CN107543545A - 极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法 - Google Patents

极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法 Download PDF

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Abstract

本发明针对极区内双航海惯性导航系统缺少信息融合，主惯导故障情况下损失定位精度的问题，公开了极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法。对双航海惯性导航系统的误差方程在极区内格网坐标系下进行了重新编排，建立了双航海惯性导航系统在极区内的联合误差状态方程和观测方程，对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的陀螺漂移、加速度计零偏进行估计，并根据极区内单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的定位误差预测模型对其确定性定位误差进行预测补偿，使得作为主惯导的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统故障情况下的定位精度依然可以保证，在保证高可靠性的条件下，进一步提升巡航舰船在极区内的导航定位能力。

Description

极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法
技术领域
本发明涉及一种极区航海惯性导航系统定位信息融合方法，特别是一种极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法，属于惯性导航领域。
背景技术
极区蕴含了极其丰富的油气资源，同时也处于重要的战略位置。随着极区重要性的日益凸显，以美国、俄罗斯为代表的各个大国加快了对南北极的考察研究。公开报道表明，美国、俄罗斯两国舰船多次在极区进行巡航。对我国而言，加强舰船在极区的巡航将增加我国在该地区的话语权。对于在极区巡航的现代舰船导航系统而言，必须具备高可靠性、高精度、长航时导航的能力。受极区气候、磁场等外部环境的影响，卫星导航、天文导航的使用受到了不同程度的限制，这种情况下，惯性导航系统的定位精度、可靠性成为了决定舰船极区导航能力的重要因素。但是由于极区处于地球的两端，经线迅速收敛，导致相对经线建立航向参考越来越困难，传统的在地理坐标系编排的航海惯性导航系统在极区将无法工作，需要在其它的可用坐标系下重新进行编排。
激光陀螺旋转调制航海惯性导航系统由于其特有的优势已成为很多现代舰船的标准装备，目前装备的旋转调制航海惯性导航系统分为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统和双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统。单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统只有方位轴旋转机构，可以调制水平方向惯性器件确定性误差的影响，但却不能调制方位轴惯性器件确定性误差的影响；双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统存在方位轴旋转机构和横滚轴旋转机构，可以调制所有方向惯性器件确定性误差的影响，因此其定位精度相较于单轴而言更高，但由于其多出的横滚轴旋转机构及其它配套电子设备，造价相对更高，可靠性也低于单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统。为满足极区巡航舰船对惯性导航系统高可靠性的要求，同时综合考虑到系统的定位精度、成本等因素，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统和双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统备份配置是一种理想方案，并且已被多类舰船采用。此种情况下，以定位精度相对更高的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统作为主惯导系统，正常情况下由其提供导航定位结果；一旦双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统故障，由可靠性更高、作为热备份系统的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统继续提供导航定位信息，但此时不可避免的要损失一定的定位精度。目前的配置情况下，两套系统间缺少信息融合，只能保证主惯导设备正常情况下的定位精度，主惯导设备故障情况下热备份系统的定位精度将会损失。
因此，要实现极区双航海惯性导航系统定位信息融合重点需要解决：1.旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统误差方程在极区内可用坐标系下的重新编排2.极区内双航海惯性导航系统定位信息融合，实现单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统定位精度的提升，即使作为主惯导的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统发生故障，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的定位精度依然可以保证，并与主惯导设备正常情况下的定位精度相当，在保证高可靠性的条件下，进一步提升巡航舰船在极区内的导航定位能力3.解决舰船由非极区向极区航行时双航海惯性导航系统的联合误差状态及其协方差在不同导航坐标系下的转换问题，以证联合状态卡尔曼滤波器平稳运行。
发明内容
本发明针对极区内双航海惯性导航系统缺少信息融合，主惯导故障情况下损失定位精度的问题，提出了一种极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法。该方法分别对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统、双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的误差方程在极区内格网坐标系下进行了重新编排，进一步建立了双航海惯性导航系统在极区内的联合误差状态方程和观测方程，对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的方位陀螺漂移进行估计，并根据极区内单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的定位误差预测模型对其方位陀螺漂移造成的确定性定位误差进行预测补偿，即使双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统发生故障，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的定位精度依然可以保证，在保证高可靠性的条件下，进一步提升巡航舰船在极区内的导航定位能力。
为实现本发明所采取的技术解决方案是：
极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法，其步骤为：
步骤1：极区内确定格网坐标系G为导航坐标系，其定义为：以舰船所在地平行于格林威治子午面的平面为格网面，其与当地水平面的交线定义为格网北向，格网北向与当地地理系n的北向的夹角为格网角σ，格网天向与当地地理系n的天向重合，格网东向与格网北向、格网天向构成右手正交坐标系，当地地理系n为“东向-北向-天向”定义；
步骤2：在格网坐标系G下建立单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的姿态误差微分方程、速度误差微分方程、位置误差角微分方程，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统编号为1，通过以下步骤实现：
2.1)建立格网坐标系G下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差微分方程为
其中，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差，分别为姿态误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为格网系相对惯性坐标系的角速度，为格网系下表示的地球自转角速度，分别为在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为格网系相对地球的转移角速度，分别为在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为与单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差、位置误差角相关的格网系相对惯性坐标系的角速度误差，为与单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角相关的地球自转角速度误差，为与单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差、位置误差角相关的格网系相对地球的转移角速度误差，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的载体系b1到格网系G的方向余弦矩阵，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺输出角速度误差，ε1＝[εx1 εy1 εz1]T为该系统中的陀螺漂移，εx1、εy1、εz1为陀螺漂移在相应坐标轴的分量，为该系统中的陀螺噪声，为陀螺噪声在相应坐标轴的分量；
2.2)建立格网坐标系G下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差微分方程为
其中，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差，分别为速度误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为比力，分别为比力在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为格网坐标系G下的舰船速度，分别为舰船速度格网东向、格网北向、格网天向的分量，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的比力误差，为该系统中的加速度计零偏，为加速度计零偏在相应坐标轴的分量，为加速度计噪声，为加速度计噪声在相应坐标轴的分量；
2.3)确定格网坐标系G下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角，同时建立其微分方程，通过以下步骤实现：
2.3.1)将格网系下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1输出的舰船位置矩阵用真实的舰船位置矩阵表示为
其中，I3为三阶单位矩阵，为格网系G下的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角，为当地地理系n与格网系G间的方向余弦矩阵，为地心地固坐标系e与当地地理系n间的方向余弦矩阵， cij表示舰船位置矩阵的第i行j列元素，其中，i＝1，2，3，j＝1，2，3；L、λ分别为舰船真实的纬度、经度，δσ1为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的格网角误差，为当地地理系n下的位置误差角，δL1、δλ1分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的纬度输出误差、经度输出误差；
2.3.2)根据(3)式确定单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角为
其中，为位置误差角在格网东向、格网北向、格网天向的分量；
2.3.3)根据(4)式确定单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角各分量间的关系
即单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1位置误差角的格网天向分量与其格网东向分量线性相关，其格网东向、格网北向分量即可完全确定相应的位置误差角
2.3.4)根据(3)式确定对其两侧微分获得位置误差角的微分方程为
步骤3：在格网坐标系G下建立双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的姿态误差微分方程、速度误差微分方程、位置误差角微分方程，双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统编号为2，通过以下步骤实现：
3.1)建立格网坐标系G下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态误差微分方程为
其中，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态误差，分别为姿态误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差、位置误差角相关的格网系相对惯性坐标系的角速度误差，为与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角相关的地球自转角速度误差，为与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差、位置误差角相关的格网系相对地球的转移角速度误差，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的载体系b2到格网系G的方向余弦矩阵，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的陀螺输出角速度误差，ε2＝[εx2 εy2 εz2]T为该系统中的陀螺漂移，εx2、εy2、εz2为陀螺漂移在相应坐标轴的分量，为该系统中的陀螺噪声，为陀螺噪声在相应坐标轴的分量；
3.2)建立格网坐标系G下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差微分方程为
其中，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差，分别为速度误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的比力误差，为该系统中的加速度计零偏，为加速度计零偏在相应坐标轴的分量，为加速度计噪声，为加速度计噪声在相应坐标轴的分量；
3.3)确定格网坐标系G下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角，同时建立其微分方程，通过以下步骤实现：
3.3.1)将格网系下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2输出的舰船位置矩阵用真实的舰船位置矩阵表示为
其中，为格网系G下的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角，δσ2为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的格网角误差，为当地地理系n下的位置误差角，δL2、δλ2分别为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的纬度输出误差、经度输出误差；
3.3.2)根据(9)式确定双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角为
其中，为位置误差角在格网东向、格网北向、格网天向的分量；
3.3.3)根据(10)式确定双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角各分量间的关系
即双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2位置误差角的格网天向分量与其格网东向分量线性相关，其格网东向、格网北向分量即可完全确定相应的位置误差角
3.3.4)根据(9)式确定对其两侧微分获得位置误差角的微分方程为
步骤4：在格网坐标系G下建立单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的联合误差状态方程，通过以下步骤实现：
4.1)构建格网坐标系下的联合误差状态，联合误差状态为：单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1姿态误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2姿态误差的差值单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1速度误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2速度误差的差值单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1位置误差角与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2位置误差角的差值的格网东向分量和格网北向分量，增广单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏以及双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的陀螺漂移ε2、加速度计零偏作为联合误差状态，不考虑高度通道相关的误差状态；联合误差状态矢量xG(t)为
4.2)分别将步骤2.1)中单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差微分方程式(1)减去步骤3.1)中双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态误差微分方程式(7)、步骤2.2)中单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差微分方程式(2)减去步骤3.2)中双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差微分方程式(8)、步骤2.3)中单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角微分方程式(6)减去步骤3.3)中双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角微分方程式(12)，构建格网坐标系下的联合误差状态方程为
其中，为地球自转角速度误差的差值，为格网系相对地球的转移角速度误差的差值，为格网系相对惯性坐标系的角速度误差的差值；
4.3)将步骤4.2)中的联合误差状态方程表示为矩阵形式
其中，系统状态矩阵F(t)、系统噪声矩阵G(t)及系统噪声w(t)分别为：
κG是符号的替换简写，h为舰船的高度，Re为地球的长半轴，f为地球的椭球扁率，1/RxG、1/RyG为地球在格网系下相应坐标轴方向的曲率，1/τfG为舰船所在位置的扭曲率，分别为的前两行前两列构成的子矩阵，0i×j代表i行j列的零矩阵；
步骤5：在格网坐标系G下建立单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2间的观测方程，通过以下步骤实现
5.1)确定观测量z(t)为扣除两套系统间的杆臂效应之后的格网东向速度误差差值、格网北向速度误差差值，以及位置误差角差值，如下：
其中，分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1、双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2各自输出的格网东向速度， 分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1、双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2各自输出的格网北向速度；分别为中相应的矩阵元素；
5.2)确定观测方程为
z(t)＝HxG(t)+υ(t) (27)
其中，观测矩阵为I2为二阶单位矩阵，υ(t)为观测噪声；
步骤6：在格网坐标系G下分别对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态、速度、位置矩阵进行更新，按照步骤4、步骤5中所述联合误差状态方程、观测方程进行卡尔曼滤波，对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏进行估计；
步骤7：根据步骤6中估计得到的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏对它们造成的确定性的长期定位误差进行预测补偿，补偿方式为输出校正，预测补偿步骤为：
7.1)根据步骤2.1)、2.2)、2.3)所建立的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差、速度误差、位置误差角微分方程，确定其误差状态为
误差状态方程同步骤2.1)、2.2)、2.3)所述，同时将步骤6中估计得到的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏作为外界输入矢量
7.2)离散化步骤7.1)中的误差状态方程，得到单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的定位误差预测模型
其中，为误差状态的离散化估计量，Φ1(k+1,k)为系统状态矩阵A1的离散矩阵，Γ1(k+1,k)为外界输入矩阵B1的离散矩阵，Δt为离散间隔，为外界输入量u(t)的离散量，k、k+1为离散化时刻，初始时刻
7.3)根据定位误差预测模型对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的确定性的长期定位误差通过卡尔曼滤波进行预测补偿，补偿方式为输出校正，补偿过确定性定位误差后，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置输出矩阵为
其中，为通过定位误差预测模型估计得到的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角，分别是的格网东向分量和格网北向分量，为位置矩阵修正值；
步骤8：舰船一旦进入极区，导航坐标系由当地地理坐标系n切换为格网坐标系G，相应的联合误差状态及其协方差也从当地地理坐标系n转换到格网坐标系G下，通过以下步骤实现
8.1)格网坐标系G下表示的联合误差状态xG(t)通过转换矩阵T从当地地理系n下表示的联合误差状态xn(t)得到，转换方式为xG(t)＝Txn(t)，其中，
式中，当地地理系n下表示的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1姿态误差φ1 n与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2姿态误差的差值的地理东向、地理北向、地理天向分量分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1速度误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2速度误差的差值的地理东向、地理北向分量分别为δL12、δλ12分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的纬度输出误差差值和经度输出误差差值；
8.2)格网坐标系G下表示的联合误差状态的协方差PG(t)通过转换矩阵T从当地地理系n下表示的联合误差状态的协方差Pn(t)得到，转换方式为
式中，为格网坐标系G下联合误差状态xG(t)的估计值，为当地地理系n下联合误差状态xn(t)的估计值，E{}表示期望运算符，Pn(t)由当地地理系下的联合误差状态卡尔曼滤波器计算得到；
8.3)转换完成后，按步骤6所述通过卡尔曼滤波器对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏进行估计，并按步骤7所述的定位误差预测模型对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的确定性的长期定位误差进行预测补偿；一旦作为主惯导的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2故障，可靠性更高且经过确定性定位误差补偿的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1继续输出定位信息。
通过以上步骤实现了极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
1)格网坐标系的使用解决了传统当地地理坐标系极区无法适用的问题，使得巡航舰船具备了极区导航能力；
2)实现了极区内双航海惯性导航系统定位信息的充分利用，能够对热备份的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的确定性定位误差进行补偿，既能保证主惯导系统正常情况下的定位精度，也能保证主惯导系统故障情况下的定位精度，改善了巡航舰船在极区的导航定位精度；
3)舰船由非极区向极区航行过程中，本发明实现了双航海惯性导航系统联合误差状态及其协方差由当地地理系向格网坐标系的转换，使得联合状态卡尔曼滤波器可以平稳运行。
附图说明
图1为本发明方法的示意图；
图2为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移估计误差示意图；
图3为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的加速度计零偏估计误差示意图；
图4为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的定位误差对比示意图。
具体实施方式
下面对本发明中的方法作进一步详细说明。
如图1所示，为本发明方法的示意图，通过单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1、双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2之间的信息融合，构建卡尔曼滤波器，对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移和加速度计零偏进行估计，并根据单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的定位误差预测模型对其方位陀螺漂移造成的确定性定位误差进行预测补偿。正常情况下以定位精度相对更高的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2作为主惯导系统，由其提供导航定位结果；一旦双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2故障，由可靠性更高、作为热备份系统的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1继续提供误差补偿后的导航定位信息，在保证可靠性的条件下又能保证定位精度。
本发明方法的详细步骤为：
极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法，其步骤为：
步骤1：极区内确定格网坐标系G为导航坐标系，其定义为：以舰船所在地平行于格林威治子午面的平面为格网面，其与当地水平面的交线定义为格网北向，格网北向与当地地理系n的北向的夹角为格网角σ，格网天向与当地地理系n的天向重合，格网东向与格网北向、格网天向构成右手正交坐标系，当地地理系n为“东向-北向-天向”定义；
步骤2：在格网坐标系G下建立单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的姿态误差微分方程、速度误差微分方程、位置误差角微分方程，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统编号为1，通过以下步骤实现：
2.1)建立格网坐标系G下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差微分方程为
其中，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差，分别为姿态误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为格网系相对惯性坐标系的角速度，为格网系下表示的地球自转角速度，分别为在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为格网系相对地球的转移角速度，分别为在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为与单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差、位置误差角相关的格网系相对惯性坐标系的角速度误差，为与单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角相关的地球自转角速度误差，为与单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差、位置误差角相关的格网系相对地球的转移角速度误差，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的载体系b1到格网系G的方向余弦矩阵，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺输出角速度误差，ε1＝[εx1 εy1 εz1]T为该系统中的陀螺漂移，εx1、εy1、εz1为陀螺漂移在相应坐标轴的分量，为该系统中的陀螺噪声，为陀螺噪声在相应坐标轴的分量；
2.2)建立格网坐标系G下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差微分方程为
其中，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差，分别为速度误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为比力，分别为比力在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为格网坐标系G下舰船速度，分别为舰船速度格网东向、格网北向、格网天向的分量，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的比力误差，为该系统中的加速度计零偏，为加速度计零偏在相应坐标轴的分量，为加速度计噪声，为加速度计噪声在相应坐标轴的分量；
2.3)确定格网坐标系G下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角，同时建立其微分方程，通过以下步骤实现：
2.3.1)将格网系下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1输出的舰船位置矩阵用真实的舰船位置矩阵表示为
其中，I3为三阶单位矩阵，为格网系G下的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角，为当地地理系n与格网系G间的方向余弦矩阵，为地心地固坐标系e与当地地理系n间的方向余弦矩阵， cij表示舰船位置矩阵的第i行j列元素，其中，i＝1，2，3，j＝1，2，3；L、λ分别为舰船真实的纬度、经度，δσ1为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的格网角误差，为当地地理系n下的位置误差角，δL1、δλ1分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的纬度输出误差、经度输出误差；
2.3.2)根据(39)式确定单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角为
其中，为位置误差角在格网东向、格网北向、格网天向的分量；
2.3.3)根据(40)式确定单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角各分量间的关系
即单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1位置误差角的格网天向分量与其格网东向分量线性相关，其格网东向、格网北向分量即可完全确定相应的位置误差角
2.3.4)根据(39)式确定对其两侧微分获得位置误差角的微分方程为
步骤3：在格网坐标系G下建立双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的姿态误差微分方程、速度误差微分方程、位置误差角微分方程，双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统编号为2，通过以下步骤实现：
3.1)建立格网坐标系G下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态误差微分方程为
其中，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态误差，分别为姿态误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差、位置误差角相关的格网系相对惯性坐标系的角速度误差，为与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角相关的地球自转角速度误差，为与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差、位置误差角相关的格网系相对地球的转移角速度误差，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的载体系b2到格网系G的方向余弦矩阵，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的陀螺输出角速度误差，ε2＝[εx2 εy2 εz2]T为该系统中的陀螺漂移，εx2、εy2、εz2为陀螺漂移在相应坐标轴的分量，为该系统中的陀螺噪声，为陀螺噪声在相应坐标轴的分量；
3.2)建立格网坐标系G下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差微分方程为
其中，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差，分别为速度误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的比力误差，为该系统中的加速度计零偏，为加速度计零偏在相应坐标轴的分量，为加速度计噪声，为加速度计噪声在相应坐标轴的分量；
3.3)确定格网坐标系G下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角，同时建立其微分方程，通过以下步骤实现：
3.3.1)将格网系下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2输出的舰船位置矩阵用真实的舰船位置矩阵表示为
其中，为格网系G下的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角，δσ2为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的格网角误差，为当地地理系n下的位置误差角，δL2、δλ2分别为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的纬度输出误差、经度输出误差；
3.3.2)根据(45)式确定双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角为
其中，为位置误差角在格网东向、格网北向、格网天向的分量；
3.3.3)根据(46)式确定双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角各分量间的关系
即双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2位置误差角的格网天向分量与其格网东向分量线性相关，其格网东向、格网北向分量即可完全确定相应的位置误差角
3.3.4)根据(45)式确定对其两侧微分获得位置误差角的微分方程为
步骤4：在格网坐标系G下建立单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的联合误差状态方程，通过以下步骤实现：
4.1)构建格网坐标系下的联合误差状态，联合误差状态为：单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1姿态误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2姿态误差的差值单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1速度误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2速度误差的差值单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1位置误差角与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2位置误差角的差值的格网东向分量和格网北向分量，增广单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏以及双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的陀螺漂移ε2、加速度计零偏作为联合误差状态，不考虑高度通道相关的误差状态；联合误差状态矢量x(t)为
4.2)分别将步骤2.1)中单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差微分方程式(37)减去步骤3.1)中双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态误差微分方程式(43)、步骤2.2)中单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差微分方程式(38)减去步骤3.2)中双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差微分方程式(44)、步骤2.3)中单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角微分方程式(42)减去步骤3.3)中双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角微分方程式(48)，构建格网坐标系下的联合误差状态方程为
其中，为地球自转角速度误差的差值，为格网系相对地球的转移角速度误差的差值，为格网系相对惯性坐标系的角速度误差的差值；
4.3)将步骤4.2)中的联合误差状态方程表示为矩阵形式
其中，系统状态矩阵F(t)、系统噪声矩阵G(t)及系统噪声w(t)分别为：
κG是符号的替换简写，h为舰船的高度，Re为地球的长半轴，f为地球的椭球扁率，1/RxG、1/RyG为地球在格网系下相应坐标轴方向的曲率，1/τfG为舰船所在位置的扭曲率，分别为的前两行前两列构成的子矩阵，0i×j代表i行j列的零矩阵；
步骤5：在格网坐标系G下建立单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2间的观测方程，通过以下步骤实现
5.1)确定观测量z(t)为扣除两套系统间的杆臂效应之后的格网东向速度误差差值、格网北向速度误差差值，以及位置误差角差值，如下：
其中，分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1、双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2各自输出的格网东向速度， 分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1、双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2各自输出的格网北向速度；分别为中相应的矩阵元素；
5.2)确定观测方程为
z(t)＝HxG(t)+υ(t) (63)
其中，观测矩阵为I2为二阶单位矩阵，υ(t)为观测噪声；
步骤6：在格网坐标系G下分别对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态、速度、位置矩阵进行更新，按照步骤4、步骤5中所述联合误差状态方程、观测方程进行卡尔曼滤波，对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏进行估计；
步骤7：根据步骤6中估计得到的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏对它们造成的确定性的长期定位误差进行预测补偿，补偿方式为输出校正，预测补偿步骤为：
7.1)根据步骤2.1)、2.2)、2.3)所建立的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差、速度误差、位置误差角微分方程，确定其误差状态为
误差状态方程同步骤2.1)、2.2)、2.3)所述，同时将步骤6中估计得到的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏作为外界输入矢量
7.2)离散化步骤7.1)中的误差状态方程，得到单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的定位误差预测模型
其中，为误差状态x1(t)的离散化估计量，Φ1(k+1,k)为系统状态矩阵A1的离散矩阵，Γ1(k+1,k)为外界输入矩阵B1的离散矩阵，Δt为离散间隔，为外界输入量u(t)的离散量，k、k+1为离散化时刻，初始时刻
7.3)根据定位误差预测模型对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的确定性的长期定位误差通过卡尔曼滤波进行预测补偿，补偿方式为输出校正，补偿过确定性定位误差后，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置输出矩阵为
其中，为通过定位误差预测模型估计得到的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角，分别是的格网东向分量和格网北向分量，为位置矩阵修正值；
步骤8：舰船一旦进入极区，导航坐标系由当地地理坐标系n切换为格网坐标系G，相应的联合误差状态及其协方差也从当地地理坐标系n转换到格网坐标系G下，通过以下步骤实现
8.1)格网坐标系G下表示的联合误差状态xG(t)通过转换矩阵T从当地地理系n下表示的联合误差状态xn(t)得到，转换方式为xG(t)＝Txn(t)，其中，
式中，当地地理系n下表示的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1姿态误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2姿态误差的差值的地理东向、地理北向、地理天向分量分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1速度误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2速度误差的差值的地理东向、地理北向分量分别为δL12、δλ12分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的纬度输出误差差值和经度输出误差差值；
8.2)格网坐标系G下表示的联合误差状态的协方差PG(t)通过转换矩阵T从当地地理系n下表示的联合误差状态的协方差Pn(t)得到，转换方式为
式中，为格网坐标系G下联合误差状态xG(t)的估计值，为当地地理系n下联合误差状态xn(t)的估计值，E{}表示期望运算符，Pn(t)由当地地理系下的联合误差状态卡尔曼滤波器计算得到；
其中，当地地理系下的联合误差状态卡尔曼滤波器的状态方程为
式中，系统状态矩阵S(t)、系统噪声矩阵Gn(t)为：
分别为当地地理系下舰船的东向速度、北向速度，ωie为地球自转角速度，RE、RN分别为卯酉圈、子午圈曲率半径，分别为地理东向、地理北向、地理天向的比力值，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的载体系b1到当地地理系n的方向余弦矩阵，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的载体系b2到当地地理系n的方向余弦矩阵，分别为的前两行前两列构成的子矩阵；
当地地理系下的联合误差状态卡尔曼滤波器的观测方程分别为
zn(t)＝Hxn(t)+μ(t) (80)
式中，观测量 表示当地地理系下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的东向输出速度与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的东向输出速度的差值，表示当地地理系下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的北向输出速度与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的北向输出速度的差值，表示单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的输出纬度与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的输出纬度的差值，表示单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的输出经度与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的输出经度的差值，μ(t)为观测噪声；
8.3)转换完成后，按步骤6所述通过卡尔曼滤波器对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏进行估计，并按步骤7所述的定位误差预测模型对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的确定性的长期定位误差进行预测补偿；一旦作为主惯导的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2故障，可靠性更高且经过确定性定位误差补偿的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1继续输出定位信息。
按照以上步骤在中低纬度地区利用1套单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统和1套双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统进行了实验验证，验证本发明方法的效果。
首先，两套系统在当地地理坐标系下进行联合误差状态卡尔曼滤波，并在第12h时切换到格网坐标系下继续进行联合误差状态卡尔曼滤波，同时假定双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统在第24h时发生故障，之后由补偿过定位误差的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统提供定位结果输出。
图2是单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统在144h导航时间内的纬度误差、经度误差及它们的预测值，从图中可以看出，定位误差预测良好。图3是单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的径向定位误差补偿前后的对比示意图，补偿过误差后，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的定位精度提升明显。图4给出了无故障情况下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的径向定位误差与补偿后的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统径向定位误差对比，可以发现两者精度相当，因此即使双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统发生故障，补偿误差后的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统依然可以保证定位精度。
以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应当视为落入本发明的保护范围。

Claims (1)

1.极区双航海惯性导航系统定位信息融合方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤1：极区内确定格网坐标系G为导航坐标系，其定义为：以舰船所在地平行于格林威治子午面的平面为格网面，其与当地水平面的交线定义为格网北向，格网北向与当地地理系n的北向的夹角为格网角σ，格网天向与当地地理系n的天向重合，格网东向与格网北向、格网天向构成右手正交坐标系，当地地理系n为“东向-北向-天向”定义；
步骤2：在格网坐标系G下建立单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的姿态误差微分方程、速度误差微分方程、位置误差角微分方程，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统编号为1，通过以下步骤实现：
2.1)建立格网坐标系G下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差微分方程为
<mrow> <msubsup> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>iG</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>G</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>ib</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差，分别为姿态误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为格网系相对惯性坐标系的角速度，为格网系下表示的地球自转角速度，分别为在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为格网系相对地球的转移角速度，分别为在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为与单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差、位置误差角相关的格网系相对惯性坐标系的角速度误差，为与单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角相关的地球自转角速度误差，为与单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差、位置误差角相关的格网系相对地球的转移角速度误差，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的载体系b1到格网系G的方向余弦矩阵，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺输出角速度误差，ε1＝[εx1 εy1 εz1]T为该系统中的陀螺漂移，εx1、εy1、εz1为陀螺漂移在相应坐标轴的分量，为该系统中的陀螺噪声，为陀螺噪声在相应坐标轴的分量；
2.2)建立格网坐标系G下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差微分方程为
<mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <msubsup> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>f</mi> <mi>G</mi> </msup> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>v</mi> <mi>G</mi> </msup> <mo>&amp;times;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>ie</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>eG</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>e</mi> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;times;</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;v</mi> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>G</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;delta;f</mi> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差，分别为速度误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为比力，分别为比力在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为格网坐标系G下的舰船速度，分别为舰船速度格网东向、格网北向、格网天向的分量，为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的比力误差，▽1＝[▽x1 ▽y1 ▽z1]T为该系统中的加速度计零偏，▽x1、▽y1、▽z1为加速度计零偏在相应坐标轴的分量，为加速度计噪声，为加速度计噪声在相应坐标轴的分量；
2.3)确定格网坐标系G下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角，同时建立其微分方程，通过以下步骤实现：
2.3.1)将格网系下单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1输出的舰船位置矩阵用真实的舰船位置矩阵表示为
<mrow> <msubsup> <mover> <mi>C</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> <msub> <mi>G</mi> <mn>1</mn> </msub> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>e</mi> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>n</mi> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，I3为三阶单位矩阵，为格网系G下的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角，为当地地理系n与格网系G间的方向余弦矩阵，为地心地固坐标系e与当地地理系n间的方向余弦矩阵， cij表示舰船位置矩阵的第i行j列元素，其中，i＝1，2，3，j＝1，2，3；L、λ分别为舰船真实的纬度、经度，δσ1为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的格网角误差，为当地地理系n下的位置误差角，δL1、δλ1分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的纬度输出误差、经度输出误差；
2.3.2)根据(3)式确定单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角为
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>U</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cot</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cot</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mi> </mi> <msup> <mi>sin</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;L</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;&amp;lambda;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为位置误差角在格网东向、格网北向、格网天向的分量；
2.3.3)根据(4)式确定单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角各分量间的关系
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>U</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cot</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mn>13</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>23</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
即单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1位置误差角的格网天向分量与其格网东向分量线性相关，其格网东向、格网北向分量即可完全确定相应的位置误差角
2.3.4)根据(3)式确定对其两侧微分获得位置误差角的微分方程为
<mrow> <msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>1</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>eG</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤3：在格网坐标系G下建立双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统的姿态误差微分方程、速度误差微分方程、位置误差角微分方程，双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统编号为2，通过以下步骤实现：
3.1)建立格网坐标系G下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态误差微分方程为
<mrow> <msubsup> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>iG</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>G</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>ib</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态误差，分别为姿态误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差、位置误差角相关的格网系相对惯性坐标系的角速度误差，为与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角相关的地球自转角速度误差，为与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差、位置误差角相关的格网系相对地球的转移角速度误差，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的载体系b2到格网系G的方向余弦矩阵，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的陀螺输出角速度误差，ε2＝[εx2 εy2 εz2]T为该系统中的陀螺漂移，εx2、εy2、εz2为陀螺漂移在相应坐标轴的分量，为该系统中的陀螺噪声，为陀螺噪声在相应坐标轴的分量；
3.2)建立格网坐标系G下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差微分方程为
<mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <msubsup> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mi>f</mi> <mi>G</mi> </msup> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>v</mi> <mi>G</mi> </msup> <mo>&amp;times;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>ie</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>eG</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>e</mi> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;times;</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;v</mi> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>G</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;delta;f</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差，分别为速度误差在格网东向、格网北向、格网天向的分量，为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的比力误差，▽2＝[▽x2 ▽y2▽z2]T为该系统中的加速度计零偏，▽x2、▽y2、▽z2为加速度计零偏在相应坐标轴的分量，为加速度计噪声，为加速度计噪声在相应坐标轴的分量；
3.3)确定格网坐标系G下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角，同时建立其微分方程，通过以下步骤实现：
3.3.1)将格网系下双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2输出的舰船位置矩阵用真实的舰船位置矩阵表示为
<mrow> <msubsup> <mover> <mi>C</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>e</mi> <msub> <mi>G</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>e</mi> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;delta;&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>n</mi> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为格网系G下的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角，δσ2为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的格网角误差，为当地地理系n下的位置误差角，δL2、δλ2分别为双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的纬度输出误差、经度输出误差；
3.3.2)根据(9)式确定双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角为
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>U</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cot</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cot</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mi> </mi> <msup> <mi>sin</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;delta;&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为位置误差角在格网东向、格网北向、格网天向的分量；
3.3.3)根据(10)式确定双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角各分量间的关系
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>U</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cot</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mn>13</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>23</mn> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
即双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2位置误差角的格网天向分量与其格网东向分量线性相关，其格网东向、格网北向分量即可完全确定相应的位置误差角
3.3.4)根据(9)式确定对其两侧微分获得位置误差角的微分方程为
<mrow> <msubsup> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>eG</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤4：在格网坐标系G下建立单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的联合误差状态方程，通过以下步骤实现：
4.1)构建格网坐标系下的联合误差状态，联合误差状态为：单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1姿态误差φ1 G与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2姿态误差的差值单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1速度误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2速度误差的差值单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1位置误差角与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2位置误差角的差值的格网东向分量和格网北向分量，增广单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏▽1以及双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的陀螺漂移ε2、加速度计零偏▽2作为联合误差状态，不考虑高度通道相关的误差状态；联合误差状态矢量xG(t)为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mi>G</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>U</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>U</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;v</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;v</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;v</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;v</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mo>&amp;dtri;</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mo>&amp;dtri;</mo> <mrow> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mo>&amp;dtri;</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mo>&amp;dtri;</mo> <mrow> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
4.2)分别将步骤2.1)中单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差微分方程式(1)减去步骤3.1)中双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态误差微分方程式(7)、步骤2.2)中单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的速度误差微分方程式(2)减去步骤3.2)中双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的速度误差微分方程式(8)、步骤2.3)中单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角微分方程式(6)减去步骤3.3)中双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的位置误差角微分方程式(12)，构建格网坐标系下的联合误差状态方程为
<mrow> <msubsup> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>12</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>12</mn> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>iG</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> <mi>G</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>G</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>G</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;delta;&amp;omega;</mi> <mrow> <msub> <mi>ib</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中，为地球自转角速度误差的差值，为格网系相对地球的转移角速度误差的差值，为格网系相对惯性坐标系的角速度误差的差值；
4.3)将步骤4.2)中的联合误差状态方程表示为矩阵形式
<mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>G</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mi>G</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，系统状态矩阵F(t)、系统噪声矩阵G(t)及系统噪声w(t)分别为：
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κG是符号的替换简写，h为舰船的高度，Re为地球的长半轴，f为地球的椭球扁率，1/RxG、1/RyG为地球在格网系下相应坐标轴方向的曲率，1/τfG为舰船所在位置的扭曲率，分别为的前两行前两列构成的子矩阵，0i×j代表i行j列的零矩阵；
步骤5：在格网坐标系G下建立单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2间的观测方程，通过以下步骤实现
5.1)确定观测量z(t)为扣除两套系统间的杆臂效应之后的格网东向速度误差差值、格网北向速度误差差值，以及位置误差角差值，如下：
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其中，分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1、双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2各自输出的格网东向速度， 分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1、双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2各自输出的格网北向速度；分别为中相应的矩阵元素；
5.2)确定观测方程为
z(t)＝HxG(t)+υ(t) (27)
其中，观测矩阵为I2为二阶单位矩阵，υ(t)为观测噪声；
步骤6：在格网坐标系G下分别对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的姿态、速度、位置矩阵进行更新，按照步骤4、步骤5中所述联合误差状态方程、观测方程进行卡尔曼滤波，对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏▽1进行估计；
步骤7：根据步骤6中估计得到的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏▽1，对它们造成的确定性的长期定位误差进行预测补偿，补偿方式为输出校正，预测补偿步骤为：
7.1)根据步骤2.1)、2.2)、2.3)所建立的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的姿态误差、速度误差、位置误差角微分方程，确定其误差状态为
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误差状态方程同步骤2.1)、2.2)、2.3)所述，同时将步骤6中估计得到的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏▽1作为外界输入矢量u(t)＝[εx1 εy1 εz1 ▽x1 ▽y1]T；
7.2)离散化步骤7.1)中的误差状态方程，得到单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的定位误差预测模型
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其中，为误差状态的离散化估计量，Φ1(k+1,k)为系统状态矩阵A1的离散矩阵，Γ1(k+1,k)为外界输入矩阵B1的离散矩阵，Δt为离散间隔，为外界输入量u(t)的离散量，k、k+1为离散化时刻，初始时刻
7.3)根据定位误差预测模型对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的确定性的长期定位误差通过卡尔曼滤波进行预测补偿，补偿方式为输出校正，补偿过确定性定位误差后，单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置输出矩阵为
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其中，为通过定位误差预测模型估计得到的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的位置误差角，分别是的格网东向分量和格网北向分量，为位置矩阵修正值；
步骤8：舰船一旦进入极区，导航坐标系由当地地理坐标系n切换为格网坐标系G，相应的联合误差状态及其协方差也从当地地理坐标系n转换到格网坐标系G下，通过以下步骤实现
8.1)格网坐标系G下表示的联合误差状态xG(t)通过转换矩阵T从当地地理系n下表示的联合误差状态xn(t)得到，转换方式为xG(t)＝Txn(t)，其中，
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式中，当地地理系n下表示的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1姿态误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2姿态误差的差值的地理东向、地理北向、地理天向分量分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1速度误差与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2速度误差的差值的地理东向、地理北向分量分别为δL12、δλ12分别为单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1与双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2的纬度输出误差差值和经度输出误差差值；
8.2)格网坐标系G下表示的联合误差状态的协方差PG(t)通过转换矩阵T从当地地理系n下表示的联合误差状态的协方差Pn(t)得到，转换方式为
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式中，为格网坐标系G下联合误差状态xG(t)的估计值，为当地地理系n下联合误差状态xn(t)的估计值，E{}表示期望运算符，Pn(t)由当地地理系下的联合误差状态卡尔曼滤波器计算得到；
8.3)转换完成后，按步骤6所述通过卡尔曼滤波器对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的陀螺漂移ε1、加速度计零偏▽1进行估计，并按步骤7所述的定位误差预测模型对单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1的确定性的长期定位误差进行预测补偿；一旦作为主惯导的双轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统2故障，可靠性更高且经过确定性定位误差补偿的单轴旋转调制激光陀螺航海惯性导航系统1继续输出定位信息。
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