤波器通带波纹系数。滤波器总的传递函数为:
<mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，由于
<mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow>
因此，在N个复数极点中，pk和pN+1-k互为共轭。将这两个极点对应的两项合并为一项二次多项式得到
(p-pk)(p-pN+1-k)＝p2-(pk+pN+1-k)p+pkpN+1-k (28)
其中
pk+pN+1-k＝(σk+jΩk)+(σN+1-k+jΩN+1-k)＝(σk+jΩk)+(σk-jΩk)＝2σk
<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow>
最终可将归一化传递函数表示为
<mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
用代码实现的流程如图5所示。对于切比雪夫II型滤波器，该函数根据参数Ωs和λ按以下各式求得归一化低通模拟滤波器的极点和零点
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>j</mi> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>N</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>j&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> </mrow>
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式中，Ωs为阻带截止频率；λ是与阻带衰减相关的参数。在Ω＝Ωs处，滤波器的幅度增益为1/λ。滤波器总的传递函数为
<mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在N个复数零点中，zk和zN+1-k是一对共轭的纯虚零点，pk和pN+1-k是一对共轭的复数极点；将这两个零点和极点对应的两项分别合并得到
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mi>cos</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mi>N</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mi>p</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mi>cos</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> <mi>N</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
最终将归一化传递函数表示为
<mrow> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Pi;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mi>p</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mi>cos</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>N</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>}</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
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