CN107507246A - 一种基于改进畸变模型的摄像机标定方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于改进畸变模型的摄像机标定方法。该方法步骤如下：根据世界坐标系与图像坐标系的转换关系，建立摄像机标定模型；根据矩阵的正交性质，获取摄相机内部参数的约束方程；采用线性求解的方法近似求出初值，然后利用梯度法求解单应性矩阵；根据求出的约束方程和单应性矩阵，求解摄像机模型参数；结合张正友和Heikkila标定模型，根据径向畸变和切向畸变，改变畸变模型等式两端的求解次序，并采用线性最小二乘法求出初值；利用Levenberg‑Marquardt算法对摄像机参数进行最优化求解，获得最优化摄像机参数。本发明实现了摄像机标定，具有标定精度高、易于实施的优点。
Description
技术领域
本发明属于计算机视觉技术领域，特别是一种基于改进畸变模型的摄像机标定方法。
背景技术
摄像机标定是指在摄像机模型下，对特制的标定板进行拍摄，然后处理拍摄到的标定图像，通过坐标变换求取摄相机模型的内、外部参数，从而得到摄相机在世界坐标系中的相对位置。由于在受电弓滑板磨耗剩余厚度、裂纹长度大小检测的过程中均需要利用摄像机标定，将检测目标在图像中的长度转换为实际物理长度，以获得高精度测量结果。因此，准确地对摄像机进行标定尤为重要。
目前使用最广泛的摄像机标定方法是张正友标定方法，但其只考虑了径向畸变的影响。因为镜头制造存在随机性，图像中各种畸变误差的分布规律并不完全一致，所以在实际应用中很难找到能够精准体现图像扭曲程度的畸变模型。另外，现有的张正友标定方法中待求解的维数往往较大，进而导致在优化过程中易出现结果不收敛或计算时间过长的情况，存在实现复杂、精度不高的问题。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于改进畸变模型的摄像机标定方法，以简单高效地对摄像机进行标定。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于改进畸变模型的摄像机标定方法，包括以下步骤：
步骤1、建立摄像机标定模型：根据世界坐标系与图像坐标系的转换关系，建立摄像机标定模型；
步骤2、确定摄像机内部参数的约束条件：根据矩阵的正交性质，获取摄相机内部参数的约束方程；
步骤3、求解单应性矩阵：采用线性求解的方法近似求出初值，然后利用梯度法求解单应性矩阵；
步骤4、求解摄像机模型参数：根据步骤2、3求出的约束方程和单应性矩阵，求解摄像机模型参数；
步骤5、确定畸变系数初值：结合张正友和Heikkila标定模型，根据径向畸变和切向畸变，改变畸变模型等式两端的求解次序，并采用线性最小二乘法求出初值；
步骤6、非线性最优化摄像机参数：利用Levenberg-Marquardt算法对摄像机参数进行最优化求解，获得最优化摄像机参数。
进一步地，步骤1中所述的根据世界坐标系与图像坐标系的转换关系，建立摄相机标定模型，具体如下：
用齐次坐标将像素坐标m和世界坐标M表示为和二者的关系为
其中，s是尺度因子，A是摄像机内部参数矩阵，R是旋转变换矩阵，t是平移变换向量；
用ri表示旋转矩阵R的第i列，则式(1)转换为：
利用单应性矩阵H重新表示像素坐标m和世界坐标M的关系为：
其中，H＝A[r1 r2 t]。
进一步地，步骤2中所述的根据矩阵的正交性质，获取摄相机内部参数的约束方程，具体如下：
设单应性矩阵H＝[h1 h2 h3]，根据式(3)得：
[h1 h2 h3]＝λA[r1 r2 t] (4)
其中，λ表示任意尺度；
由于r1和r2正交，根据正交的性质，获得两个摄相机内部参数的约束方程如下：
进一步地，步骤3中所述的采用线性求解的方法近似求出初值，然后利用梯度法求解单应性矩阵，具体如下：
目标函数为图像坐标mi与式(3)计算出的像素坐标的最小残差，即
采用线性求解的方法近似求出初值H0，然后利用梯度法求解单应性矩阵。
进一步地，步骤4中所述的根据步骤2、3求出的约束方程和单应性矩阵，求解摄像机模型参数，具体如下：
设B＝A-TA-1，则
其中，α、β、γ、u0、v0为摄像机的内部参数；
单应性矩阵H的第i列hi＝[hi1 hi2 hi3]T，则hi TBhj＝vij Tb，其中b＝[B11 B12 B13 B21B22 B23]T是6×1的列向量；
将约束条件式(5)改为两个单应性方程组：
综合采集的n幅图像的约束条件，得Vb＝0，其中V是2n×6的矩阵，根据求解单应性矩阵H的过程，即求得b；
然后根据式(7)求得摄像机的内部参数为
其中，
进一步地，步骤5中所述的结合张正友和Heikkila标定模型，根据径向畸变和切向畸变，改变畸变模型等式两端的求解次序，并采用线性最小二乘法求出初值，具体如下：
畸变系数Kc为
Kc＝[k1 k2 p1 p2]T (10)
其中，k1、k2为径向畸变系数，p1、p2为切向畸变系数；
张正友标定模型为：
其中，(xu,yu)和(xd,yd)分别表示理想和实际图像物理坐标；
Heikkila畸变模型为
将式(11)代入式(12)，得出新的畸变模型为
设定物理坐标系(x,y)中的原点(x0,y0)在像素坐标系(u,v)中的对应坐标为(u0,v0)，根据摄像机坐标与图像坐标的变换关系得：
根据式(11)和(14)得矩阵形式为：
使用n幅标定图像，每幅图像取m个点，得到2mn个方程组，矩阵形式为：
DcKc＝dc (16)
其中，Dc是2mn×4阶系数矩阵，dc是2mn维列向量；
采用线性最小二乘法求取Kc为：
Kc＝(Dc TDc)-1Dc Tdc (17)。
进一步地，步骤6所述的利用Levenberg-Marquardt算法对摄像机参数进行最优化求解，获得最优化摄像机参数，具体如下：
新的优化目标表示为
其中，由三维空间点M通过成像模型投影得到，mij是通过角点检测得到的像素。
本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)在原来只考虑径向畸变的情况下，将切向畸变的影响也考虑进去，考虑因素全面；(2)根据改进的算法进行优化，使得标定结果精度大大提高，为实现摄像机标定提供了一种简单有效的方法。
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
附图说明
图1是本发明基于改进畸变模型的摄像机标定方法的流程图。
图2是本发明实施例中的成像模型示意图。
图3是本发明实施例中使用的棋盘标定板示意图。
图4是本发明实施例中摄相机内部参数与标定图像张数的变化趋势分析图，其中(a)～(d)分别为不同姿态的标定图像得到的变化趋势分析图。
具体实施方式
结合图1，本发明实施例中所提出的一种基于改进畸变模型的摄像机标定方法，包括以下步骤：
步骤1、建立摄像机标定模型：根据世界坐标系与图像坐标系的转换关系，建立摄像机标定模型。具体如下：
用齐次坐标将图2中的像素坐标m和世界坐标M表示为和二者的关系为
其中，s是尺度因子，A是摄像机内部参数矩阵，R是旋转变换矩阵，t是平移变换向量。
用ri表示旋转矩阵R的第i列，则式(1)可化为
利用单应性矩阵H重新表示像素坐标m和世界坐标M的关系为
其中，H＝A[r1 r2 t]。
步骤2、确定摄像机内部参数的约束条件：根据矩阵的正交性质，获取摄相机内部参数的约束方程。具体如下：
设单应性矩阵H＝[h1 h2 h3]，根据式(3)可得
[h1 h2 h3]＝λA[r1 r2 t] (4)
其中，λ表示任意尺度。
由于r1和r2正交，根据正交的性质，可以获得两个摄相机内部参数的约束方程如下：
因为摄相机外部参数有6个，而单应性矩阵H的自由度有8个，所以一个单应性矩阵只能获取两个内部参数的约束方程。
步骤3、求解单应性矩阵：采用线性求解的方法近似求出初值，然后利用梯度法求解单应性矩阵。具体如下：
目标函数表示为图像坐标mi与根据式(3)计算得出的像素坐标的最小残差，即
由于求解过程其实是一个优化过程，因此采用线性求解的方法近似求出其初值H0，然后利用梯度法求解单应性矩阵。
步骤4、求解摄像机模型参数：根据步骤2、3求出的约束方程和单应性矩阵求解摄像机模型参数。具体如下：
设B＝A-TA-1，则B可表示为
其中，α、β、γ、u0、v0为摄像机的内部参数，仅与摄像机内部结构有关，而与摄像机在三维物理空间中的位置无关。
单应性矩阵H的第i列用hi＝[hi1 hi2 hi3]T表示，则其中b＝[B11 B12B13 B21 B22 B23]T是6×1的列向量。
将约束条件式(5)改为两个单应性方程组：
综合采集的n幅图像的约束条件，可得Vb＝0，其中V是2n×6的矩阵，根据求解单应性矩阵H的过程，即可求得b。
确定了b后，就可以根据式(7)求得摄像机的内部参数为
其中，
步骤5、确定畸变系数初值：结合张正友和Heikkila标定模型，引入径向畸变和切向畸变，改变畸变模型等式两端的求解次序，并采用线性最小二乘法求出初值。具体如下：
由于在标定过程中考虑到径向畸变和切向畸变，因此引进畸变系数Kc为
Kc＝[k1 k2 p1 p2]T (10)
其中，k1、k2为径向畸变系数，p1、p2为切向畸变系数。
张正友标定模型可以表达为：
其中，(xu,yu)和(xd,yd)分别表示理想和实际图像物理坐标。
Heikkila畸变模型为
将式(11)代入式(12)，得出新的畸变模型为
设定物理坐标系(x,y)中的原点(x0,y0)在像素坐标系(u,v)中的对应坐标为(u0,v0)，根据摄像机坐标与图像坐标的变换关系可得
根据式(11)和(14)可得矩阵形式为
使用n幅标定图像，每幅图像取m个点，可以得到2mn个方程组，矩阵形式为
DcKc＝dc (16)
其中，Dc是2mn×4阶系数矩阵，dc是2mn维列向量。
采用线性最小二乘法求取Kc为
Kc＝(Dc TDc)-1Dc Tdc (17)
步骤6、非线性最优化摄像机参数：利用Levenberg-Marquardt算法对摄像机参数进行最优化求解，获得最优化摄像机参数。具体如下：
由于环境因素的影响，所求的摄像机参数存在一定的误差，需要利用Levenberg-Marquardt算法进行最优求解。Levenberg-Marquardt算法是使用最广泛的非线性最小二乘算法，它是用模型函数f对待估参数向量p在其领域内做线性近似，忽略二阶以上的导数项，从而转化为线性最小二乘问题，这种算法的优点是收敛速度很快。新的优化目标可表示为
其中，是由三维空间点M通过成像模型投影得到，mij是通过角点检测得到的像素点。
实施例1
本实施例为基于改进畸变模型的摄像机标定方法。
结合图3、表1，由于标定板的精度直接影响标定结果的准确性，所以本发明实施例中使用的棋盘标定板如图3所示，标定板的具体参数见表1。
结合表2，在标定过程中可以发现，标定图像张数的不同对标定结果有一定的影响。为了获取比较稳定的摄像机内部参数，本发明实施例中分别采用15～25张不同姿态的标定图像对所使用的摄相机进行标定，标定结果见表2。
表1使用的棋盘标定板参数
表2用15～25张不同姿态的标定图像对所使用的摄像机进行标定的结果
表3选择20张标定图像重新对所使用的摄相机进行标定的结果
结合图4(a)～(d)、表3，从摄相机内部参数与标定图像张数的变化趋势分析图中可以看出，当标定图像为20张时，得到的参数结果趋于稳定。但在试验过程中，标定所需要的时间却显著增加，所以，本发明实施例中选取20张标定图像进行摄像机参数标定，新的标定结果如表3所示。将表3与表2中标定张数大于20的结果相比，可以发现，标定结果之间的误差很小。因此，选取20张标定图像对摄像机进行标定有效可行，能够得到相对稳定的摄相机内部参数。
Claims (7)
1.一种基于改进畸变模型的摄像机标定方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、建立摄像机标定模型：根据世界坐标系与图像坐标系的转换关系，建立摄像机标定模型；
步骤2、确定摄像机内部参数的约束条件：根据矩阵的正交性质，获取摄相机内部参数的约束方程；
步骤3、求解单应性矩阵：采用线性求解的方法近似求出初值，然后利用梯度法求解单应性矩阵；
步骤4、求解摄像机模型参数：根据步骤2、3求出的约束方程和单应性矩阵，求解摄像机模型参数；
步骤5、确定畸变系数初值：结合张正友和Heikkila标定模型，根据径向畸变和切向畸变，改变畸变模型等式两端的求解次序，并采用线性最小二乘法求出初值；
步骤6、非线性最优化摄像机参数：利用Levenberg-Marquardt算法对摄像机参数进行最优化求解，获得最优化摄像机参数。
2.根据权利要求1所述的基于改进畸变模型的摄像机标定方法，其特征在于，步骤1中所述的根据世界坐标系与图像坐标系的转换关系，建立摄相机标定模型，具体如下：
用齐次坐标将像素坐标m和世界坐标M表示为和二者的关系为
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其中，s是尺度因子，A是摄像机内部参数矩阵，R是旋转变换矩阵，t是平移变换向量；
用ri表示旋转矩阵R的第i列，则式(1)转换为：
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利用单应性矩阵H重新表示像素坐标m和世界坐标M的关系为：
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其中，H＝A[r1 r2 t]。
3.根据权利要求1所述的基于改进畸变模型的摄像机标定方法，其特征在于，步骤2中所述的根据矩阵的正交性质，获取摄相机内部参数的约束方程，具体如下：
设单应性矩阵H＝[h1 h2 h3]，根据式(3)得：
[h1 h2 h3]＝λA[r1 r2 t] (4)
其中，λ表示任意尺度；
由于r1和r2正交，根据正交的性质，获得两个摄相机内部参数的约束方程如下：
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4.根据权利要求1所述的基于改进畸变模型的摄像机标定方法，其特征在于，步骤3中所述的采用线性求解的方法近似求出初值，然后利用梯度法求解单应性矩阵，具体如下：
目标函数为图像坐标mi与式(3)计算出的像素坐标的最小残差，即
采用线性求解的方法近似求出初值H0，然后利用梯度法求解单应性矩阵。
5.根据权利要求1所述的基于改进畸变模型的摄像机标定方法，其特征在于，步骤4中所述的根据步骤2、3求出的约束方程和单应性矩阵，求解摄像机模型参数，具体如下：
设B＝A-TA-1，则
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<msub>
<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<msup>
<mi>&beta;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mo>-</mo>
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<mi>u</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mi>&beta;</mi>
</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>&alpha;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>&beta;</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
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<mrow>
<mi>&gamma;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
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<mo>-</mo>
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<mi>u</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
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</mrow>
</mrow>
<mrow>
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<mi>&alpha;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
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<mi>&beta;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<msup>
<mi>&beta;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>&gamma;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
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<mo>-</mo>
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<mn>0</mn>
</msub>
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<mo>)</mo>
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</mrow>
<mrow>
<msup>
<mi>&alpha;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
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<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>+</mo>
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<msub>
<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<msup>
<mi>&beta;</mi>
<mn>2</mn>
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</mfrac>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，α、β、γ、u0、v0为摄像机的内部参数；
单应性矩阵H的第i列hi＝[hi1 hi2 hi3]T，则其中b＝[B11 B12 B13 B21 B22B23]T是6×1的列向量；
将约束条件式(5)改为两个单应性方程组：
<mrow>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
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<mtd>
<msubsup>
<mi>v</mi>
<mn>12</mn>
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<mtr>
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<mo>-</mo>
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<mi>v</mi>
<mn>12</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>T</mi>
</msup>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
综合采集的n幅图像的约束条件，得Vb＝0，其中V是2n×6的矩阵，根据求解单应性矩阵H的过程，即求得b；
然后根据式(7)求得摄像机的内部参数为
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<msub>
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<msub>
<mi>B</mi>
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</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>/</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>B</mi>
<mn>11</mn>
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<msub>
<mi>B</mi>
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</msub>
<mo>-</mo>
<msubsup>
<mi>B</mi>
<mn>12</mn>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
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<mtr>
<mtd>
<mrow>
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<mi>&lambda;</mi>
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<mrow>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mi>B</mi>
<mn>12</mn>
<mn>2</mn>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
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</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>&gamma;</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
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<mi>B</mi>
<mn>12</mn>
</msub>
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<mn>2</mn>
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<mi>&beta;</mi>
<mo>/</mo>
<mi>&lambda;</mi>
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<mtr>
<mtd>
<mrow>
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<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
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<mi>&beta;</mi>
<mo>-</mo>
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<mi>B</mi>
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<mo>/</mo>
<mi>&lambda;</mi>
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</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，
6.根据权利要求1所述的基于改进畸变模型的摄像机标定方法，其特征在于，步骤5中所述的结合张正友和Heikkila标定模型，根据径向畸变和切向畸变，改变畸变模型等式两端的求解次序，并采用线性最小二乘法求出初值，具体如下：
畸变系数Kc为
Kc＝[k1 k2 p1 p2]T (10)
其中，k1、k2为径向畸变系数，p1、p2为切向畸变系数；
张正友标定模型为：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
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<mtd>
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<mi>d</mi>
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<mn>2</mn>
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<mn>1</mn>
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<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
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<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
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<msup>
<mi>r</mi>
<mn>4</mn>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，(xu,yu)和(xd,yd)分别表示理想和实际图像物理坐标；
Heikkila畸变模型为
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>u</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msup>
<mi>r</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msup>
<mi>r</mi>
<mn>4</mn>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>p</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
<msub>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>p</mi>
<mn>2</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mi>r</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>y</mi>
<mi>u</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msup>
<mi>r</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msup>
<mi>r</mi>
<mn>4</mn>
</msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>p</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
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<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
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<mo>+</mo>
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<mn>1</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mi>r</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
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<mi>y</mi>
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<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
将式(11)代入式(12)，得出新的畸变模型为
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>u</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
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<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
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<mn>1</mn>
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<mrow>
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<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
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<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
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<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>p</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
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<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
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<mi>p</mi>
<mn>2</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mo>(</mo>
<mrow>
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<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
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<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>y</mi>
<mi>u</mi>
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<mo>=</mo>
<msub>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
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<mo>+</mo>
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<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
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<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
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<mo>(</mo>
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<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
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<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>p</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
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<mi>y</mi>
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<mo>+</mo>
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<mi>p</mi>
<mn>2</mn>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
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<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>&rsqb;</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>13</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
设定物理坐标系(x,y)中的原点(x0,y0)在像素坐标系(u,v)中的对应坐标为(u0,v0)，根据摄像机坐标与图像坐标的变换关系得：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
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<mtd>
<mrow>
<mi>u</mi>
<mo>=</mo>
<msub>
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</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>v</mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&beta;y</mi>
<mi>u</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>14</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
根据式(11)和(14)得矩阵形式为：
<mrow>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>u</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>u</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>u</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
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<msub>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>u</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>u</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
<mo>(</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>v</mi>
<mo>-</mo>
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<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
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<mo>(</mo>
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<mi>x</mi>
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<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
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<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>v</mi>
<mo>-</mo>
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<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
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<mi>x</mi>
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<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
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<mi>y</mi>
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<mn>2</mn>
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<mn>2</mn>
</msup>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mn>0</mn>
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<mo>(</mo>
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<mo>(</mo>
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<mi>x</mi>
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<mn>2</mn>
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<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msubsup>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>v</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>v</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
<msub>
<mi>y</mi>
<mi>d</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
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<mi>k</mi>
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使用n幅标定图像，每幅图像取m个点，得到2mn个方程组，矩阵形式为：
DcKc＝dc (16)
其中，Dc是2mn×4阶系数矩阵，dc是2mn维列向量；
采用线性最小二乘法求取Kc为：
Kc＝(Dc TDc)-1Dc Tdc (17)。
7.根据权利要求1所述的基于改进畸变模型的摄像机标定方法，其特征在于，步骤6所述的利用Levenberg-Marquardt算法对摄像机参数进行最优化求解，获得最优化摄像机参数，具体如下：
新的优化目标表示为
其中，由三维空间点M通过成像模型投影得到，mij是通过角点检测得到的像素。
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